´ EL NUMERO NATURAL

En este captulo vamos a introducir el concepto de n´ umero natural a partir de la Teor´ıa de Conjuntos. Piaget demostr´o que el procedimiento que vamos a seguir para alcanzar el concepto de n´ umero es el mismo que utiliza la mente humana para crearlo, de modo inconsciente. Sirvindose de multitud de experiencias, Piaget lleg´o a descifrar c´omo nace en el ni˜ no el concepto de n´ umero. Demostr´o que desde peque˜ no, el ni˜ no va comparando los conjuntos que maneja, e inconscientemente los va clasificando. Por ejemplo, observa que el conjunto de los dedos de una mano se puede poner poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de los dedos de la otra mano (se da cuenta de que “hay los mismos”), o con el conjunto de los dedos del pie,... Con todos estos conjuntos forma una clase que tiene de particular que todos los conjuntos que la forman tienen cinco elementos. Y as´ı sucesivamente. Adem´as, para adquirir el concepto de n´ umero no basta que el ni˜ no sepa realizar esta operaci´on de clasificar. Es necesario tambi´en que sepa llevar a cabo la operaci´on de seriar, u ordenar: es decir, que el ni˜ no advierta que los conjuntos de una clase tienen m´as o menos elementos que los de otra, pero adem´as, que sepa ponerlos en serie, uno detr´as de otro, por orden de magnitud. Normalmente, hacia los seis a˜ nos el ni˜ no es capaz de realizar estas operaciones y puede adquirir el concepto de n´ umero. As´ı, a la clase de los conjuntos con un s´olo elemento los asociar´a al n´ umero uno, a la clase de los conjuntos de dos elementos lo asociar´a con el n´ umero dos, y sabr´a que esta clase tiene una mayor magnitud que la primera mencionada,... y as´ı con el resto de clases. ´ n de los nu ´ meros naturales 1. Construccio Sea F = {X : X es un conjunto finito } ∪ ∅. Es decir, F es el conjunto de todos los conjuntos con un n´ umero positivo y finito de elementos, junto con el conjunto vac´ıo, es decir, el conjunto que no tiene ning´ un elemento. En el conjunto F podemos definir la relaci´on binaria siguiente: “ Dos elementos en F est´an relacionados si podemos establecer una aplicaci´on biyectiva entre ellos”. Una aplicaci´on biyectiva es una correspondencia entre dos conjuntos de forma que no sobre ni falte ning´ un elemento relacionado a ambos lados de la correspondencia, y adem´as que cada elemento est´e relacionado s´olo con un elemento. Un ejemplo se puede ver en la Figura 1. La relaci´on que acabamos de describir es una relaci´on de equivalencia, ya que verifica las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva. Puedes comprobarlo. Por lo tanto, esta relaci´on de equivalencia clasifica los elementos del conjunto F en distintas clases de equivalencia, de tal forma que en cada una de las clases de equivalencia se sit´ uan todos los conjuntos equipotentes entre s´ı. Todos los conjuntos que integran una misma clase tienen una caracter´ıstica com´ un: tienen el mismo n´ umero de elementos. Esta cualidad com´ un de todos ellos se denomina n´ umero natural. Cada clase determina un n´ umero y a cada clase se le designa con el nombre, o s´ımbolo, que es tambi´en el del natural correspondiente. N´ umero cardinal 1

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Sea A ∈ F. Definimos n´ umero cardinal del conjunto A como el n´ umero natural correspondiente a la clase de equivalencia a la que pertenece dicho conjunto A. El cardinal de un conjunto A se representa por Card(A) y diremos, por simplificar, que el cardinal de A es el n´ umero de elementos de dicho conjunto. La operaci´on de contar un conjunto A tiene por objeto hallar el cardinal de dicho conjunto. Al contar un conjunto prescindimos de la naturaleza de sus elementos y del orden en que los contamos. En cualquier orden en que se cuenten, se obtiene siempre el mismo n´ umero cardinal. Observaciones: • El concepto de n´ umero es un concepto abstracto que s´olo existe en nuestra mente. El n´ umero no es un conjunto, sino una cualidad del conjunto. • Tampoco se debe confundir el concepto de n´ umero con el nombre que se le da o el s´ımbolo con el que se le designa. El nombre var´ıa seg´ un lenguajes ( dos, deux, two,...), pero el concepto es el mismo. • Se les denomina n´ umeros naturales porque son los que naturalmente encuentra la inteligencia humana al manipular y comparar conjuntos en la vida real. ´n 2. Sistemas de numeracio Dado que el conjunto de los n´ umeros naturales es infinito, es imposible inventar un s´ımbolo diferente para cada uno de ellos. De ah´ı la necesidad de crear un sistema de numeraci´on. Un sistema de numeraci´on es un conjunto de reglas y convenios que nos permiten expresar verbal y gr´aficamente los n´ umeros naturales. Su principio fundamental es el del agrupamiento. El sistema decimal es el m´as usado en la actualidad y se caracteriza por: • Utiliza diez s´ımbolos, a los que les llamamos cifras o guarismos, que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. • Su base es 10, es decir, 10 unidades de un cierto orden constituyen una unidad del orden inmediatamente superior. • Cada n´ umero se expresa como reuni´on de unidades de diversos o´rdenes, de tal forma que el n´ umero de unidades de cada orden no puede exceder de 9. • Se basa en el principio del valor relativo; es decir, una misma cifra representa valores distintos seg´ un el lugar que ocupa (unidades, decenas, etc...) Sin embargo, el sistema de numeraci´on decimal no es el u ´nico, sino que existe una infinidad de sistemas de numeraci´on. Vamos a aprender a representar los n´ umeros en cualquiera de ellos, y a pasar de un sistema de numeraci´on a otro. Teorema fundamental de la numeraci´ on Sea m > 1 un n´ umero natural que vamos a fijar. ste ser´a la base de nuestro sistema de numeraci´on con la que trabajaremos. Todo n´ umero X puede expresarse de forma u ´nica como: X = a0 + a1 m + a2 m2 + ... + ar mr , siendo 0 ≤ ai < m, ai ∈ N, para todo i = 1, 2, ..., r. Observaciones: • Como has podido observar, hemos ya representado el conjunto de los n´ umeros naturales por N. • Si la descomposici´on polin´omica de un n´ umero natural X, en potencias de m es X = a0 + a1 m + a2 m2 + ... + ar mr ,

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entonces, utilizando normas an´alogas a las usadas en el sistema decimal, la expresi´on de X en el sistema de base m es: X = ar ar−1 ...a2 a1 a0 (m . Cuando se haga referencia a un sistema de base m, m siempre vendr´a expresado en el sistema decimal para evitar confusiones. Paso de un sistema a otro: Vamos a describir a continuaci´on el algoritmo para cambiar un n´ umero de una base a otra. Distinguimos tres casos: (1) Si queremos pasar un n´ umero de una base cualquiera a base 10. Pongamos un ejemplo para explicarlo. Supongamos que queremos pasar el n´ umero 4237(8 , es decir, el n´ umero 4237 escrito en base 8, al sistema decimal. Entonces, 4237(8 = 7 + 3 × 8 + 2 × 82 + 4 × 83 = 2207. (2) Si queremos pasar un n´ umero de base 10 a una base cualquiera. Por ejemplo, si queremos expresar el n´ umero 7185 en base 9, entonces lo que hacemos es dividir sucesivamente por 9 y nos vamos quedando con los restos. As´ı, 7185 = 9 × 798 + 3, es decir, al dividir 7185 entre 9 obtenemos 798 como cociente y 3 como resto. Tomamos el cociente y realizamos la misma operaci´on. 798 = 9 × 88 + 6 88 = 9 × 9 + 7 9=9×1+0 hasta que obtenemos un cociente que no podemos dividir por 9 (en este caso es 1). As´ı, si recogemos el ltimo cociente y los restos en orden inverso al que los hemos obtenido, tendremos escrito el n´ umero en base 9. As´ı, 7185 = 10763(9 (3) Si queremos pasar un n´ umero de una base m a otra base n. En este caso, debemos combinar los pasos anteriores. Si tenemos un n´ umero en la base m, lo expresamos en base 10 y ste lo expresamos en la base n. Por ejemplo, si queremos expresar 1253(6 en base 7: a) Pasamos de base 6 a base 10. 1253(6 = 3 + 5 × 6 + 2 × 62 + 1 × 63 = 321. b) Pasamos de base 10 a base 7. 321 = 7 × 45 + 6 45 = 7 × 6 + 3 por lo que 321 = 636(7 De los dos pasos anteriores deducimos que 1253(6 = 636(7 .

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´ n de los nu ´ meros naturales 3. Ordenacio Vamos a definir una relaci´ıon en tre los n´ umeros naturales de esta forma: Sean a y b dos n´ umeros naturales. Sabemos que ´estos representan una propiedad de conjuntos (su n´ umero de elementos), as´ı que podemos elegir dos conjuntos que tengan esta propiedad. Es decir, elegimos dos conjuntos cualesquiera A y B que verifican que a = Card(A) y b = Card(B). Diremos que “ a es menor o igual que b ” y lo representamos por a ≤ b siempre que podamos construir una correspondencia inyectiva de A en B. Una correspondencia inyectiva es aquella que cumple que cada elemento en el primer conjunto lleva asociado un s´olo elemento en el segundo conjunto. Un ejemplo de aplicaci´on inyectiva es la de la Figura 3. Se puede comprobar que la relaci´on “ser menor o igual que” es una relaci´on de orden. Con ella, podemos dotar de un orden a los n´ umeros naturales, lo que da lugar al concepto de n´ umero ordinal. N´ umero ordinal Ordenar un conjunto A es ponerlo en biyecci´on (recuerda lo que es una biyecci´on) con una parte del conjunto de los n´ umeros naturales, N, pero atribuyendo a cada elemento de A un n´ umero fijo de N, que se denomina n´ umero ordinal o n´ umero de orden. Al ordenar un conjunto prescindimos de la naturaleza de sus elementos; sin embargo, a diferencia de lo que ocurr´ıa al contarlo, es esencial la forma o el orden en que se van tomando los elementos del conjunto. A cada posible forma en que se van tomando los elementos del conjunto le corresponde una ordenaci´on distinta. No entramos en detalle con las operaciones de n´ umeros naturales de adici´on y multiplicaci´on, aunque cabe destacar que se cumplen las propiedades: • Respecto de la adici´on: - cancelativa o de simplificaci´on: dado c ∈ N, si se cumple a + c = b + c, entonces a = b. - es compatible con la relaci´on de orden: si a, b, c ∈ N cumpliendo que a ≤ b y c ≤ d entonces a + c ≤ b + d. • Respecto de la multiplicaci´on: - Propiedad cancelativa: dado c ∈ N distinto de 0, si se cumple a × c = b × c, entonces a = b. - es compatible con la relaci´on de orden: si a, b, c ∈ N cumpliendo que a ≤ b y c ≤ d entonces a × c ≤ b × d. - tiene a 0 como elemento singular ya que a×0 = 0 para cualquier a ∈ N. Otras operaciones con n´ umeros naturales son la sustracci´on y la divisi´on, pero ´estas no siempre cumplen que tras realizar estas operaciones sobre n´ umeros naturales obtengamos un n´ umero natural. ´ n y producto en cualquier base 4. Algoritmos para la adicio En este apartado queremos dar una interpretaci´on formal al hecho de “me llevo una” y otras expresiones que utilizamos al realizar operaciones en el sistema decimal. Para ello, vamos a explicar las operaciones de sumay producto en una base cualquiera. No entramos a detallar las operaciones de sustracci´on y divisi´on, aunque su tratamiento es similar al de las otras operaciones. Explicaremos su funcionamiento con ejemplos: Ejemplo 1: 434(8 + 267(8

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1

+

1

4 3 2 6

4(8 7(8

7

3(8

2

Ejemplo 2: 312(8 × 31(8 3 x

1 3

2(8 1(8

1

1

3 3

1 6

2 0

1

1

6

7

2(8

5

6

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Figure 1

Figure 2

Figure 3

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Figure 4

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