COLUMNAS YAMID RIVERA P0RRAS  JUAN JAVIER MORA GONZALES  WILMER MANUEL CONTRERAS ROA ROLAND RODRIGUEZ VILLAMIZAR  PROFESOR : JOSÉ MANUEL RAMÍREZ QUINTERO

Ingeniero mecánico  

INTRODUCCIÓN Una columna es un elemento sometido a compresión, el cual es lo suficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por aplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido a compresión, el cual, aunque este cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias. En algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresión se consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.

CARGA CRÍTICA EN COLUMNAS ARTICULADAS

Consideremos una viga articulada en sus extremos mediante rótulas que permiten la flexión en todas las direcciones, tal como se muestra en la figura. Si aplicamos una fuerza horizontal “H” en un punto medio de la viga se producirá una deflexión, a la que denominaremos “”.

CARGA CRÍTICA EN COLUMNAS ARTICULADAS Puede observarse que en la sección transversal que sufre la mayor deflexión, el momento flector es:

M  Pcri   La fuerza “Pcri” es la carga necesaria para mantener la viga flexada sin empuje lateral alguno. Un incremento de esta carga, implica a su vez un aumento de la deflexión “” y viceversa.

CARGA CRÍTICA EN COLUMNAS ARTICULADAS Si para el caso anterior designamos como “x” al eje vertical (sobre el que se proyecta la longitud de la viga) e “y” al eje horizontal (sobre el cual se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de la forma:

El signo (-) se debe a que la deflexión producida es negativa (según la orientación el eje “y”), y el momento flector es positivo. Recordemos la ecuación de la elástica para vigas de sección transversal constante:

M ( x)   Pcri  y

CARGA CRÍTICA EN COLUMNAS ARTICULADAS d 2 y M ( x)  2 dx E I

 Pcri   L 0  C1  sin  E I 

d 2 y  Pcri  y  2 dx EI

 Pcri   Pcri  y C1sin  xC2 cos  x  EI   EI 

CARGA CRÍTICA EN COLUMNAS ARTICULADAS

Para efectos de diseño, siempre trabajaremos con ‘n=1’. De modo que la carga crítica queda expresada de la forma.

A esta expresión se le conoce como la carga crítica de Euler para columnas articuladas.

RELACIÓN DE ESBELTEZ, ESFUERZO CRÍTICO

MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia (“I”) puede expresarse de la forma:

I  A k

2

Donde “A” es el área de la sección transversal y “k” es una propiedad de área denominada radio de giro.

I  A k

2

C 2  E  A Pcri  ( L / k )2

Pcri C E  cri 2 A (L/ k) 2

Mediante esta ecuación se puede determinar el esfuerzo crítico (“scri”) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual la misma comienza a pandearse. Obsérvese que los términos variables en esta expresión son la relación de esbeltez (“L/k”) y el esfuerzo crítico en cuestión. De modo que podemos construir una gráfica que nos indique cómo varía dicho esfuerzo en función de la relación de esbeltez en columnas. Como el módulo de elasticidad (“E”) varía para cada material, tendremos distintas curvas para diferentes materiales

COLUMNAS CON VARIOS TIPOS DE APOYOS

COLUMNAS CON VARIOS TIPOS DE APOYOS En la deducción de la ecuación de Euler, se utilizó como base para el desarrollo de las ecuaciones una columna soportada mediante articulaciones en sus extremos, de manera que la deflexión fuese nula en los mismos. Dependiendo de los apoyos a los que se sujete una columna, dichas condiciones de extremo pueden variar, alterando a su vez el desarrollo de las ecuaciones. Con el objeto de compensar esto, se utiliza en la ecuación de Euler una longitud denominada Longitud efectiva (“Le”), la cual representa la distancia entre dos puntos de la columna en los cuales el momento flector es nulo, y se puede determinar mediante la relación:

Le  K  L Donde “K” es el factor de corrección de longitud efectiva y está tabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.

COLUMNAS CON VARIOS TIPOS DE APOYOS De manera que la ecuación del esfuerzo crítico en una columna quedaría planteada de la forma:

 cri 

 E 2

( Le / r )

2



 E 2

(K  L / r)

2

Los valores de “K” para las condiciones de apoyo más comunes se ilustran en la figura.

COLUMNAS LARGAS, CORTAS E INTERMEDIAS

Columnas largas, cortas  e intermedias Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas se ha demostrado que la carga crítica señalada por las ecuaciones de Euler y de la secante puede ser superior a la carga crítica real necesaria para pandear la columna, como muestra el gráfico.

De la gráfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, en función de la relación de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tres grupos: Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos cargados axialmente a compresión con relaciones de esbeltez muy pequeñas, en los que no se produce pandeo y la falla ocurre cuando ‘smax ≈ sy’. Columnas Intermedias. Cuando en los elementos cargados comienza a presentarse el fenómeno de pandeo al éstos experimentar esfuerzos menores a “sy”. La ecuación de Euler no se aproxima satisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo esta zona de ecuaciones experimentales complejas para predecir con cierta precisión el valor del esfuerzo crítico (con el cual comienza el pandeo en la columna). Columnas Largas. Referida a aquellos elementos con grandes relaciones de esbeltez. La ecuación de Euler describe con precisión aceptable el comportamiento de estas columnas.

En la figura que se muestran algunas tendencias que pueden usarse para determinar el esfuerzo crítico en columnas intermedias. Nótese que la dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar con exactitud los límites de la relación de esbeltez en los cuales son válidos.

Fórmula de Gordon‐Rankine:

 cri 

1 1  k1  ( Le / r )

Aproximación lineal:

cri 2 k2  (Le / r) Aproximación parabólica:

cri3 k3(Le /r)

2

EJERCICIO DE ECUACIÓN DE EULER

Una columna articulada de 2 metros de longitud y sección cuadrada debe hacerse de madera suponiendo E=13 Gpa y un esfuerzo normal permisible de 12Mpa usando un factor de seguridad de 2.5 para calcular la carga critica de pandeo de Euler determine el tamaño de la columna si debe soportar una carga de 100 kn a. calcular el ancho de la columna por pandeo b. calcula el ancho de la columna por compresión

Datos Ptrabajo= 100k E=13Gpa Esfuerzo permi=12 Mpa F.s=2.5

FORMULAS A USAR

I E

Calcule la carga critica de una columna de 40 cm de longitud y sección rectangular debe hacerse de un material con E=115,040 kg/cm¨2

Datos Pcr= ? E=115,040

FORMULAS A USAR

COLUMNAS SOMETIDAS A CARGA EXCÉNTRICA

COLUMNAS SOMETIDAS A CARGA EXCÉNTRICA La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la carga (“P”) siempre se aplica en el cancroide de la sección transversal de la columna, y que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga). Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de aplicación de la carga. Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente después de la aplicación de la carga.

Consideremos entonces una columna sometida a una carga ejercida con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la sección transversal, como se muestra Podemos plantear una expresión para determinar el momento flector en cualquier sección transversal:

COLUMNAS SOMETIDAS A CARGA EXCÉNTRICA M   Pcri  ( e  y )

COLUMNAS SOMETIDAS A CARGA EXCÉNTRICA Podemos entonces plantear la ecuación del esfuerzo máximo en la sección de mayor deflexión de la viga:

 max

 P ( P  y max )  c P     P  e  sec  A I A 

P L c    EI 2  I

Recordando que ‘I=Ar2’, podemos reescribir esta ecuación de la forma:



max

P  A

 e c  sec 1  2 r 

   

P L  E  A 2 r

    

EJERCICIOS DE CARGA EXCÉNTRICA

Una pieza de trabajo sujeta al mesa de trabajo de una fresadora mediante un tornillo apretado con una fuerza de tensión de 2000 Lbf el contacto del sujetador esta desplazado del eje centroidal del puntal por una distancia e= 0.10 in el puntal. O bloque . Es de acero con una sección trasversal cuadrada de 1 pulgada por lado y una longitud de 4 in determinar el esfuerzo de compresión máximo

FORMULAS A

12

1

La columna uniforme AB de la figura consiste en una sección de tubo estructural de 8 ft de longitud que tiene la sección transversal mostrada a- usando la formula de euler un factor de seguridad de 2 determinar la carga de trabajo centrada para la columna y el correspondiente esfuerzo normal. E=29*10^6 lb/in b-suponiendo que la carga de trabajo calculada en el inciso a se aplica en un punto situado a 0.75 in del eje de la figura determine la deflexión horizontal de la parte superior de la columna y el máximo esfuerzo normal. Use E=29*10^6 lb/in

FORMULAS

.

k*L

BIBLIOGRAFIAS Universidad de los andes, facultad de ingeniería, ingeniería  mecánica. Diseño en ingeniería mecánica, budynas Richard g., nisbett j.  Keith. Octava edición.

GRACIAS