´ Facultad de Ciencias Basicas c

Programa de Matem´aticas

Vol. 1 , No 2, (2014) Revista Del Programa De Matem´aticas (2014) 95–101

M´etodo del Cero para resolver Inecuaciones Zero Method to solve Inequalities Jorge Rodr´ıguez Contreras1 , Ang´elica Arroyo Cabrera1 [email protected], [email protected]

˜ 1 Samuel Vega Zuniga samuel [email protected]

Boris Reyes Cassiani 1 1

[email protected] Programa de Matem´aticas, Universidad del Atl´antico Recibido: 02/12/2014 - Aceptado: 03/12/2014

Resumen En este trabajo se expone un m´etodo alternativo para resolver Inecuaciones que consiste en considerar la recta real para ubicar las ra´ıces del polinomio de la inecuacion y proceder de la siguiente manera: Si el polinomio tiene ra´ıces reales distintas, se procede a factorizar, ubicar las ra´ıces del polinomio en la recta real y Los intervalos en los que se va a analizar el signo del polinomio son los que se forman entre cada una de las ra´ıces del mismo, siendo el primero el que est´a a la derecha de la ra´ız mayor y el ultimo el que esta a la izquierda de la raiz menor. As´ı, en el primer intervalo colocamos el signo + ya que cualquier elemento perteneciente a ese intervalo es mayor que todas las ra´ıces del polinomio, luego en los intervalos siguientes se coloca el signo − y as´ı sucesivamente se ´ sera la union de los intervalos van alternando los signos + y − en los intervalos restantes.Luego el conjunto solucion ´ con el signo de acuerdo a la inecuacion. ´ a una Inecuacion ´ con polinomio de ra´ıces reales distintas y procedemos En los otros casos, llevamos la inecuacion ´ y se convierte de igual manera. El hecho de ubicar las ra´ıces del polinomio en una sola recta, hace f´acil su comprension ´ en un m´etodo de r´apida aplicacion. ´ M´etodo del Cero, polinomio, ra´ıces de un polinomio. Palabras claves: Inecuacion,

Abstract In this paper an alternative method to solve Inequalities that is to consider the real line to locate the roots of the polynomial inequality and proceed as follows exposed: If the polynomial has distinct real roots, factoring proceed, place the roots of the polynomial on the real line and the intervals in which the sign is to analyze the polynomial are formed between each of the roots of it, the first being the one to the right of the main root and the last the one to the left of the lower root. Thus, in the first interval put the + sign as any element belonging to this interval is greater than all the roots of the polynomial, then in the following ranges the sign is placed − and so on alternating signs + and − restantes.Luego intervals in the solution set will be the union of the intervals according to the sign of the inequality. In other cases, the inequality took a polynomial inequality with distinct real roots and proceed the same way. The fact of placing the roots of the polynomial in one line, makes it easy to understand and becomes a rapid application method. Keywords: Inequality, Zero method, polynomial roots of a polynomial.

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1.

96

cualquier elemento perteneciente a

Introduccion ´

ese intervalo es mayor que todas las

En la mayor´ıa de los textos de c´alculo, se sue-

ra´ıces excepto la mayor, luego en el

´ de inecuaciones a partir le trabajar la resolucion

siguiente, el signo + y as´ı sucesiva-

del m´etodo de las cruces, tambi´en conocido co-

mente hasta asignarle un signo al ul-

mo el m´etodo del cementerio; el procedimiento

timo intervalo de la izquierda, que

para resolver inecuaciones utilizando este m´eto-

seria mas (+) en el caso de que el

do se basa en factorizar el polinomio y conside-

´ numero de ra´ıces sea par y menos

rar rectas verticales u horizontales para cada uno

´ (−) en el caso de que el numero de

de los factores. Este ha sido el m´etodo que de for-

ra´ıces sea impar. Luego el conjunto

ma tradicional ha sido empleado, pero presen-

´ sera la union de los intersolucion

ta el inconveniente de que para polinomios de

valos con el signo de acuerdo a la

´ grado mayor que 4 resulta tedioso su aplicacion

´ inecuacion.

´ por el numero de rectas a considerar. Por esa razon se presenta aqu´ı un m´etodo alternativo que

´ 2. En los otros casos, llevamos la inecuacion

´ permita reducir el numero de pasos a considerar

´ con polinomio de ra´ıces a una Inecuacion

´ de cualal momento de resolver una inecuacion

reales distintas y procedemos de igual ma-

´ para los quier grado y que sea de f´acil aplicacion

nera.

estudiantes, el cual llamaremos M´etodo del Ce2.

ro. Para aplicar este m´etodo se hacen las siguientes consideraciones:

Marco Teorico ´ En este trabajo se presenta un m´etodo nue-

1. Para un polinomio con ra´ıces reales distin-

vo para resolver inecuaciones que se ha llamado

´ tas se siguen los pasos a continuacion:

M´etodo del Cero, el cual fue producto de la ima´ de los autores de este art´ıculo y de la ginacion

- Se factoriza el polinomio f n = an ( x −

experiencia vivida en el desarrollo de los cursos

r1 )( x − r2 )...( x − rn ).

´ se presentan algude C´alculo I. A continuacion nos conceptos b´asicos que fueron de apoyo para

- Se ubican las ra´ıces r1 , r2 , ..., rn en la

´ de este trabajo: Una inecuacion ´ es la realizacion

recta real.

una desigualdad algebraica en la que aparecen

- Los intervalos en los que vamos a

´ una o m´as incognitas en los miembros de la de-

analizar el signo del polinomio son

sigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o >

los que se forman entre cada una de

´ en sentido estricto y si se denomina inecuacion

las ra´ıces del mismo, siendo el prime-

´ en es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuacion

ro el que est´a a la derecha de la ra´ız

sentido amplio.

mayor y el ultimo el que esta a la izquierda de la raiz menor.

´ M´etodo para resolver una inecuacionM´eto-

As´ı, en el primer intervalo coloca-

do de las cruces o del Cementerio

mos el signo + ya que cualquier elemento perteneciente a ese intervalo

Procedimiento para emplear el m´etodo:

es mayor que todas las ra´ıces del polinomio, luego en el siguiente intervalo colocamos el signo − ya que

1. Se factoriza el polinomio. 96

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2. Se Traza una rectal real, ubicando las ra´ıces

97

considerar al momento de resolver una Inecua-

´ de la inecuacion.

´ el cual llamaremos “El m´etodo del cero”. cion,

3. Se escriben verticalmente cada factor del

Sea p( x ) un polinomio de grado n con todas sus

polinomio, y horizontalmente cada inter-

ra´ıces reales distintas. Es decir

valo en los que queda dividida la recta real p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − rn )

al ubicar las ra´ıces.

Entonces

´ cada factor por cada intervalo 4. Se evalua

R Si p( x ) es de grado par, es decir n = 2m, entonces

para as´ı determinar su signo. Para la eva´ se pueden tomar cualesquiera de luacion

\ p( x ) > 0 en S = (−∞, r1 )

S

 k = 1m − 1∪ (r2k , r2k+1 ) ∪

(r2m , ∞)

los valores que pertenezcan al intervalo, ´ de los valores de los extrecon excepcion

\ p( x ) < 0 en S =

mos (las ra´ıces que anulan tanto a uno co-



 k = 1m∪ (r2k−1 , r2k ) .

R Si p( x ) es un polinomio de grado impar, es decir n = 2m + 1, entonces

mo otro factor).

S k = 1m∪ (r2k−1 , r2k ) (r2m+1 , ∞)   S \ p( x ) < 0 en S = (−∞, r1 ) k = 1m∪ (r2k , r2k+1 ) . \ p( x ) > 0 en S =

5. Haciendo uso de la Regla de los signos, se

S

multiplican verticalmente los signos obteDemostracion. ´

nidos para obtener el resultado.

´ la haremos por induccion ´ soR Esta demostracion bre m. Si m = 1 se tiene que p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 ) y r1 < r2 entonces:

6. Finalmente, se observa el sentido de la ´ Si el sentido de igualdad de la inecuacion. ´ es >, la solucion ´ estar´a consla inecuacion

1. Si x > r2 entonces x > r1 , as´ı que ( x − r2 ) > 0 y ( x − r1 ) > 0, luego ( x − r2 )( x − r1 ) > 0.

´ de los intervalos, los tituida por la union cuales indiquen el signo +. En caso con´ es 0

los intervalos, los cuales indiquen el signo

−.

Por lo tanto p( x ) > 0 en S = (−∞, r1 ) ∪ (r2 , ∞) y p( x ) < 0 en S = (r1 , r2 ). As´ı que se cumple para m = 1. Gr´aficamente:

Se puede ver que este m´etodo puede ser tedioso para resolver inecuaciones que contengan para ´ polinomios de grado mayor que 4 por el numero de rectas a considerar. Por esa razon se presenta aqu´ı el m´etodo alternativo M´etodo del Cero ´ que permite reducir el numero de pasos a consi-

Supongamos que se cumple para m = k, es decir n = 2k con r1 < r2 < . . . < r2k Demostremos que se cumple para m = k + 1, y r1 < r2 < . . . < r2k < r2k+1 < r2k+2 .

´ de derar al momento de resolver una inecuacion ´ para los cualquier grado y es de f´acil aplicacion estudiantes. 3.

a) Sea x > r2k+2 entonces x > r2k+1 > r2k > . . . > r2 > r1 , luego

Resultados y An´alisis

( x − r2k+2 )( x − r2k+1 )( x − r2k ) . . . ( x − r2 )( x − r1 ) > 0

´ se presenta un m´etodo alterA continuacion

As´ı que p( x ) > 0 en (r2k+2 , ∞).

´ nativo que permite reducir el numero de pasos a 97

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98

b) Supongamos que r2k+1 < x < r2k+2 entonces x > r2k > . . . > r2 > r1 as´ı que ( x − r2k+2 ) < 0

y

( x − r2k+1 )( x − r2k ) . . . ( x − r2 )( x − r1 ) > 0

Supongamos que se cumple para m = k, es decir n = 2k + 1 con r1 < r2 < . . . < r2k+1 ( x − r2k+2 )( x − r2k+2 )( x − r2k+1 )( x − r2k ) . . . ( x − r2 )( x − r1 ) < 0 Demostremos que se cumple para m = k + 1, y r1 < r2 < . . . < r2k < r2k+1 < r2k+2 < r2k+3 . luego

As´ı que p( x ) < 0 en (r2k , r2k+1 ). a) Sea x > r2k+3 entonces x > r2k+3 > r2k+2 > . . . > r2 > r1 , luego

c) Supongamos que  i. x ∈

(−∞, r1 )

S

k = 1k − 1∪ (r2j , r2j+1 )



,

( x − r2k+3 )( x − r2k+2 )( x − r2k+1 ) . . . ( x − r2 )( x − r1 ) > 0

luego x < r2k+1 < r2k+2 y As´ı que p( x ) > 0 en (r2k+3 , ∞).

an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − r j )( x − r j+1 ) . . . ( x − r2k−1 ) > 0

b) Supongamos que r2k+2 < x < r2k+3 entonces x > r2k+2 > . . . > r2 > r1 as´ı que

entonces

p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − r j )( x − r j+1 ) . . .

( x − r2k )( x − r2k+1 )( x − r2k+2 ) < 0 ii. x

∈



 k = 1k∪ (r2j−1 , r2j ) , luego

( x − r2k )( x − r2k+1 )( x − r2k+2 ) < 0

 j = 1k ∪ (r2j , r2j+1 ) ∪

(r2k+2 , ∞) 

( x − r2k+3 )( x − r2k+2 )( x − r2k+1 )( x − r2k ) . . . ( x − r2 )( x − r1 ) < 0 As´ı que p( x ) < 0 en (r2k+2 , r2k+3 ). c) Supongamos que   i. x ∈ j = 1k∪ (r2j−1 , r2j ) , luego x < r2k+2 < r2k+3 y

Luego para n = 2k + 2 se tiene: S

( x − r2k+2 )( x − r2k+1 )

luego

p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − r j )( x − r j+1 ) . . .

\ p( x ) > 0 en S = (−∞, r1 )

y

. . . ( x − r2 )( x − r1 ) > 0

x < r2k+1 < r2k+2 y an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − r j )( x − r j+1 ) . . . ( x − r2k ) < 0, entonces

\ p( x ) < 0 en S =

( x − r2k+3 ) < 0

 j = 1k∪ (r2j−1 , r2j+2 ) .

an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − r j )( x − r j+1 ) . . .

Por lo tanto el teorema se cumple para todo m ≥ 1.

( x − r2k+1 ) > 0

´ sobre m R Probaremos por induccion Si m = 1 se tiene que p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) con r1 < r2 < r3 entonces

entonces p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − r j )( x − r j+1 ) . . .

1. Si x > r3 entonces x > r2 > r1 luego p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) > 0

( x − r2k )( x − r2k+1 )( x − r2k+2 ) > 0   S ii. x ∈ (−∞, r1 ) j = 1k∪ (r2j−1 , r2j ) ,

2. Si r1 < r2 < x < r3 entonces p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) < 0 3. Si r1 < x < r2 < r3 entonces p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) > 0

luego x < r2k+2 < r2k+3 y an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − r j )( x − r j+1 ) . . . ( x − r2k+1 ) < 0, entonces

4. Si x < r1 < r2 < r3 entonces p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) < 0

p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 ) . . . ( x − r j )( x − r j+1 )

Por lo tanto p( x ) > 0 en S = (r1 , r2 ) ∪ (r3 , ∞) y p( x ) < 0 en S = (−∞, r1 ) ∪ (r2 , r3 ) As´ı que se cumple para m = 1. Gr´aficamente:

. . . ( x − r2k )( x − r2k+1 )( x − r2k+2 ) < 0 Luego para n = 2k + 2 se tiene: 98

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\ p( x ) > 0 en S =





3.0.1.

j = 1k + 1∪ (r2j−1 , r2j ) ∪

(r2k+3 , ∞) 

\ p( x ) < 0 en S = (−∞, r1 )

S

j = 1k + 1∪ (r2j , r2j+1 )



.

Por lo tanto el teorema se cumple para todo m ≥ 1.

99

Representaci´on Gr´afica de la Soluci´on de una Desigualdad

Ahora representaremos gr´aficamente la solu´ de una desigualdad, la ra´ıces del polinomio cion son los ceros quienes son las divisiones de la ´ de toparte positiva y parte negativa y la union dos los intervalos que tienen el signo + equivale a los valores de x donde el polinomio es positivo y donde tienen el signo menos representa el conjunto de los x donde el polinomio es negativo.

R Sea p( x ) un polinomio con una ra´ız de

En este caso consideraremos p( x ) ≥ 0

multiplicidad par. Supongamos p( x ) = an ( x − r1 )2p ( x − r2 ) . . . ( x − rn ) con r1 < r2 < . . . < rn y an > 0. Entonces

⇔

\ p( x ) > 0

q( x ) = ( x −

r2 ) . . . ( x − r n ) > 0

⇔

\ p( x ) < 0

´ en este caso viene dada As´ı que la solucion por

q( x ) = ( x −

r2 ) . . . ( x − r n ) < 0

S = (−∞, r1 ]

[

k = 1n − 1∪ [r2k , r2k+1 ]

[

[r2n , ∞)

R Sea p( x ) un polinomio con una ra´ız de multiplicidad impar. Supongamos p( x ) = an ( x − r1 )2p+1 ( x − r2 ) . . . ( x − rn ) con r1 < r2 < . . . < rn y an > 0. Entonces ´ es Y para este caso la solucion \ p( x ) > 0

⇔

q( x ) = ( x − r1 )( x −   S = [r1 , r2 ] ∪ k = 1n − 1∪ [r2k+1 , r2k+2 ] ∪ [r2n+1 , ∞)

r2 ) . . . ( x − r n ) > 0 \ p( x ) < 0

⇔

q( x ) = ( x − r1 )( x −

´ Resolver las siguientes inecuaciones polinomi-

r2 ) . . . ( x − r n ) < 0

cas 12x3 + 8x2 − 13x + 3 ≥ 0

R Sea p( x ) un polinomio con 2 ra´ıces complejas, digamos r1 = α + iβ y r2 = α − iβ

Solucion ´

y Factorizando el polinomio obtenemos que

p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) . . . ( x − rn )

p( x ) = 12( x − 1/3)( x − 1/2)( x + 3/2)

con r3 < . . . < rn y an > 0. Entonces \ p( x ) > 0

⇔

( x − r3 ) . . . ( x −

⇔

( x − r3 ) . . . ( x −

luego 12( x − 1/3)( x − 1/2)( x + 3/2) ≥ 0

rn ) > 0 \ p( x ) < 0

´ es: As´ı que el conjunto solucion

rn ) < 0

S = [−3/2, 1/3] ∪ [1/2, ∞)

Demostracion. ´ 99

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x4 − 7x3 + 19x2 − 27x + 18 ≤ 0

100

- Si el polinomio tiene ra´ıces reales distintas, se procede a factorizar, ubicar las ra´ıces del

Solucion ´

polinomio en la recta real y Los intervalos Factorizando el polinomio se tiene que

en los que se va a analizar el signo del po-

p( x ) = ( x − 2)( x − 3)( x2 − 2x + 3) lue-

linomio son los que se forman entre cada

go

una de las ra´ıces del mismo, siendo el primero el que est´a a la derecha de la ra´ız ma-

( x − 2)( x − 3)( x2 − 2x + 3) ≤ 0

yor y el ultimo el que esta a la izquierda de Como

x2

− 2x + 3 = ( x −

1)2

+ 2 > 0 se

la ra´ız menor.

tiene

As´ı, en el primer intervalo colocamos el

( x − 2)( x − 3) ≤ 0

signo + ya que cualquier elemento per-

´ es: Luego el conjunto solucion

teneciente a ese intervalo es mayor que todas las ra´ıces del polinomio, luego en

S = [2, 3]

los intervalos siguientes se coloca el signo

x5 − 9x4 + 37x3 − 53x2 − 24x + 76 < 0

− y as´ı sucesivamente se van alternando

Solucion ´

los signos + y − en los intervalos res´ sera la tantes.Luego el conjunto solucion

Factorizando el polinomio se tiene que

union de los intervalos con el signo de

p( x ) = ( x − 2)2 ( x + 1)( x2 − 6x + 19)

´ acuerdo a la inecuacion.

as´ı que

´ - En los otros casos, llevamos la inecuacion 2

2

´ con polinomio de ra´ıces a una Inecuacion

( x − 2) ( x + 1)( x − 6x + 19) < 0

reales distintas y procedemos de igual ma-

Ahora como ( x − 2)2 ≥ 0 entonces

nera. El hecho de ubicar las ra´ıces del poli-

2

( x + 1)( x − 6x + 19) < 0

nomio en una sola recta, hace f´acil su com´ y se convierte en un m´etodo de prension

Pero hay que tener presente que x = 2 es

´ r´apida aplicacion.

una ra´ız del polinomio y por lo tanto no ´ Por otra hace parte del conjunto solucion. parte

x2

− 6x + 19 = ( x −

3)2

´ de este m´etodo se enuncia. Para la construccion

+ 10 > 0

ron teoremas y proposiciones que se encuentran

as´ı que

demostradas aqu´ı y que sustentan el m´etodo. x+1 < 0

´ es: Luego el conjunto solucion Reconocimiento: Este art´ıculo es un produc-

S = (−∞, −1) 4.

to del Proyecto SEMILLERO DE INVESTIGA´ - GRUPO DE INVESTIGACION ´ SISTECION

Conclusion ´

´ MAS DINAMICOS Y EDOS Financiado por ColEn el presente art´ıculo se presento´ un m´eto-

ciencias y la Universidad del Atl´antico.

do alternativo para resolver Inecuaciones que es ´ y de f´acil comprension ´ que de r´apida aplicacion

Referencias

consiste en considerar la recta real para ubicar

[1] Rodr´ıguez Jorge, Arroyo Ang´elica, Salas Lesly, Villarreal ´ Alejandro. CALCULO I- NOTAS DE CLASE. Universidad del Atl´antico, Colombia. [2] http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci %C3 %B3n. [3] http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=9352.e

´ y prolas ra´ıces del polinomio de la inecuacion ceder de la siguiente manera: 100

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Para citar este art´ıculo: Jorge Rodr´ıguez Contreras et al . 2014, “M´etodo del Cero para resolver Inecuaciones”. Disponible en Revistas y Publicaciones de la Universidad del Atl´antico en http://investigaciones.uniatlantico.edu.co/revistas/index.php/MATUA.

101