1.

Cinem´ atica: Elementos del movimiento

1.

Una part´ıcula con velocidad cero, ¿puede tener aceleraci´ on distinta de cero? Y si su aceleraci´ on es cero, ¿puede cambiar el m´ odulo de la velocidad?

2.

La ecuaci´ on de un movimiento es ~r = (4t2 + 6t + 5) · ~i Indica si la aceleraci´ on es: a) Nula. b) Variable. c) 8~i d) 4~j

3.

En la figura se representa el movimiento de una part´ıcula. En el instante t1 dicha part´ıcula se encuentra en P1 , mientras que en t2 ya est´ a en P2 . ¿Cu´ ales de las siguientes expresiones representan la velocidad media? a) b) c)

d(P1 ,P2 t2 −t1 ~ r~2 −r1 t2 −t1 P1~P2 t2 −t1

dv ~t , dt u

4.

Si la trayectoria de un movimiento es una recta, la aceleraci´ on es ~a = vector unitario seg´ un la tangente a la trayectoria. ¿Por qu´e?

donde u~t es el

5.

El vector de posici´ on de un m´ ovil en funci´ on del tiempo t es ~r(t) = 5t~i + 2t2~j (m). Calcula: a) La velocidad media entre los instantes t1 = 0 y t2 = 3s. b) La velocidad instant´ anea en funci´ on de t. c) El m´ odulo de la velocidad instant´ anea. d) El vector unitario tangencial a la trayectoria.

6.

Un movimiento en el plano xy queda descrito por las siguientes ecuaciones param´etricas: x = t2 + 2 y = t2 − 1 Determina: a) la ecuaci´ on de la trayectoria; b) la velocidad instant´ anea; c) la aceleraci´ on del m´ ovil.

6

7.

La posici´ on de una part´ıcula en el plano viene dada por la ecuaci´ on vectorial: ~r(t) = (t2 − 4)~i + (t + 2)~j En unidades del S.I. calcula: a) La posici´ on del m´ ovil para t = 2s y t = 4s. b) La velocidad instant´ anea para t = 1s. c) La aceleraci´ on instant´ anea e indica qu´e tipo de movimiento es.

8.

La velocidad de un m´ ovil que circula en l´ınea recta es ~v (t) = (t2 − 3)~i (m/s). Determina: a) El vector aceleraci´ on instant´ anea en t = 1s y su m´ odulo. b) Las componentes intr´ınsecas de la aceleraci´ on.

9.

El vector de posici´ on de una part´ıcula m´ ovil es ~r = (3t2 + 1)~i + (4t2 + 2)~j en donde ~r se mide en metros y t en segundos. Calcula: a) La velocidad media en el intervalo 2 y 4s. b) La velocidad en cualquier instante. c) La velocidad para t = 0. d) La aceleraci´ on en cualquier instante. e) La aceleraci´ on tangencial en cualquier instante. f) La aceleraci´ on normal en cualquier instante. g) Ecuaci´ on de la trayectoria y tipo de movimiento.

10.

El vector de posici´ on de una part´ıcula viene dado por ~r = R sen ωt~i + R cos ωt~j donde R est´ a en metros y t en segundos; ω es la velocidad angular de la part´ıcula. Calcula: a) el vector velocidad de la part´ıcula, en cualquier instante y su m´ odulo; b) la aceleraci´ on en cualquier instante y su m´ odulo; c) las componentes instr´ınsecas de la aceleraci´ on; d) ¿Qu´e trayectoria describe esta part´ıcula?

11.

Un asteroide entra en el campo gravitatorio terrestre con una velocidad cuyo m´ odulo cambia con el tiempo seg´ un la ley v(t) = 3 + 7t, en unidades S.I. a) Calcula su aceleraci´ on tangencial. b) Si la curva que describe tiene un radio de curvatura de 275 m., halla la aceleraci´ on normal del asteroide y el m´ odulo de su aceleraci´ on instant´ anea en t= 3s.

7

1. 1.1.

Cinem´ atica: Elementos del movimiento Soluci´ on:

a) En el primer caso la respuesta correcta es afirmativa, ya que puede tratarse de un ´ movimiento acelerado, pero en el que cambia el sentido del movimiento. Este ser´ıa el caso de un cuerpo que se lanza verticalmente y hacia arriba, en el punto m´as alto de su trayectoria su velocidad es nula, pero tiene aceleraci´on (a = -g). b) Sin embargo, en este caso, la respuesta es negativa, porque si la aceleraci´on es cero, no existen cambios con respecto al tiempo en el m´odulo y en la direcci´on de la velocidad. 1.2.

Soluci´ on:

Para poder responder debemos calcular la expresi´on del vector aceleraci´on, y s´olo podremos hacerlo derivando dos veces el vector de posici´on, ya que la velocidad es la derivada del vector de posici´on, y la aceleraci´on, la derivada del vector velocidad, en ambos casos respecto al tiempo. d2~r d~v = 2 ~a = dt dt d~r = (8t + 6)~i ~v = dt d~v d2~r ~a = = 2 = 8~i dt dt Por lo tanto, la respuesta correcta es la c). 1.3.

Soluci´ on:

La velocidad media es un vector que tiene la misma direcci´on que el desplazamiento, su m´odulo nos da idea de la rapidez con que se ha producido el cambio de posici´on. Se calcula como el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo en el que se produce ese cambio de posici´on ∆~r r~2 − r~1 v~M = = ∆t t2 − t1 por lo tanto ser´a correcta la respuesta b). Pero tambi´en es correcta la respuesta c), ya que P1~P2 no es m´as que el vector desplazamiento v~M = 1.4.

P1~P2 t2 − t1

Soluci´ on:

En un movimiento rectil´ıneo, el vector velocidad no cambia de direcci´on por ello la componente del vector aceleraci´on que nos indica esos cambios (la componente normal) no existe, es nula. Vamos a demostrarlo: ~v = v u~t −→ ~a =

20

d d~v = (v u~t dt dt

Si derivamos ese producto nos queda ~a =

du~t dv u~t + v dt dt

y ddtu~t = 0, ya que ser´ıa la derivada de una constante al mantener el vector unitario continuamente la misma direcci´on. Por ello ~a = dv u~ . dt t 1.5.

Soluci´ on:

a) La velocidad media se define como el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo en que ´este sucede. Por lo tanto, tendr´a siempre la direcci´on del desplazamiento ∆~r V~M = ∆t y su m´odulo nos indica la rapidez con que se ha producido el cambio de posici´on. ∆~r = r~2 − r~1 r~2 (t = 3s) = 5 · 3~i + 2 · 32~j = 15~i + 18~j (m) r~1 (t = 0s) = 5 · 0~i + 2 · 0~j = 0

15~i + 18~j − (0~i + 0~j) V~M = = 5~i + 6~j (m/s2 ) 3−0 b) La velocidad instant´anea se define como el l´ımite de la velocidad media cuando ∆t tiende a cero, es decir, es la derivada del vector posici´on con respecto al tiempo: ∆~r d~r = ∆t→0 ∆t dt

~v = l´ım

~v = 5~i + 4t~j (m/s) c) El m´odulo de la velocidad se calcula como el de cualquier vector, la ra´ız cuadrada de la suma de los cuadrados de cada una de las componentes q p √ v = vx2 + vy2 = 52 + (4t)2 = 25 + 16t2 (m/s) d) Como el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria y recordando c´omo se calcula el vector unitario (o lo que es lo mismo, c´omo se normaliza un vector) u~t = u~t = √

~v 5~i + 6~j =√ v 25 + 16t2

5 ~i + √ 6 ~j 25 + 16t2 25 + 16t2

21

1.6.

Soluci´ on:

a) La ecuaci´on de la trayectoria es una relaci´on entre las coordenadas del m´ovil en la que ya no figura el tiempo. Es decir, de las ecuaciones param´etricas eliminamos el tiempo y buscamos y = y(x), (y en funci´on de x). x = t2 + 2 y = t2 − 1 =⇒ t2 = y + 1 =⇒ x = (y + 1) + 2 x = y + 3 =⇒ y = x − 3

De esta ecuaci´on podemos deducir que la trayectoria es rectil´ınea. b) La velocidad instant´anea es la derivada del vector de posici´on respecto al tiempo ~v =

d~r dt

y el vector de posici´on en este caso es ~r = x~i + y~j = (t2 + 2)~i + (t2 − 1)~j ~v = 2t~i + 2t~j

(m/s)

c) La aceleraci´on nos informa de los cambios que seq producen en el vector velocidad a lo largo del tiempo y se obtiene como el l´ımite de la aceleraci´on media cuando ∆t tiende a cero, es decir, la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo: d~v ∆~v = ∆t→0 ∆t dt

~a = l´ım

~a = 2~i + 2~j

(m/s2 )

De los apartados a) y c) podemos deducir que el movimiento es rectil´ıneo y uniformemente acelerado, ya que la aceleraci´on es constante, no var´ıa con el tiempo. 1.7.

Soluci´ on:

a) De la ecuaci´on vectorial hallamos la posici´on en el instante requerido con tal de sustituir t por el valos que nos indican. ~r(t = 2s) = (22 − 4)~i + (2 + 2)~j =⇒ ~r(t = 2s) = 4~j(m) ~r(t = 4s) = (42 − 4)~i + (4 + 2)~j =⇒ ~r(t = 4s) = 12~i + 8~j(m) b) La velocidad instant´anea se halla derivando el vector de posici´on con respecto al tiempo, ya que la velocidad no es m´as que la variaci´on de la posici´on a lo largo del tiempo d~r ~v = = 2t~i + ~j(m/s) dt y ahora bastar´a con sustituir por el instante indicado ~v (t = 1s) = 2~i + ~j(m/s) 22

c) La aceleraci´on se halla derivando el vector velocidad a lo largo del tiempo (o bien derivando dos veces el vector posici´on con respecto al tiempo) d~v = 2~i(m/s2 ) dt y para calcularla en el instante requerido ser´ıa necesario, como siempre, sustituir por el valor indicado, aunque en este caso, al no depender del tiempo, ser´a constante, ser´a por tanto un movimiento uniformemente acelerado. ~a =

1.8.

Soluci´ on:

a) Para calcular el vector aceleraci´on debemos derivar el vector velocidad respecto del tiempo, y despu´es en la expresi´on que hallamos, sustituir el tiempo por el valor que nos facilitan. La aceleraci´on se define como la variaci´on del vector velocidad a lo largo del tiempo, por ello, siempre que exista una variaci´on de la velocidad, ya sea en m´odulo o en direcci´on, existe una aceleraci´on. ~a =

d~v =⇒ ~a(t) = 2t~i (m/s2 ) dt ~a(t = 1s) = 2~i (m/s2 )

Para conocer su m´odulo, basta con observar la expresi´on a = 2t m/s2 2 m/s2

a(t = 1s) =

b) El vector velocidad podemos reescribirlo en funci´on del vector unitario ~v = v u~t y si hallamos ahora el vector aceleraci´on (aplicamos la derivada de un producto) d~v d dv du~t = (v u~t ) = u~t + v dt dt dt dt y as´ı hemos obtenido las componentes intr´ınsecas del vector aceleraci´on: ~a =

a~t = dv u~ : llamada componente tangencial de la aceleraci´on, cuya direcci´on es dt t tangente a la trayectoria (como indica el vector unitario). El m´odulo de esta , y por lo tanto nos informa de los cambios, de componente de la aceleraci´on es dv dt la variaci´on del m´odulo de la velocidad. 2 a~N = v ddtu~t = vR u~N : llamada componente normal de la aceleraci´on, ya que su direcci´on es perpendicular (normal) a la tangente en ese punto a la trayectoria. El m´odulo de esta componente nos indica la variaci´on en la direcci´on de la velocidad. En nuestro caso particular a~N = 0, ya que la trayectoria es una recta, no hay cambios en la direcci´on del vector velocidad. Para calcular la componente tangencial debemos conocer primero el m´odulo de la velocidad, que en nuestro caso es muy sencilla: v = t2 − 3 dv = 2t at = dt que evidentemente coincide con el m´odulo de la aceleraci´on instant´anea. 23

1.9.

Soluci´ on:

a) La velocidad media nos proporciona informaci´on a prop´osito de la rapidez con que se produce un cambio de posici´on. Se calcula v~M =

r~2 − r~1 ∆~r = ∆t ∆t

y tendr´a, por lo tanto, siempre la direcci´on del vector desplazamiento. r~1 (t = 2s) = (3 · 22 + 1)~i + (4 · 22 + 2)~j = 13~i + 18~j r~2 (t = 4s) = (3 · 42 + 1)~i + (4 · 42 + 2)~j = 49~i + 66~j v~M =

49~i + 66~j − (13~i + 18~j) = 18~i + 24~j(m/s) 4−2

b) La velocidad instant´anea nos da una medida de la rapidez con que se produce el movimiento en cada momento, en cada instante. Se calcula hallando la derivada del vector de posici´on con respecto al tiempo. ~v =

d~r = 6t~i + 8t~j (m/s) dt

c) S´olo debemos sustituir t por el valor indicado, ~v (t = 0) = 0m/s, por lo tanto parte del reposo. d) La aceleraci´on instant´anea es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo y nos permite conocer la rapidez con que se producen los cambios en la velocidad, ya sea en el m´oduloo en la direcci´on de este vector. ~a =

d~v = 6~i + 8~j (m/s2 ) dt

e) La aceleraci´on tangencial nos proporciona el cambio en el m´odulo de la velocidad y posee siempre la misma direcci´on que la velocidad. at =

dv dt

Debemos conocer el valor del m´odulo de la velocidad para poder hallar as´ı at . √ p √ p v = vx 2 + vy 2 = (6t)2 + (8t)2 = 36t2 + 64t2 = 100t2 v = 10t y ahora ya podemos derivar at =

d (10t) = 10m/s2 dt

f) La aceleraci´on normal es un vector cuyo m´odulo es igual a cociente entre el cuadrado de la velocidad instant´anea y el radio de curvatura, su direcci´on es normal a la trayectoria y sentido hacia el centro de curvatura. Esta componente nos informa de los cambios en la direcci´on de la velocidad. v2 aN = R 24

pero en este caso no conocemos el radio de curvatura. No obstante, sabemos que ~a = a~t + a~N a2 = at 2 + aN 2 =⇒ aN 2 = a2 − at 2 p aN = a2 − at 2

y de apartados anteriores deducimos que √ √ √ a = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10m/s2 at = 10m/s2 p aN = (10)2 − (10)2 = 0

como podemos observar, al ser aN = 0, la trayectoria ha de ser rectil´ınea. g) En este apartado vamos a comprobar esta afirmaci´on, tratando de encontrar esta relaci´on y = y(x) es decir, eliminando el tiempo entre las 2 ecuaciones param´etricas: x = 3t2 + 1 x−1 3 y = 4( x−1 ) + 2 = 43 x + 32 , que es la ecuaci´on de una recta, y ya que a = 10m/s2 = cte 3 podemos concluir que se trata de un movimiento rectil´ıneo y uniformemente acelerado. y = 4t2 + 2 =⇒ t2 =

1.10.

Soluci´ on:

a) La velocidad ser´a la derivada del vector de posici´on respecto al tiempo, ya que nos indicar´a c´omo cambia la posici´on del m´ovil a lo largo del tiempo: ~v =

d ~r = (Rsenωt~i + Rcosωt~j) dt dt

d (Rsenωt)~i + (Rcosωt)~j dt Para poder realizar la operaci´on hay que recordar c´omo se deriva un producto y c´omo se derivan las funciones trigonom´etricas ~v =

~v = Rω cosωt~i + Rω(−senωt)~j ~v = Rω cosωt~i − Rω senωt)~j

(m/s)

y el m´odulo del vector velocidad ser´a la ra´ız cuadrada de la suma de los cuadrados de cada una de las componentes √ v = R2 ω 2 cos2 ωt + R2 ω 2 sen2 ωt √ p v = R2 ω 2 (cos2 ωt + sen2 ωt) = R2 ω 2 v = Rω 25

(m/s)

b) Para calcular el vector aceleraci´on volvemos a derivar el vector velocidad con respecto al tiempo, pues estudia los cambios que el vector velocidad sufre a lo largo del tiempo ~a =

d d d~v = (Rω cosωt)~i − (Rω senωt)~j dt dt dt 2 ~a = Rω (−senωt)~i − Rω 2 cosωt~j

~a = −Rω 2 senωt~i − Rω 2 cosωt~j

(m/s2 )

y el m´odulo de la aceleraci´on

√ a = R2 ω 4 sen2 ωt + R2 ω 4 cos2 ωt √ p a = R2 ω 4 (sen2 ωt + cos2 ωt) = R2 ω 4 a = Rω 2 m/s2

c) La trayectoria que describe la part´ıcula la estudiamos eliminando el tiempo en las ecuaciones param´etricas, para as´ı obtener una expresi´on que relaciona una coordenada con las otras (y = y(x)). x = Rsenωt y = Rcosωt Para poder hacerlo, elevamos al cuadrado las dos ecuaciones y luego sumamos miembro a miembro. x = Rsenωt y = Rcosωt =⇒ x2 + y 2 = R2 sen2 ωt + R2 cos2 ωt x2 + y 2 = R2 (sen2 ωt + cos2 ωt) =⇒ x2 + y 2 = R2 La ecuaci´on que hemos obtenido es la ecuaci´on de una circunferencia, por lo tanto, ´esta ser´a su trayectoria. 1.11.

Soluci´ on:

a) La expresi´on dada en el enunciado se refiere al m´odulo de la velocidad. Como la aceleraci´on tangencial nos informa de los cambios del m´odulo de la velocidad y su valor se calcula derivando precisamente el m´odulo de esa magnitud, s´olo tenemos que hacer d dv = (3 + 7t) = 7m/s2 at = dt dv a~t = 7u~t (m/s2 ) b) La aceleraci´on normal nos indica los cambios en la direcci´on del vector velocidad y ya que la trayectoria es curva, como nos indica en enunciado, no ha de ser nula. El m´odulo de esta componente de la aceleraci´on se calcula (3 + 7t)2 v2 = aN = R R como se puede observar, la componente normal de la aceleraci´on ser´a variable, y depende del instante que consideremos (3 + 7 · 3)2 ≈ 2,1m/s2 =⇒ a~N = 2,1u~N (m/s2 ) 275 Esta componente de la aceleraci´on tiene siempre como direcci´on la normal a la trayectoria y sentido hacia el interior de la curvatura. aN (t = 3s) =

26

~a = a~t +a~N : ´esta se´ıa la relaci´on entre las componentes intr´ınsecas de la aceleraci´on y la propia aceleraci´on instant´anea. Para llegar a conocer el valor de la aceleraci´on instant´anea recordamos que el m´odulo ser´a siempre la ra´ız cuadrada de la suma de los cuadrados de cada una de estas componentes p a = at 2 + aN 2 = 7,3m/s2

27