1. Conocimientos previos.

1

Funciones exponenciales y logar´ıtmicas. 1.

Conocimientos previos.

Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos b´asicos: Intervalos y sus definiciones b´asicas. Funciones. Funciones polin´omicas de primer y segundo grado. Propiedades de las potencias. Ser´ıa conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.

2.

Funciones exponenciales.

Definici´on: A las funciones de la forma f (x) = ax , siendo a un n´umero real, se las denomina funciones exponenciales. As´ı, por ejemplo, la representaci´on gr´afica de la funci´o n f (x) = 2x se puede apreciar en la figura 1.

4

3

2

1 -2

-1

0

1

2

-1 Figura 1: Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = 2x .

Esta funci´on, f (x) = ax , tienen las siguientes propiedades: 1. Su dominio es toda la recta real. Dom f (x) = (−∞, ∞). 2. Si la base es positiva, a > 0 la imagen de la funci´on es Im f (x) = (0, ∞). 3. Para x = 0, se tiene que f (0) = 1. 4. Si a > 0 se tiene que, cuando x → ∞ entonces f (x) → ∞. 5. Si a > 0 se tiene que, cuando x → −∞ entonces f (x) → 0. 6. Si 0 < a < 1 se tiene que, cuando x → ∞ entonces f (x) → 0.

3. Aplicaciones de la funci´on exponencial.

2

7. Si 0 < a < 1 se tiene que, cuando x → −∞ entonces f (x) → ∞. La figura 2 muestra un ejemplo de funci´on con 0 < a < 1, la funci´on f (x) =

 x 1 2

.

4

3

2

1 -2

-1

0

1

2

-1 Figura 2: Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) =

 x 1 2

.

´ exponencial. Aplicaciones de la funcion

3. 3.1.

´ Crecimiento de una poblacion.

Determinadas poblaciones siguen un crecimiento exponencial de la forma: f (t) = A · ek·t donde e = 2,718281.... ‘A’, es la poblaci´on inicial, para t = 0 y k es la tasa de crecimiento.

Ejercicios: 1. Existe un virus que tiene una tasa de crecimiento de 2. Si al principio s´olo hay un infectado. Calcular el n´umero de infectados despu´es de 2, 4 y 8 d´ıas. Sol.: 54,59, 2980,95 y 8886110,52 2. En el ejercicio anterior, ¿cu´antas personas son infectadas en un d´ıa por el virus?Sol.: 7,38

3.2.

´ compuesto. Interes

Cuando se maneja el inter´es compuesto, el capital generado se vuelve a invertir en el capital inicial. Si se invierte un capital inicial C, a un inter´es anual, r (en tanto por uno), abonado en n per´ıodos anuales durante t a˜nos, entonces, el capital acumulado a su vencimiento, A, viene dado por la f´ormula: 

r A=C 1+ n

nt

Ejercicios: Se dispone de un capital de 10000 euros. Se invierte dicho capital a inter´es compuesto del 3 % durante 3 a˜nos. Cada mes se van recibiendo los beneficios. ¿Cu´al ser´a el capital al vencimiento? Sol.: 10940,51

3.3 Inter´es compuesto continuo.

3.3.

3

´ compuesto continuo. Interes

Cuando n crece indefinidamente (n → ∞), es decir, los intereses se acumulan en cada instante y los per´ıodos se hacen cada vez m´as peque˜nos, entonces nr se hace cada vez m´as peque˜no ( nr → 0) y el capital acumulado se halla mediante la expresi´on: A = C · ert Ejercicios: Se dispone de un capital de 10000 euros. Se invierte dicho capital a inter´es compuesto del 3 % durante 3 a˜nos. En cada instante se van recibiendo los beneficios. ¿Cu´al ser´a el capital al vencimiento? Sol.: 10941,74

4.

Logaritmo de un numero. ´

El logaritmo de un n´umero en base a se define como el n´umero al que hay que elevar a para obtener el n´umero. ay = x ⇒ loga x = y Por ejemplo: 22 = 4 ⇒ log2 4 = 2 Dos elevado a dos es 4, por lo tanto, el n´umero al que hay que elevar a 2 para obtener 4 es 2 (log2 4 = 2). 23 = 8 ⇒ log2 8 = 3 Dos elevado a 3 es 8, por lo tanto, el n´umero al que hay que elevar a 2 para obtener 8 es 3 (log2 8 = 3). 24 = 16 ⇒ log2 16 = 4 32 = 9 ⇒ log3 9 = 2

33 = 27 ⇒ log3 27 = 3

104 = 10000 ⇒ log10 10000 = 4 El logaritmo es, por tanto, la operaci´on inversa a la potencia, igual que la divisi´on es la operaci´on inversa del producto. Ejercicios: Calcular los siguientes logaritmos: 1. log2 2 2. log2 32 3. log3 81 4. log9 81 5. log4 16 6. log10 1000 7. log10 10000000 8. log10 1 9. log2 1 10. log3 1

´ 4. Logaritmo de un numero.

4

4 3 2 1 -2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 Figura 3: Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = log2 x.

4 3 2 1 -2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 Figura 4: Representaci´on gr´afica de la funci´on f (x) = log 1 x. 2

4.1 Propiedades de los logaritmos.

5

Sol.: 1, 5, 4, 2, 2, 3, 7, 0, 0, 0

La representaci´on gr´afica de un logaritmo, f (x) = log2 x, se puede ver en la figura 3. En la figura 4 se puede ver tambi´en la representaci´on de la funci´on f (x) = log 1 x. 2 Las propiedades de la funci´on logaritmo ser´an las siguientes: 1. El dominio de la funci´on logaritmo est´a dado por Dom f (x) = (0, ∞). Es decir, s´olo est´a definida para valores positivos. 2. La imagen de la funci´on logaritmo est´a dada por Im f (x) = (−∞, ∞). 3. Si la base del logaritmo es mayor que 1, la funci´on es creciente. 4. Si la base del logaritmo est´a entre 0 y 1, la funci´on es decreciente. Definici´on: Los logaritmos en base 10 reciben el nombre de logaritmos decimales. Se suelen representar poniendo el logaritmo sin la base: log x = log10 x

Definici´on: Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos neperianos. Se suelen representar poniendo el s´ımbolo ln: ln x = loge x

4.1.

Propiedades de los logaritmos.

Los logaritmos tienen la propiedad de convertir las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las potencias en multiplicaciones y la ra´ıces en divisiones. Propiedad: loga (x · y) = loga x + loga y Por ejemplo: log2 (4 · 16) = log2 4 + log2 16 = 2 + 4 = 6 Propiedad: loga

Por ejemplo: log2



4 16



 

x y

= loga x − loga y

= log2 4 − log2 16 = 2 − 4 = −2

Propiedad: loga (xy ) = y loga x Por ejemplo: log2 42 = 2 log2 4 = 2 · 2 = 4

5. Ecuaciones logar´ıtmicas.

6

Propiedad:

√ 1 loga ( y x) = loga x y

Por ejemplo: log2

√ 3

4=

2 1 log2 4 = 3 3

Propiedad: loga x =

logb x logb a

Esta propiedad es muy interesante para poder calcular el logaritmo en una base, partiendo de otra base distinta. Por ejemplo, se sabe que el log3 9 = 2 y log3 27 = 3 el log9 27 ser´ıa: log9 27 =

log3 27 3 = log3 9 2

A veces aparecen expresiones en las que habr´a que usar varias de las propiedades: 1 x · y2 = log x + 2 log y − log z log √ 3 z 3

Ejercicios: Desarrollar los siguientes logaritmos usando sus propiedades: 1. log2 (2 · 32) 2. log3

81 3

3. log x2 · y 3 4. log

x2 ·y 3 x3 y 3

5. log

1 10

6. log

x3 ·y 4 x2 y 2

7. y log

√ y x

Sol.: 6, 3, 2 log x + 3 log y, − log x, −1, log x + 2 log y, log x

5.

Ecuaciones logar´ıtmicas.

Una ecuaci´on logar´ıtmica es aquella en la que aparecen logaritmos conteniendo inc´ognitas. Por ejemplo: log(x + 2) + log 2 = − log 3 + log 3x Cuidado, por que: x + log 2 = log 3 No es una ecuaci´on logar´ıtmica, ya que, los logaritmos no contienen inc´ognitas.

5. Ecuaciones logar´ıtmicas.

7

Para resolver estas ecuaciones habr´a que aplicar las propiedades de los logaritmos en sentido inverso para, al final, obtener una igualdad entre dos logaritmos. Por ejemplo, se desea resolver: log(x + 2) + log 2 = − log 3 + log 3x Se aplican las propiedades de los logaritmos en sentido inverso, por ejemplo: loga (x · y) = loga x + loga y ⇒ loga x + loga y = loga (x · y) loga

 

x y

= loga x − loga y ⇒ loga x − loga y = loga

 

x y

Aplicado a este caso: log(x + 2) + log 2 = − log 3 + log 3x ⇒ |

{z

log[(x+2)·2]

}

|

{z

) log( 3x 3

}

3x ) 3 Cuando se obtiene la igualdad entre logaritmos hay que igualar los argumentos de los logaritmos y resolver la ecuaci´on resultante. ⇒ log[(x + 2) · 2] = log(

Si log[(x + 2) · 2] = log( 3x a cumplir que: 3 ) evidentemente se deber´ (x + 2) · 2 =

3x 3

Resolviendo: 2x + 4 = x ⇒ x = 4 Todas las soluciones se deben comprobar siempre, ya que, el logaritmo de un n´umero negativo no existe. Otro ejemplo, se va a resolver la siguiente ecuaci´on: log(2x − 2) + log 2 = 2 log x En este caso habr´a que recordar la siguiente propiedad de los logaritmos: loga (xy ) = y loga x ⇒ y loga x = loga (xy ) Aplicando las propiedades de los logaritmos en sentido inverso a la ecuaci´on que se desea resolver: log(2x − 2) + log 2 = 2 log x ⇒ log[(2x − 2) · 2] = log x2 | {z } | {z } log[(2x−2)·2]

Como log[(2x − 2) · 2] = log x2 evidentemente:

log x2

(2x − 2) · 2 = x2

Resolviendo: (2x − 2) · 2 = x2 ⇒ 4x − 4 = x2 ⇒ 0 = x2 − 4x + 4 ⇒ x = 2

Otra situaci´on, que se suele dar, es que los logaritmos se encuentren en bases distintas. Todos los logaritmos deben estar en la misma base para poder ser operados. Para evitar este inconveniente habr´a que usar la siguiente propiedad: loga x =

logb x logb a

Por ejemplo: log2 (x − 1) + log 3 =

log 3x log 2

6. Ecuaciones exponenciales.

8

En este caso el log2 (x − 1) es el u´ nico que tiene una base diferente. Aplicando las propiedades de los logaritmos: log2 (x − 1) + log 3 = {z

|

⇒ ⇒

log(x−1) log 2

}

log 3x ⇒ log 2

log(x − 1) log 3x log(x − 1) log 3x + log 3 = ⇒ = − log 3 ⇒ log 2 log 2 log 2 log 2

log(x − 1) log 3x = − log 3 ⇒ log(x − 1) = log 3x − log 2 · log 3 ⇒ log 2 log 2

⇒ log(x − 1) = log 3x − log 3log 2 ⇒ log(x − 1) = log ⇒ x=

3x 3x ⇒ x − 1 = log 2 ⇒ log 2 3 3

1 1 − 31−log 2

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones logar´ıtmicas: 1. log(x − 1) − log 2 = log(x + 1) Sol.: x = −3, al comprobarla no funciona ⇒ no tiene soluci´on. 299 , al comprobarla no funciona ⇒ no tiene soluci´on. 2. log(2x + 1) − log(3x + 1) = 2 Pista 2 = log 100 Sol.: x = − 298

3. log(5x − 1) − log 3 = log x Sol.: x = 4. log2 (5x) = log3 2 Sol.: x =

6.

1 2

2log3 2 5

Ecuaciones exponenciales.

Empecemos recordando las propiedades de las potencias: am · an = an+m ⇒ an+m = am · an am am m−n m−n = a ⇒ a = an an m n m·n m·n (a ) = a ⇒ a = (am )n

Una ecuaci´on exponencial ser´a aquella donde la inc´ognita aparece en el exponente de alguna potencia. Por ejemplo: 2x · 4x+1 =

3x 31−x

Para resolver una ecuaci´on exponencial se seguir´an los siguientes pasos: ❶ Se aplican las propiedades de las potencias hasta conseguir una igualdad entre dos potencias. Se va a resolver la ecuaci´on: 2x · 4x+1 =

3x 31−x

Aplicando las propiedades de las potencias: 3x ⇒ 2x · 4| x+1 = {z } 31−x | {z } 2 x+1 (2 ) 3x−(1−x)

⇒ 2x · (22 )x+1 = 3x−(1−x) ⇒

⇒ 2x · 22x+2 = 32x−1 ⇒ 2x+2x+2 = 32x−1 ⇒ 23x+2 = 32x−1

6. Ecuaciones exponenciales.

9

❷ Una vez que ya se ha conseguido la igualdad entre las potencias, se toman logaritmos en ambos lados de la igualdad y se resuelve la ecuaci´on resultante. 23x+2 = 32x−1 ⇒ log 23x+2 = log 32x−1 Ahora se aplican las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuaci´on: log 23x+2 = log 32x−1 ⇒ (3x + 2) log 2 = (2x + 1) log 3 ⇒ x =

log 3 − 2 log 2 3 log 2 − 2 log 3

Ejercicios: 1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 22x−1 = 5x−1 Sol.: x =

log 2−log 5 2 log 2−log 5

b) 22x+1 = 5x+2 Sol.: x =

2 log 5−log 2 2 log 2−log 5

c) 4 · 22x−1 = 25 · 5x Sol.: x =

2 log 5−log 2 2 log 2−log 5

2. Despu´es de 3 d´ıas, un virus ha infectado a 12000 personas. Si inicialmente estaba infectadas 10 personas y suponiendo un crecimiento exponencial, ¿cu´al es la tasa de crecimiento? Sol: 2,36 3. Se invierten 1000 euros a un inter´es compuesto del 1 %, cuyos intereses se abonan anualmente. ¿Cu´antos a˜nos 2 hay que esperar para que dicha cantidad se duplique? Sol: t = loglog1,01 = 69,66 a˜nos