UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE ODONTOLOGÌA CURSO DE FISICA MATEMÀTICA AREA BÀSICA. AÑO 2014 Documento de apoyo a la docencia No. 2 Realizado por : Dr. Edwin Lòpez Dìaz

1. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 1.1. FUNCIONES EXPONENCIALES Entre las funciones que existen, la funciòn que està formada por una constante ( un nùmero o letra que no cambia ) elevado a un exponente variable ( potencia) tal como f (x) = 3 x , se conocen como funciones exponenciales.

f es una función exponencial si f(x) = ax, En donde x, es cualquier número real y a  1 y a>0

Al trabajar con funciones exponenciales, puede ser necesario aplicar las leyes de los exponentes que se observaron en los temas anteriores. Si el valor de a es mayor que uno, (a > 1), entonces la función exponencial toma una forma creciente y se dice que asciende de izquierda a derecha. (Ver gráfica No.1) , en cambio, si el valor de a está entre 0 y 1 ( 0 < a < 1), entonces la función toma forma decreciente, por lo tanto desciende de izquierda a derecha. (Ver Gráfica No. 2). En ambos casos el dominio de la función son los números reales y su contradominio es el conjunto de los números reales positivos.

y = ax , a > 1

y = ax , 0 < a < 1

y

y

x

x

Crecimiento exponencial

Decrecimiento exponencial

Gráfica No. 1

Gráfica No. 2

Observe que en las gràficas anteriores, la lìnea de la funciòn exponencial tanto al ir creciendo o decreciendo, la gráfica se aproxima al eje x sin llegar a cortarlo, ya que ax > 0 para todo x. Esto significa que el eje x es una asíntota horizontal para la gráfica. En la gràfica 1, al ir creciendo x va tomando valores positivos y la gráfica crece rápidamente. En efecto, dado f(x) = 2x, si se comienza con x = 0 y se considera cambios sucesivos unitarios de x, entonces los correspondientes valores de y son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 y así sucesivamente. Este tipo de variación es muy común en la naturaleza y es característico del crecimiento exponencial. En este caso, f es conocida como función de crecimiento, pero pueden haber casos en que existe un decrecimiento exponencial como en la gràfica 2.: EJEMPLO 1: Uno de los más comunes es el crecimiento bacteriano. Es posible que se observe experimentalmente que el número de bacterias en un cultivo se duplica cada hora, pero existen fórmulas para predecir en cualquier instante de tiempo. 1

Al observar el siguiente modelo: F(t) = (100) 3 t, se requiere que elabore una gráfica de crecimiento para un tiempo de 4 horas. Y conteste las siguientes preguntas: ¿Cuántas bacterias hay al inicio? ¿ Cuantas bacterias habrà a las 4 horas? Para esto utilizar el siguiente procedimiento: a.

Identificar la función: F(t) = (100) 3t , de donde, entonces y = (100) 3t

b.

Asignar valores a x entre 0 a 4 horas, y realizar una tabla de valores. tiempo x Total de bacterias y

c.

0 100

1 300

2 900

3 2700

4 8100

Al representar los puntos obtenidos en la tabla de valores, en un plano cartesiano y unirlos por una línea, se obtiene la gráfica requerida. Total de bacterias 8550 8100 7650 7200 6750 6300 5850 5400 4950 4500 4050 3600 3150 2700 2250 1800 1350 900 450

5

1

2

3

4

5

Tiempo en horas bacterias

Como puede observarse, la grafica asciende de izquierda a derecha ya que la constante es mayor que 1. 2

Algunas propiedades de las funciones exponenciales f ( x )= ax 1. El dominio de una funciòn exponencial es el conjunto de todos los numeros reales. El rango es el conjunto de todos los nùmeros reales positivos. 2. La gràfica de f (x ) = ax tiene intercepción con el eje y en el punto ( 0, 1). 3. si a > 1, la grafica asciende de izquierda a derecha. 4. Si 0 < a < 1 ( quiere decir si el valor de a esta entre cero y uno) , la gràfica desciende de izquierda a derecha. 5. si a > 1 , la gràfica se aproxima al eje x conforme toma valores negativos cada vez màs grandes en valor absoluto. 6. Si 0 < a < 1 , la gràfica se aproxima al eje x conforme x toma valores positivos cada vez màs grandes. Usted observarà como en el caso siguiente, se utilizarà la funciòn exponencial de base e. Esta se conoce como funciòn exponencial natural y se denota como el nùmero irracional e = 2.71828… Aunque la base e puede parecer una base extraña, surge de manera natural en el càlculo matemàtico. Pero aquì no se entrarà en detalles ya que solo se utilizarà para realizar ejercicios aplicados. Si deseara profundizar en el tema, puede buscar otras bibliografías donde se detallan como se encuentra la base e. Normalmente la base e surge en el análisis econòmico y en problemas que implican crecimiento o decaimiento natural, tales como estudios poblacionales proyectados, interès compuesto y decaimiento radiactivo. EJEMPLO 2:La población proyectada P de una ciudad està dada por P= 10,000 e0.5 t donde t es el nùmero de años después de el año 2000. Pronosticar la población para el año 2012. En este ejercicio se sugiere iniciar el procedimiento si se utiliza una calculadora, ingresando la operación de las potencias, luego elevar el e x y por ùltimo multiplicarlo por la constante. Para encontrar el numero t. que es el tiempo si se sabe que se necesita el pronostico hata el año 2012, y se calcula a partir del 2000, debe realizarse una resta para saber el numero de años. Y este serà su t. 2012 – 2000 = 12 años. Entonces t = 12. Sustituyendo en la fòrmula, quedarìa de la siguiente manera: P= 10,000 e ( 0.5) ( 12) P= 4, 034, 207. 934 , pero como no hay decimales en población se aproxima al siguiente nùmero entonces la respuesta serìa 41 034, 208 habitantes ò podrìa describirse de la siguiente forma, P = 41 034, 208 habitantes

Tambièn pueden utilizarse en las funciones exponenciales porcentajes, algunos autores le dan el nombre de interès compuesto, pero para fines pràcticos no se entrarà en detalles sobre el tema, ya que lo importante en este caso es como se deben de operar ,para esto se realiza el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3. Aplicado al crecimiento tambièn de una población, por ejemplo supongase que la población P de una ciudad de 5,000 habitantes crece a razòn del 2% por año. Encontrar cuantos habitantes habràn en 2 años. En donde P es una funciòn del tiempo y t està dado en años. Entonces, lo primero serà encontrar la fòrmula general para este ejercicio. La relaciòn en este sistema serìa entonces P= P (t ) Donde P està en funciòn del tiempo. Puede observar que la letra P aparece en los dos lados , en el lado derecho, P refrensa la funciòn y en el lado izquierdo P representa la variable dependiente. ( recuerde la fòrmula general y = F ( x) ) Entonces la ecuación general se conformarìa de la siguiente forma: P ( t) = 5,000 ( 1 + 0.02) t 3

El 0.02 se encuentra a partir del porcentaje, como era el 2 % para pasarlo a nùmeros decimales serìa 2 / 100 . Encontrada la fòrmula general, se sustituye el t que se pide, en este caso es en 2 años, por eso se sustituye de la siguiente fòrmula. P( t ) = 5,000 ( 1 + 0.02 ) 2 P ( t ) = 5, 202 habitantes. Si fuera decrecimiento poblacional en porcentaje, ¿como quedarìa al fòrmula?

Nota: todas las fuciones exponenciales ( y logarìtmicas) pueden graficarse, siempre que se tenga por lo menos 3 puntos de referencia, ya que con solamente 2 puntos de referencia podrìa confundirse con la gràfica de una funciòn lineal..

1.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS:

f es una función logarítmica si y = f-1 (x) y = loga x

si y solo sí

x = f (y)

si y sólo sí

x = ay

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Si el valor de a es mayor que uno, (a > 1), entonces la función logarítmica toma una forma creciente (Ver gráfica No. 3) , en cambio, si el valor de a está entre 0 y 1 ( 0 < a < 1), entonces la función toma forma decreciente (Ver gráfica No. 4). En ambos casos el dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos y su contradominio son los números reales.

y = log ax, a > 1

y = log ax, 0 < a < 1 y

y

x

x

Curva Logarítmica decreciente

Curva logarítmica creciente

Gráfica No. 4

Gráfica No. 3

EJEMPLO:

Para graficar la función: f(x) = log0.5 x se utiliza el siguiente procedimiento:

a.

Identificar la función: y = log0.5 x .

b.

Transformarla a forma exponencial, de donde se obtiene que: x = 0.5y 4

c.

Asignarle valores a y, entre –3 y 3, para conocer los valores de x y elaborar una tabla de valores. x Y

d.

8 -3

4 -2

2 -1

1 0

0.5 0.25 0.13 1 2 3

Al representar los puntos obtenidos en la tabla de valores, en un plano cartesiano y unirlos por una línea, se obtiene la gráfica de la función.

Eje y 3 2 1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -2 -3

Bibliografía consultada: 1.

RIVERA DE YOC, SANDRA AIDEE Fìsica matemàtica para el estomatòlogo. Primera ediciòn, Guatemala, año 2005

2. HAEUSSLER, ERNEST F JR., Matemàtica para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. 8va. Ediciòn, Mèxico. 1997. 3. SWOKOWSKI, Earl W. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. 2ª. Edición. México, 1986.

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 EJERCICIOS  El número de bacterias en cierto cultivo en un instante “t” está dado por Q(t) = 2000 (3) t, donde t está medido en horas y Q(t) es el nùmero de bacterias. a. ¿Cuál es el número inicial de bacterias, después de 1 hora, después de 2 horas y después de 3 horas? b. Dibujar la gráfica de Q (t) 

La vida media de un material dental es de 1,600 años, es decir, dada cierta cantidad de este material, la mitad se desintegrará en 1,600 años. Si la cantidad inicial es de 200 mg, en el instante t = 0, entonces la cantidad q(t) restante después de “t” años está dada por: Q (t) = 200 ( 2 )- t/1,600 a. ¿Qué cantidad resta después de 500 años, de 1,000 años, de 1,500 años y de 1,600 años? b. Dibuje la gráfica del comportamiento de la media vida del radio.



Un elemento radiactivo, decae de modo que después de t dìas, el nùmero de miligramos presentes N, esta dado por la fórmula, N = 10 e – 0.06 t a. ¿ Cuantos miligramos estàn presentes al iniciar. b. ¿ Cuàntos miligramos habrà después de 12 horas

c.

¿ Cuàntos miligramos habrà después de 36 horas

d. ¿ Cuàntos miligramos habrà después de 48 horas

e. Dibuje la gràfica del elemento radiactivo. 

La población de cierta ciudad se está incrementando a razón de 5% anual y la población actual es de 500,000 habitantes. Usando métodos desarrollados en cálculo encuentre la población aproximada en 10 años, tomando “t” como años años : a. Encuentre la fòrmula general para resolver el ejercicio

b. Calcula la población después de 5 años, de 10 años, de 15 años y después de 20 años.

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