Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato

I.E.S. “Ramón Giraldo”

FUNCIONES LOGARÍTMICAS, EXPONENCIALES Y TRIGONOMÉTRICAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS ■ Logaritmo de base a El logaritmo en base a ( > 0 y ¹ 1) de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para que dé dicho número: log a N = x Û a x = N Los logaritmos de base 10 se llaman decimales1 y se representaban por log, y los logaritmos de base e se llaman neperianos o naturales y se representaban por ln o L. Propiedades: 1) log a ( MN ) = log a M + log a N æM ö 2) log a ç ÷ = log a M - log a N siempre que N ¹ 0 èNø 3) log a N m = m log a N "m Î R Transformación de logaritmos: ln N 4) log a N = ln a Otras propiedades: 1 son opuestos. a 6) Conocidos los logaritmos en una base mayor que 1 se pueden hallar fácilmente en cualquier otra base. 5) Los logaritmos de un número en dos bases inversas a y

■ Función logaritmo de base a ( > 0 y ¹ 1) log a : ( 0, +¥ ) ® ¡

x a log a x

Propiedades: 1) Dom ( log a ) = ( 0, +¥ )

2) Img ( log a ) = R 3) Continua y estrictamente monótona (creciente si a > 1 y decreciente si a < 1 ) 4) Biyectiva, luego tiene inversa que es la función exponencial de base a .

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Actualmente esta notación está en desuso y se utiliza la notación log para representar el logaritmo neperiano.

Cipri

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log a x = -¥ ìï lim x ®0 + Si a > 1 í log a x = +¥ ïî xlim ®+¥ 5) ìï lim log a x = +¥ 0 Si a < 1 í x ® + log a x = -¥ ïî xlim ®+¥ 1 ì ï f ' ( x ) = x log a e ï 6) Curvatura: í convexa si a < e ï f '' ( x ) = - 1 log a e ® f ( x ) es ìí 2 ïî x îcóncava si a ³ e

FUNCIONES EXPONENCIALES ■ Dos funciones exponenciales f (x ) = 2 x æ1ö g (x ) = ç ÷ è2ø

x

Propiedades: 1) Dom ( f ) = ¡

1) Dom ( f ) = ¡

2) Img ( f ) = ¡ +

2) Img ( f ) = ¡ +

3) f está acotada inferiormente, pero no superiormente

3) f está acotada inferiormente pero no superiormente

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Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato 4) f no es par ni impar 5) f es continua 6) f es estrictamente creciente y por tanto inyectiva (luego tiene inversa) 7) f no tiene extremos relativos 8) lim f ( x ) = 0 y lim f ( x ) = +¥ x ® -¥

x ® +¥

9) f ( x ) = log 2 ( x ) 10) f es sobreyectiva y consecuencia, es biyectiva -1

I.E.S. “Ramón Giraldo” 4) f no es par ni impar 5) f es continua 6) f es estrictamente decreciente y por tanto inyectiva (luego tiene inversa) 7) f no tiene extremos relativos 8) lim f ( x ) = +¥ y lim f ( x ) = 0 x ® -¥

como

9) f

-1

(x ) = log 1 (x )

x ® +¥

2

10) f es sobreyectiva y consecuencia, es biyectiva

como

■ Dos funciones exponenciales especiales f ( x ) = e x (donde ln -1 = f : e x = y Û x = ln y ) g ( x ) = 10 x

Propiedades: 1) Dom ( f ) = Dom ( g ) = R

2) Img ( f ) = Img ( g ) = R + 3) f y g son estrictamente crecientes y como consecuencia inyectivas 4) f y g están acotadas inferiormente pero no superiormente 5) f y g son continuas 6) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 y lim f ( x ) = lim g ( x ) = +¥ x ® -¥

x ® -¥

x ® +¥

x ® +¥

7)

f y g son sobreyectivas y por tanto, biyectivas

8)

f

-1

(x ) = ln x

y

g -1 ( x ) = log x

■ Función Exponencial f : R ® ( 0, +¥ )

f ( x ) = a x :=e x ln a con a > 0 y a ¹ 1

Propiedades: 1) Dom ( f ) = R 2) Img ( f ) = R +

3) Cipri

f ( 0 ) = 1 y f (1) = a Departamento de Matemáticas

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f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) Û a x+ y = a x a y f es continua ìcreciente si a > 1 6) f es estrictamente í îdecreciente si 0 < a < 1 ì ì lim f ( x ) = 0 ïPara 0 < a < 1 se tiene que ïí x®-¥ ï f ( x ) = +¥ ïî xlim ®+¥ ï 7) í ìï lim f ( x ) = +¥ ï x ®-¥ > Para 1 se tiene que a ï í f ( x) = 0 ïî xlim ®+¥ îï

4) 5)

ìï f ' ( x ) = a x ln a 8) Curvatura: í 2x 2 ïî f '' ( x ) = a ln a > 0 ® f ( x ) es convexa ì f ' ( x ) = 3x 2 ï í ìconvexa si x > 0 ï f '' ( x ) = 6 x ® f ( x ) es ícóncava si x < 0 î î

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ■ Función seno sen : R ® [ -1,1] x a sen x

Propiedades: 1) La función seno es impar: sen ( - x ) = -sen x 2) Es continua 3) sen x £ 1 "x Î R , es decir, está acotada 4) Es 2p - periódica: sen ( x + 2p ) = sen x

ì é p é ù 3p ù ïcreciente en ê0, 2 ê È ú 2 , 2p ú ï ë ë û û 5) sen es estrictamente í ïdecreciente en ù p , 3p é úû 2 2 êë ïî æp ö æ 3p ö 6) Tiene un máximo relativo en ç ,1÷ y un mínimo relativo en ç , -1÷ . è2 ø è 2 ø é p pù é p pù 7) sen : ê - , ú ® [ -1,1] biyectiva Þ $sen -1 = arcsen : [ -1,1] ® ê - , ú ë 2 2û ë 2 2û sen ( arcsen x ) = x = arcsen ( sen x )

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tal

que

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■ Función coseno cos : R ® [ -1,1] x a cos x

Propiedades: 1) La función coseno es par: cos ( - x ) = cos x 2) Es continua 3) cos x £ 1 "x Î R , es decir, está acotada 4) Es 2p - periódica: cos ( x + 2p ) = cos x

5) cos es estrictamente creciente en ]p ,2p [ y decreciente en ]0,p [ . 6) Tiene un máximo relativo en ( 0,1) y un mínimo relativo en (p , -1) . 7) cos : [0, p ] ® [ -1,1] biyectiva Þ $ cos -1 = arccos : [ -1,1] ® [0, p ] tal que cos ( arccos x ) = x = arccos ( cos x )

■ Función tangente p ì ü tg : R - íkp + : k Î Z ý ® R 2 î þ x a tg x Propiedades: 1) La función tangente es impar: tg ( - x ) = - tg x 2) Es continua Cipri

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3) 4) 5) 6)

No está acotada ni superior ni inferiormente Es p - periódica: tg ( x + p ) = tg x tg es estrictamente creciente No tiene extremos relativos ù p pé ù p pé 7) tg : ú - , ê ® R biyectiva Þ $tg -1 = arctg : R ® ú - , ê tal que û 2 2ë û 2 2ë tg ( arctg x ) = x = arctg ( tg x )

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