1. El enigma de los números imaginarios La ecuación cúbica Al final de su libro de 1494, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita [Compendio de aritmética, geometría, proporciones y proporcionalidad], que resumía todo el conocimiento de la época sobre aritmética, álgebra (incluidas las ecuaciones cuadráticas) y trigonometría, el fraile franciscano Luca Pacioli (ca. 1445-1514) hizo una atrevida afirmación. Aseguró que la solución de la ecuación cúbica era “tan imposible en el estado actual de la ciencia como la cuadratura del círculo”. Este último problema había estado dando vueltas en las matemáticas desde la época del matemático griego Hipócrates (ca. 440 a. C.). La cuadratura del círculo —la construcción utilizando solamente regla y compás de un cuadrado de área igual a la de un círculo dado— había demostrado ser muy difícil, y cuando Pacioli escribió su libro, el problema de la cuadratura permanecía sin solución. Claramente él lo utilizó como una medida de la dificultad de resolver la cúbica, si bien en realidad el problema de la cuadratura es una medida de las peores dificultades, ya que en 1882 se demostró que realmente es imposible resolverlo. Empero, la afirmación de Pacioli estaba equivocada, porque menos de diez años después el matemático Scipione del Ferro (1465-1526), de la Universidad de Bolonia, descubrió cómo resolver la llamada cúbica reducida, un caso de la cúbica general en el que no está presente el término de segundo grado. Como su solución de la cúbica reducida es un paso clave para el primer avance en la comprensión de �, vale la pena esforzarse en entender qué hizo Del Ferro. La cúbica general contiene todas las potencias de la incógnita, esto es, x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, donde sin pérdida de generalidad tomamos el coeficiente del término de tercer grado como si fuera igual a 1. Si este coeficiente no fuera 1, entonces podríamos dividir toda la ecuación por ese coeficiente, lo cual se puede hacer siempre que no sea cero —en cuyo caso la ecuación no sería en realidad una cúbica. La cúbica resuelta por Del Ferro, por otra parte, tenía la forma general x3 + px = q, [ 33

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34 1. Esto no quiere decir que los matemáticos no supieran calcular, digamos, 7 – 5. La distinción está entre la utilización del signo menos para denotar una resta (que sí la comprendían) y para denotar un número menor que cero o nada ( lo que resultaba misterioso). Así, 5 – 7 debería ser un problema, ya que la respuesta –2 no tuvo ningún sentido en la mente de un matemático sino hasta comienzos del siglo xvi. Menos dos era llamado a veces el defecto de dos, y tal vez las implicaciones peyorativas de este término revelan qué tan incómodos hacían sentir los números negativos a los matemáticos.

donde p y q son no negativos. Igual que Diofanto, los matemáticos del siglo xvi, incluyendo a Del Ferro, evitaban los coeficientes negativos en sus ecuaciones.1 Resolver esta ecuación parece un paso insuficiente para resolver la cúbica general pero, con el descubrimiento de un ingenioso truco, la solución de Del Ferro es general. Con lo que Del Ferro se topó de alguna manera es que la solución de la cúbica reducida puede escribirse como la suma de dos términos, esto es, podemos expresar la incógnita x como x = u + v. Sustituyendo esto en la cúbica reducida, desarrollando y agrupando términos resulta que

2. Si te preguntas por qué estoy ignorando la raíz negativa, eso es bueno. Deberías preguntártelo. La raíz negativa es perfectamente válida pero, si la utilizas a partir de este punto en el análisis, encontrarás exactamente la misma respuesta que obtendrás con la raíz positiva. Inténtalo y verás.

p3 u6 − qu3 − 27 = 0.

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u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) = q. Esta única ecuación, que se ve bastante complicada, puede reescribirse como dos afirmaciones individualmente menos complicadas: 3uv + p = 0, que implica u3 + v3 = q. ¿Cómo supo todo esto Del Ferro? El matemático polaco-americano Mark Kac (1914-1984) respondió esta pregunta con su famosa distinción entre el genio común y el genio mágico: “Un genio común es alguien tan bueno como podríamos serlo usted o yo si tan sólo fuéramos muchas veces mejores. No hay misterio sobre cómo funciona su mente. Una vez que entendemos qué hizo, nos sentimos seguros de que nosotros también podríamos haberlo hecho. Es diferente con los magos… el trabajo de su mente permanece incomprensible a todos nuestros intentos y propósitos. Aun después de que entendemos lo que ha hecho, el proceso por el cual lo realizaron continúa completamente a oscuras.” La idea de Del Ferro fue propia de un mago. Resolviendo la primer ecuación para v en términos de p y u, y sustituyendo la solución en la segunda ecuación, obtenemos

De entrada esta ecuación de grado 6 puede parecer un gran paso atrás, pero de hecho no lo es. La ecuación es, sí, de sexto grado, pero también es una cuadrática en u3. Entonces, usando la fórmula para resolver cuadráticas, bien conocida desde los tiempos de los babilonios, tenemos q q2 p3 u3 = 2 ± 4 + 27 ,

o, utilizando sólo la raíz positiva,2 q q2 p3 u = 3 2 + 4 + 27 .

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Ahora, como v3 = q – u3, q q2 p3 v = 3 2 − 4 + 27 . Así, una solución de la cúbica reducida x3 + px = q es la siguiente expresión, que acaso produzca un poco de temor: q q2 p3 q q2 p3 x = 3 2 + 4 + 27 + 3 2 − 4 + 27 . 3

Alternativamente, y como −1 = −1, en el segundo término de esta expresión se puede sacar un factor –1 de la raíz para producir la fórmula equivalente q q2 p3 q q2 p3 x = 3 2 + 4 + 27 − 3 − 2 + 4 + 27 . Se pueden encontrar ambas fórmulas en distintos libros que analizan las cúbicas, pero no hay ninguna razón para preferir una a la otra. Como Del Ferro asumió que p y q eran positivos, es inmediatamente obvio que estas dos expresiones para x (equivalentes) siempre darán un resultado real. De hecho, si bien hay tres soluciones o raíces de cualquier cúbica (véase el apéndice a), no es difícil demostrar que siempre Recuadro 1. La única solución real y positiva de la ecuación cúbica de Del Ferro hay exactamente una raíz real positiva y por lo tanto dos raíces complePara ver que hay exactamente una solución real y jas de la cúbica de Del Ferro (véase positiva de la cúbica reducida x3 + px = q, donde p el recuadro 1). y q son ambos no negativos, considera la función Ahora, antes de continuar con la f (x) = x3 + px – q. cúbica, déjame decir algo acerca de El problema de Del Ferro es el de hallar las raíces de los números complejos. Un número f (x) = 0. Ahora, si calculas la derivada de f (x) —decomplejo no es exclusivamente real notada por f ′(x)— y recuerdas que la derivada es la ni tampoco exclusivamente imagipendiente de la curva f (x), entonces obtendrás nario, sino una mezcla de ambos. f ′(x) = 3x2 + p, Esto es, si a y b son ambos reales, entonces a + b � es un complejo. que siempre es no negativa, pues x2 nunca es negaLa forma utilizada por los matemátivo y hemos asumido que p es no negativo. Con lo cual f (x) siempre tiene una pendiente no negativa y ticos y por casi todo el mundo es por lo tanto nunca decrece cuando x crece. Como a + ib (Leonhard Euler, el gran maf (0) = –q, que nunca es positivo (porque asumimos temático suizo del siglo xviii, de que q no es negativo), entonces la gráfica de f (x) quien diremos mucho más en el debe parecerse a la figura 2. En esta gráfica es claro capítulo 6, introdujo el símbolo i que la curva cruza el eje x sólo una vez, con lo cual para � en 1777). Esto los ingeexiste una solución real, y que el cruce es tal que la nieros eléctricos lo escriben como raíz nunca es negativa (es cero sólo si q = 0). a + jb; la razón por la cual optan ge-

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neralmente por j es que � ocurre con frecuencia en problemas que involucran corrientes eléctricas y la letra i tradicionalmente se ha reservado para esa cantidad. Sin embargo, contra lo que dice un popular mito, te puedo asegurar que la mayoría de los ingenieros eléctricos no se confunde cuando ve una x O ecuación que involucra números complejos escrita con i = � en lugar de j. Dicho lo cual, sin embargo, tengo que admitir que tam-q bién yo utilicé j en vez de i para � en el capítulo 5, donde muestro un lindo rompecabezas eléctrico del siglo xix. Los números complejos obedecen varias reglas obvias, tales como (a + ib)(c + id ) = ac + iad + ibc + i2bd Figura 2. Gráfica de f (x) = x3 + px – q, con p y q ≥ 0. = ac – bd + i(ad + bc). Pero tienes que tener cuidado. Por ejemplo, si a y b solamente pueden ser números positivos, entonces ab = a b . Pero si permitimos que también sean números negativos, esta regla falla; por ejemplo, (−4)(−9) = 36 =66≠≠ −−44 −−99= (2i)(3i) = 6i2 = –6. Euler estuvo desorientado respecto a este punto en su Algebra de 1770. Un último comentario, y muy importante, sobre las diferencias entre los reales y los complejos. Los números complejos no tienen la propiedad del buen orden de los reales. Buen orden quiere decir que podemos escribir expresiones como x > 0 o bien x < 0. Aún más, si x y y son números reales, y si además x > 0 y también y > 0, entonces su producto satisface xy > 0. Sin embargo, si tratamos de imponer este comportamiento a los números complejos, nos metemos en problemas. Una forma sencilla de comprobarlo es por medio de un contraejemplo. Para esto, suponemos que podemos ordenar los números complejos. Entonces, en particular, tiene que ser cierta una de estas dos posibilidades: i > 0 o bien i < 0. Supongamos que i > 0. Entonces, –1 = i × i > 0, lo cual claramente es falso. Entonces debemos suponer que i < 0, pero si multiplicamos por –1 (lo que invierte el sentido de la desigualdad) tenemos que –i > 0. Entonces, –1 = (–i) × (–i) > 0, igual que antes, lo cual es completamente falso. La conclusión es que nuestra suposición inicial de que podíamos ordenarlos nos lleva a una contradicción, y por lo tanto esa suposición debe ser falsa.Volvamos ahora a las cúbicas. Una vez que tenemos la raíz real de la cúbica de Del Ferro, encontrar las dos raíces complejas no es difícil. Supongamos que r1 es la raíz f ( x ) = x3 + px − q

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real obtenida por la ecuación de Del Ferro. Entonces, podemos factorizar la cúbica: (x – r1)(x – r2)(x – r3) = 0 = (x – r1)[x2 – x(r2 + r3) + r2r3]. Para hallar las dos raíces adicionales, r2 y r3, aplicamos simplemente la fórmula de la cuadrática a x2 – x(r2 + r3) + r2r3 = 0. Por ejemplo, consideremos el caso x3 + 6x = 20, donde tenemos p = 6 y q = 20. Sustituyendo estos valores en la segunda versión de la fórmula de Del Ferro, nos da 3

3

x = 10 + 108 − −10 + 108. Ahora, si observas la cúbica original, tal vez tengas la suerte de darte cuenta de que x = 2 funciona (8 + 12 = 20). Entonces, ¿puede ser que esta cosa de aspecto tan complicado sea en realidad 2? Bueno, sí, así es. Utiliza una calculadora y verás que x = 3 20.392305 − 3 0.392305 = 2.7320508 − 0.7320508 = 2.

Entonces, para encontrar las otras dos raíces de f (x) = 0 = x3 + 6x – 20, utilizamos el hecho de que un factor de f (x) es (x – 2) para hallar, tras algunas molestas divisiones, que (x – 2)(x2 + 2x + 10) = x3 + 6x – 20. Aplicando la fórmula de la cuadrática al factor de segundo grado, se obtienen las otras dos raíces complejas (soluciones de la cúbica original): r2 = –1 + 3� y r3 = –1 – 3�.

Actitudes negativas hacia los números negativos Pero todo esto es adelantarnos en la historia. En realidad, Del Ferro y sus seguidores no hicieron cosas como la factorización anterior para obtener las raíces complejas —obtener un único número real positivo como solución de la cúbica era todo lo que buscaban—.Y, por lo que a los matemáticos concernía respecto de la cúbica reducida de Del Ferro, sólo había una única raíz real positiva, y eso era suficiente. ¿Pero qué ocurría con una cúbica como x3 – 6x = 20, donde ahora tenemos p = – 6 < 0? Del Ferro nunca habría escrito tal cúbica, por supuesto, con un coeficiente negativo; en cambio escribiría x3 = 6x + 20 y lo consideraría un problema completamente nuevo. Esto es, comenzaría desde el principio para resolver

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esto no es real. la historia de i x3 = px + q,

donde otra vez p y q son no negativos. Sin embargo, esto es completamente innecesario, ya que, en realidad, en ninguna parte de la resolución de x3 + px = q utilizó la positividad de p y q. Es decir, esta suposición inicial no tiene importancia, y se planteó explícitamente sólo por una injustificada aversión de los matemáticos de esa época hacia los números negativos. Esta desconfianza respecto de los números negativos parece extrañísima a los matemáticos e ingenieros actuales gracias a que ya están acostumbrados a utilizarlos y han olvidado la confusión que les provocaron en sus primeros años escolares. De hecho, aún hoy encontramos adultos inteligentes pero sin formación técnica que siguen experimentando estas confusiones, como lo ilustra la siguiente copla frecuentemente atribuida al poeta W. H. Auden: †

Menos por menos es más./ La razón de esto no debemos discutirla.

Minus times minus is plus. The reason for this we need not discuss.†

El gran matemático inglés John Wallis (1616-1703), por ejemplo, a quien conocerás con más detalle en el siguiente capítulo como el individuo que hizo el primer intento racional de asignarle un significado físico a �, hizo también varias afirmaciones increíbles respecto de los números negativos. En su libro Arithmetica Infinitorum [Aritmética de lo infinito] de 1665, un libro que el joven Isaac Newton leyó con avidez, Wallis presentó el siguiente argumento: como a/0, con a > 0, es +∞ (infinito positivo), y como a/b, con b < 0, es un número negativo, entonces este número negativo tiene que ser mayor que +∞, porque el denominador del segundo caso es menor que el denominador del primero (es decir, b < 0). Esto llevó a Wallis a la sorprendente conclusión de que un número negativo es simultáneamente menor que 0 pero mayor que +∞, por lo que ¿quién puede culparlo de querer alejarse de los números negativos? Y, por supuesto, no era el único. Es más, el mismo gran Euler consideró la preocupación de Auden lo suficientemente meritoria como para incluir una dudosa “explicación” de por qué “menos por menos es más” en su famoso libro de texto Algebra [Álgebra] (1770). Hoy somos más intrépidos. Simplemente decimos: bueno, p es negativo, ¿y qué?, tras lo cual lo reemplazamos directamente en la fórmula original de Del Ferro. Esto es, al reemplazar el valor negativo de p con –p (donde p es no negativo), tenemos q q2 p3 q q2 p3 x = 3 2 + 4 + 27 − 3 − 2 + 4 + 27 . como la solución de x3 = px + q, donde p y q son ambos no negativos. En particular, la fórmula nos dice que la solución de x3 = 6x + 20 es

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x = 3 10 + 92 − 3 −10 + 92 = 3.4377073, que en realidad es una solución de la cúbica, como puede verificarse fácilmente con una calculadora de mano.

Un desafío apresurado La historia de la cúbica sigue a partir de aquí un camino retorcido. Como era usual en aquellos días, Del Ferro mantuvo su solución en secreto. Lo hizo porque, a diferencia de los matemáticos actuales, que construyen su carrera académica publicando sus resultados para obtener un puesto inicial como profesores y luego algún cargo definitivo, Del Ferro y sus colegas se parecían más a profesionistas independientes. Ganaban su sustento desafiando a otros en competencias públicas de resolución de problemas, y el ganador se llevaba todo: tal vez premios en metálico, cierta “gloria” y con suerte el apoyo de un acaudalado patrocinador. Las oportunidades de ganar un concurso de ésos estaban claramente relacionadas al conocimiento de cómo resolver problemas que otros no pudieran, por lo que mantener los resultados en secreto era el estilo de la época. De hecho, Del Ferro casi se llevó a la tumba el secreto de cómo resolver ecuaciones cúbicas reducidas, pues lo compartió a lo sumo con un pequeño número de amigos cercanos. Cuando yacía moribundo, se lo contó a uno más, su alumno Antonio Maria Fior. Si bien Fior no era un matemático especialmente bueno, tal conocimiento era un arma formidable, por lo que, en 1535, desafió al mucho más conocido e infinitamente más hábil matemático Niccolò Fontana (1500-1577). Fontana despertó la atención de Fior porque poco antes había anunciado que podía resolver cúbicas de la forma general x3 + px2 = q. Fior pensó que Fontana estaba alardeando y que no sabía cómo resolverlas, por lo que lo consideró como la víctima perfecta, lista para desplumarla en un concurso público. Fontana, quien es más conocido hoy como Tartaglia (“el tartamudo”, debido a un impedimento para hablar causado por una terrible herida de espada en la mandíbula, que le infligió, cuando tenía doce años, un soldado invasor francés), sospechó que Fior había recibido el secreto de la cúbica reducida de Del Ferro.Temiendo ser desafiado con tales cúbicas, y sin saber cómo resolverlas,Tartaglia se empeñó terriblemente en resolver la cúbica reducida; justo el día anterior al concurso, logró redescubrir la solución de Del Ferro para x3 + px = q. Éste es un interesante ejemplo de cómo, una vez que se sabe que un problema tiene solución, otros también logran encontrarla rápidamente —un fenómeno relacionado, creo yo, con la obtención de récords deportivos, como ocurrió cuando Roger Bannister logró correr la milla en menos de cuatro minutos: poco después parecía que todo buen corre-

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40 3. Una informativa e interesante biografía de la sensacional vida de Cardano es el viejo pero aún recomendable libro de Oystein Ore, Cardano, the Gambling Scholar. Vale la pena leer sobre cualquier hombre que tenga un intelecto lo suficientemente moderno como para resolver la cúbica y todavía tan medieval como para hacer el horóscopo de Cristo, por lo cual fue llevado a prisión en 1570, acusado de herejía. 4. Una traducción al inglés del Ars Magna, a cargo de T. Richard Witmer, fue publicada en 1968 por The mit Press, y la siguiente cita (p. 8) es la primera de tres menciones de Cardano a Tartaglia: “En nuestros mismos días Scipione del Ferro de Bologna resolvió el caso del cubo y la primera potencia igual a una constante, un logro muy elegante y admirable. Como este arte supera toda la sutileza y la perspicacia de un talento mortal y es un don

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dor en el mundo era capaz de hacerlo—. Como quiera que sea, el descubrimiento de Tartaglia, combinado con su habilidad para realmente resolver x3 + px2 = q (él no había estado alardeando), le permitió finalmente derrotar a Fior. Cada uno propuso al otro treinta problemas: mientas que Fior no pudo resolver ninguno de los de Tartaglia, Tartaglia resolvió todos los de Fior.

El secreto se difunde Todo esto es bastante extraño, pero la historia se pondrá aún mejor. Igual que Del Ferro, Tartaglia mantuvo su nuevo conocimiento para sí mismo, tanto por las razones que mencionamos antes como porque quería publicar las soluciones para ambos tipos de cúbicas en un libro que pensaba escribir algún día (nunca lo hizo). Cuando las noticias de su victoria sobre Fior se difundieron, pronto llegaron a oídos de Girolamo Cardano (1501-1576). A diferencia de Fior, Cardano era un intelectual sobresaliente que, entre muchos otros talentos, incluía el ser un matemático extremadamente bueno.3 La curiosidad intelectual de Cardano se disparó al saber que Tartaglia conocía el secreto para la cúbica reducida, y le rogó a Tartaglia que se lo revelara. Tras varias negativas iniciales, Tartaglia finalmente cedió y le dijo a Cardano la regla, pero no su derivación, para calcular soluciones —y esto sólo después de obligarlo a jurar que lo mantendría en secreto. Cardano no era un santo, pero tampoco un sinvergüenza. Casi con seguridad tuvo toda la intención de respetar su juramento de silencio, pero entonces comenzó a escuchar versiones según las cuales Tartaglia no había sido el primero en resolver la cúbica reducida. Y cuando finalmente vio los trabajos de Del Ferro que habían sobrevivido, Cardano no se sintió obligado a mantener su silencio. Cardano redescubrió la solución de Tartaglia por sí mismo y luego la publicó en su Ars magna (“El gran arte” del álgebra, en oposición al arte menor de la aritmética) de 1545.4 En este libro les dio a Tartaglia y a Del Ferro el crédito específico que merecían, pero incluso así Tartaglia se sintió defraudado y lanzó en su contra una tormenta de reclamos, acusándolo de plagio y aun de cosas peores. No voy a continuar aquí con esta parte de la historia, porque no tiene ninguna relación con �, excepto para agregar que el temor de Tartaglia de perderse la fama efectivamente estaba justificado. Pese a que él y Del Ferro tenían prioridad como los verdaderos descubridores, en forma independiente, de la solución de la cúbica reducida, desde el Ars magna en adelante ésta se conoce como “fórmula de Cardano”. Cardano no era un ladrón intelectual (quienes plagian no reconocen el trabajo ajeno) y de hecho mostró cómo extender la solución de la cúbica reducida a todas las cúbicas. Éste fue un logro mayor en sí mismo, y se debe por completo a Cardano. La idea es tan original

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el enigma de los números imaginarios como fue la primera ocurrencia de Del Ferro. Cardano comenzó con la cúbica general: x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0 y luego utilizó el cambio de variables 1 x = y − 3 a1.

Sustituyendo esto en la cúbica general, desarrollando y agrupando los términos, obtuvo   2 a3 + 1 a a − a . y3 +  a2 − 31 a12  y = − 27 1 3 1 2 3   Esto es, obtuvo la cúbica reducida y3 + py = q, con 1 p = a2 − 3 a12 ,

2 a3 + 1 a a − a . q = − 27 1 3 1 2 3 La cúbica reducida obtenida así puede resolverse ahora con la fórmula de Cardano. Por ejemplo, si comienzas con x3 – 15x2 + 81x – 175 = 0 y haces después el cambio de variables x = y + 5, obtendrás

41 verdaderamente celestial y una muy clara muestra de la capacidad de la mente humana, quienes se dediquen por sí mismos a esto creerán que no hay nada que no puedan entender. Emulándolo, mi amigo Niccolò Tartaglia de Brescia, no deseando ser superado, resolvió el mismo caso cuando se involucró en un concurso con su alumno [de Scipione], Antonio Maria Fior, y, movido por mis muchas súplicas, me lo dio.” Difícilmente éstas son las palabras de un hombre que se roba el trabajo de otro, y debería mencionar que hay evidencia de que antes de 1390, en Florencia, al menos dos matemáticos italianos cuyas identidades no se conocen se acercaron a la resolución de la cúbica. En realidad, puede que alguien se haya anticipado a Del Ferro y a Cardano, si bien no está claro que alguno de ellos conociera los trabajos anteriores.Véase Franci y Toti Rigatelli, “Towards a History of Algebra from Leonardo of Pisa to Luca Pacioli”.

1 p = 81− 3 (15)2 = 6, 2 1 q = − 27 (−15)3 + 3 (81)(−15) − (−175) = 20,

con lo cual y3 + 6y = 20. Más arriba resolví esta ecuación, con lo que obtuve que y = 2. Así, x = 7 es la solución de la cúbica, como un rápido cálculo manual lo confirma. Por lo tanto, parece que el problema de la ecuación cúbica finalmente ha sido liquidado, y todo está en orden. Pero no es así, y Cardano lo sabía. Recordemos la solución de x3 = px + q: q q2 p3 q q2 p3 x = 3 2 + 4 + 27 − 3 − 2 + 4 + 27 . ¡Hay un dragón al acecho en esta versión de la fórmula de Cardano! Si q2/4 – p3/27 < 0, entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada de un número negativo, y el mayor desafío no era el número imaginario en sí, sino algo bastante distinto. El hecho de que Cardano no tuviera miedo de los imaginarios está claro por el famoso problema que planteó en su Ars magna: el de dividir 10 en dos partes cuyo producto fuese 40. Llamó a este problema “manifiestamente imposible” porque conduce directamente a la ecuación cuadrática x2 – 10x + 40 = 0, donde x y

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10 – x eran las dos partes, ecuación que tiene las raíces complejas 5 + −15 5 + −15 y 5 − −15 —que Cardano llamó sofísticas porque no podía asignarles una interpretación física—. La suma es evidentemente 10, porque las partes imaginarias se cancelan, pero ¿qué ocurre con el producto? Cardano audazmente escribió “de todas maneras vamos a operar” y calculó formalmente

(5 +

)(

)

−15 5 − −15 = (5)(5) − (5) −15 + (5) −15 − −15 −15 = 25 + 15 = 40.

Como dijo Cardano de este cálculo, “Dejando de lado la tortura mental implicada” en hacer eso, es decir, en manipular −15 como si fuera cualquier otro número, todo lo demás funcionaba bien. Pese a todo, aunque no tenía miedo de manejar estos números, está claro, a partir de la lectura de sus siguientes palabras, que tenía algunas reticencias: “Así progresa con argucias la aritmética, cuyo fin, como ya se ha dicho, es tan refinado como inútil.” Pero lo que realmente lo dejó perplejo fue el caso en el que aparecían tales raíces cuadradas de números negativos en la fórmula para ecuaciones cúbicas que sólo tenían raíces reales.

Cómo pueden los números complejos representar soluciones reales Para ver qué quiero decir con esto, consideremos el problema tratado por el ingeniero y arquitecto italiano Rafael Bombelli (1526-1572), un continuador de los trabajos de Cardano. Bombelli tenía fama entre sus contemporáneos de ser un hombre práctico que sabía cómo secar terrenos pantanosos, pero hoy es famoso por haber sido un experto en álgebra que explicó qué era lo que estaba sucediendo en realidad con la fórmula de Cardano. En su Algebra de 1572, presentó la cúbica x3 = 15x + 4 y, con apenas pensarlo un poco, verás que x = 4 es una solución. Entonces, dividiendo o factorizando el polinomio, puedes ver fácilmente que las otras soluciones son x = −2 ± 3. Esto es, las tres soluciones de la cúbica son reales. Pero mira lo que nos da la fórmula de Cardano con p = 15 y q = 4. Como q2/4 = 4 y p3/27 = 125, entonces 3

3

3

3

x = 2 + −121 − −2 + −121 = 2 + −121 + 2 − −121. La fórmula de Cardano da una solución que es la suma de dos raíces cúbicas de dos números complejos conjugados (si este término te resulta extraño, deberías leer el apéndice a), y puedes pensar que si algo no es real entonces será tan “complejo” como eso, ¿verdad? Error. Cardano tampoco se dio cuenta, y con evidente frustración llamó “irreducibles” a las cúbicas en las cuales aparecía un resultado tan extraño, y no

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continuó con el asunto. Es instructivo, antes de seguir avanzando, ver por qué utilizó el término “irreducible”. Cardano estaba completamente desorientado sobre cómo calcular la suma de las raíces cúbicas de dos complejos conjugados. Para observar el círculo vicioso que causaba esta confusión en el álgebra, consideremos la cúbica de Bombelli. Supongamos que, cualquiera que sea la raíz cúbica dada por la fórmula de Cardano, podemos al menos escribirla con más generalidad como un número complejo. Por ejemplo, escribamos 3

2 + −121 = u + − v .

Deseamos encontrar u y v (con v > 0). Elevando al cubo ambos lados, nos da 2 + −121 = u3 + 3u 2 −v − 3uv − v −v.

Igualando las partes reales e imaginarias de ambos lados, llegamos a u3 – 3uv = 2, 3u 2 −v − v −v = −121.

Elevando cada una de las ecuaciones al cuadrado, obtenemos otro par: u6 – 6u4v + 9u2v2 = 4 y –9u4v + 6u2v2 – v3 = –121, y restando la segunda ecuación a la primera resulta que u6 + 3u4v + 3u2v2 + v3 = 125. Ambos lados son cubos perfectos, es decir, si tomamos raíces cúbicas nos da u2 + v = 5, o v = 5 – u2. Sustituyendo esto en la ecuación u3 – 3uv = 2 que planteamos arriba, resulta 4u3 = 15u + 2, otra ecuación cúbica en una sola variable. Y de hecho, dividiendo por 4 para dejarla en la forma u3 = pu + q, tenemos que p = 15/4 y q = 1/2 y, por lo tanto, utilizando la fórmula de la página 40, q2 p3 1 3.375 4 − 27 = 16 − (27)(64) ,

que claramente es un número negativo. Esto es, 4u3 = 15u + 2 es una cúbica irreducible y, cuando se la “resuelva” con la fórmula de Cardano, habrá que calcular la raíz cúbica de números complejos. Entonces estamos de regreso donde empezamos, enfrentados a la cuestión de cómo calcular tales cosas. El problema parece estar encerrado en un círculo vicioso. No te asombres de que Cardano llamara a esta situación “irreducible”. Más adelante, en el capítulo 3, verás cómo finalmente los matemáticos descubrieron el modo de calcular cualquier raíz de un número complejo.

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5. En nuestros días, un estudiante de matemáticas, ciencias o ingeniería podría encontrar obvia esta afirmación. Esto es, dado cualquier número complejo, su conjugado es el número donde todas las apariciones de � = i se cambian por –� = –i.

La gran revelación que tuvo Bombelli consistió en ver que esta extraña expresión que daba la fórmula de Cardano para x era real, pero estaba expresada en una forma poco familiar (véase el recuadro 2 para entender geométricamente lo que ocurre con las cúbicas irreducibles). Esta revelación no vino con facilidad. Como escribió Bombelli en su Algebra, “Fue una idea alocada, según la opinión de muchos; y yo también opiné eso durante mucho tiempo. Todo el asunto parecía basarse más en sofismas que en la verdad. Pero busqué largo rato, hasta que finalmente demostré que era así.” Aquí está cómo lo hizo, comenzando por la observación de que, si la fórmula de las soluciones de Cardano 3 3 era real, entonces 2 + −121 y 2 − −121 debían ser complejos con5 jugados, es decir, si a y b son dos números reales a determinar, donde 3

2 + −121 = a + b −1,

3

2 − −121 = a − b −1,

entonces tenemos x = 2a, que ciertamente es un número real. La primera de estas dos afirmaciones dice que 2 + −121 = (a + b −1)3 .

De la identidad (m + n)3 = m3 + n3 + 3mn(m + n), con m = a y n = b�, tenemos (a + b�)3 = a3 – b3� + 3ab�(a + b�) = a3 – b3� + 3a2b� – 3ab2 = a(a2 – 3b2) + b(3a2 – b2)�. Si esta expresión compleja es igual al número complejo 2 + −121, entonces las partes reales e imaginarias por separado deben ser iguales, y por lo tanto llegamos al siguiente par de condiciones: a(a2 – 3b2) = 2, b(3a2 – b2) = 11. Si asumimos que tanto a como b son enteros (no existe ninguna justificación a priori para esto, pero siempre tenemos la libertad de probar algo y ver adónde nos conduce), entonces tal vez veas que a = 2 y b = 1 funciona para ambas condiciones. También hay otras maneras de obtener esta condición con más formalidad. Por ejemplo, nota que 2 y 11 son primos, pregúntate qué enteros son factores de un número primo y observa que, si a y b son enteros, entonces también lo son a2 – 3b2 y 3a2 – b2. Sin embargo, para nuestros propósitos aquí, es suficiente comprobar que

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3

2 + −121 = 2 + −1,

3

2 − −121 = 2 − −1,

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afirmaciones que son fácilmente verificables elevando al cubo ambos lados de la ecuación. Con estos resultados, Bombelli mostró que la misteriosa solución de Cardano es x = 4, y que ésta es correcta. Como se muestra en el recuadro 2, para el caso irreducible con las tres raíces reales existe una única raíz positiva; esto es, la raíz dada por la fórmula de Cardano (trata de probar esto y, si necesitas ayuda, lee la segunda mitad del apéndice a).

Cálculo de las raíces reales sin números imaginarios Si bien la fórmula de Cardano funciona en todos los casos, incluido el caso irreducible, tal vez todavía estés preguntándote por qué no hay una fórmula que produzca directamente una respuesta real para la raíz real positiva en esa situación. Y, de hecho, la hay. Descubierta por el Recuadro 2. El caso irreducible significa que hay tres raíces reales Para estudiar la naturaleza de las raíces de x3 = px + q, donde p y q son ambas no negativas, consideremos la función f (x) = x3 – px – q. Calculando f ′(x) = 3x2 – p, vemos que la gráfica de f (x) tendrá tangentes con pendiente cero en x = ± p / 3, es decir, los máximos o mínimos locales de la cúbica reducida que puede llevarnos al caso irreducible se localizan simétricamente a ambos lados del eje vertical. Los valores de f (x) en estos extremos locales son, si los denotamos por M1 y M2, p p p p p M1 = 3 3 − p 3 − q = − 23 p 3 − q, con x = + 3 , p p p p p M 2 = − 3 3 + p 3 − q = 23 p 3 − q, con x = − 3 . Fíjate en que siempre el mínimo local M1 < 0 (ya que p y q son no negativos), mientras que el máximo local M2 puede tener uno u otro signo, dependiendo de los valores de p y q. Ahora, si hemos de tener tres raíces reales, f (x) debe cruzar el eje real tres veces, y esto ocurre sólo si M2 > 0, como se muestra en la figura 3. Esto es, la condición para que todas las raíces sean reales es 2 3 2 p p − q > 0, o 4 p3 > q2, o sea q − p < 0. 3 3 27 4 27

Pero ésta es precisamente la condición en la fórmula de Cardano que lleva a soluciones con números imaginarios. Así, el caso irreducible está asociado siempre con tres raíces reales de la cúbica f (x) = 0. Como lo muestra claramente la figura, estas tres raíces son tales que dos son negativas y una es positiva.Trata de demostrar que la suma de las tres raíces debe ser cero.†

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†

Éste es un caso particular de la siguiente afirmación más general. Supongamos que se escribe la ecuación polinomial de grado n: xn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + … + a1x + a0 = 0, de forma factorizada. Esto es, si denotamos las n raíces de la ecuación por r1, r2,…, rn, entonces podemos escribir el polinomio como (x – r1)(x – r2)… (x – rn) = 0. Multiplicando los factores entre sí, comenzando por la izquierda, puede mostrarse con facilidad que el coeficiente del término xn–1 es la suma de las raíces con signo negativo, es decir, an–1 = –(r1 + r2 + … + rn). En el caso de la cúbica reducida, o sea cuando no hay término con x2, tenemos a2 = 0 por definición, y la suma de las raíces de la ecuación cúbica reducida es igual a cero.

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f ( x ) = x3 − px − q

M2

O

− p /3

x + p /3

−q

M1

Figura 3. Gráfica de f (x) = x3 – px – q, con p y q ≥ 0. 6.Viète fue el primero en expresar π en términos de un producto infinito en lugar de una suma, con su conocida fórmula (1593): 2 = cos   cos   cos   cos    4   8   16  32 . Luego, en el capítulo 3, voy a mostrarte cómo puede derivarse este hermoso resultado, que es un caso especial de una fórmula trigonométrica más general, a partir de una identidad trigonométrica elemental que podemos encontrar fácilmente con cierto conocimiento de geometría compleja. El estudio de Viète de los triángulos rectángulos se ha conectado, en tiempos modernos, con el álgebra de números complejos, una conexión que él mismo nunca hizo.Voy a ocuparme, en el capítulo 3, del desarrollo histórico conocido de esa álgebra, pero puedes encontrar lo que se ha especulado al respecto en Glushkov, “An Interpretation of Viète’s ‘Calculus of Triangles’ as a Precursor of the Algebra of Complex Numbers”.

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gran matemático francés FrançoisViète (1540-1603),6 da todas las raíces de la cúbica irreducible en términos de las funciones trigonométricas coseno y arcocoseno (o coseno inverso). Este descubrimiento es aún más destacable cuando uno considera que Viète no era un matemático profesional, sino un abogado al servicio del estado, bajo los reinados de Enrique III y Enrique IV. Se dedicaba a las matemáticas cuando podía robarle tiempo a sus tareas “más importantes”, tales como descifrar las cartas encriptadas de la corte española que fueron interceptadas durante la guerra entre Francia y España. Si bien es muy inteligente, la solución de Viète (publicada en 1615, tras su muerte) parece no ser muy conocida, y por lo tanto aquí está lo que hizo. Viète comenzó su análisis con la ecuación cúbica x3 = px + q, con p y q escritas como p = 3a2 y q = a2b. Esto es, comenzó con la cúbica p 3q x3 = 3a2 x + a2 b, con a = 3 y b = p . Luego, utilizó la identidad trigonométrica 3 cos3 = 4 cos + 41 cos(3 ).

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Si no recuerdas esta identidad, acéptala por ahora, que voy a demostrarla en el capítulo 3 utilizando números complejos. El siguiente paso de Viète fue suponer que uno siempre puede hallar θ tal que x = 2acos θ. Voy a mostrarte, calculando el valor buscado de θ, que esta suposición es cierta. A partir de la suposición tenemos cos θ = x/2a y, si esto se sustituye en la anterior identidad trigonométrica, puede mostrarse rápidamente que x3 = 3a2x + 2a3cos(3θ). Pero esto es justamente la cúbica que estamos tratando de resolver si escribimos 2a3cos(3θ) = a2b. Esto es,   = 31 cos−1  2ba  .   Reemplazando este valor para θ en x = 2acos θ, llegamos inmediatamente a la solución 1  b  x = 2a cos 3 cos−1  2a     

o, en términos de p y q,  3 3q   1 p x = 2 3 cos 3 cos−1  .  2 p p   

Para que x sea real, el argumento de cos–1 no debe ser mayor que uno, es decir, 3 3q ≤ 2 p3/2 . (Más adelante, en el capítulo 6, discutiré qué ocurre cuando la magnitud del argumento en la función inversa del coseno es mayor que 1.) Pero fácilmente se ve que esta condición es equivalente a q2/4 – p3/27 ≤ 0, que es precisamente la condición que define el caso irreducible. Observa que en la fórmula de Viète no aparecen cantidades imaginarias, a diferencia de lo que ocurre en la fórmula de Cardano. ¿Funciona la fórmula de Viète? Como prueba, recordemos la cúbica de Bombelli x3 = 15x + 4, con p = 15 y q = 4. La fórmula de Viète nos da  12 3   1 x = 2 5 cos 3 cos−1  .  30 15   

Esta expresión de aspecto bastante aterrador puede evaluarse fácilmente con una calculadora de mano, lo que nos dará x = 4, que es correcto. Esta raíz se encuentra tomando cos−1 (12 3 / 30 15 ) = 79.695°. Pero un rápido dibujo de la función coseno mostrará que los ángulos 280.305° y 439.695° son igualmente válidos. Evaluando x para estos dos ángulos obtendremos las otras dos raíces reales: –0.268 y –3.732, es decir, −2 ± 3. Sin embargo, el propio Viète no les prestó atención a las raíces negativas. Y para otra comprobación rápida, consideremos el caso especial cuando q = 0. Entonces, x3 – px = 0, que por inspección tiene las tres raíces reales x = 0, x = ± p . Esto es, x = p es la única raíz positiva. La fórmula de Viète nos da, para q = 0,

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esto no es real. la historia de i p p 1  x = 2 3 cos 3 cos−1 (0) = 2 3 cos(30°),  

ya que cos–1(0) = 90°. Pero (2 / 3)cos(30°) = 1 y por lo tanto la fórmula de Viète nos da x = p . Y como también cos–1(0) = 270° (y 450°), puedes verificar fácilmente que la fórmula nos da también las raíces x = 0 y x = – p . Técnicamente, ésta no es una cúbica irreducible, pero la fórmula de Viète aún funciona. Nótese que las raíces en estos dos casos específicos satisfacen la última afirmación hecha en el recuadro 2. Viète conocía muy bien el nivel al que operaban sus dotes analíticas. Como él mismo escribió respecto de sus matemáticas, no eran “el oro de los alquimistas, pronto a evaporarse en el humo, sino el metal verdadero, excavado en las minas donde hay dragones vigilando”.Viète no era un hombre falsamente modesto. Si su solución hubiera sido hallada un siglo antes, ¿se habría preocupado Cardano por los números imaginarios que aparecen en su fórmula? ¿Habría estado motivado Bombelli para hallar la “realidad”de las expresiones complejas que aparecían en la solución formal de la cúbica irreducible? Es interesante especular sobre qué tan diferente habría sido la historia de las matemáticas si algún genio se hubiese anticipado al descubrimiento de Viète. Pero no hubo tal genio, y Bombelli se llevó la gloria de haber descubierto el secreto final de la cúbica. La comprensión de Bombelli de la naturaleza de la fórmula de Cardano, en el caso irreducible, rompió el callejón sin salida mental respecto a �. Con su trabajo quedó claro que manipular � utilizando las reglas ordinarias de la aritmética conducía a resultados perfectamente correctos. Mucho del misterio de �, de su aura casi mística, se aclaró con el análisis de Bombelli. Sin embargo, quedaba una última valla intelectual por sortear, la de determinar el significado físico de � (y éste será el tema de los próximos dos capítulos), pero el trabajo de Bombelli había desbloqueado la que parecía ser una barrera infranqueable.

Un curioso redescubrimiento Queda todavía por contar un último episodio curioso respecto de la fórmula de Cardano. Casi cien años después de que Bombelli explicara cómo funcionaba la fórmula de Cardano para todos los casos, incluido el caso irreducible con todas las raíces reales, el joven Gottfried Leibniz (1646-1716) de alguna manera se convenció de que el tema aún estaba abierto. Esto es todavía más destacable porque se sabe que Leibniz había estudiado el Algebra de Bombelli, no obstante lo cual consideró que todavía quedaba algo por agregar a la fórmula de Cardano. Leibniz fue un genio, pero esto ocurrió cuando tenía 25 años de edad, momento en que, como lo dijo un historiador, “Leibniz tenía muy poca, si alguna, preparación en lo que entonces era la matemática

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moderna. Sus conocimientos de primera mano eran mayoritariamente griegos.”7 En ese tiempo, Leibniz acababa de conocer al gran matemático y físico holandés Christiaan Huygens (1629-1695), con quien estableció una correspondencia que duraría por el resto de su vida. En una carta a Huygens escrita en algún momento entre 1673 y 1675,8 comenzó a rehacer lo que Bombelli había hecho mucho tiempo atrás. En esa carta, comunicó su famoso (aunque anticlimático) resultado 1 + −3 + 1 − −3 = 6,

7. Bell, The Development of Mathematics, p. 149. 8. McClenon, “A Contribution of Leibniz to the History of Complex Numbers”. Huygens estaba tan intrigado como Leibniz, como lo muestra su respuesta a éste: “Uno nunca habría creído que

del cual Leibniz declaró más tarde: “No recuerdo haber detectado un hecho más singular y paradójico en todo el análisis; por lo que creo ser el primero que ha reducido raíces irracionales, imaginarias en forma, a valores reales…” Por supuesto, había sido Bombelli el primero, un siglo antes. Cuando se presenta por primera vez el número imaginario � a los estudiantes de escuela secundaria, es frecuente leer algo como lo 1 + −3 + 1− −3 = 6 que sigue (de hecho, lo tomé de un libro de texto universitario9): “La ecuación real x2 + 1 = 0 fue lo que condujo en primer lugar a la inven1 + −3 + 1− −3 = 6 ción de i (y también de –i ). Ésta fue declarada la raíz y el caso quedó y tiene que haber cerrado.” Bueno, por supuesto, esto es fácil de leer y de recordar pero, algo oculto en esto como ya sabes ahora, no es cierto. Cuando los primeros matemáticos que es encontraron x2 + 1 = 0 y otras cuadráticas similares, simplemente cerra- incomprensible ron los ojos y las llamaron “imposibles”. Desde luego, no inventaron para nosotros.” ninguna solución para estas ecuaciones. El hallazgo de � no se ori- 9. Strang, ginó en las ecuaciones cuadráticas, sino más bien en las cúbicas, que Introduction to claramente tenían soluciones reales pero para las cuales la fórmula de Applied Cardano producía respuestas formales con componentes imaginarios. Mathematics, p. 330. Las bases para ese hallazgo estuvieron en un entendimiento, mejor que todo lo anterior, de la idea del conjugado de un número complejo. Así, antes de continuar con Leibniz, déjame mostrarte un lindo uso de los complejos conjugados. Considera el siguiente enunciado, que puede verificarse con un poco de aritmética sobre una hoja de papel cualquiera: (22 + 32)(42 + 52) = 533 = 72 + 222 = 232 + 22. Y también este otro, que es apenas un poquito más problemático de verificar: (172 + 192)(132 + 152) = 256 100 = 642 + 5022 = 82 + 5062. ¿Qué está ocurriendo aquí? Éstos son dos ejemplos de un teorema general que dice que el producto de dos sumas de dos cuadrados de enteros siempre puede expresarse, de dos formas diferentes, como la suma de dos cuadrados de enteros. Esto es, dados los enteros a, b, c y d, siempre podemos encontrar dos pares de enteros positivos u y v tales que

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(a2 + b2)(c2 + d2) = u2 + v2. Por lo tanto, dice este teorema, debe ser cierto que hay dos soluciones enteras de, por ejemplo, (892 + 1012)(1112 + 1332) = 543 841 220 = u2 + v2. ¿Puedes ver quiénes son u y v? Probablemente no. Sin embargo, con números complejos, y con el concepto de complejo conjugado, es sencillo analizar este problema. Aquí está cómo hacerlo. Factorizando el enunciado general del teorema a demostrar, tenemos [(a + ib)(a – ib)][(c + id )(c – id )] = [(a + ib)(c + id )][(a – ib)(c – id )]. Como los números en los corchetes del lado derecho son conjugados, podemos escribir el lado derecho como (u + iv)(u – iv). Esto es, u + iv = (a + ib)(c + id ) = (ac – bd ) + i(bc + ad ) y, por lo tanto, u = |ac – bd| y v = bc + ad. Pero ésta no es la única solución posible.También podemos escribir la expresión factorizada como 10. Existe una linda traducción al inglés de este libro, realizada por E. L. Sigler: The Book of Squares (Academic Press, 1987).Véase también McClenon, “Leonardo of Pisa and His Liber Quadratorum”. Leonardo es más conocido por su sobrenombre Fibonacci, que es una contracción de Filiorum Bonacci (es decir, “de la familia Bonacci”) o Filius Bonacci (es decir, “hijo de Bonacci”), frases que aparecían en la portada de varios trabajos suyos. Es en honor de Leonardo de Pisa, por lo tanto, que se bautizó la famosa sucesión de Fibonacci, es decir, la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, en la cual cada número después del segundo es la suma de los dos anteriores. Esto se escribe usualmente como la fórmula de recurrencia un+2 = un+1 + un con u0 = u1 = 1. Esta sucesión aparece en el Liber abaci de Leonardo (1202) y es un caso especial de la fórmula más general un +2 = pun +1 + qun con p y q constantes arbitrarias. En el capítulo 4 voy a mostrarte cómo aparecen los números complejos en esta recurrencia para ciertos valores de p y q.

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[(a + ib)(c – id )][(a – ib)(c + id )] = [u + iv][u – iv] y así la segunda solución es u + iv = (a + ib)(c – id ) = (ac + bd ) + i(bc – ad ), o sea u = ac + bd y v =|bc – ad|. Este resultado demuestra el teorema construyendo explícitamente fórmulas para u y v, y en particular nos dice que (892 + 1012)(1112 + 1332) = 3 5542 + 23 0482 = 6262 + 23 3122. Este problema es bastante viejo (ya Diofanto lo conocía) y una discusión del mismo, una que no utiliza números complejos, puede encontrarse en Liber quadratorum [El libro de los cuadrados],10 de 1225, del matemático italiano medieval Leonardo Pisano (ca. 1170-1250), es decir Leonardo de Pisa, ciudad conocida hoy sobre todo por su famosa torre inclinada. Leibniz, sin duda, debe haber hallado el concepto de número complejo conjugado porque era justo lo que necesitaba para explicar su “hecho paradójico”. Leibniz describió así su confusión: “No entiendo

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cómo […] una cantidad puede ser real cuando se utilizan números imaginarios o imposibles para expresarla.” Encontraba esto tan asombroso que, tras su muerte, entre muchos trabajos no publicados, se encontraron muchas expresiones de ésas, como si continuamente hubiera estado calculándolas. Por ejemplo, al resolver las cúbicas x3 – 13x – 12 = 0 y x3 – 48x – 72 = 0, respectivamente, llegó al descubrimiento adicional de que 3 6+

1225 1225 − 27 + 3 6 − − 27 = 4

y 3

−36 + −2800 + 3 −36 − −2800 = 6.

La “realidad” de estas expresiones literalmente “complejas” hoy sería considerada trivialmente obvia por un buen estudiante de álgebra de la escuela secundaria. Tal ha sido el progreso matemático en la comprensión de �. En realidad, utilizando el concepto de números conjugados, hoy sabemos que la gráfica de cualquier función f (x) contiene, en sus propiedades geométricas, todas las raíces de la ecuación f (x) = 0, reales y complejas. Permíteme concluir este capítulo mostrándote cómo es eso, en particular, para cuadráticas y cúbicas.

Cómo hallar raíces complejas con una regla Cuando se grafica un polinomio f (x) de grado n con coeficientes reales, la interpretación geométrica es que el dibujo cortará el eje real en cada raíz real de la ecuación f (x) = 0. Del cruce del eje x, de hecho, es de donde viene el cero del lado derecho. Si hay menos de n cruces, digamos m < n, entonces la interpretación es que hay m raíces reales dadas por cada cruce, y n – m raíces complejas. El valor de n – m es un número par ya que, como mostramos en el apéndice a, las raíces complejas aparecen siempre como pares conjugados. Esto no quiere decir, sin embargo, que no haya una evidencia “física” de las raíces complejas en la gráfica. La evidencia de las raíces reales, un cruce del eje x, es simple y directa, pero si estás dispuesto a hacer un poco más de esfuerzo también podrás ver las raíces complejas en la gráfica. Primero, considera la ecuación cuadrática f (x) = ax2 + bx + c = 0. Las dos raíces de esta ecuación son ambas reales o un par de complejos conjugados, dependiendo del signo algebraico de la cantidad b2 – 4ac. Si ésta no es negativa, entonces las raíces son reales y la gráfica cruza dos veces el eje x, o bien la gráfica es tangente al eje (si b2 – 4ac = 0, lo que da lugar a una raíz doble). Si b2 – 4ac es negativo, entonces las raíces son complejas y no hay cruces del eje x, que es lo que se muestra en la figura 4. Supongamos que éste es el caso, y que las raíces son p ± iq. Entonces, escribiendo f (x) en forma factorizada,

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f (x) = a(x – p – iq)(x – p + iq) = a[(x – p)2 + q2], es claro que f (x) ≥ aq2 si a > 0 y que f (x) ≤ aq2 si a < 0. Esto es, f (x) alcanza su mínimo valor en x = p si a > 0 (como se muestra en la figura 4), o su máximo valor en x = p si a < 0. Podemos, por lo tanto, calcular p a partir de la gráfica de f (x) como la coordenada x del extremo local. Para calcular el valor de q a partir de la gráfica, empieza por determinar la coordenada y del mínimo (asumiendo a > 0; el caso a < 0 requiere una adaptación trivial), es decir, determina aq2. Entonces, con x = p, muévete hacia arriba 2aq2 unidades y luego hacia la derecha hasta intersecar la gráfica. La coordenada en x de ese punto de intersección (llamémoslo xˆ ), cuando se pone como argumento de la función, da f ( xˆ ) = 2aq2 = a[( xˆ – p)2 + q2] = a( xˆ – p)2 + aq2 o aq2 = a( xˆ – p)2 o q = xˆ – p. Así, q puede obtenerse directamente de la gráfica de f (x), como muestra la figura 4. Pasando ahora a las cúbicas, observemos primero que tiene que haber (a) tres raíces reales o (b) una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Debes tener claro por qué las tres raíces no pueden ser complejas y por qué no puede haber dos raíces reales y una raíz compleja. Si no lo tienes claro, consulta el apéndice a. El caso (b) es el que nos interesa. Llamemos x = k a la raíz real y al par de raíces conjugadas x = p ± iq. Entonces, podemos escribir f (x) en forma factorizada como y = f (x) = (x – k)(x – p + iq)(x – p – iq)

f ( x ) = ax 2 + bx + c , b2 − 4 ac < 0 y a > 0

o, desarrollando y agrupando términos, como f (x) = (x – k)(x2 – 2px + p2 + q2).

2aq2 aq2

O

p

x

p+q q

Figura 4. Una ecuación cuadrática sin raíces reales.

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La gráfica de una cúbica con una única raíz real, o sea con un solo cruce del eje x, tendrá en general la apariencia de la figura 5. Construye el triángulo AMT, donde A es el punto de intersección de y = f (x) con el eje x, T es el punto de tangencia a y = f (x) de una recta que pasa por A, y M es el pie de la perpendicular al eje x que pasa por T. Por supuesto, la raíz real es k = OA. Ahora, consideremos la recta y = λ(x – k), que claramente pasa por A, ya que y = 0 cuando x = k.

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Imagina que λ, la pendiente de esta recta, se ajusta hasta que apenas toca la gráfica, es decir, hasta que es tangente a y = f (x). Esto nos da entonces T, y como en ese punto la gráfica y la recta se intersecan tenemos que y = f (x) y y = λ(x – k); denotemos con xˆ al valor de x que cumple esa igualdad: ( xˆ − k ) =( xˆ − k )( xˆ 2 − 2 pxˆ + p2 + q2 ). Como xˆ – k ≠ 0, podemos dividir ambos lados de la ecuación para obtener una cuadrática en xˆ , = xˆ 2 − 2 pxˆ + p2 + q2. De hecho, como T es un punto de tangencia, debe haber sólo un valor de xˆ . Esto es, xˆ 2 − 2 pxˆ + p2 + q2 − = 0 debe tener dos raíces iguales, o sea una doble. Ahora, en general, 2 p ± 4 p2 − 4( p2 + q2 − ) , 2 y, para tener raíces dobles, el radical debe ser cero. Esto es, xˆ =

4p2 – 4( p2 + q2 – λ) = 0 o λ = q2. Esto es, la recta tangente AT tiene pendiente q2 = TM/AM. El valor de xˆ es entonces, a partir de su expresión general, xˆ = p = OM. Así que, para hallar todas las raíces de la cúbica, necesitas dibujar y = f (x) y entonces: y = f (x )

1] obtén la raíz real calculando OA (= k); 2] coloca una regla usando a A como pivote y acomódala hasta que apenas toque la función graficada (“localizando” así a T ); 3] calcula TM y AM, y calcula luego q=

O

A

x

M

TM ; AM

4] calcula OM para obtener p; 5] las dos raíces imaginarias son p + iq y p – iq.

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T

Figura 5. Una ecuación cúbica con una sola raíz real.

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