MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 1. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA. 1.1.




Definición. El punto no tiene partes ni medida ni forma. No tiene dimensiones. Todos los elementos y figuras de la geometría están formados por puntos. El punto tiene posición en el espacio respecto de todos los demás puntos de éste. Recíprocamente, el espacio es el conjunto de los infinitos puntos.

1.2.




LA LÍNEA. Definición. La línea es una sucesión continua e indefinida de puntos. De la línea pueden hacerse partes. Cada una de estas partes tiene longitud, pero no tiene anchura. Las líneas pueden tener distintas formas (y clasificarse atendiendo a ellas).

1.3.



EL PUNTO.

LA SUPERFICIE.

Definición. La superficie es una sucesión continua e indefinida de líneas y la extensión continua e indefinida de puntos. Las superficies pueden tener distintas formas. Las partes de una superficie también pueden tener distintas formas. Estas formas tienen longitud y anchura, pero no profundidad.

1.4.


RELACIONES RECÍPROCAS ENTRE LOS PUNTOS, LAS LÍNEAS Y LAS SUPERFICIES. Un punto es la intersección de dos líneas o la intersección de tres superficies. P

Una línea es la intersección de dos superficies.




1.5.









LA (LÍNEA) RECTA.

Definición. La línea recta es aquella que se dispone de la misma forma en todos los puntos que están en ella: mantiene siempre la misma dirección (sin curvas ni ángulos). La (línea) recta tiene partes. Cada una de estas partes tiene longitud. La recta es unidimensional. La (línea) recta determina una dirección del plano. La (línea) recta no tiene sentido (es reversible o simétrica). La (línea) recta tiene extensión indefinida, luego su longitud es infinita, no es medible y no tiene centro.

1.6.





P

EL PLANO.

Definición. El plano es la superficie formada por líneas rectas. El plano se dispone por igual en todos los puntos que están sobre él. El plano tiene extensión infinita, que no es medible y no tiene centro. El plano tiene partes. Cada una de estas partes tiene longitud y anchura medibles. El plano es bidimiensional La intersección de dos planos es una (línea) recta.

1.7. EL ESPACIO.
Definición. El espacio es el conjunto de planos (superficies) y rectas (líneas) dispuestos en


cualquier dirección. En el espacio se distinguen la longitud, la anchura y la profundidad. El espacio es tridimensional. 1

RESUMEN DE GEOMETRÍA

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 1.8.









B

Longitud

Definición. El segmento es una parte finita de una recta a cuyos extremos hay dos puntos. El segmento tiene la dirección de la recta que lo contiene. A El segmento no tiene sentido (es reversible o simétrico). Dirección (recta) El segmento tiene extremos y es finito, luego su longitud es finita, es medible y sí tiene centro. Para nombrar a un segmento se citan sus extremos en cualquier orden: AB = BA .

1.9.





EL SEGMENTO.

EL VECTOR.

Definición. El vector es un segmento orientado, con principio y fin. El vector tiene la dirección de la recta que lo contiene. El vector sí tiene sentido (ni es reversible ni simétrico). El vector tiene extremos y es finito, luego su longitud es finita y es medible. Esta longitud se llama módulo. Para nombrar a un vector se citan sus extremos en el orden de


 principio a fin: AB

Sentido Módulo

B

A Dirección (recta)

1.10. EL ÁNGULO (PLANO). Definición. Ángulo (plano) es cada una de las cuatro regiones del plano determinadas por dos rectas concurrentes. Si de los cuatro ángulos tomamos uno de ellos desde el punto de corte de ambas rectas y escogemos una semirrecta por cada una de las rectas, se definen los elementos del ángulo: r  Vértice (O): es el punto de corte de ambas semirrectas.  Lados (r, s): son cada una de las semirrectas que delimitan O Â el ángulo y pertenecen a él.  Amplitud (Â): es la medida de la apertura relativa de las semirrectas. s En muchas ocasiones se identifica la amplitud con el ángulo. Sentido del ángulo. A efectos de lectura, medida y cálculo, la amplitud del ángulo se despliega en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido dextrógiro o “a derechas”)








1.11. LÍNEA CURVA Y ARCO. Línea curva es la línea que no es recta y que carece de ángulos. Arco es la parte finita de una línea curva a cuyos extremos hay dos puntos.  El arco tiene extremos y es finito, luego su longitud es finita y es medible. A  Para nombrar a un arco se citan sus extremos en cualquier  = BA . orden: AB





B

2. POSICIONES RELATIVAS ENTRE LOS ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA: PUNTO, RECTA (LÍNEA) Y PLANO (SUPERFICIE). 2.1.



2.2.

POSICIONES RELATIVAS. Todo elemento geométrico que está en el espacio tiene una posición en él. La posición en el espacio de dos elementos distintos supone una posición relativa de uno con respecto al otro.

POSICIONES RELATIVAS DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA (LÍNEA) O DE UN PLANO (SUPERFICIE). Q




Pertenencia. Un punto P pertenece a una recta r (línea) o a un plano α (superficie) si es uno de sus puntos.




No pertenencia. Un punto Q no pertenece a una recta r (línea) o a un plano α (superficie) si no es uno de los puntos de una de sus rectas (líneas).

P

r

Q P α

2

RESUMEN DE GEOMETRÍA

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 2.3.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS (LÍNEAS) EN EL ESPACIO.




Rectas (líneas) paralelas son aquellas cuyos puntos mantienen entre sí las mismas posiciones correlativas. Consecuencias:  Dos rectas (líneas) paralelas no se cortan en ningún punto. d  Dos rectas (líneas) paralelas mantienen entre sí la misma distancia.  Dos rectas (líneas) paralelas determinan un plano común.




Rectas (líneas) concurrentes o secantes son aquellas cuyos puntos no mantienen entre sí las mismas posiciones correlativas y se cortan. P  Si ambas líneas concurrentes son rectas: d=0
Se cortan en un solo punto.
Convergen hacia el punto común y divergen desde él.
Están situadas a distancia cero.
Determinan un plano común.
Forman cuatro ángulos planos que abarcan el plano común.  Si una o las dos líneas no son rectas:
Se cortan en uno o más puntos.
Están situadas a distancia cero.
No tienen por qué determinar un plano común.




Rectas (líneas) cruzadas son aquellas cuyos puntos no mantienen entre sí las mismas posiciones correlativas y no se cortan en un punto. Consecuencias:  Dos rectas (líneas) cruzadas están situadas a distancia distinta de cero.  Dos rectas (líneas) cruzadas no determinan un plano común. d≠0  Dos rectas (líneas) cruzadas no determinan ángulos planos.

2.4.





2.5.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS (SUPERFICIES) DEL ESPACIO.

Planos (superficies) paralelos son aquellos cuyos puntos mantienen entre sí las mismas posiciones correlativas. Consecuencias:  Dos planos (superficies) paralelos no se cortan en ningún punto.  Dos planos (superficies) paralelos mantienen entre sí la misma distancia. Planos concurrentes o secantes son aquellos cuyos puntos no mantienen entre sí las mismas posiciones correlativas y se cortan en una recta. Consecuencias:  Dos planos concurrentes están situados a distancia cero.  Dos planos concurrentes determinan cuatro regiones del espacio separadas por cuatro semiplanos.

POSICIONES ESPACIO.

RELATIVAS UNA RECTA

(LÍNEA)

Y UN PLANO

d=0

(SUPERFICIE)




Recta (línea) paralela al plano es aquella cuyos puntos mantienen respecto del plano las mismas posiciones correlativas. Consecuencias:  Recta (línea) y plano no se cortan en ningún punto.  Recta (línea) y plano mantienen entre sí la misma distancia.




Recta concurrente con el plano es aquella cuyos puntos no mantienen respecto del plano las mismas posiciones correlativas. Consecuencias:  Recta y plano se cortan en un punto.  Recta y plano están situados a distancia cero.







d

EN EL d

Línea concurrente con el plano es aquella cuyos puntos no mantienen respecto del plano las mismas posiciones correlativas. Consecuencias:  Línea y plano se cortan en uno o más puntos.  Línea y plano están situados a distancia cero.

d=0

d=0

Recta (línea) exterior a una superficie es aquella cuyos puntos no mantienen respecto a los de la superficie las mismas posiciones correlativas y no se cortan en ningún punto.

3

RESUMEN DE GEOMETRÍA

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 3. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS. PERPENDICULARIDAD. 3.1.




Definición. La distancia entre dos elementos geométricos es la medida del camino más corto que los une sin salirse del espacio para recorrerlo. El camino más corto entre dos elementos geométricos se localiza entre dos puntos, uno de cada uno de esos elementos geométricos B El espacio permitido para medir una longitud depende del lugar donde está ubicado el camino.  En el espacio puede medirse la distancia entre A y B sin restricción en cualquiera B A de sus tres dimensiones. A A  En el plano puede medirse la distancia entre A y B sin salirse del plano.  En una superficie no plana puede medirse la B distancia entre A y B sin salirse de ella.  En la recta puede medirse la B distancia entre A y B sin salirse de ella. A B A  En una línea no recta puede medirse la distancia entre A y B sin salirse de ella recorriéndola.

3.2.



DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.

Definición. La distancia entre dos puntos es la medida de la longitud del segmento que los une. A partir de los conceptos de segmento y distancia podemos dar otra definición de recta: dados dos puntos, la línea que contiene la trayectoria de menor longitud que los une es recta.

3.3.


CONCEPTO DE DISTANCIA.

Concepto de perpendicularidad. Dos rectas, dos planos, una recta y un plano son perpendiculares cuando son secantes y todos los ángulos formados en la intersección son iguales y rectos.

90º

90º

90º

90º

90º

90º

90º

90º

90º

90º 90º

Propiedades.  Propiedad fundamental (de la unicidad): Dado un punto y una recta (o un plano) sólo existe una recta perpendicular que los une.  Toda recta tiene infinitas rectas perpendiculares, situadas en el mismo plano o en planos paralelos entre sí.  Toda recta tiene infinitos planos perpendiculares, paralelos entre sí. P  Todo plano tiene infinitos planos perpendiculares, paralelos o no entre sí.




3.4.

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. Definición. La distancia entre un punto P y una recta r es la distancia entre ese punto P y el punto Q en el que la perpendicular trazada desde el punto P a la recta r la corta.

3.5.


A

CONCEPTO DE PERPENDICULARIDAD.

90º




B

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO EN EL ESPACIO.

Definición. La distancia entre un punto P y un plano α es la distancia entre ese punto P y el punto Q en el que la perpendicular trazada desde el punto P al plano α lo corta. 4

d(P,Q)=d(P,r) Q r P

d(P,Q)=d(P,α) Q

RESUMEN DE GEOMETRÍA

α

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 3.6.

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO EN EL ESPACIO.




Definición.  Si la recta r es secante al plano α, la distancia es cero.  Si la recta r es paralela al plano α, la distancia entre la recta r y el plano α es la distancia entre cualquier punto P de la recta r y el punto Q en el que la perpendicular trazada desde el punto P al plano α lo corta.

3.7.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS EN EL ESPACIO. Definición.  Si el plano α es secante al plano β, la distancia es cero.  Si el plano α es paralelo al plano β, la distancia entre el plano α y el plano β es la distancia entre cualquier punto P del plano α y el punto Q en el que la perpendicular trazada desde el punto P al plano β lo corta.




3.8.

4. TRAZADOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA PLANA. 4.1.






d(P,Q)=d(r,α) α

Q

P

α

d(P,Q)=d(α,β) β

Q

r

P

d(P,Q)=d(r,s) Q P

s r α

d(P,Q)=d(r,s)=d(α,β) Q

s β

LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.

Definición. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que lo corta por su centro. Propiedades.  Cada punto de la (recta) mediatriz equidista de los extremos del segmento.  La recta mediatriz es el eje de simetría del segmento.

4.2.


r

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS EN EL ESPACIO. Definición.  Si la recta r es secante a la recta s, la distancia es cero.  Si la recta r es paralela a la recta s, la distancia entre la recta r y la recta s es la distancia entre cualquier punto P de la recta r y el punto Q en el que la perpendicular trazada desde el punto P a la recta s lo corta.  Si la recta r se cruza con la recta s, la distancia entre la recta r y la recta s es la distancia entre los planos paralelos α y β que contienen a r y s, respectivamente.




P

LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.

Definición. La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por su vértice y divide a la región del plano que es el ángulo en dos subregiones de la misma amplitud. Propiedades.  La recta bisectriz es el eje de simetría del ángulo.  Cada punto de la (recta) bisectriz equidista de los puntos simétricos que determina en los lados del ángulo.

5. FIGURAS BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA PLANA. 5.1.



CURVAS PLANAS.

Definición. Una curva plana es una línea continua unidimensional que varía de dirección continuamente. Tipos de curvas:  Simples: de definición matemática permanente. Ejemplo: la circunferencia y la elipse.  Compuestas: de definición matemática Simple: elipse Compuesta: ovoide por trozos. Ejemplo: el óvalo y el ovoide. 5

RESUMEN DE GEOMETRÍA

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA Tipos de curvas no compuestas:  Abiertas: Parábola, hipérbola, espiral y otras como éstas…




Tractriz

Cicloide

Folium de Descartes Sinusoide

 Cerradas: Circunferencia, elipse y otras como éstas...

Cardioide

Bicúspide

5.2.

Astroide

Epicicloide

Lemniscata

Rosa Polar

LAS FIGURAS PLANAS. ÁREA Y PERÍMETRO. Definición. Una figura plana es una región del plano cerrada por límites que pertenecen al mismo plano. Los límites de una figura plana son segmento(s) y/o arco(s). Las figuras planas más usuales son aquellas cuyos límites son segmentos, y se llaman polígonos. Todos los límites de una figura plana pertenecen a la figura plana. Definición de Área: Es la medida de la extensión bidimensional de la figura plana. Definición de Perímetro. Es la medida de la longitud total de los límites unidimensionales de una figura plana.








6. CÓNICAS. 6.1.

BREVE DESCRIPCIÓN DE LAS CÓNICAS.

Definición. Las cónicas o secciones cónicas son una serie de curvas que se obtienen al cortar un cono por un plano que no pasa por su vértice.  Circunferencia: El plano que corta al cono es paralelo a su base.  Hipérbola: El plano que corta al cono es paralelo a su eje.  Parábola: El plano que corta al cono es paralelo a su generatriz.  Elipse: El plano que corta al cono no es paralelo ni a la base, ni a la generatriz ni al eje.




Circunferencia




Elipse

Hipérbola

Parábola

Características de las cónicas no regulares.  Hipérbola: Es una cónica abierta de dos ramas cuyos puntos están relacionados con dos puntos llamados focos de la siguiente manera. Para todo punto P de la hipérbola, las distancias de P con relación a los focos F y F’ cumplen |d(P,F) – d(P,F’)| = constante.  Parábola: Es una cónica abierta de una rama cuyos puntos están relacionados con un punto llamado foco y una recta llamada directriz de la siguiente manera. Para todo punto P de la hipérbola, las distancias de P con relación al foco F y a la directriz d cumplen d(P,F) = d(P,d).  Elipse: Es una cónica cerrada cuyos puntos están relacionados con dos puntos llamados focos de la siguiente manera. Para todo punto P de la elipse, las distancias de P con relación a los focos F y F’ cumplen d(P,F) + d(P,F’) = constante. 6

RESUMEN DE GEOMETRÍA

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 6.2.









Definición de círculo. Un círculo es la figura plana cuyo límite es una circunferencia. Definición de circunferencia. La circunferencia es el arco plano y cerrado cuyos puntos están situados a la misma distancia de un mismo punto del círculo, que por eso se llama centro del círculo o de la circunferencia. La circunferencia como cónica.  Es la única cónica regular.  Es un caso excepcional de elipse en la que los dos focos F y F’ coinciden en el centro O. Por eso cumple d(P,O) + d(P,O) = diámetro. Propiedades.  El centro del círculo o de la circunferencia sí pertenece al círculo, pero no pertenece a la circunferencia.  El círculo tiene área.  La circunferencia tiene perímetro, llamado longitud de la circunferencia.  El círculo es la única figura plana regular no poligonal.

6.3.
















ELEMENTOS SINGULARES DEL CÍRCULO Y DE LA CIRCUNFERENCIA.

Radio. Es cada uno de los segmentos que une el centro O del Segmento A’ círculo con un punto P de la circunferencia. circular Cuerda. Es cada uno de los segmentos que une dos puntos A y A’ de la circunferencia. A Arco de circunferencia. Es el conjunto de puntos de la O B’ circunferencia comprendidos entre los extremos A y A’ de una B cuerda. Diámetro. Es cada una de las cuerdas que pasa por el centro O Sector uniendo dos puntos B y B’ de la circunferencia. circular Sector circular. Es la figura plana del círculo cuyos límites son P’ dos radios OP y OP’ y el arco PP’ formado en la circunferencia por P sus extremos. Segmento circular. Es la figura plana del círculo cuyos límites con una cuerda BB’ y el arco BB’ formado en la circunferencia por sus extremos. Partes del círculo con nombre propio:  Semicírculo: Segmento o sector circular que abarca medio círculo y un arco de media circunferencia (llamada semicircunferencia).  Cuadrante: Sector circular que abarca un cuarto de círculo y un arco de un cuarto de circunferencia. El sector circular, el segmento circular, el semicírculo y el cuadrante tienen área. El radio, la cuerda, el diámetro y el arco tienen longitud.

6.4.


EL CÍRCULO Y SU LÍMITE, LA CIRCUNFERENCIA.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y DE UNA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO.

Exterior. Una recta es exterior a una circunferencia si no tienen ningún punto en común. Tangente. Una recta es tangente a una circunferencia si tienen un punto en común con ella.  Propiedad fundamental. La recta tangente a una circunferencia forma un ángulo recto (90º) con el radio de la circunferencia que pasa por el punto de tangencia.  La distancia entre el centro de la circunferencia y la recta tangente es igual a la medida del radio de la circunferencia. Secante. Una recta es secante a una circunferencia si tienen dos puntos en común.

Exterior

90º Tangente

7

Secante

RESUMEN DE GEOMETRÍA

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 6.5.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS EN EL PLANO. POSICIÓN

PUNTOS EN COMÚN

DISTANCIA ENTRE LOS CENTROS

Exteriores

Ninguno

Mayor que la suma de los radios d>R+r

Tangentes Exteriores

Uno

DIBUJO R

r d

Igual a la suma de los radios d=R+r

r

R d

Secantes

Dos

Entre la suma de los radios y la diferencia de los radios R+r>d>R–r

r

R d

Tangentes Interiores

Uno

Igual a la diferencia de los radios d=R–r

Rr

Interiores

Ninguno

Menor que la diferencia de los radios d90º

RESUMEN DE GEOMETRÍA

V’

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA


Cuadriláteros. NOMBRE

LADOS

ÁNGULOS

OTROS DATOS

Cuadrado

Todos iguales

Todos iguales de 90º

–––––

Rombo

Todos iguales

Iguales los opuestos dos a dos

Una pareja de ángulos iguales del rombo son agudos y la otra obtusos

Rectángulo

Iguales los opuestos dos a dos

Todos iguales de 90º

–––––

Romboide

Iguales los opuestos dos a dos

Iguales los opuestos dos a dos

Una pareja de ángulos iguales del romboide son agudos y la otra obtusos

Cometa

Iguales los contiguos dos a dos

Iguales dos de los opuestos

NOMBRE

LADOS

ÁNGULOS

OTROS DATOS

Iguales dos a dos los contiguos

El trapecio isósceles tiene los otros dos lados no paralelos iguales

Dos ángulos contiguos de 90º

–––––

Todos desiguales

El trapecio escaleno no tiene más regularidades

Todos desiguales

No existe ningún tipo de paralelismo ni regularidad

Trapecio isósceles

Trapecio rectángulo

Los trapecios tienen dos lados paralelos desiguales llamados bases

Trapecio escaleno

Trepezoide







Todos desiguales

DIBUJO

DIBUJO =

=

Polígonos mayores. Pentágono (5), Hexágono (6), Heptágono (7), Octógono (8), Eneágono (9), Decágono (10), Endecágono (11), Dodecágono (12), Tridecágono (13), … lados, ángulos y vértices, respectivamente. Algunos polígonos regulares con características especiales.  Pentágono. Todos los pentágonos regulares cumplen la relación áurea entre sus diagonales d y sus lados l (Teorema de Ptolomeo): d+l d = d l  Hexágono. En todos los hexágonos regulares, la longitud del radio de la circunferencia circunscrita es igual a la longitud del lado.

10

RESUMEN DE GEOMETRÍA

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 8. ÁREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS PLANAS CERRADAS MÁS COMUNES. 8.1.

FIGURAS SIMPLES. NOMBRE ÁREA Triángulo

A=

b⋅a 2

PERÍMETRO

LETRAS

DIBUJO

Suma de sus lados

b: base a: altura

a b

Rectángulo en posición de catetos

c1 ⋅ c2 2

P = c1 + c2 + h

c1, c2: catetos h: hipotenusa

Cuadrado

A = l2

P = 4l

l: lado

Rectángulo

A = b⋅a

P = 2a + 2b

b: base a: altura

Rombo

D⋅d A= 2

P = 4l

D: diagonal mayor d: diagonal menor l: lado

Romboide

A = b⋅a

Suma de sus lados

b: base a: altura

Trapecio

Polígono regular

Círculo

Sector Circular

8.2.

A=

(B + b) ⋅ a A= 2

A=

P ⋅ ap 2

A = π ⋅ r2

A=

π ⋅ r2 ⋅ n 360

Suma de sus lados

B: base mayor b: base menor a: altura

P = n⋅l

n: nº lados l: lado ap: apotema

P = 2π ⋅ r

r: radio

-----

r: radio n: ángulo central

h

c2 c1

l

a b D d l

a b b a B

l

ap

r

n r

FIGURAS COMPUESTAS.




Área. Para calcular el área de una figura compuesta se divide la figura en partes cuya área puede conocerse con mayor facilidad y…  Si la parte añade una parte de la figura completa, su área se suma.  Si la parte elimina una parte de la figura completa, su área se resta.




Perímetro. Para calcular el perímetro de una figura compuesta se divide todo el contorno interior y exterior en segmentos y arcos y…  Si el contorno es exterior, se suma.  Si el contorno es interior, también se suma. 11

RESUMEN DE GEOMETRÍA

MATEMÁTICAS Y DIBUJO TÉCNICO RESUMEN DE GEOMETRÍA 9. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS. 9.1.


TIPOS DE ÁNGULOS. Un ángulo puede ser… CRITERIO

NOMBRE

CARACTERÍSTICAS

Ángulo cero

Sus lados son coincidentes  = 0º

Ángulo recto

Sus lados son perpendiculares  = 90º

 = 90º

Ángulo llano

Sus lados son opuestos  = 180º

 = 180º

Ángulo agudo

Menor que un recto  < 90º

Ángulo obtuso

Mayor que un recto  > 90º

Ángulo convexo

Menor que un llano  < 180º

Ángulo cóncavo

Mayor que un llano  > 180º

Según los lados

Respecto al ángulo recto

Respecto al ángulo llano




 < 90º  > 90º

 > 90º

Â