GEOMETRÍA ANALÍTICA Renato Descartes (1596-1650). Filósofo y matemático. Padre de la Filosofía moderna. Nació en La Haye en Touraine, cerca de Poitiers. Desde 1967 La Haye se llama Descartes en honor al filósofo. Es considerado el creador de la Geometría Analítica.

Competencias de la Unidad. Al concluir la unidad serás capaz de: 1. Calcular la distancia entre dos puntos, la división de un segmento de acuerdo a una razón dada, la pendiente de una recta y el ángulo formado por dos rectas. 1. Encontrar la ecuación de las secciones cónicas con centro en el origen, dadas sus características. 2. Identificar los parámetros que caracterizan una sección cónica a partir de su ecuación y a partir de su gráfica.

Contenidos de la Unidad. Sistema de coordenadas: unidimensional y bidimensional. División de un segmento de acuerdo a una razón dada. La línea recta. Pendiente de una recta. Formas de la ecuación de la recta. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas. Punto de intersección de dos rectas. Secciones cónicas con centro en el origen. (Circunferencia, parábola, elipse e hipérbola).

6.1 Sistema de coordenadas. 6.1.1 Concepto de segmento. Actividad 1. Observe la figura y diga cuáles son los elementos que reconoce:

Identifique los siguientes elementos: 1.

Un punto

2.

A

B

Una recta

3.

Un segmento.

Si has señalado correctamente, has reconocido tres conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Actividad 2. De acuerdo a la figura de la Actividad 1, cómo se simbolizan los elementos que identificaste? a. El punto A.

b. La recta.

c. El segmento.

1

6.1.2 Sistema de coordenadas unidimensional. La recta real. Cuando tu ubicas puntos sobre una recta y le asignas un número real a cada punto, estás estableciendo una correspondencia biunívoca. Concepto de correspondencia biunívoca entre puntos de la recta y el conjunto de los números reales. A cada punto de la recta le corresponde un número real y a todo número real le corresponde un punto de la recta. En la siguiente figura se ilustra el concepto enunciado: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

ℝ

{

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

}

Actividad 3. A partir del gráfico anterior determina a que número real corresponden los siguientes puntos de la recta: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7.

El conjunto de puntos, en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números reales, se llama sistema de coordenadas unidimensional o recta real (o numérica).

La recta en la se ubican los puntos de acuerdo a la correspondencia biunívoca se llama recta numérica La gráfica representa la recta numérica. Ten presente, que se puede dibujar no sólo en forma horizontal, sino que puede estar en cualquier posición.

-∞

-1

0

1

+∞

El número cero se toma, generalmente como origen del sistema de coordenadas unidimensional. Para los objetivos que se persiguen en la Escuela Secundaria, se acostumbra tomar el cero como origen de coordenadas Recuerda la observación sobre el significado del símbolo “∞” hecha por C.F, Gauss y que la presentamos en la primera unidad.

.

2

A todo punto de la recta le corresponde un número real y a todo número real le corresponde un punto de la recta

6.1.3 La distancia entre dos puntos en el sistema unidimensional. Actividad 4. Analiza con detenimiento el Teorema 1 que se presenta a continuación.

Teorema 1. La distancia entre los puntos P1 y P2, se define como el valor absoluto de la diferencia entre las coordenadas de los puntos. Si representamos la distancia por “d”, se escribe: d ( P1 P2 ) x2 x1 o también d ( P2 P1 ) x1 x2 , donde x1 es la coordenada del punto P1 y x 2 es la coordenada del punto P2

Actividad 5. De acuerdo al teorema 1, responda a las preguntas: a. ¿Por qué se usan las barras de valor absoluto? b. ¿Qué significado tiene la afirmación d ( P1 P2 ) ? d ( P2 P1 ) c. ¿Qué ocurre si los puntos coinciden? Las preguntas anteriores tiene las respuestas siguientes: a. Se usan barras de valor absoluto, porque la distancia entre puntos es una cantidad positiva. b. Esta afirmación nos muestra que la distancia entre dos puntos es simétrica. Esto significa que se recorre la misma distancia para ir del punto P1 al punto P2 que del punto P2 al punto P1. c. Si los puntos coinciden, la distancia entre ellos es cero. Esto significa no moverse del punto. Nos podemos convencer que la distancia es cero sustituyendo las coordenadas de los puntos en la fórmula que indica el Teorema 1. En efecto: Si los puntos coinciden, entonces tienen la misma coordenada, y la distancia entre ellos es: d ( P1 P1 ) x1 x1 0 .

3

Actividad 6. Calcula la distancia entre los puntos P1 (8) y P2 (-2) utilizando la fórmula del teorema 1. a. Aplica el teorema 1 para los puntos dados. b. Realiza el cálculo para la distancia de P2 a P1. c. Compara los resultados. ¿Qué puedes concluir del resultado obtenido? Actividad 7. Calcula la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a. A(-9) y B(+5)

b. C(-34) y D(-16).

c. E (45) y F (100)

d. G (-23) y H(x)

6.1.4 Sistema de coordenadas en dos dimensiones o bidimensional. Concepto de sistema coordenadas en dos dimensiones o bidimensional. Dados dos conjuntos A y B no vacíos, el producto cartesiano de A con B, que se denota por A B se define:

A B

( x, y) / x

Ay y

B , los pares (x, y) se llaman pares ordenados.

Si los conjuntos A y B son los números reales, entonces el par (x,y) se llama par ordenado de números reales. Sobre una recta numérica, a cada punto le corresponde un número real. En un plano, a cada punto le corresponde un par ordenado de números reales. Para representar el producto cartesiano, se traza un eje “x” y un eje “y” perpendiculares entre sí.

Eje y

II cuadrante x0

I cuadrante x>0 y y>0

La intersección 0 de los ejes “x” e “y” se llama origen. A este sistema se le llama sistema de coordenadas cartesianas. También se le llama sistema de coordenadas rectangulares.

90

Eje x 0 III cuadrante IV cuadrante x