Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria PROPUESTA HIDALGO

1

er grado

Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCITHidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa, del cual surgió la propuesta nacional. Autores de EMAT-Hidalgo Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz [email protected] [email protected] Este material se utiliza en las escuelas secundarias Generales, Técnicas y Telesecundarias del Estado de Hidalgo con apoyo de las Direcciones, Supervisiones y Jefaturas de Sector, pero sobre todo de los Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo.

Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria Propuesta Hidalgo 1er. grado Revisión: Ramón Guerrero Leyva Formación y diseño: Ana Garza © EMAT Hidalgo 2008 © Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011 Campanario 26 San Pedro Mártir, Tlalpan México, D.F. 14650 e-mail [email protected] www.angeleseditores.com Primera edición: agosto de 2011 Segunda edición: agosto de 2012 ISBN 978-607-9151-06-5 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2608 Impreso en México

Alfaro Vera Gonzalo Ángeles Ruiz Alfonso Arroyo Rendón Martha Patricia Arteaga Romero Damián Azuara Sánchez Arturo Badillo Ordóñez Filiberto Bautista Montaño Maximino Bibiano Santiago Edgar Calva Badillo Jacobo Castañeda Ahumada Héctor Hugo Colín Pretel Alfonso Cruz Bustos Marina de la Cruz Reyes Rodrigo Delgado Granados Nicasio Díaz Badillo Ma. del Carmen Espinoza Soto Juan Carlos Flores Barrera Joel Franco Moedano Aniceto Alejo García Callejas Maricela Ma. del Carmen García Mayorga Víctor González Funes Cecilia Iliana Hernández Ángeles Juan Hernández Hernández Honorio Hernández Hernández José Luis Hernández Hidalgo Magdiel Hernández Reyes Ernesto Herrera Tapia Andrey Islas Arciniega Silvia Juárez Rojas Iván Ramsés

López Castellanos Verónica López Lugo Silvia López Miranda Rigoberto Lozano Mendoza Rubén Maqueda Lora Oscar Daniel Mayorga Hernández Raúl = Mendoza Paredes Maximino Mendoza Ruiz Francisco Meza Arellanos Ma. del Refugio Mora Martín Teresa Moreno Alcántara Alfonso Moreno Martínez Ericka Sofía Mota Aguilar Gloria Naranjo Calderón Josué Arturo Noble Monterrubio Guillermo Nolasco Orta Edgar Arturo Paredes Larios Hugo Alberto Pedraza Sánchez Jaén Maximiliano Pérez Pacheco Set Isaí Pérez Salas Jesús Enrique Recéndiz Medina Juan Carlos Robles Feregrino María Teresa Rodríguez Escudero María Teresa Trejo Reyes Jesús Ugarte Morán Sergio Vargas Rivera Rafael Vázquez Hernández Juan Andrés Veloz Vega María Esther

Contenido Introducción.............................................................................................. 5 Organización del texto EMAT-Hidalgo . ..................................................... 7 Programación del Primer Grado ............................................................... 9

Septiembre Representación analítica y gráfica de fracciones y decimales ................ 13 Representación de fracciones y decimales en la recta numérica ........... 15 Problemas con suma y resta de fracciones............................................. 17 Generación de sucesiones de números................................................... 18

Octubre Perímetro y área...................................................................................... 20 Construcción de triángulos . ................................................................... 22 Líneas importantes del triángulo............................................................. 24 Reparto proporcional.............................................................................. 25 Eventos probables en un juego de azar................................................... 27

Noviembre Criterios de divisibilidad.......................................................................... 29 Cálculo del MCD y el mcm ...................................................................... 31 Problemas aditivos.................................................................................. 33 Multiplicación y división de números fraccionarios................................ 34

Diciembre Propiedades de la mediatriz y la bisectriz............................................... 37 Perímetro y área de polígonos regulares................................................ 39 Proporcionalidad directa......................................................................... 42

Enero Multiplicación de números decimales . .................................................. 43 División de números decimales............................................................... 44 Ecuaciones de primer grado.................................................................... 45

EMAT-Hidalgo Febrero Ecuaciones de primer grado.................................................................... 45 Construcción de polígonos regulares...................................................... 47 Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares ............................. 49 Constante de proporcionalidad............................................................... 51

Marzo y Abril Números con signo.................................................................................. 52 Construcción de círculos . ....................................................................... 55 La circunferencia y el número ∏............................................................. 59 Análisis de la regla de tres simple........................................................... 63 Problemas de proporcionalidad inversa.................................................. 66 Problemas de conteo . ............................................................................ 68

Mayo Operaciones con números enteros......................................................... 70 Potencia de números............................................................................... 72 Notación científica (1)............................................................................. 76 Notación científica (2)............................................................................. 78

Junio Sucesiones con progresión aritmética..................................................... 80 Perímetro y área del círculo ................................................................... 82 Proporcionalidad múltiple ...................................................................... 84 Problemas de proporcionalidad múltiple................................................ 85 Bibliografía.............................................................................................. 86

Introducción Las Herramientas Computacionales (HC) constituyen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros. En el ámbito educativo, las HC constituyen una valiosa ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor. En definitiva podemos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían caracterizar: 1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste tiene que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes. 2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo. 3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral. 4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tiene como función rectora orientar al alumno en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso. 5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollan sus actividades con el apoyo de la tecnología, economizando tiempo y energía.

5

Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido con el de otras asignaturas, particularmente el de las ciencias, contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes. Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller, programado un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten ciencias en sus zonas correspondientes. Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y elaborado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación secundaria. Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros alumnos. Profr. Joel Guerrero Juárez Secretario de Educación Pública SEPH

6

Cómo está organizado este libro  PRESENTACIÓN El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de lecciones que hacen uso de cuatro herramientas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría, álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria). En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico. La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado a equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo. En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas; lenguaje de programación LOGO para la programación con representación geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información. En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las actividades programadas semanalmente en el texto.

7

Con las lecciones contenidas en el libro se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las lecciones se hace como en el siguiente ejemplo:

Semana

Eje

Lecciones del Bloque CINCO

JUNIO Herramienta

Pág.

1

SNPA Sucesiones con progresión aritmética.

Geometría dinámica

80

2

FEM

Geometría dinámica

82

Perímetro y área del círculo.

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a: • Explorar • Formular y validar hipótesis • Expresar y debatir ideas • Aprender mediante el análisis de sus propios errores Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de lecciones en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas lecciones ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados. Finalmente, una reflexión:

La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.

Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo

8

Programación Primer Grado EMAT-HIDALGO

Semana

Eje

Lecciones del Bloque UNO

SEPTIEMBRE Herramienta

Pág.

1

Representación analítica y gráfica de fracciones y decimales.

Geometría dinámica

13

2

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

Geometría dinámica

15

SNPA 3

Problemas con suma y resta de fracciones.

Hoja de cálculo

17

4

Generación de sucesiones de números.

Hoja de cálculo

18

Semana

Eje

1 2

FEM

3

Lecciones del Bloque UNO

OCTUBRE Herramienta

Pág.

Perímetro y área.

Geometría dinámica

20

Construcción de triángulos.

Geometría dinámica

22

Líneas importantes del triángulo.

Geometría dinámica

24

Hoja de cálculo

25

Hoja de cálculo

27

SNPA Reparto proporcional. 4 MI

Semana

Eje

Eventos probables en un juego de azar.

Lecciones del Bloque DOS

NOVIEMBRE Herramienta

Pág.

1

Criterios de divisibilidad.

Hoja de cálculo

29

2

Cálculo del MCD y el mcm.

Hoja de cálculo

31

Hoja de cálculo y calculadora

33

Geometría dinámica

34

SNPA 3

Problemas aditivos.

4

Multiplicación y división de números fraccionarios.

9

Semana

Eje

1

Lecciones del Bloque DOS

DICIEMBRE Herramienta

Pág.

Propiedades de la mediatriz y la bisectriz.

Geometría dinámica

37

Perímetro y área de polígonos regulares.

Geometría dinámica

39

Hoja de cálculo y calculadora

42

FEM 2

3

Semana

SNPA Proporcionalidad directa.

Eje

1 2

Multiplicación de números decimales.

SNPA División de números decimales.

3

Semana 1

Lecciones del Bloque TRES

Ecuaciones de primer grado.

Eje

Lecciones del Bloque TRES

SNPA Ecuaciones de primer grado.

2

ENERO Herramienta

Pág.

Hoja de cálculo

43

Hoja de cálculo

44

Calculadora

45

FEBRERO Herramienta

Pág.

Calculadora

45

Construcción de polígonos regulares.

Geometría dinámica

47

Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares.

Geometría dinámica

49

Hoja de cálculo

51

FEM 3 4

10

SNPA Constante de proporcionalidad.

Programación Primer Grado EMAT-HIDALGO

Semana

Eje

Lacciones del Bloque CUATRO

MARZO Y ABRIL Pág. Herramienta Calculadora y Geometría dinámica

52

Construcción de círculos.

Geometría dinámica

55

3

La circunferencia y el número π.

Geometría dinámica

59

4

Análisis de la regla de tres simple.

Hoja de cálculo

63

Problemas de proporcionalidad inversa.

Hoja de cálculo

66

Problemas de conteo.

Hoja de cálculo

68

MAYO Herramienta

Pág.

1

SNPA Números con signo.

2 FEM

5

MI

6

Semana

Eje

Lecciones del Bloque CINCO

Calculadora y Hoja de cálculo

70

Potencia de números.

Calculadora y Geometría dinámica

72

3

Notación científica (1).

Calculadora y Hoja de cálculo

76

4

Notación científica (2).

Calculadora y Hoja de cálculo

78

1

Operaciones con números enteros.

2 SNPA

Semana

Eje

Lecciones del Bloque CINCO

JUNIO Herramienta

Pág.

1

SNPA Sucesiones con progresión aritmética.

Geometría dinámica

80

2

FEM

Geometría dinámica

82

3

Perímetro y área del círculo. Proporcionalidad múltiple.

MI 4

Problemas de proporcionalidad múltiple.

Hoja de cálculo y Geometría dinámica Hoja de cálculo y Geometría dinámica

84 85

11

Iconos Al inicio de cada lección aparece, a la derecha del título, un elemento que muestra el nombre del archivo a utilizar y a la izquierda el icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse.

LECCIÓN

NombreDeArchivo

Los iconos y su significado son los siguientes:

Significa que para esta lección se requiere el uso de la hoja de cálculo.

Quiere decir que para esta lección se necesita la calculadora.

Significa que en esta lección se requiere el uso de un software de geometría dinámica.

12

1

Bloque Uno

LECCIÓN

Representación analítica y gráfica de fracciones y decimales

1

Reanagrafradec

Para comparar números racionales, también llamados fracciones, abre el archivo Reanagrafradec. Recuerda que una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador, una fracción impropia es la que tiene el numerador mayor que el denominador, y un número mixto es el que consiste de un número entero más una fracción propia. 1 5 1 7 En la recta siguiente, -2 está a la izquierda de -1 ; - está a la izquierda de - ; y 1 está a la 2 8 8 8 1 derecha de 1 . 8 -2 -1 0 1 2 1

5

-1 2

1

-8

1

-8

7

18

18

En la recta numérica el orden es creciente de izquierda a derecha, es decir, dados dos números, el que esté a la izquierda es menor que () el de la izquierda, la relación de orden de los números anteriores se indica así: 1 5 1 7 1 -2 < -1 1 2 8 8 8 8 Para localizar en la recta numérica fracciones impropias, es conveniente primero convertirlas a un número entero más una fracción propia, es decir, a un número mixto. Para hacer esto, dividimos el numerador entre el denominador para encontrar el cociente entero y el residuo (fracción propia). 10 Por ejemplo, para representar en la recta numérica, primero dividimos 10 ÷ 8, y vemos que el 8 2 cociente es 1 y el residuo es 2, por lo que el resultado es 1 (número mixto). Ahora en la recta 8 numérica dividimos los enteros en 8 partes iguales, puesto que así lo indica la fracción, y se cuentan diez octavos o simplemente se ubica un entero más dos octavos. 10 2 En la recta se ha marcado con una flecha azul, que equivale a 1 8 8 0

1 1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

8 8

9 8

10 8

11 8

12 8

1. Ubica en la recta numérica las fracciones que se indican en cada caso: 7 2 23 7 15 4

Sentido numérico y pensamiento algebraico

13

2. Escribe dentro del círculo la fracción que señala la flecha:

0

1

0

2

1

3

4

5

6

2

7

8

9 10

0

4

0

3

1

2

1

2

3

 Representación analítica y gráfica de números decimales Para encontrar el número intermedio entre dos números decimales, se suman los dos números y el resultado se divide entre 2; para localizar fácilmente el nuevo número en la recta numérica, es muy útil hacer subdivisiones de los números marcados en ella. Ejemplo. Encontrar el número decimal que está entre 0.4 y 0.5. Se suma 0.4 + 0.5 = 0.9, luego se divide 0.9 ÷ 2 = 0.45 Así que el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45 En la recta numérica:

0.45

0

0.4

0.5

1

Al realizar su representación gráfica en el ambiente de Geometría dinámica, con el archivo Reanagradec, verás que se puede verificar la propiedad de densidad de los números racionales, es decir, entre dos números racionales siempre hay otro número racional. 1. Señala con una flecha en la recta numérica los números que se indican. 0.9

0

2.50

1

5.20

2

1.70

0.5

3

3

4

5

6

2. Utilizando el procedimiento del ejemplo anterior, encuentra y ubica en la recta un número que esté entre los siguientes. Procedimiento numérico. a) 1.5 y 1.6

b) 2.7 y 2.8

14

Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado

2

LECCIÓN

Representación de fracciones y decimales en la recta numérica

Refradec

En esta lección aprenderás a ubicar números fraccionarios y decimales en la recta numérica y determinar el orden de las fracciones. Las fracciones pueden ubicarse en una recta, dividiendo a la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador, mientras que los decimales pueden situarse dividiendo la unidad siempre en 10 partes iguales. Ejemplo: 1 2

0

0.5

1

Abre el archivo Refradec y manipula los valores correspondientes para realizar las siguientes actividades. 1. En cada pareja, encierra en un círculo el número mayor. 1 1 y 2 8

2 3 y 3 2

3 8

4 3 y 7 5

0.1 y

1 10

3 1 y 4 3

3 y 0.2 5

1 y 0.3 5

2 2 y 5 4

2 5 y 5 12

0.01 y

2. Ordena en el recuadro de abajo, de menor a mayor, los números que se muestran. 1 , 2

1 , 3

1 , 0.2 4

2 , 0.2, 3

5 , 1 2

0.01,

1 , 10

1 , 0.3 5

3. Colorea los números decimales que sí están correctamente ubicados en la recta: 7.06 7

7.10

7.23

7.47

7.32

7.69

7.54

7.91

7.83

8.0

8

Sentido numérico y pensamiento algebraico

15

4. Ubica en la recta los números decimales indicados. 3.6 y 3.7

3

4

8.5 y 8.6

8

9

0.7 y 0.8

0

1

5. Sitúa en la recta los siguientes números señalándolos con una flecha. 4.02

4.13

4.28

4.33

4.40

4.570

4.600

4

16

Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado

4.720

4.85

4.99

5

LECCIÓN

Problemas con suma y resta de fracciones

3

Prosuresfra

En cada ejercicio analiza qué operación tienes que hacer para resolverlo y utiliza el archivo Prosuresfra. 1. Resuelve los siguientes ejercicios. 1 2 a) Un obrero fabricó el lunes 14 docenas de piezas metálicas; el martes 15 docenas, y el 2 3 3 miércoles 16 docenas. ¿Cuántas docenas de piezas fabricó en los tres días? ¿Cuántas 4 piezas fueron en total?

b) Si a

3 1 de tonelada de azúcar agrego tonelada, ¿cuánto tengo? 4 2

c) Si Javier ve que su reloj marca las 6 ¿Qué hora marca el reloj?

1 3 y después de un rato el reloj avanzó de hora, 2 4

2 1 partes de los alumnos del grupo 1º A, les gusta jugar futbol, a parte le gusta jugar 5 4 1 basquetbol, a parte le gusta jugar volibol, y a los demás no les gusta practicar deporte. 3 ¿A cuántos alumnos no les gusta practicar deporte?

d) A

8 e) Para hacer una blusa, la mamá de Martha compró 5 de metro de tela, de los cuales utilizó 3 4 de metro. ¿Cuántos metros de tela le sobraron?

1 1 f) Si en un restaurante tenían 7 2 kilogramos de café por la mañana y se vendieron 7 4 kilogramos durante el día, ¿cuánto café quedó al final del día?

Sentido numérico y pensamiento algebraico

17

LECCIÓN

Generación de sucesiones de números

4

GenSucesiones

En el ambiente de hoja de cálculo realiza lo siguiente. Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la fórmula: = A1 + 1. Tu hoja debe verse como sigue: A 1

4

2

5

B

C

3 4 En la celda A3 debes tener el valor 6 y la fórmula: = A2 + 1. En la celda A4 debes tener el valor 7 y la fórmula: = A3 + 1. Si esto es así, ¿qué fórmula debes tener en la celda A5? Compara tu fórmula con la de la hoja. Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el número 15 y observa lo que pasa. ¿Qué sucesión obtienes ahora en la columna A? ¿Qué harías para obtener la sucesión 100, 101, 102, 103… en la columna A?

Hazlo en la hoja de cálculo. En seguida escribe el número 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una fórmula que dé como resultado el número 99. Cópiala hacia abajo para que obtengas en la columna B la sucesión 100, 99, 98, 97… Tu hoja debe verse así: A

B

1

100

100

2

101

99

3

102

98

4

103

97

C

Construye en la columna C la sucesión 1, 3, 5, 7… Recuerda que en C1 debes poner el primer número, en C2 la fórmula que te dé el segundo número y después copiarla hacia abajo.

18

Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado

Ahora construye las siguientes sucesiones: En la columna D: 10, 5, 0, -5… En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5… En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16… En la columna G: 5, -5, 5, -5, 5… Piensa en el siguiente problema: tu papá te ofrece dos opciones para darte tu gasto. En la primera, te dará 100 pesos para empezar y cada semana incrementará 100 pesos a la cantidad inicial. En la segunda opción, te dará un centavo para empezar, aunque promete que cada semana te dará el doble de la semana anterior. ¿Cuál de las dos opciones escogerías? Para averiguar cuál es la mejor elección, construye la siguiente hoja de cálculo usando fórmulas en la fila 3 para generar las tres sucesiones. A

B

C

1

SEMANA

1a OPCIÓN

2a OPCIÓN

2

1

100

0.01

3

2

200

0.02

4

3

300

0.04

Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un año) y contesta las siguientes preguntas. ¿En qué semana la cantidad de la segunda opción será igual a la de la primera? ¿Cuánto tendría que darte tu papá en la semana 26 (medio año) si hubieras escogido la segunda opción? ¿Cuánto tendría que darte en esta misma opción en la semana 30? ¿Crees que pueda seguirte pagando tu semana?

En una sucesión aritmética se suma un número fijo al valor anterior para obtener el siguiente. En una sucesión geométrica se multiplica el valor anterior por un número fijo para obtener el siguiente. ¿Cuál de las sucesiones de arriba es geométrica y cuál es aritmética?

Clasifica las sucesiones de la lección Generación de sucesiones de números como aritméticas o geométricas. Aritméticas: Geométricas: Sentido numérico y pensamiento algebraico

19

LECCIÓN

Perímetro y área

5

CalcuPeriArea

El perímetro y el área son medidas de uso común en diseños, edificaciones, estudio de estructuras, comparación de figuras de formas diversas, etcétera. Por esta razón es importante su estudio en el ambiente de Geometría dinámica. Se le llama perímetro tanto al contorno de una figura como a la medida de éste, mientras que el área comprende la región interior de una figura y es su medida.

 Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares Abre cada archivo de acuerdo al nombre del polígono y comprueba las fórmulas del perímetro y del área de cada figura. Nombre

Figura

Triángulo

b

Perímetro P = suma de los lados P=a+b+c

c

h a

Cuadrado l

Rectángulo

a b a d

Rombo

Romboide

D

a

Área A=

P=4•l

A = l2

P = 2(b + a)

A=b•a

A=

P=4•a

P = 2(b + a)

h

b•h 2

D•d 2

A=b•h

b b

Trapecio

c

h

d

P=B+c+b+d

d

P=a+b+c+d

A=

B c

Trapezoide

b a

B+b •h 2

A = Suma de las áreas de

los dos triángulos

l

Polígono regular

20

a

P = nl

Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado

A=

P•a 2

1. Abre el archivo CalcuPeriArea y calcula el perímetro y área de las siguientes figuras, midiendo los lados y alturas con las herramientas adecuadas. Figura

Perímetro

Área

Forma, espacio y medida

21

LECCIÓN

Construcción de triángulos

6

CalcuPeriArea

 Pasos para construir un triángulo con regla y compás

1. Se traza un segmento de cualquiera de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.

2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos medidas y con centro en un extremo del segmento, se traza un arco.

3. Se abre el compás a la tercera medida y con centro en el otro extremo del segmento, se traza un arco que cruce al anterior.

4. Se unen los extremos del segmento con el punto donde se cortan los arcos y se obtiene el triángulo pedido.

1. Con base en el procedimiento anterior y con herramientas de geometría dinámica, traza cuatro triángulos con las siguientes medidas. a) 6, 3 y 4 cm b) 4, 4.5 y 3 cm c) 3.5, 4.5 y 4.5 cm d) 6, 6 y 6 cm

22

Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado

 Construcción de cuadriláteros. Un cuadrilátero es una figura plana formada por cuatro lados que se cortan dos a dos. Según la disposición de los lados y los ángulos que forman, se clasifican como sigue. Tipos de cuadriláteros. Cuando los lados son paralelos dos a dos, el cuadrilátero se llama paralelogramo

Cuando solamente son dos los lados paralelos, el cuadrilátero se llama trapecio

Caundo no existe ningún lado paralelo a otro, el cuadrilátero se llama trapezoide

Diagonal es la recta que une un vértice con otro no inmediato. Para construir un cuadrado conociendo su diagonal d, se siguen estos pasos: • Sobre un punto A cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre sí: recta r y recta s. s D • Se traza la bisectriz a del ángulo formado por las rectas r y s. • Con el compás se lleva d a la bisectriz, haciendo centro en A y marcando el extremo con C . • Desde ese punto C se trazan paralelas CD y CB a las rectas r y s. • Utilizando los puntos A, B, C y D se construye el cuadrado.

d C

r

A

B

1. Construye los siguientes cuadriláteros: a) Cuadrado cuyas diagonales midan 4.6 cm b) Cuadrados cuyas diagonales midan 5.2 cm y 6.9 cm, respectivamente Para construir un rombo a partir de una diagonal d y su lado a: • Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los puntos A y C. • Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C. Obtenemos los puntos B y D. • Se unen los extremos A y C de la diagonal con los puntos B y D y se obtiene el rombo.

d a B

a

r

A

C D

2. Dibuja dos rombos cuyas diagonales midan: a) 4 cm y 3 cm b) 5 cm y 7 cm Forma, espacio y medida

23

LECCIÓN

Líneas importantes del triángulo El propósito de esta lección es reafirmar los conceptos de bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera.

7

LinTrian

n

l r

m Bisectriz (l)

La siguiente figura muestra la bisectriz, la altura y la mediana, trazadas desde un vértice del triángulo; aparece también la mediatriz en el lado opuesto al vértice considerado.

Mediatriz (m) Mediana (n) Altura (r)

Reproduce este trazo en el ambiente de Geometría dinámica. Anota los pasos que seguiste para realizarlo.

Mueve los vértices del triángulo y verifica que las propiedades de cada una de las rectas se conservan. Si sigues moviendo los vértices, ¿habrá un momento en que concurran las cuatro rectas? ¿En qué tipo de triángulo coinciden las cuatro rectas? En otro triángulo traza todas las: a) bisectrices b) alturas

24

c) medianas

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d) mediatrices

LECCIÓN

8

ReparPropor

Reparto proporcional

Una forma de resolver los problemas de reparto proporcional consiste en determinar la cantidad total y las partes en las que se va a llevar a cabo dicho reparto. Otra forma de resolverlos es encontrar el valor unitario de las partes a repartir. Ejemplo. Los chicos de la escuela organizaron una visita a los museos de la Ciudad de México. Para reunir fondos vendieron playeras. Después de cubrir los pagos que debían hacer (comida, transporte y otros) notaron que tenían un sobrante de $2 000. ¿Cómo podrían dividir esta cantidad de una manera justa? ¿Qué datos necesitas para hacer el reparto? La estrategia que usaron para hacer el reparto fue la siguiente. a. Anotaron en una tabla el número de playeras que vendió cada uno. Nombre

Playeras vendidas

Karina

15

Carmen

25

Emilio

30

María

10

Mauricio

20

Total

100

b. Después de construir la tabla, repartieron el monto total en proporción a esos datos. Como son $2 000 a repartir y vendieron 100 playeras, el valor unitario es 2 000 ÷ 100 = 20, así que por cada playera vendida se deben dar $20. Nombre

Playeras vendidas

Operación

Cantidad a recibir

Karina

15

15 x 20

$300

Carmen

25

25 x 20

$500

Emilio

30

30 x 20

$600

María

10

10 x 20

$200

Mauricio

20

20 x 20

$400

Total

100

$2 000

Sentido numérico y pensamiento algebraico

25

 Problemas de reparto proporcional Para resolverlos tienes que abrir el archivo ReparPropor y completar las tablas con las fórmulas apropiadas.

1. Un abuelo desea repartir $18 000 proporcionalmente al número de nietos que le han dado sus tres hijos: Juan tiene 3 hijos, Carmen 1 y Eduardo 2. Calcula cuánto recibirán cada uno de los nietos.

2. Hugo, Paco y Luis compraron un billete de lotería con un costo de $80. Hugo puso $15, Paco $45 y Luis $20. Si ganaron un premio de $120 000 y deciden repartirlo en partes proporcionales de acuerdo con su aportación para comprar el billete, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno?

3. Marifer, Tania, Dominique y Paulina hicieron panecillos y los vendieron durante una semana. Marifer trabajó solo el lunes y miércoles; Tania trabajó martes, miércoles, viernes y sábado; Dominique trabajó lunes, martes, jueves, viernes y domingo; Paulina trabajó martes, jueves y sábado. Si obtuvieron $800 de ganancia por la venta de los panecillos, ¿cuánto dinero le tocará a cada una si lo reparten de manera proporcional a los días que trabajó cada una?

4. En la empresa “Patito”, el dueño desea repartir las ganancias de todo un año entre sus empleados, para motivarlos. Las ganancias ascienden a $350 000. Si José trabajó 7 meses, Mauricio 9 meses, Martín 12 meses, Mario 5 meses y Orlando 6 meses, ¿cuánto dinero le tocará a cada uno si se reparte de manera proporcional de acuerdo al número de meses que trabajaron?

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LECCIÓN

Eventos probables en un juego de azar

9

JuegoJusto

Para determinar si un juego de azar es justo se debe establecer que:

3

En cada turno o partida todos los jugadores tengan la misma probabilidad de ganar. Si las probabilidades de los jugadores son diferentes, es justo que a quien elija el número con menor probabilidad se le dé un mayor premio para compensar. Las reglas del juego no favorezcan a ninguno de los jugadores. 1 y es exactamente 6 la misma para que salga 2, 3, 4, 5 o 6. Recuerda que la fórmula para calcular la probabilidad es Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, la probabilidad de que salga 1 es

la siguiente: Probabilidad de un evento =

número de eventos favorables número de eventos posibles

En este caso, existen 6 eventos posibles, porque un dado tiene 6 caras y el número de eventos favorables es 1 porque sólo una cara queda hacia arriba, aunque puede ser cualquiera de las 6. Por lo tanto, los 6 eventos en un dado son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Con el lanzamiento de una moneda pasa lo mismo: 1 La probabilidad de que "salga" águila es , porque sólo puede caer una vez águila entre los 2 2 eventos posibles (águila o sol) al lanzar una vez la moneda, y la probabilidad de que caiga sol 1 también es ; por lo tanto, los eventos águila y sol son equiprobables. 2

El conjunto de todos los eventos posibles se denomina espacio muestral. Abre el archivo JuegoJusto y explora los dos ejemplos anteriores. Manejo de la información

27

 Eventos no equiprobables en un juego de azar Cuando lanzamos dos dados cambian las condiciones; para verlo abre el archivo SumaDosDados. Dado 1 1

2

3

4

5

6

Dado 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

1. Completa el espacio muestral en el lanzamiento de dos dados:

Suma 1+3=4 1+4=5



2+2=4 2+3=5

Los eventos con los que la suma nos da 4 son: 1–3, 2–2 y 3–1, aclarando que el primer número es del dado 1 y el segundo corresponde al dado 2. Entonces tenemos 3 resultados de los 36 posibles que conforman el espacio muestral, es decir, la probabilidad de que la suma sea 4 es: 3 P(suma 4) = = 0.083; es decir, 8.3% 36

3+1=4 3+2=5

4+1=5

a) P(suma 6) y P(suma 7)

¿Serán eventos equiprobables que la suma de los dos dados sea 4 o que sea 5?

Ahora, los eventos con los que la suma nos da 5 son: 1–4, 2–3, 3–2 y 4–1, es decir, la probabilidadde que la suma sea 5 es: 4 P(suma 5) = = 0.111; que es 11.1%. 36 En base a estos resultados, podemos concluir que los eventos suma = 4 y suma = 5 no son equiprobables, porque su probabilidad es diferente. 2. Resuelve los siguientes ejercicios haciendo en tu cuaderno las operaciones necesarias para justificar tu respuesta P(suma 6) =

P(suma 7) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? b) P(suma 4) y P(suma 10) P(suma 4) =

P(suma 10) =

¿Son equiprobables? c) P(suma 8) y P(suma 9)

P(suma 9) =

¿Por qué? P(suma 8) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? e) P(suma par) y P(suma impar) P(suma par) =

P(suma impar) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? f) P(suma mayor que 6) y P(suma menor que 8) P(suma mayor que 6) = P(suma menor que 8) = ¿Son equiprobables?

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¿Por qué?

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Bloque Dos

LECCIÓN

1

CriterioDivis

Criterios de divisibilidad

En esta lección es importante que se comprendan los criterios de divisibilidad y, comprobarlos con el archivo CriterioDivis. Divisibilidad por dos

Todo número que termina en un dígito par o en cero, es divisible por dos.

Divisibilidad por tres

Todo número es divisible por tres cuando la suma de sus dígitos es divisible por tres.

Divisibilidad por cinco

Todo número es divisible por cinco si termina en cero o cinco.

Divisibilidad por siete

Un número es divisible por siete cuando el doble de la primera cifra de la derecha, restado de lo que queda a la izquierda, da cero o un múltiplo de siete.

Divisibilidad por once

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.

Divisibilidad por trece

Un número es divisible por trece cuando el producto de la primera cifra de la derecha por 9, restado de lo que queda a la izquierda, es 0 o múltiplo de 13.

1. Haciendo uso del archivo FacPrim, escribe todos los divisores de: a) 50

b) 81

c) 36

2. Escribe cinco números de dos cifras, que sean divisibles entre: a) 2 y 3

b) 2 y 5

c) 2 y 9

d) 3 y 5

3. Escribe tres parejas de números primos entre sí. 4. En 14 sustituye cada espacio por una cifra, de forma que el número que resulte sea divisible por 2, 3 y 5 a la vez. Halla tres soluciones. a)

b)

c)

Sentido numérico y pensamiento algebraico

29

5. Explica cuáles de estos números son múltiplos de 11, aplicando el criterio de divisibilidad: 4709 990 1342 99385 5071 1995 770066 74017 6. Encuentra un múltiplo de 26 comprendido entre 300 y 350. 7. Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 151 y 200. 8. ¿Es 15 múltiplo de sí mismo? ¿Es 15 múltiplo de 1? 9. ¿Cuáles son los números comprendidos entre 200 y 400 que son divisibles por 4 y 5? 10. ¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles a la vez por 2, 3 y 4? 11. Con el archivo MultiploVSDivisor, escribe en los espacios la palabra múltiplo o divisor, según corresponda. a) 25 es

de 5

b) 60 es

de 120

c)16 es

de 8

d) 11 es

de 33

e) 100 es

de 25

f) 7 es

g) 333 es

de 4

h) 343 es

de 63 de 7

12. De los siguientes números: 9, 25, 15, 20, 4, 8, 100, 45, 5, 2, 22, 3. Elige cuatro parejas que cumplan entre sí la relación de divisibilidad.

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Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado

LECCIÓN

2

CalcMCDmcm

Cálculo del MCD y el mcm Divisores: los divisores de un número son todos los números que dividen a dicho número, dando residuo cero.

Ejemplo: los divisores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20

Números primos: son los números que sólo tienen dos divisores, el 1 y ellos mismos.

Son primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... En el archivo FacPrim tienes los números primos menores que 100.

Máximo común divisor (MCD): El MCD de dos o más números es el número más grande posible que divide a esos números.

Para calcular el MCD de dos números se colocan uno debajo del otro, se obtienen todos los divisores de ambos y el mayor divisor que se repita es el MCD.

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor múltiplo que tengan en común.

Mediante el archivo EUCLIDES, calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes parejas de números. a) 140, 350 g) 18, 24

b) 30, 45 h) 12, 40

c) 72, 108 i) 220, 150

d) 270,234 j) 300, 500

e) 560,588 k) 80, 100

f) 210, 315 l) 21, 35

Haciendo uso de EUCLIDES, analiza y resuelve los siguientes problemas. 1. Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos, y otra situada en una plaza cercana cambia cada 250 segundos. Si a las 9 de la mañana coinciden las dos fuentes con el mismo programa, ¿a qué hora volverán a coincidir? 2. Se tienen dos toneles de vino, uno de 420 litros y otro de 225 litros, y se quiere envasar el vino en garrafas iguales sin mezclarlo, pero de forma que el número de garrafas sea el mínimo. ¿Qué capacidad debe tener cada garrafa?

Sentido numérico y pensamiento algebraico

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