Enseñanza de las

Matemáticas con Tecnología

para la Educación Primaria PROPUESTA HIDALGO

o

6 grado Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Básica, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCITHidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo, y sobre todo del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa, del cual surge la Propuesta Nacional. Autores de EMAT-Hidalgo: Ma. Guadalupe Flores Barrera [email protected]

Enseñanza de las

Andrés Rivera Díaz [email protected]

Este material fue puesto a prueba en escuelas primarias del Estado de Hidalgo, equipadas por el Programa UNETE-Hidalgo.

Matemáticas

con Tecnología para la Educación Primaria

PROPUESTA HIDALGO 6o. grado Revisión: Ramón Guerrero Diagramación: Lucero Cárdenas Formación y diseño: Ana Garza

Profesores ante grupo y Directivos Balderrama Soto Oliveria Chargoy Azuara Yariela

Primera edición: agosto de 2012

Pérez Aráoz José Leopoldo

Flores Frías Jorge Arturo

Pérez Hernández Violeta

Francisco Olvera María del Carmen

Rivera Hernández María

García Alvarado Ma. Guadalupe García Rivera Yanet González Juárez Luz María Gutiérrez Villar Marusia Hernández Téllez Marco Antonio López López Martha Patricia López Mata Rocío

Frida Kahlo

2

Sánchez Fernández Estela Sánchez Montaño María Araceli Sánchez Ramírez Humberto Daniel Sánchez Ruiz Daniel Torres Sánchez María de Lourdes Tzuc Yvarra Carlos Ygnacio Velázquez Arriaga Ericka

Julián Carrillo Cuauhtémoc

Efrén Rebolledo

Gral. Felipe Ángeles

Profr. Arnulfo Islas

Odón Zaragoza Ruiz

Once de Julio Vasco de Quiroga

Impreso en México

Rivera Oropeza Lucía

Escuelas Primarias Juan A. Hernández

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2608

Pérez Aráoz Guillermina

Corona García Humberto

González Bautista Neidy Edith

© EMAT Hidalgo 2012 © Ángeles Editores, S.A. de C.V. Campanario 26 San Pedro Mártir, Tlalpan México, D. F., 14650 e-mail [email protected] www.angeleseditores.com

Márquez Islas Juanita

Melchor Ocampo

Ignacio Zaragoza Nicolás Bravo

Contenido Introducción Organización del texto EMAT-Hidalgo Programación del Sexto Grado de Primaria, EMAT-Hidalgo SEPTIEMBRE

Lectura, escritura y comparación de números División como fracción Comparación, orden y encuadre de números decimales Operaciones mentales con números naturales Clasificación de cuadriláteros OCTUBRE

Círculo y circunferencia Rectas y ángulos Rutas y distancias Perímetros y áreas Porcentajes Tablas de datos NOVIEMBRE

Valor posicional Recta numérica División Desarrollos planos Área y volumen de prismas DICIEMBRE

Interpretación de la información matemática Factor constante Medidas de tendencia central

7 10 12 14 20

21 22 23 26 27 27

30 32 35 36 44

46 49 51

3

Contenido ENERO

Múltiplos de naturales Orden en los números fraccionarios y decimales Problemas de conteo Cociente de números naturales FEBRERO

Representación de puntos en el plano Sistema Internacional de Unidades y Sistema Inglés Noción de porcentaje Gráficas a distinta escala

55 57 59 59

62 68 70 80

MARZO Y ABRIL

Divisores de un número 84 Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa 86 89 División de fraccionarios entre enteros Polígonos regulares inscritos en una circunferencia 91 Longitud de una circunferencia 96 Experimentos aleatorios 100 Problemas de comparación de razones 106 MAYO

Divisores y múltiplos comunes Problemas con divisores o múltiplos comunes Producto de fraccionarios, decimales y enteros Volumen de Prismas JUNIO

Diferentes unidades Constantes de proporcionalidad Situaciones de proporcionalidad Probabilidad teórica y frecuencial Organizar información BIBLIOGRAFÍA

4

111 113 115 117

120 121 123 125 125

Introducción Las Herramientas Computacionales (HC) suponen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros. En el ámbito educativo, las HC constituyen una importantísima ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor. En definitiva podemos preguntarnos, ¿qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las pueden caracterizar: 1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes. 2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo. 3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral. 4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno.Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso. 5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues desarrollarán sus actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.

5

Además de estas ventajas que proporcionan las Tecnologías de la Información en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido matemático con el de otras asignaturas, contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes hidalguenses. Por lo anterior, la Subsecretaría de Educación Básica del Estado de Hidalgo, ha implementado el programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller programado, un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, de cada modalidad de Educación Primaria, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores de sus zonas correspondientes. Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre las dos herramientas tecnológicas: Hoja electrónica de cálculo y Geometría dinámica, las cuales son propuestas originales de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y compilado lostextos EMAT-Hidalgo, para quinto y sexto grado escolar de educación primaria. Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos este Libro de Sexto Grado, EMAT-Hidalgo, para beneficio de nuestros alumnos hidalguenses. Profr. Joel Guerrero Juárez Secretario de Educación Pública SEP, Estado de Hidalgo

6

Organización del Libro EMAT-Hidalgo PRESENTACIÓN

El Libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades didácticas que contemplan el uso de dos piezas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con los ejes temáticos Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Con lo anterior se cubren las áreas específicas de aritmética, pre-álgebra, geometría, resolución de problemas y modelación matemática. El libro cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas, para las modalidades de Educación Primaria. En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas dos herramientas computacionales cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico. La propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo. En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana, al igual que la hoja electrónica de cálculo, para la enseñanza de pre-álgebra, la resolución de problemas aritméticoalgebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información. En el espacio para desarrollar el proyecto EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades didácticas programadas semanalmente en el libro.

7

Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello su programación se hace de la siguiente manera: SEPTIEMBRE Semana 1 2

Eje SNPA

BLOQUE UNO Lectura, escritura y comparación de números de diferente cantidad de cifras División como fracción

Herramienta

Pág

Hoja de cálculo

13

GeoGebra

15

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a: Explorar. Formular y validar hipótesis. Expresar y debatir ideas. Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores. Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades didácticas en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la computadora, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados. Finalmente, una reflexión: La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños. Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo

8

Programación Sexto Grado SEPTIEMBRE Semana

Eje

1 2

BLOQUE UNO

Herramienta

Pág

Hoja de cálculo

13

División como fracción

GeoGebra

15

Comparación, orden y encuadre de números decimales

GeoGebra

18

Hoja de cálculo

21

GeoGebra

22

Herramienta

Pág

Círculo y circunferencia

GeoGebra

24

Rectas y ángulos

GeoGebra

25

Rutas y distancias

GeoGebra

27

Perímetros y áreas

GeoGebra

29

Porcentajes

Hoja de cálculo

31

Tablas de datos

Hoja de cálculo

34

Herramienta

Pág

Valor posicional

GeoGebra

35

Recta numérica

GeoGebra

37

Hoja de cálculo

38

Desarrollos planos

GeoGebra

40

Área y volumen de prismas

GeoGebra

42

Lectura, escritura y comparación de números SNPA

3

Operaciones mentales con números naturales

4

FEM

Clasificación de cuadriláteros

OCTUBRE Semana

Eje

1 2

FEM

3 4

MI

BLOQUE UNO

NOVIEMBRE Semana 1

Eje SNPA

2 3 4

BLOQUE DOS

División FEM

9

Programación Sexto Grado DICIEMBRE Semana

Eje

1 2

MI

3

BLOQUE DOS

Herramienta

Pág

Interpretación de la información matemática

Hoja de cálculo

45

Factor constante

Hoja de cálculo

47

Medidas de tendencia central

Hoja de cálculo

50

Herramienta

Pág

Múltiplos de naturales

GeoGebra

52

Orden en los números fraccionarios y decimales

GeoGebra

54

Problemas de conteo

Hoja de cálculo

56

Cociente de números naturales

Hoja de cálculo

58

Herramienta

Pág

GeoGebra

59

Sistema Internacional de Unidades y Sistema Inglés

Hoja de cálculo

61

Noción de porcentaje

Hoja de cálculo

63

Gráficas a distinta escala

Hoja de cálculo

65

ENERO Semana

Eje

1 2

SNPA

3

BLOQUE TRES

FEBRERO Semana 1 2 3 4

10

Eje FEM

MI

BLOQUE TRES Representación de puntos en el plano

Programación Sexto Grado MARZO Y ABRIL Semana 1

Eje

BLOQUE CUATRO Divisores de un número

SNPA

Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa

Herramienta

Pág

Hoja de cálculo

67

GeoGebra

70

Hoja de cálculo

73

2

División de fracciones entre enteros

3

Polígonos regulares inscritos en una circunferencia

GeoGebra

74

Longitud de una circunferencia

GeoGebra

76

Experimentos aleatorios

Hoja de cálculo

77

Problemas de comparación de razones

Hoja de cálculo

79

Herramienta

Pág

Divisores y múltiplos comunes

Hoja de cálculo

81

Problemas con divisores o múltiplos comunes

Hoja de cálculo

85

Producto de fracciones, decimales y enteros

Hoja de cálculo

87

GeoGebra

90

Herramienta

Pág

Diferentes unidades

GeoGebra

92

Constantes de proporcionalidad

GeoGebra

94

Situaciones de proporcionalidad

GeoGebra

97

Probabilidad teórica y frecuencial

Hoja de cálculo

99

Organizar información

Hoja de cálculo

101

4 5 6

FEM

MI

MAYO Semana

Eje

1 2

SNPA

3 4

FEM

BLOQUE CINCO

Volumen de prismas

JUNIO Semana

Eje

1

FEM

2 3 4

MI

BLOQUE CINCO

11

Iconos Al inicio de cada lección aparece un conjunto de elementos mostrando el número de lección, el nombre del archivo a utilizar y el icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse para su realización. Éstos son los siguientes. LECCIÓN

Número de lección Nombre del archivo Icono, el cual, si es: Este significa que para esta actividad se requiere el uso de la hoja de cálculo. Este significa que en esta actividad se requiere el uso de geogebra.

12

BLOQUE UNO Lectura, escritura y comparación de números

LECCIÓN

Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, podemos escribir cualquier número. Se recomienda que al escribir cantidades de más de tres cifras, se separen en grupos de tres, de derecha a izquierda; el primer grupo representa las unidades, decenas y centenas; el segundo, los millares, y el tercero los millones.

1

Lecescom

Los censos nos ofrecen información por entidad federativa y municipios. La siguiente tabla muestra datos sobre la población del estado de Hidalgo, examínala y realiza lo que se indica.

Estadística 2010

Estados Unidos Mexicanos

Hidalgo Población

Total

2,665,018

112,336,538

Hombres

1,285,222

54,855,231

Mujeres

1,379,796

57,481,307

Hogares

662,651

28,159,373

Hogares con jefe hombre

504,119

21,243,167

Hogares con jefe mujer

158,532

6,916,206

4.3

3.9

64,237

2,628,885

Promedio de personas por hogar Nacimientos

Escribe con palabras los números de la columna Hidalgo

Sentido numérico y pensamiento algebraico

13

Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Anota en el paréntesis la letra que corresponde. a) Novecientos veinticinco mil ciento veintiséis.

(

) 92 512 600

b) Nueve millones veinticinco mil ciento veintiséis.

(

) 92 500 126

c) Noventa y dos millones quinientos doce mil seiscientos.

(

) 925 000 126

d) Novecientos veinticinco millones ciento veintiséis.

(

) 925 126

e) Noventa y dos millones quinientos mil ciento veintiséis.

(

) 9 025 126

2. Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor. a) 3.35

0.58

2.36

2.05

b) 3.5

3.476

4.37

4.672

4.86

1.43

3. En las siguientes columnas de números compara las cantidades utilizando los símbolos > (mayor que) o < (menor que) en la columna del centro.

14

BLOQUE UNO 

7 563 245

7 324 245

123 098 341

654 938 210

65 327

23 248

9 354.2

9 354.1

2 387 491 322

53 971 233 001

45

29

0.002

0.08

345

554

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

La división como fracción Los números fraccionarios (F), son aquellos de la forma a tal que b a y b son números enteros, y b es diferente de cero.

LECCIÓN

2

Divfrac

Las partes de los números fraccionarios son numerador y denominador. Ejemplo: 1 numerador 4 denominador El denominador representa las partes en que se divide un todo, mientras que el numerador indica las partes que tomamos.

1 4

Dentro de los números F existen los propios y los impropios. Llamamos fracciones propias a aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: 3 , 5 , 8 , 123 4 7 10 200 Nombramos fracciones impropias a aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: 4 , 6 , 45 , 300 3 2 8 100 A la derecha de cada figura escribe la fracción que representa su parte iluminada.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

15

Las fracciones representan un cociente en el cual el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. 2 4 8

8 = dividendo = numerador 4 = divisor = denominador 2 = cociente

8 =2 4

El cociente es el resultado de una división, por lo que ésta representa la misma idea de fracción. En las dos tablas siguientes, transforma las fracciones a divisiones en la columna dos y en la tres anota el cociente. uno

dos

tres

uno

18 5

17 4

3 4

5 8

2 5

37 6

19 6

6 10

dos

tres

De los ejercicios anteriores se concluye que de las fracciones impropias se generan números mixtos, que son los constituidos por un número entero más una fracción propia. Ejemplo: 18 = 3.6 5

3 5 18 3

18 = 3 3 5 5

3.6 5 18 30 0 Para convertir una fracción impropia en un número mixto, dividimos el numerador entre el denominador. El cociente será la parte entera del número mixto y la fracción propia se forma con el residuo como numerador y como denominador el mismo de la fracción impropia.

16

BLOQUE UNO 

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

Transforma las siguientes fracciones impropias en números mixtos. 19 = 6

18 = 5

17 = 4

43 = 4

37 = 6

14 = 3

Realiza las siguientes reparticiones y escribe el resultado como fracción.

entre

entre

¿qué parte le toca a cada niño?

2 3

¿qué parte le toca a cada niño?

entre

entre

¿qué parte le toca a cada niño?

¿qué parte le toca a cada niño?

Sentido numérico y pensamiento algebraico

17

LECCIÓN

3

Comparación y encuadre de números decimales

Comorden

Si queremos comparar números decimales, una forma de hacerlo es transformar la parte decimal en una suma de fracciones. De esta forma comparamos cantidades. Otra forma es por medio de la recta numérica. Ejemplo: 2+

2 6 + 10 100

=

2.26

>

1.75

=

1+

7 5 + 10 100

En los siguientes números, transforma la parte decimal en una suma de fracciones y luego compáralos, escribiendo los símbolos > o < (mayor que y menor que) en la columna del centro. =

13.21

13.012

=

=

4.018

5.59

=

=

18.39

19.218

=

=

3.109

2.037

=

=

60.01

60.1

=

Gráficamente los decimales se expresan de la siguiente manera: 1.25 = 1 entero + 2 décimos + 5 centésimos. Un entero

18

BLOQUE UNO 

+

2 décimos

+

5 centésimos

2 décimos

+

5 centésimos = 25 centésimos

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

Cada uno de los siguientes rectángulos representa un entero. Escribe cuántos décimos están coloreados en cada uno y anota también el número decimal. 4 10 0.4

Entre cualquier par de números decimales o fraccionarios, siempre va a existir otro número en medio. Para encontrar un número entre dos números decimales, se suman los dos números y se dividen entre 2; también la recta numérica es muy útil, ya que podemos hacer subdivisiones de los números y localizarlos fácilmente. Por ejemplo, para encontrar el número decimal que está entre 0.4 y 0.5, se suma 0.4 + 0.5 = 0.9 y este resultado se divide entre 2. Por lo tanto, el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45 En la recta numérica:

0

0.1

0.2

0.45

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 0.9 2.50 5.20 1.70 0.5 3

0

1

2

3

4

5

6

Sentido numérico y pensamiento algebraico

19

Encuentra el número que está enmedio de las siguientes parejas de números; usa el procedimiento numérico y ubícalos en la recta. a) 1.5 y 1.6

b) 2.7 y 2.8

c) 3.24 y 3.25

Si ubicamos un número entre otros dos, decimos que estamos encuadrando un número. Encuadra cada uno de los siguientes números en el renglón de la tabla que le corresponda. a) 10.475 f) 12.35

20

b) 2.78 g) 3.425

c) 99.945 h) 7.35

d) 0.41 i) 11.026

e) 13.155 j) 1.325

3.4

<

<

3.45

10.4

<

<

10.55

12.30

<

<

12.40

99.9

<

<

99.99

7.3

<

<

7.4

2.76

<

<

2.80

1.3

<

<

1.35

0.31

<

<

0.51

11.05

<

<

11.002

13.11

<

<

13.20

BLOQUE UNO 

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

LECCIÓN

Operaciones mentales con números naturales Calcula mentalmente lo que se pide.

4

Opermental

a) Elige dos números que, al dividirlos, se obtenga como resultado la quinta parte de mil. 500

2000

800

2

4

5

b) Escoge dos números cuya suma se aproxime más al doble de mil. 599

495

597

1203

1500

1800

1403

c) Selecciona dos números que al multiplicarlos den como resultado el triple de mil. 30 10 50 600 500 60

10

500 60 1403

Realiza mentalmente los siguientes ejercicios. 1. Si la población de India es de 1 189 173 000 habitantes y la tercera parte son menores de 15 años, ¿cuántos niños menores de 15 años hay en ese país? Operación

Resultado

2. Si el precio del barril de petróleo crudo es de 108 dólares, ¿cuánto se debe pagar por la compra de 542 mil barriles? Operación

Resultado

3. Si un buque petrolero carga en promedio 542 mil barriles de petróleo crudo por embarque, ¿cuántos barriles, en promedio, llevará en 4 embarques? Operación

Resultado

Sentido numérico y pensamiento algebraico

21

LECCIÓN

5

Clasificación de cuadriláteros

Clascuadri

A los polígonos limitados por cuatro rectas se les conoce como cuadriláteros. El punto donde se unen dos rectas se llama vértice. Se llama diagonal a toda recta que une dos vértices no consecutivos. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º. Los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos, trapecios y trapezoides, según el paralelismo de sus lados. Paralelogramos. Sus lados opuestos son paralelos.

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

Trapecios. Sólo tienen un par de lados opuestos paralelos.

Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

Trapezoides. Ninguno de sus lados es paralelo a otro.

De acuerdo a las figuras anteriores, agrega las características básicas faltantes de los siguientes cuadriláteros. Cuadrado y rectángulo Cuadrado y rombo Rombo y romboide Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno

22

BLOQUE UNO 

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

Relaciona ambas columnas anotando en la última la letra que corresponda, de acuerdo a la descripción dada. Descripción a) Polígono de cuatro lados

Figura Trapecio rectángulo

b) Lados opuestos paralelos con dos ángulos rectos

Rombo

c) Cuatro lados y cuatro ángulos desiguales

Romboide

d) Iguales cada dos ángulos opuestos y cuatro lados iguales.

Rectángulo

e) Cuatro ángulos iguales y lados opuestos iguales

Trapezoide

f) Iguales cada dos ángulos opuestos y cada dos lados opuestos

Cuadrilátero

Señala con color los cuadriláteros descritos. Con azul los que tienen sus cuatro ángulos rectos. Con verde los que tienen solamente dos ángulos rectos. Con rojo los que tienen ángulos opuestos agudos y obtusos de igual medida.

Forma, espacio y medida

23

LECCIÓN

6

Circircunf

Círculo y circunferencia El círculo es una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro. La circunferencia de un círculo es la curva que lo limita. fe rcun renci Ci

a

dio

Ra Centro

Diámetro

El radio es la recta que va del centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos, y el diámetro es una recta que pasa por el centro de la circunferencia y termina en dos puntos de ella. La medida del diámetro es el doble que la del radio. Con tu compás, traza una circunferencia abriéndolo a 5 cm.

¿Cuánto mide el diámetro?

¿y el radio?

Traza la circunferencia a partir del centro y el radio indicados a la izquierda.

¿Cuánto mide el diámetro?

24

BLOQUE UNO 

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

¿y el radio?

LECCIÓN

Rectas y ángulos La línea recta es toda línea tal que, si una parte cualquiera de ella se coloca de cualquier modo con sus extremos sobre otra parte cualquiera, las dos partes coinciden en todos sus puntos. Ángulo es la abertura entre dos rectas que se encuentran. El punto donde se encuentran se llama vértice y las dos rectas se llaman lados del ángulo. Para medir un ángulo siempre se cuenta de derecha a izquierda. Por ejemplo, el ángulo formado entre BAC mide 40o.

7

Rectasangu

B

A

C

Ángulo recto. Cuando una recta se cruza con otra formando con ella un ángulo de 90º. Ángulo agudo. El que es menor que un recto (más de 0º y menos de 90º). Ángulo obtuso. El que es mayor que un ángulo recto pero menor que dos ángulos rectos (mayor de 90º y menor de 180º). Ángulo llano. El que está en línea recta. Este ángulo se le conoce también como ángulo de lados colineales. Mide 180º. Ángulo entrante. El que es mayor de dos ángulos rectos pero menor que cuatro ángulos rectos (mayor de 180º y menor de 360º). B

Ángulos adyacentes. Aquellos que tienen un mismo vértice y un lado común. Ángulos oblicuos. Son ángulos desiguales que se forman cuando se cortan dos rectas. Pueden ser agudos u obtusos.

C 1 2 A

B C

D A

Ángulos complementarios. Aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto, es decir, la suma de los dos ángulos debe ser igual a 90º. Ángulos suplementarios. Aquellos cuya suma es igual a un ángulo llano, es decir, la suma de los dos ángulos debe ser igual a 180º.

D

40º

80º

Ángulo oblícuo agudo Ángulo oblícuo obtuso

50º

100º

Forma, espacio y medida

25

Traza un par de ángulos según el tipo que se pide y anota sus medidas. Agudos

Medidas: Entrantes

Medidas: Complementarios

Medidas:

26

BLOQUE UNO 

Obtusos

Medidas: Adyacentes

Medidas: Suplementarios

Medidas:

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

Rutas y distancias Los mapas son la representación gráfica de una parte de la superficie terrestre, nos ayudan a localizar lugares, ubicar distancias y trazar rutas para ir de un lugar a otro.

LECCIÓN

8

Rutadist

La escala es la razón que existe entre las medidas de un mapa o dibujo y las medidas reales del objeto que representa. Ella nos ayuda a interpretar mejor los mapas. El mapa de arriba muestra una región del estado de Hidalgo que se conoce como la zona económica más importante del estado. Su escala es 1: 860 000, lo cual significa que 1 cm del mapa representa 860 000 cm en el terreno. En efecto, cm Para convertir 860 000 cm a km, recorre el punto decimal cinco posiciones a la izquierda; que corresponden cada una a la unidad inmediata superior, dm-m-dam-hm-km. Por lo que 860 000 cm equivalen a 8.6 km, es decir, 1 cm en el mapa corresponde a 8.6 km en el terreno. Forma, espacio y medida

27

Ejemplo: en el mapa, la distancia de Pachuca a Tulancingo es de 5.05 cm, para calcular la distancia real entre estos lugares, multiplica la distancia en el mapa por la escala, 5.05 × 860 000. 5.05 :

1 = 5.05 × 860 000 = 4 343 000 cm 860 000 1

Para convertir 4 343 000 cm a km, recorres el punto decimal cinco posiciones a la izquierda; que corresponden cada una a la unidad inmediata superior, dm-m-dam-hm-km. Por lo que 4 343 000 cm equivalen a 43.43 km. Encuentra una forma más rápida de calcular la distancia en el terreno, a partir de la distancia en el mapa. Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Con una regla mide en el mapa la distancia de Actopan a Pachuca, después calcula la distancia real entre esas dos ciudades. Escribe todas las operaciones, como en el ejemplo anterior.

2. Con una regla mide en el mapa la distancia de Zempoala a Pachuca, después calcula la distancia real entre esas dos ciudades. Escribe todas las operaciones.

28

BLOQUE UNO 

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

LECCIÓN

Perímetros y áreas El perímetro de una figura se obtiene sumando las medidas de sus lados.

9

Periarea

La siguiente expresión aritmética nos permite obtener el perímetro de un polígono regular P=n×l Donde l representa la longitud de un lado y n el número de lados. Completa los datos de la tabla y calcula el perímetro de los siguientes polígonos regulares. Polígono

l

Triángulo equilátero

2.5 dm

Cuadrado

4.1 cm

Pentágono

3.7 cm

Hexágono

11.3 mm

n

P

El área de una figura se define como la medida de la porción de superficie delimitada por su contorno, también llamado perímetro. El contorno puede ser recto o curvo. Área del triángulo (At)

At = b × h 2

Donde b = base del triángulo y h = altura.

Área del cuadrado (Ac)

Ac = l × l

Donde l = lado del cuadrado

P×a Área de un polígono regular (Apr) Apr = 2

P = Perímetro y a = apotema. Donde apotema se define como el segmento que va del centro del polígono al punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.

Forma, espacio y medida

29

Calcula el área de los siguientes polígonos.

12.9 cm 24 cm 7.4 cm

22.4 cm 12.7 cm

a 22.5 cm

Con a = 11.5 cm 13.8 cm

Se tienen también las siguientes fórmulas. Área del trapecio (Atr)

Atr = (B + b) h Donde B = base mayor, 2 b = base menor.

Área del rombo (Ar)

Ar = D × d 2

Donde D = diagonal mayor, d = diagonal menor.

Calcula el área de los siguientes polígonos. 14 cm

10.7 cm

21.2 cm

20.1 cm

10.8 cm

30

BLOQUE UNO 

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

Porcentaje El porcentaje también recibe el nombre de tanto por ciento, y se puede expresar como fracción o como decimal.

10

LECCIÓN

Porcentajes

Enseguida se muestran tres maneras de obtener el tanto por ciento; en este caso el 25% de 300. a) 25% de 300 = 25 × 300 = 75 100 b) 25% = 25 = 0.25 100

0.25 × 300 = 75

c) 25% = 25 = 5 = 1 100 20 4

300 × 1 = 75 4

Relaciona los valores de las cuatro columnas uniéndolos con una línea de color diferente para cada porcentaje. Sigue el ejemplo. 20 100

10%

0.75

3 4

50 100

15%

0.25

1 5

10 100

20%

0.50

1 4

75 100

25%

0.15

1 2

15 100

50%

0.10

1 10

25 100

75%

0.20

3 20

En México muchos productos están gravados con el Impuesto al Valor Agregado (IVA), que corresponde al 16% de su precio. Eso significa que por cada $100 se deben pagar $16 más. Calcula el IVA de los siguientes productos y escribe su precio total. Utiliza el método que mejor te funcione. $100 + 16% IVA

$200 + 16% IVA

$500 + 16% IVA

0

$10

0

$20

0

$50

Manejo de la información

31

Por otra parte, si un artículo cuesta $80, y tiene un descuento de 15%, ¿cuánto cuesta el artículo si se aplica el descuento? Un procedimiento para calcular el precio con descuento de un artículo es el siguiente:

1

2

Se divide el porcentaje entre 100. 0. 1 5 10015 150 500 0

3

Se multiplica el precio del artículo por el resultado anterior. 8 × 0. 1 40 80 1 2. 0

Al precio original se le resta el resultado del producto anterior.

0 5 0

80 −12 68

0

$80 menos 15% = $68

Otro procedimiento para calcular el precio con descuento de un artículo es este:

1

2

Al 100% del valor total que teníamos le restamos el 15%. 100 −15 85

32

BLOQUE UNO 

3

El porcentaje restante se divide entre 100. 0. 8 5 10085 850 500 0

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

Se multiplica el precio original por el resultado anterior. 80 × 0. 8 5 400 640 6 8. 0 0 $80 menos 15% = $68

Ahora bien, si tenemos el caso que un artículo cuesta $60 de contado, y si es a crédito aumenta un 25%, ¿cuánto cuesta el artículo con el aumento? Un procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo es el siguiente:

1

2

Se divide el porcentaje entre 100.

3

Se multiplica el precio del artículo por el resultado anterior.

0. 2 5 10025 250 500 0

6 × 0. 2 30 120 1 5. 0

Se suma el precio original más el resultado del producto anterior.

0 5 0

60 +15 75

0

$60 más 25% = $75

Otro procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo es este:

1

2

Al 100% del valor total que teníamos le sumamos el 25%.

3

El porcentaje restante se divide entre 100. 1. 2 10012 25 5

100 +25 125

5 5 0 00 0

Se multiplica el precio original por el resultado anterior. 60 × 1. 2 5 300 120 60 7 5. 0 0 $60 más 25% = $75

Calcula el precio de los siguientes artículos al aplicarles diferentes porcentajes de descuento. Artículo

Precio original

Reloj

$100

Mochila

$200

Calculadora

$600

Reproductor MP3

$1 000

50%

25%

10%

15%

5%

Manejo de la información

33

LECCIÓN

11

Tablas de datos

Tabladatos

Los datos que se obtienen como resultado de una investigación pueden registrarse en tablas; las tablas son instrumentos que presentan la información en forma agrupada y ordenada para llegar a conclusiones. Observa las siguientes tablas y menciona las conclusiones a las que puedes llegar. Datos de educación y cultura en el estado de Hidalgo, 2009 Escuelas de primaria

4 757

Escuelas de secundaria

1 633

Alumnos egresados de primaria

115 389

Alumnos egresados de secundaria

84 090

Personal docente en primaria

20 076

Personal docente en secundaria

11 110

Bibliotecas públicas

34

Conclusiones:

Datos sobre el trabajo en el estado de Hidalgo, 2010 Población de 14 y más años de edad

3 623 977

Población económicamente activa

2 034 449

Población económicamente activa ocupada

1 926 312

Población económicamente activa desocupada Población no económicamente activa

Conclusiones:

34

BLOQUE UNO 

Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o grado

108 137 1 589 528

BLOQUE DOS LECCIÓN

Valor posicional El sistema de numeración decimal y notación posicional tuvo su origen en la India, y fue difundido en Europa por los árabes en el siglo XI. Decimal significa que su base es 10.

1

Valorposi

Unidades de millón

Centenas de millar

Decenas de millar

Unidades de millar

Centenas

Decenas

Unidades

Diez unidades de un orden constituyen una unidad del orden superior inmediato, que se coloca a la izquierda de la anterior.

7o orden

6o orden

5o orden

4o orden

3er orden

2o orden

1er orden

3ª clase Millones

2ª clase Millares

1ª clase Unidades

Los números, cifras o dígitos básicos del sistema decimal son 0, 1, 2, 3, …, 9 y tienen un valor absoluto. Sin embargo, al combinarse en una cantidad de dos o más cifras adquieren un valor posicional o relativo, según el lugar que ocupen en dicha cantidad y que aumenta de derecha a izquierda. Determina el valor posicional o relativo de la cifra 3 en las siguientes cantidades. 131

Tres decenas

3 741

1 345 002

32 109

319

3 140 378

Escribe los nombres de los órdenes de unidades a partir del 8o hasta el 13o. 8 o 9 o 10o 11o 12o 13o

Decenas de millón

Sentido numérico y pensamiento algebraico

35

Establece el valor posicional de cada una de las cifras de las siguientes cantidades:

1 304 45 749 13 502

709 135

Determina con los signos >,