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2 Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

0501) Cuerpo Rígido y Torque (a)

A) Noción intuitiva de torque Piense en la apertura de una puerta como la mostrada en la figura 1a). Para hacerlo, la persona aplica una fuerza F a la puerta, que a su vez aplica (transmite) esa misma fuerza F a los goznes (bisagras) de la puerta. Estos goznes reaccionan aplicando a la puerta una fuerza igual y opuesta –F. Así, la puerta está sometida a un par de fuerzas F (aplicada por la persona) y –F (aplicada por los goznes) que propician su rotación. Similarmente, se aprecia en otras situaciones de la vida cotidiana donde hay implicada una rotación, como abrir una llave de agua (figura 1b) y hacer girar un destornillador (figura 1c) o una llave de cruz (figura 1d). En todos los casos, se necesita aplicar un par de fuerzas entre sí, y de sentidos opuestos, para lograr el efecto de rotación.

(b)

(c)

(d)

Figura 1) Rotación en diferentes situaciones. (a) Puerta; (b) llave de agua; (c) destornillador; (d) llave de cruz (b) (a) (c)

Figura 2) Ejemplos de situaciones donde hay fuerza de giro. (a) girar una llave de tuercas; (b) abrir una puerta; (c) abrir una llave de agua.

En muchos casos, una de las fuerzas se aplica en el eje de giro, y su función es mantener al cuerpo rotando en torno a ese eje. Así, se puede establecer que la otra fuerza, denominada fuerza de giro, es la que provoca la rotación. Cuando se aprieta una tuerca con una llave (figura 2a), se abre una puerta (figura 2b) o se abre una llave de agua (figura 2c), se ejerce una fuerza de giro. Esa fuerza de giro produce un torque (también llamado torca, momento de torsión o momento de rotación) alrededor del eje.

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Al abrir una puerta (figura 5) (a) (b) (c) aplicando una fuerza F, la experiencia cotidiana nos dice que: • No se consigue el objetivo aplicando una fuerza F paralela al brazo de palanca, con lo que se establece que no ejerce torque. Figura 5) Torque aplicado a una puerta • Se consigue el máximo torque posible aplicando una fuerza F perpendicular al brazo de palanca. • Al aplicar la fuerza F lejos de los goznes, la puerta se abre con facilidad (figura 5a) • Al aplicar la fuerza F en el medio de la puerta, ésta también se abre, pero con menos facilidad (figura 5b). Figura 6) Torque aplicado a llaves de • Al aplicar la fuerza F cerca de los tuercas goznes, la puerta se abre dificultosamente (figura 5c). (a)

En la figura 6 se ven tres llaves de tuercas. La experiencia cotidiana indica que, para la misma fuerza perpendicular aplicada, la llave de tuercas con el mayor brazo de palanca es el que consigue hacer girar la tuerca con mayor facilidad. Además, como se aprecia en la figura 7, se puede lograr el mismo torque por medio de una gran fuerza con un brazo de palanca pequeño, o de una fuerza pequeña con un brazo de palanca grande.

(b)

Figura 7) En (a) y (b), las dos fuerzas provocan el mismo torque de magnitud F·d

B) Definición formal de torque El torque es el análogo de la fuerza para el movimiento circular. Tal como las fuerzas producen aceleración lineal, el torque produce aceleración angular.

Figura 3) Efecto de palanca.

Se produce torque cuando existe un “efecto de palanca”, como el que aprecia en la figura 3. La distancia del eje de rotación al punto de aplicación de la fuerza se denomina “brazo de palanca”. En la figura 4, el brazo de palanca tiene longitud d, y la fuerza de magnitud F es perpendicular al brazo de palanca. En este caso el torque tiene magnitud τ = F ⋅ d

Figura 4) Torque de fuerza perpendicular al brazo de palanca.

Considere la situación
de la figura 8. En ella, se aplica una fuerza F en un punto
P descrito por un punto vector “brazo de palanca” r respecto
al
escogido O. El ángulo mínimo entre F y r es θ. Sean además:
• rF el vector brazo de palanca con
F . respecto a

• Frad la componente de F paralela al brazo de palanca.


r


F

Eje de giro o pivote


rF


Frad


Ftan

θ θ

P

O

Figura 8) Definición formal de Torque

3

4 • •

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Ftan la componente de F perpendicular al brazo de al brazo de palanca.

F =F y r =r




De la figura 8, se puede deducir que rF = r ⋅ sen(θ ) , Frad = F ⋅ cos (θ ) y Ftan = F ⋅ sen (θ )
Se puede calcular la magnitud del torque τ = τ de varias formas: • •










τ = F ⋅ rF = F ⋅ r ⋅ sen (θ )


La componente Frad , al ser paralela al brazo de palanca, no ejerce torque. Luego, el torque



total es el torque de la componente Ftan , dado por τ = Ftan ⋅ r = F ⋅ r ⋅ sen(θ )




Pero sabemos que τ = F ⋅ r ⋅ sen (θ ) = r × F . Así, el torque es un vector definido como el

producto cruz o vectorial entre los vectores r y F , es decir:








τ = r ×F .


La magnitud del vector torque está dada por: τ = r ⋅ F ⋅ sen (θ ) Así, el torque aplicado por una fuerza depende de tres

factores F2 F4 • Magnitud de la fuerza
• Longitud del brazo de palanca F4 ⊥
• Ángulo mínimo entre el brazo de palanca y la F4//
θ fuerza. F3 En la figura 8 se observan diferentes casos de fuerzas aplicadas a un cuerpo
pivoteado en un eje de giro Eje de • La fuerza F1 es perpendicular al brazo de giro
palanca, y se aplica a una distancia r1 del eje de F1 giro, por lo que la magnitud de su torque es

Figura 8) Dependencia del torque con la τ 1 = F1 ⋅ r1 . longitud del brazo de palanca y la
• La fuerza F2 se aplica justo en el eje de giro, orientación de la fuerza con respecto a por lo que no tiene brazo de palanca. Luego, la éste.
magnitud de su torque es τ 2 = 0 .
• La fuerza F3 es paralela al vector de palanca, por lo que la magnitud de su torque es
τ3 = 0 .

•

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La fuerza F4 tiene brazo de palanca de longitud r4 tiene dos componentes, de las cuales
solamente la componente perpendicular F4 ⊥ ejerce torque. Luego la magnitud de su torque


es τ 4 = F4 ⊥ ⋅ r4 = F4 ⋅ r4 ⋅ sen (θ ) .


Al definirse a través de un producto cruz, el vector τ asume todas las propiedades de éste, a saber:



• τ ⊥r y τ ⊥F
• La orientación de τ queda determinada por la regla de la mano derecha, ilustrada en la figura 9. Así, si los
dedos de la mano derecha se curvan de la dirección de r hacia la
de F (en la dirección de la rotación que el par tiende a
causar), el pulgar estirado indica la dirección del torque τ .

Figura 9) Regla de la mano derecha



En la figura 10, la fuerza F1 tiende a causar rotación antihoraria, mientras que la fuerza F2 tiende a causar rotación horaria. Por convenio, se establece que los torques antihorarios son positivos, y lo horarios son negativos. Así, en la figura 8, τ 1 = +F1 ⋅  1 y τ 2 = −F2 ⋅  2 La unidad en el sistema SI (MKS) para el torque es el [N·m]. Al hablar de energía llamamos “Joule” ó [J] a esa combinación, pero el torque, fuera de la coincidencia dimensional, no corresponde a la misma cantidad física que la energía (la energía es escalar, mientras que el torque es un vector). Por ello, el torque se expresa en [N·m] y no en [J].

Figura 10) Convenio de signos para el torque

C) Centro de Gravedad Centro de gravedad Una de las fuerzas que actúa sobre cualquier cuerpo es su un cuerpo es su peso, el cual puede ejercer un torque sobre éste. En estricto rigor, el peso se distribuye alrededor de todo el cuerpo. Sin embargo, para efectos de análisis se puede calcular el torque debido al peso suponiendo que toda la fuerza se concentra en un punto llamado “centro de gravedad”. Considere el torque gravitatorio sobre un cuerpo de masa M y de forma arbitraria de la figura 11. Supongamos que la aceleración de gravedad tiene la misma magnitud y dirección en todos los puntos del cuerpo.

Figura 11) Centro de masa y centro de gravedad de un cuerpo.

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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Considere que el cuerpo se divide en un “gran” número de partículas de masa mi. Cada partícula del

cuerpo experimenta una fuerza gravitatoria, por lo que tiene un peso w i = mi g . Asì, el peso total del


cuerpo es la suma vectorial de los pesos de las partículas, es decir W = ∑ w i = ∑ mi g . Como la


aceleración de gravedad es la misma en todos los puntos del cuerpo, W = ( ∑ mi ) ⋅ g = M ⋅ g .

Si ri es el vector posición de la partícula respecto a un origen arbitrario O, el torque τ i del peso, respecto de O es:














τ i = ri × w i = ri × ( mi g ) El torque total debido a las fuerzas gravitatorias sobre todas las partículas es:




















τ = ∑τ i = ∑ ri × ( m i g ) Desarrollando:








τ = ∑τ i = ∑ ri × ( mi g ) = ∑ ( mi ri ) × g Multiplicando y dividiendo por la masa total del cuerpo: M = m1 + m2 +  = ∑ m i Obtenemos

•

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R En algunos cuerpos, como los mostrados en la figura 12d, el centro de gravedad está en un punto en el que no hay materia.

El efecto de una fuerza en un cuerpo depende de su alineamiento con su centro de gravedad. Considere el ejemplo de un jugador pateando un balón de rugby, ilustrado en las figuras 13a y 13b. Si se patea el balón en una dirección que pasa por su centro de gravedad (figura 13a), la fuerza del pie no ejercerá torque sobre éste, por lo que se moverá sin girar (traslación pura sin rotación). Por el contrario, si se patea el balón en una dirección que pasa por debajo o por encima de su centro de gravedad (figura 13b), la fuerza del pie ejercerá un torque sobre éste, por lo que girará además de (rotación y rotación simultánea)

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 12) Centro de gravedad de diferentes cuerpos. (a) muñeco porfiado; (b) regla de material uniforme; (c) determinación del centro de gravedad de un cuerpo irregular; (d) cuerpos con centro de gravedad en un punto sin materia. moverse

Principio de Volcamiento.



∑ ( mi ri )




× Mg = rcm × w

Así, el torque gravitatorio total es el mismo que si el peso total estuviera actuando sobre el centro de masa del cuerpo. Como, a nivel terrestre, la aceleración de gravedad es prácticamente constante en todos los puntos, el centro de gravedad es idéntico al centro de masa

Considere la situación ilustrada en la figura 14. En ella, se fija una plomada en el centro de un bloque de madera y se inclina el bloque hasta que se vuelque. Se observa que el bloque comienza a volcarse cuando la plomada sobrepasa su base.

La forma de localizar el centro de gravedad de cualquier cuerpo es averiguando en qué punto de éste tengo que aplicar una fuerza para lograr que el cuerpo permanezca en equilibrio. • En el caso de un “muñeco porfiado” (figura 12a), el centro de gravedad está ubicado en un punto en medio de su base de plomo. • En el caso de una regla rectangular de espesor constante y material homogéneo (figura 12b), el centro de gravedad coincide con su centro geométrico. • Para determinar el centro de gravedad de cualquier cuerpo irregular, se puede usar el siguiente procedimiento: colgar el cuerpo desde dos puntos diferentes y marcar las verticales que pasan por tales puntos usando una plomada. El punto donde se cruzan ambas restas es el centro de gravedad (figura 12c)

Esta idea ilustra el principio de volcamiento de los cuerpos que sentencia que: • Si el centro de gravedad de un cuerpo está sobre el área que sirve de base o soporte, el objeto permanece en pie. • Si el centro de gravedad del cuerpo sobrepasa el área de base, el objeto se vuelca.

τ =

∑ mi

(a)

(b)

Figura 13) Torque y centro de gravedad

Figura 14) Bloque de madera y plomada

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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Mientras el centro de gravedad esté sobre el área de soporte del cuerpo, el peso no ejerce torque sobre el cuerpo, (a) (b) lo cual explica su no volcamiento. Por el contrario, si la base del objeto no está bajo su centro de gravedad, el (2) (c) (1) peso ejercerá un torque sobre el cuerpo, propiciando su volcamiento.

•

(3) •

En las figuras 15a, 15b y 15c, se muestran algunas aplicaciones del principio de volcamiento. •

• •

Si la persona de la figura 15a está de pie con la espalda y los Figura 15) Ilustraciones del principio de volcamiento. (a) talones contra una pared, e persona agachándose; (b) torre inclinada de pisa; (c) intenta agacharse para tocar la vehículos en un camino con peralte. punta de sus pies, su cuerpo empezará a rotar. La famosa “Torre Inclinada de Pisa” (figura 15b) no se cae porque su centro de gravedad está por encima de su base. En la figura 15c se muestran tres vehículos avanzando en un camino con peralte (inclinación). El vehículo (1) tiene su centro de gravedad dentro del área delimitada por sus ruedas, por lo que no vuelca. Por el contrario, los vehículos (2) y (3) se volcarán porque su centro de gravedad está fuera de dicha área de soporte.

Considere un cono de madera como el de la figura 16a, puesto sobre una mesa horizontal. Dependiendo de lamanera en que esté dispuesto sobre la mesa, se pueden establecer tres tipos de equilibrio: • En la figura 16b, se muestra el cono equilibrado sobre su vértice. La experiencia cotidiana nos dice que el cono no puede sostenerse en esta condición, pues aunque se pudiera equilibrar (colocándolo de forma que el centro de gravedad quede exactamente sobre la punta), la más pequeña vibración lo haría caer, en cuyo caso descendería el

En las figuras 17a, 17b y 17c se muestran ejemplos en los cuales se pueden lograr efectos interesantes al distribuir las masas de manera conveniente. •

(a) •

(b) (c)

(d)

Figura 16) Tipos de equilibrio. (a) cono de referencia; (b) equilibrio inestable; (c) equilibrio estable; (d) equilibrio neutro o indiferente

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R centro de gravedad. Se dice que un cuerpo está en equilibrio inestable cuando un desplazamiento cualquiera hace descender su centro de masa. En la figura 16c, se muestra el cono erguido sobre su base La experiencia cotidiana nos dice que resulta fácil mantener el cono en esta posición. Al aplicar pequeñas vibraciones, se eleva su centro de gravedad, para luego volver a su posición original. Se dice que un cuerpo está en equilibrio estable cuando un desplazamiento cualquiera eleva el centro de gravedad. En la figura 16d, se muestra el cono puesto de costado. La experiencia cotidiana nos dice que la altura del centro de masa no varía con las vibraciones que pueda (a) sufrir el cono en estas condiciones. Se dice que un cuerpo está en equilibrio neutro o indiferente cuando un desplazamiento cualquiera no eleva ni hace descender el centro de gravedad.

(b)

En el caso del “muñeco porfiado” (figura 17a), la base de plomo hace que el centro de gravedad esté a una altura muy baja, de tal suerte que sea (c) muy difícil aplicar una fuerza tal que éste baje y el muñeco se vuelque. Por eso, al empujarlo el muñeco tiende a volver a pararse. Resulta complicado equilibrar un lápiz aplicando una fuerza en su punto medio, como se ilustra en la figura 17b. Pero si en ambos extremos del Figura 17) Distribución de masa para lograr lápiz se ensartan dos papas de igual efectos “interesantes”. (a) muñeco porfiado; (b) masa, el centro de gravedad del lápiz con papas ensartadas en sus extremos; (c) sistema lápiz + papas está debajo del equilibrista de juguete. centro de gravedad del lápiz sólo, lo que hace más fácil equilibrarlo con el dedo.

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10 •

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R En el caso del equilibrista de juguete de la figura 17c, las bolas que van a cada lado se diseñan de tal manera que el centro de gravedad del sistema quede justo en el punto inferior de las ruedas de la bicicleta, lo que facilita que el juguete avance equilibrándose en una delgada cuerda. 2 1 Otro ejemplo interesante es una gaviota de plástico con las alas extendidas que tiene (a) mucha masa concentrada en su cabeza, de tal manera que el centro de gravedad quede ubicado en la punta 2 1 M del pico del ave. Así, el ave se equilibra al apoyar el pico en el dedo, logrando el (b) efecto del ave volando con sus alas extendidas

L

•

L r

Considere la situación de la figura 18a, en la cual una tabla uniforme de longitud L y masa m descansa sobre dos borriquetas separadas en una distancia 2, donde la primera

L

r 1

M

2

está a una distancia 1 del (c) extremo izquierdo de la tabla. El centro de gravedad de la Figura 18) (a) tabla sola apoyada en dos borriquetas; (b) tabla está en su centro geométrico, situado a distancia cuerpo encima de la tabla con r > 1 + 2; (c) cuerpo encima de L/2 del extremo izquierdo. La la tabla con r < 1 intuición, la experiencia cotidiana y la física nos dicen que, para que la tabla esté en equilibrio sobre las borriquetas, el centro de gravedad de la tabla debe estar entre estas, lo que significa que 1 < L/2 < 1 + 2. Supongamos que se agrega un cuerpo de masa M a una distancia r del extremo izquierdo de la tabla. ¿Qué tendría que suceder para que la tabla vuelque producto de la acción del referido cuerpo?

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Lo que tendría que pasar es que el centro de gravedad Xcg del conjunto tabla + masa tiene que estar fuera del área de soporte delimitado por las borriquetas, es decir, Xcg < 1 o Xcg > 1 + 2. Para que ello suceda, el cuerpo no puede estar ubicado entre las borriquetas (en cuyo caso Xcg quedaría entre ellas), lo que significa que se pueden dar dos casos: el caso r > 1 + 2 (figura 18b)) o el caso r < 1 (figura 18c). Para el caso r > 1 + 2, la condición de volcamiento está dada por: L + M ⋅r 2 > 1 +  2 M +m

m⋅ X cg =

Para el caso r < 1, la condición de volcamiento está dada por: L +M ⋅r 2 < 1 M +m

m⋅ X cg =