Funciones polinómicas .

1. GENERALIDADES SOBRE LOS POLINOMIOS. LAS DEFINICIONES. 2

2

2

Sea p la función definida por: p ( x ) = 2x ( 1 – x ) + x ( 2x – 1 ) + 2x – 1 , p es una función de R en R. 2

Y para todo real x, se tiene p ( x ) = x + 2x – 1 . Se dice entonces que p es una función polinómica de grado 2. 2

La forma p ( x ) = x + 2x – 1 de la función polinómica p es reducida y ordenada en potencias decrecientes de x. 2

Escribiendo p ( x ) = – 1 + 2x + x , diremos que su forma es ahora reducida y ordenada en potencias crecientes de x. Definición:

Una función polinómica es una función p de R en R para la cual existen números reales n

an, an−1, an−2, …, a2, a1, a0, tales que para todo x ∈ R, p ( x ) = a n x + a n – 1 x

n–1

2

+ … + a2 x + a1 x + a0 .

Los números reales: an, an−1, an−2, …, a2, a1, a0 se llaman coeficientes de p. Si an, ≠ 0, se dice que la función polinómica p es de grado n. (n ∈N) Notación y vocaburario:

Se escribe gr(p) = n para expresar que la función polinómica es de grado n. Se dice que aixi es el término de grado i y que ai es el coeficiente del término de grado i. Ejemplos:

3

2

La función: p ( x ) = 2 – x + 3x – x es una función polinómica de grado 3, porque se puede escribir en la forma: 3 2 p ( x ) = – x + 3x – x + 2 . 2

La función: p ( x ) = a 2 x + a 1 x + a 0 es de grado 2 si a2 ≠ 0, de grado 1 si a2 = 0 y a1 ≠ 0, de grado 0 si a1 = a2 = 0 y a0 ≠ 0. Constatas así que las funciones constantes no nulas son funciones polinómicas de grado 0. Una función polinómica que tenga todos sus coeficientes nulos es la función nula.

OPERACIONES CON FUNCIONES POLINÓMICAS. Sean las funciones polinómicas p y q definidas por: 2

2

2

p ( x ) = x – 3x – 1

2

. entonces:

2

( p + q ) ( x ) = ( x – 3x – 1 ) + ( x – 4x ) = 2x – 7x – 1 2

2

q ( x ) = x – 4x

4

3

2

( p· × q ) ( x ) = ( x – 3x – 1 ) ( x – 4x ) = x – 7x + 11x + 4x

y, para todo real λ, (λp)(x) = λx2 − 3λx − λ.

De manera general: La suma de dos funciones polinómicas es una función polinómica. El producto de dos funciones polinómicas es una función polinómica. El producto de un número real por una función polinómica es una función polinómica. Propiedad:

“Dos funciones polinómicas p y q no nulas son idénticas si y sólo si tienen el mismo grado y los términos del mismo grado de p y q tienen los mismos coeficientes”.

Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007

1

Funciones polinómicas .

RAÍZ DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA. Definición:

Sea p una función polinómica. Se dice que el número real α es una raíz (o también un cero de p), si p(α) = 0. Observación:

n

n–1

2

Si p es una función polinómica p ( x ) = a n x + a n – 1 x + … + a2 x + a1 x + a0 . n n–1 2 El número real α es raíz de a n x + a n – 1 x + … + a 2 x + a 1 x + a 0 si y solamente si p(α) = 0. Las raíces de p(x) son entonces las soluciones de la ecuación p(x) = 0. Ejemplo:−3 es raíz del polinomio 2x3− 20x − 6 pues: 2(−3)3− 20(−3) − 6 = 0

FACTORIZACIÓN ENTRE (X - α). “Definición:

Una función polinómica p es factorizable (o divisible) entre (x − α) si existe un polinomios q tal que: p(x) = (x − α)q(x) A la función polinómica q se le llama cociente de la división de p entre (x − α). Ejemplo:

Εl polinomio x3 + 3x2− 2x − 6 es factorizable entre (x − 3) pues x3 + 3x2− 2x − 6 = (x − 3)( x2− 2) Propiedad:

Una función polinómica p es factorizable entre (x − α) si y solamente sí α es raíz de p. Ejemplo: Εl polinomio x3 − 10x + 4 es factorizable entre (x + 2) pues −2 es raíz de x3 − 10x + 4 mientras que,

x3 + x2+ x − 5 no es factorizable entre (x − 5) pues 5 no es raíz de x3 + x2+ x − 5.

REGLA DE RUFFINI-HORNER. n

Consideremos la función polinómica p definida por: p ( x ) = a n x + a n – 1 x

n–1

2

+ … + a2 x + a1 x + a0

Si efectuamos la división de p(x) entre (x − α), obtenemos un cociente q(x) de grado n − 1: q ( x ) = bn – 1 x

n–1

+ bn – 2 x

n–2

2

+ … + b 2 x + b 1 x + b 0 y un resto r de grado cero.

De modo que: p(x) = (x − α)q(x) + r con gr(r) = 0. Se tiene así: p(x) = (x − α)q(x) + r = (x − α)( b n – 1 x n

b n – 1 x + ( b n – 2 – αb n – 1 )x

n–1

n–1

+ bn – 2 x

n–2

2

+ … + b2 x + b1 x + b0 ) + r =

+ … + ( b 0 – αb 1 )x + r – αb 0 .

Luego, identificando los coeficientes de p con los de esta última función polinómica, se obtiene: bn−1 = an

bn−2 − αbn−1 = an−1

de donde bn−2 = an−1 + αbn−1

bn−3 − αbn−2 = an−2 …

de donde bn−3 = an−2 + αbn−2 …

r − αb0 = a0

de donde r = a0 + αb0

Estas últimas igualdades nos permiten deducir una regla (algoritmo) llamada regla de Ruffini-Horner, debida a Paolo Ruffini matemático italiano (1765-1822) y a William G. Horner, que determina el cociente y el resto de la división Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007

2

Funciones polinómicas . de la función polinómica p(x) entre (x − α):

an α

+

bn−1

an−1 αbn−1 bn−2

+

an−2 αbn−2 bn−3

+

… … …

+

a2 αb2 b1

+

a1 αb1

b0

+

a0 αb0 r

GRADO, RAÍCES Y FACTORIZACIÓN. Si una función polinómica no nula admite k raíces distintas α1, α2, …, αk entonces existe una función polinómica q tal que: p(x) = (x − α1)(x − α2)…(x − αk)q(x).” Se dice que p es factorizable por el producto (x − α1)(x − α2)…(x − αk). El número de raíces de una función polinómica no nula es menor o igual a su grado.

PRÁCTICA DE LA FACTORIZACIÓN. Sea la función polinómica p definida por: p(x) = x3 + 2x2 + x − 4. Puesto que p(1) = 0, existe una función polinómica q de grado 2 tal que: p(x) = (x − 1)q(x).

B/ PRIMER MÉTODO Determinemos q utilizando el método llamado de los coeficientes indeterminados. Se trata de hallar tres números reales a, b y c tales que: p(x) = (x − 1)(ax2 + bx + c). Con: (x − 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b − a)x2 + (c − b)x − c y: p(x) = x3 + 2x2 + x − 4 Se obtiene, utilizando el teorema …, el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas siguiente: admite por solución única: a = 1; b = 3 y c = 4.

⎧ a = 1 ⎪ ⎪b – a = 2 que ⎨ ⎪c – b = 1 ⎪ –c = –4 ⎩

Observa que tres ecuaciones son suficientes para determinar a, b y c. La cuarta ecuación es de hecho una confirmación de que 1 es una raíz de p.

B/SEGUNDO MÉTODO. Otro método para obtener q consiste en dividir x3 + 2x2 + x − 4 entre la expresión x − 1. Se adopta una disposición práctica análoga a la utilizada para la división entre números. O, si lo prefieres utilizas el esquema de Ruffini:

1 1 1

2

1

-4

1

3

4

3

4

0

Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007

p(x) 2 x ×(x − 1) p(x) − x2×(x − 1) 3x×(x − 1) etc.

x3 + 2x2 + x − 4 x3 − x2 3x2 + x 3x2 − 3x 4x − 4 4x − 4 0

x−1 x2 + 3x − 4

3

Funciones polinómicas .

2. FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. Definición:

Se denomina función polinómica de tercer grado o función cúbica a toda función f definida sobre R, por una expresión de la forma: p(x) = a x3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0 y a, b, c y d reales. 80

Ejemplo:

y

f(x)=-4(

60

La siguiente función está representada en un sistema de ejes cartesianos: ¿Qué información nos da esta gráfica sobre el comportamiento de esta función? Hay intervalos en que la función es creciente? En que intervalos es decreciente? Los puntos de corte de la gráfica con los ejes que información nos da? Con Ox: los valores de x para los cuales la función se anula y también a partir de ellos los intervalos donde la función es positiva o negativa. Con Oy: obtenemos f(0) o sea el término independiente de f.

40

20

-4

-2

2

4

-20

-40

-60

Definición: Sea α un número, α es raíz de f(x) si y sólo sí f (α)=0 En el caso del ejemplo las raíces son:…………………………………… Propiedad:

Toda función polinómica de grado 3 admite al menos una raíz real. Como vimos en el ejemplo anterior, el hecho de conocer las raíces de una función polinómica de tercer grado es muy útil. Y el resultado de ésta propiedad nos asegura de algún modo que cualquiera que sean los coeficientes de la función siempre es posible expresarlo como producto de dos o tres funciones de grado menor. a) P(x) = ax3+bx2+cx+d = (x-α)(ax2+b’x+c’) o,

b) P(x)= ax3+bx2+cx+d = a (x-α)(x-β)(x-γ)

Pero además, el hecho de poder factorizar una expresión, tiene también sus ventajas a la hora de tener que calcular determinadas expresiones, al igual que ocurre en el cálculo numérico.

¿CÓMO DETERMINAR LAS RAÍCES DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA DE TERCER GRADO? Ejemplo: Se quieren hallar todas las raíces de f(x)=2x3−14x−12, sabiendo que 3 es una raíz.

El procedimiento práctico para la obtención de una factorización del polinomio es el esquema de Ruffini: 2 3 2

0 6 6

−14 18 4

−12 12 0

Los números que aparecen en la tercera fila serán los coeficientes de la expresión de 2º grado que completa la factorización del polinomio si se obtuvo resto 0. Para hallar las raíces del cocientes dispone de una fórmula y para obtener su factorización ……

Prescindimos de escribir la variable en las distintas potencias pero dejando una columna para cada una de ella. Solo escribimos en cada columna los coeficientes (eventualmente 0 si uno de los términos de la variable no aparece) En la segunda fila y en una columna anterior al término de 3º grado escribimos la raíz y ………...

Luego de obtener que −1, −2 son raíces de 2x2 + 6x + 4 = 0 se tiene que: f(x) = 2x3 − 14 x − 12 = (x − 3)(2x2 + 6x + 4) = 2(x − 3)(x + 1)(x + 2). y que por lo tanto las raíces de f(x)=2x3−14x−12 son: 3, −1 y −2.

Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007

4

Funciones polinómicas .

3. RAÍCES EVIDENTES EN UNA FUNCIÓN POLINÓMICA: RAIZ CERO: Una función polinómica admite raíz cero (0) cuando no tiene término independiente. Ejemplo: f(x)= 2x3+3x2−x Factorizamos: f(x)= x(x2+3x+1) RAÍZ UNO: Una función polinómica admite raíz uno (1) cuando la suma de sus coeficientes es cero. Ejemplo: f(x)=5x3+3x2−2x−6 RAÍZ MENOS UNO: Una función polinómica admite raíz menos uno (− 1) cuando la suma de los coeficientes de los términos con exponente par más la de los términos con exponente impar es cero. Ejemplo: f(x)= 3x3−7x2−x+9

4. EJERCICIOS: CÁLCULOS. 1. Determina los coeficientes y el grado de cada una de las funciones polinómicas siguientes que deberás escribir en su forma reducida y ordenada. p(x) = (1 + x)(1 + x)(1 + x). p(x) = (1 − x)(1 + x)(1 + x). p(x) = (2 − x)3. p(x) = (1 − x)(1 + x) + x(1 + x) + x3. p(x) = (1+ x) − 1− x − x. 3

3

2. Desarrolla y ordena, según potencias decrecientes, los polinomios siguientes: a) (1 + x)2 + x2 − 2 b) (x + 1)(x + 2) + (x + 2)(x + 4) c) (x − 1)(x2 + 1) + (x3 + 1)(x + 1) d) x2 (x +1)2 − x4 − 2x (x + 2) e) (x + 1)3 − (x + 2)3

FACTORIZACIÓN. 3. Busca el factor común y factoriza: a) x2 −1 + (x + 1)(x3 + 2). b) 4x3 − 3x2 + 4x − 3 c) x (x2 + 1) + x2(x + 1)2 d) (x2 − 4)(x +3)2 + 2x2 − 4x 4. Sea la función polinómica: p(x) = x3 + x2 − 16x + 20 Calcula p(2) y deduce una factorización de p(x). Resuelve luego la ecuación p(x) = 0.

Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007

5. Da, para cada función polinómica p y para cada cero de p una factorización de p(x). Resuelve la ecuación p(x) = 0. a) p(x) = x3 + 4x2− 8 y p(−2) = 0; b) p(x) = 2x3 + x − 3 y p(−1) = 0 c) p(x) = 3x3 + 4x2− 6x − 8 y p( 2 ) = 0

6. a) Verifica que 1 es raíz del polinomio: f(x) = x3 + x − 2. b) Determina los números reales a, b y c tales que: f(x) = (x − 1)(ax2+ bx + c).

7. a) Verifica que − 1 es raíz del polinomio: f(x) = x3 − 2x − 1. b) Si x = −1 + h, calcula f (−1 + h) y factoriza h en esa expresión. c) Deduce una factorización de f(x).

8. Idem que el ejercicio anterior para: a) 4x3 + 2x − 12 raíz: 2 4 b) x + x − 2 raíz: 1 9. a) Factoriza x3 − 8. b) Demuestra que la ecuación admite una única solución.

10. Halla todos las funciones polinómicas de grado tres que admiten a los reales 1, 2 y 3 por raíces.

11. ¿Existen funciones polinómicas de grado tres que admiten a los reales 1, 2, 3, y 4 por raíces?

12. a) Verifica que − 1 y 1 son raíces del polinomio: f(x) = x4 + x3 + x2 − x − 2. b) Calcula f (1 + h) y muestra que f(x) = (x + 1) g(x) donde g(x) es un polinomio tal que g(−1) = 0. c) Deduce una factorización de g(x) y luego de f(x).

5

Funciones polinómicas . 13. a) Determina el número real a para que el polinomio p(x) = 2x3 + 12x2 +ax − 84 sea divisible entre x+2. b) Deduce una factorización de p(x). c) Resuelve luego la inecuación p(x) ≥ 0.

b) Muestra que el punto M(x; y) pertenece a (P) y a (H) si y 2 sólo sí y = x3 + x − 2 = 0 y y = --- . x c) Determina la intersección de (P) y (H).

20. Sea la función polinómica p(x) = x3 − 4x2 − 2x + 8 y C la 14. Determina tres términos consecutivos de una sucesión aritmética de razón 4 sabiendo que su producto es igual a −15.

curva de ecuación y = p(x). a) Determina gráficamente el número de raíces de p.

CÁLCULOS CON FRACCIONES RACIONALES. 15. Es posible simplificar una fracción racional si el numerador y el denominador tienen una raíz común. ¿Es posible simplificar las fracciones siguientes? Si tu respuesta es afirmativa, simplifícalas. 2

x + 2x – 8 a) -------------------------3 x –8 2

2x – 18 d) -------------------2 x – 3x

3

2

x – 8x + 8x b) -------------------------------3 x – 4x 2

3

3x + 5x – 8 c) -----------------------------2 –x – x + 2 2

3x – 12 e) -------------------x(x + 2)

x +x–6 f) ----------------------------------3 x – 2x – x + 2

16. Da una escritura simplificada de f(x) en los siguientes casos: 2x – 1 x a) f ( x ) = --------------- + --------------3x + 2 2x – 5

1 1 1 b) f ( x ) = --- + ------------ + -----------x x+1 x+2

b) Muestra que p admite una raíz entera. c) Escribe la descomposición factorial de p.

21. Sean las funciones polinómicas: p(x):= x3 + 3x2 − x y q(x):= −x3 − 3x2 + 2x + 9.Y y C1 y C2 las curvas de ecuaciones respectivas y = p(x) y y = q(x).

x+1 x–1 4 c) f ( x ) = ------------ – ------------ – -------------x – 1 x + 1 x2 – 1 4 7 24 d) f ( x ) = ----------- + ------------ – -------------x – 3 x + 3 x2 – 9 7x + 6- + ----------x + 3- – ----------x – 2e) f ( x ) = -------------2x + 4 x x+2

INTERSECCIÓN DE CURVAS Y ECUACIÓN. En los ejercicios del 17 al 19 se considera un referencial ortonormado.

17. Determina una función polinómica de grado 3 y cuya representación gráfica pase por los puntos: 3 A(-1; 1); B(0; 1); C(1; 1) y D(2; --- ). 2

18. a) Determina los números reales a, b y c de manera que

b) Asocia cada representación gráfica con la función polinómica correspondiente. a) Ayudándote de las representaciones gráficas determina una raíz entera de p(x) − q(x). c) Factoriza p(x) − q(x) y deduce las soluciones de la ecuación p(x) = q(x). d) Resuelve en R la inecuación p(x) ≤ q(x).

PROBLEMAS.

2

la parábola (P) de ecuación y = ax +bx+c pase por los puntos A(1;0), B(−1;−1) y C(−3;2). 1 b) Sea (H) la hipérbola de ecuación y = --- . Verifica que (H) x pasa por B. c) Determina los puntos comunes de (P) y (H).

19. Sea la parábola (P) de ecuación y = x2 +1 y (H) la hipér-

2 bola de ecuación y = --- . x a) Traza (P) y (H). (Utiliza 2 cm como unidad de longitud.) ¿Cuál parece ser su intersección? Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007

22. 1) Sea h(x) el polinomio x4 − x3 − 3x2 + 2x + 2.

2 y – 2 son dos raíces de h(x). b) Determina los números reales a, b y c tales que: h(x) = (x2 − 2)(ax2+ bx + c). 1 3 2) Sea f(x) la fracción racional ---------- + -------------- . 4 h(x) x – 4 a) Determina el conjunto de definición de f(x) N(x) b) Escribe f(x) de la forma ------------ donde N(x) y D(x) son dos D(x) polinomios. c) Resuelve la ecuación f(x) = 0. a) Muestra que

6

Funciones polinómicas . 23. Sea el polinomio f(x) = x3 − 7x2 + 10x + 8. Se desea deter-

minar, si existe, una raíz α de f que sea entera. Se tiene entonces que α3 − 7α2 + 10α + 8 = 0. a) Escribiendo la igualdad anterior de la forma: (−α2 + 7α − 10) α = 8, verifica que necesariamente α es un divisor de 8. b) ¿Cuáles son los valores positivos posibles de α? c) Determina una raíz entera de f d) Determina todas las raíces de f.

24. El sólido representado en la figura está compuesto de un cubo de arista 5 cm, de un prisma recto cuya base AEI I es un triángulo

H

G F

E

rectángulo en A e isósceles y de un tetraedro CBKG, cuyas caras CBK, CKG y CBG son triángulos rectángulos en C e isósceles. Se corta ese sólido con un plano P paralelo al (ABC) y la distancia entre ambos planos es h. 1) Dibuja la sección del sólido con el plano P. 1)Sean A’,B’, G’, K’, C’, D’, J’, E I’, las intersecciones de P con los segmentos [AE], [BF], [KG], [CG], [DH], [JH], [IE],. A) Calcula el volumen V(h), en función de h el volumen del tetraedro CB’K’G’ y el volumen del prisma EI’J’D’HJ’. b) Expresa el volumen V(h) del sólido comprendido entre los dos planos P y (ABC). 3) Sabiendo que el problema admite por solución un número entero, resuelve la ecuación: V ( h ) = 319 --------3

25. A la manera de antes, D

C

K

J A

B

Determina la arista de un cubo sabiendo que la suma de su volumen, de las áreas de las caras y de las longitudes de sus aristas es 208. (Busca la solución entera y luego las otras soluciones eventuales).

TRABAJOS COLECTIVOS

2. INTERSECCIÓN DE CURVAS.

Sabes que para sumar dos fracciones, es necesario reducirlas a un denominador común, que siempre se puede tomar como el pro27 ------ y ------ admiten a ducto de los denominadores. Por ejemplo 13 15 25 15×25 por denominador común. Pero pueden existir otros, en este caso 15×5, que simplifican los cálculos. Lo mismo sucede cuando se trabaja con las fracciones racionales.

El objetivo de este trabajo es estudiar una situación en la cual las factorizaciones de polinomios permiten resolver problemas de intersección de curvas o de la posición de una curva respecto a otra. Se considera en un referencial ortonormado del plano, la curva C de 1 ecuación y = x3 y el punto A de C de A abscisa 1. 1 1). Sea r1 la recta que pasa por A de coeficiente director 1. a) Determina una ecuación de r1 . b) Estudia la intersección de r1 y C. 2) Sea r2 la recta que pasa por A de coeficiente director 2. a) Determina una ecuación de r2 . b) Escribe una ecuación (E) que permita obtener las abscisas de los puntos de intersección de r2 y C. c) Verifica que 1 es una raíz de (E) y determina tres números reales a, b y c, tales que para todo número x: x3 − 3x + 2 = (x − 1)(ax2+ bx + c). e) Estudia la intersección de r2 y C. 3. Sea r3 la recta que pasa por A de coeficiente director 3. a) Determina una ecuación de r3 . b) Escribe una ecuación (E) que permita obtener las abscisas de los puntos de intersección de r3 y C. c) Verifica que 1 es una raíz de (E) y determina tres números reales a, b y c, tales que para todo número x: x3 − 3x + 2 = (x − 1)(ax2+ bx + c). d) Estudia la intersección de r3 y C. e) Estudia el signo de x3 − (3x − 2) según los valores de x y deduce la posición de la curva C respecto a la recta r3. (es decir, indicar si C esta por encima o debajo de r3).

1. SENTIDO DE VARIACIÓN DE UNA SUCESIÓN. Considera la sucesión (un) cuyo término general está definido por: + 2- . un = n ----------n–3 a) ¿A partir de que índice un está definido. b) Calcula de diferencia un+1 − un. (Debes reducir la expresión obtenida a común denominador) c) ¿Cuál es el signo de un+1 − un? Deduce el sentido de variación de ( u n ) n ≥ 4 .

2. FRACCIÓN RACIONAL. Se considera la función f definida en R por: 1 x+2 fx ) = -------------------------- + -------------------------2 2 x + 4x + 3 x + 5x + 4 a) Determina el conjunto de definición de f. b) teniendo en cuenta la parte 1, determina un denominador co1 x+2 mún a --------------------------- y a --------------------------- . Calcula ahora f(x). 2 2 x + 5x + 4 x + 4x + 3 c) Resuelve la ecuación f(x) = 0. d) Escribe f(x +1) en forma de fracción racional y simplifica la f(x + 1) fracción racional ------------------ observando que su numerador y su def(x) nominador admiten un factor común. Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007

7