Tema 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General 1 Introducción

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2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

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3 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Obtención de la solución general 4 4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 5 Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecuación diferencial ordinaria 5.1 Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Muelle sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . . 5.2 Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Péndulo sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Péndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . 5.3 Circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensión sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Solución de los problemas de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Ecuación x00 + ω 2 x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5.4.2 Ecuación x00 + x0 + ω 2 x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ 1 5.4.3 Ecuación x00 + x0 + ω 2 x = A0 cos ω 0 t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ

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6 9 9 10 11 11 12 12 13 14 15 16 17 17 18 18 20 23

Introducción

A lo largo de este tema expondremos algunas propiedades que poseen las E.D.O. lineales de orden n y se desarrollarán métodos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atención a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Llamamos ecuación diferencial lineal de orden n a toda ecuación que se puede expresar en la forma y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = f (x)

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para la que admitimos que los coeficientes ai (x), i = 1, 2, . . . , n y el segundo miembro f (x) son funciones definidas en un intervalo I ⊆ R. La ecuación (1) se dice homogénea o incompleta si f (x) = 0 para todo x ∈ I. En caso contrario, se dice no homogénea o completa. 1

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El problema de valor inicial asociado a la ecuación diferencial (1) es ⎧ n) y + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = f (x) ⎪ ⎪ ⎪ y(x ) = y ⎪ 0 ⎪ ⎨ 0 0 y (x0 ) = y00 ⎪ .. ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎩ n−1) n−1) y (x0 ) = y0 n−1)

donde x0 ∈ I e y0 , y00 , . . . , y0

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son constantes arbitrarias.

En el teorema siguiente se muestran condiciones suficientes para la existencia de una única solución del problema de valor inicial.

Teorema 1.1 (Existencia y unicidad) Si las funciones a1 (x), a2 (x), . . . , an (x) y f (x) son continuas en un intervalo abierto I que contiene al punto x0´, entonces el problema de valores iniciales (2) posee una única solución, para cada ³ n−1) y0 , y00 , . . . , y0 ∈ Rn , definida en dicho intervalo.

En lo que sigue supondremos que los coeficientes a1 (x), a2 (x), . . . , an (x) y el segundo miembro f (x) de la ecuación (1) son funciones continuas en algún intervalo I. De esta forma, tendremos garantizado que la ecuación (1) tienen infinitas soluciones definidas en el intervalo I. A continuación introduciremos algunos conceptos que se utilizarán en el estudio de las propiedades de las E.D.O. lineales.

Definición 1.1 Sean g, g1 , g2 , . . . , gk funciones reales definidas en el intervalo I. Se dice que la función g es combinación lineal de las funciones g1 , g2 , . . . , gk en el intervalo I, cuando existen k números reales C1 , C2 , . . . , Ck tales que g (x) = C1 g1 (x) + C2 g2 (x) + · · · + Ck gk (x) ,

∀x ∈ I

Se dice que las funciones g1 , g2 , . . . , gk son linealmente independientes (l.i.) en el intervalo I cuando los únicos números reales C1 , C2 , . . . , Ck para los que se verifica la igualdad C1 g1 (x) + C2 g2 (x) + · · · + Ck gk (x) = 0,

∀x ∈ I

son C1 = C2 = · · · = Ck = 0. En caso contrario, se dice linealmente dependientes. Cuando las funciones g1 , g2 , . . . , gk tienen derivadas sucesivas hasta el orden k −1 en el intervalo I, se llama wronskiano de las funciones g1 , g2 , . . . , gk a la función que denotaremos por W (g1 , g2 , . . . , gk ) o simplemente W , tal que W : I −→ R ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ W (x) = ¯ ¯ ¯ ¯

g1 (x) g10 (x) .. . k−1)

g1

g2 (x) g20 (x) .. .

··· ···

k−1)

(x) · · ·

(x) g2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯, ¯ ¯ k−1) gk (x) ¯

gk (x) gk0 (x) .. .

∀x ∈ I,

donde se debe entender que el segundo miembro es el determinante cuyas filas sucesivas están determinadas por las funciones gi , y sus derivadas sucesivas hasta el orden k − 1.

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Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Teorema 2.1 Si las funciones y1 , y2 , . . . , yn son n soluciones en el intervalo I de la ecuación lineal homogénea y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0,

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entonces, toda función de la forma C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn , donde C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R, también es solución de la ecuación.

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Esto es, toda combinación lineal de soluciones de una ecuación lineal homogénea es también solución de dicha ecuación. Lemma 1 Sean y1 , y2 , . . . , yn

n soluciones en el intervalo I de la ecuación

y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0, y sea x0 ∈ I. Entonces: 1. y1 , y2 , . . . , yn son linealmente dependientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x0 se anula. 2. y1 , y2 , . . . , yn son linealmente independientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x0 no se anula. Teorema 2.2 Si y1 , y2 , . . . , yn son n soluciones l.i. en el intervalo I de la ecuación y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0, entonces cada solución de la ecuación (3) puede expresarse en la forma C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn , para algunas constantes C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R. De lo anterior se desprende que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea viene dada por todas las combinaciones lineales de tantas soluciones l.i. como orden tiene dicha ecuación. Además en la solución general, están dadas todas las soluciones que tiene dicha ecuación. Así, el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal homogénea, se reduce al de encontrar tantas soluciones particulares linealmente independientes de dicha ecuación, como orden tenga dicha ecuación. Por ello nos surge la siguiente pregunta: ¿Existen n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea de orden n? Cuando los coeficientes a1 (x), a2 (x), . . . , an (x) son funciones continuas en algún intervalo I, como se ha venido suponiendo, del teorema 1 se puede deducir que la respuesta es afirmativa. Basta tener en cuenta que dicho teorema asegura que hay n soluciones distintas para los n problemas de valor inicial correspondientes a la ecuación homogénea en los que ³ ´ n−1) y0 , y00 , . . . , y0

sean respectivamente los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) , (0, 0, . . . , 1) . Además dichas soluciones son linealmente independientes puesto que su wronskiano en el punto x0 es no nulo. Veremos un procedimiento para obtener este conjunto de soluciones en el caso de un ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

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Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Obtención de la solución general

En este apartado consideraremos únicamente ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes, y veremos cómo obtener soluciones linealmente independientes. Expondremos las ideas para ecuaciones de orden dos. Partiendo de la ecuación lineal homogénea de orden dos, con coeficientes constantes y 00 + a1 y 0 + a2 y = 0

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para encontrar soluciones de esta ecuación, ensayaremos soluciones de la forma y = erx . Así, observamos que 00

0

y = erx es solución de (4) ⇐⇒ (erx ) + a1 (erx ) + a2 (erx ) = 0 ¡ ¢ ⇐⇒ erx r2 + a1 r + a2 = 0 ⇐⇒ r2 + a1 r + a2 = 0

Por tanto, las soluciones de la ecuación r2 + a1 r + a2 = 0, llamada ecuación característica de la ecuación (4), nos determina los números r para los que y = erx es solución de (4). Atendiendo pues, a las posibles soluciones de la ecuación característica se pueden presentar tres casos: Caso 1: La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas. Si r1 , r2 son las dos soluciones reales de la ecuación característica, hemos probado que las funciones er1 x , er2 x son soluciones de la ecuación homogénea (4) . Como además son linealmente independientes, ya que su Wronskiano en x = 0 no es nulo, tenemos que la solución general de la ecuación homogénea es y (x) = C1 er1 x + C2 er2 x con C1 , C2 ∈ R. Caso 2: La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas. Cuando las raíces r1 , r2 de la ecuación característica son complejas conjugadas, entonces las funciones er1 x , er2 x son al igual que antes soluciones independientes de la ecuación homogénea, pero ahora son funciones complejas de la variable real x. Sin embargo, veremos que es posible, a partir de ellas, obtener soluciones reales linealmente independientes. Suponiendo que r1 = a + bi, y por tanto r2 = a − bi, se verifica que 1 r1 x 1 r2 x e + e 2 2

= eax cos bx

1 r1 x 1 e − er2 x 2i 2i

= eax sen bx

Así, las funciones eax cos bx, eax sen bx son soluciones de la ecuación dada (por ser combinación lineal de dos soluciones de dicha ecuación) y además son linealmente independientes (ya que su wronskiano en x = 0 no es nulo). Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea se puede expresar en la forma: y (x) = eax (C1 cos bx + C2 senbx) con C1 , C2 ∈ R. Caso 3: La ecuación característica tiene una raíz real doble. En este caso, si r es la raíz doble de la ecuación característica, la función erx es una solución de la ecuación homogénea, y para buscar otra linealmente independiente con ella, podríamos pensar en ensayar con posibles soluciones de la forma: y(x) = u(x)erx . Se tiene que 00

0

y = u (x) erx es solución de (4) ⇐⇒ (u (x) erx ) + a1 (u (x) erx ) + a2 (u (x) erx ) = 0 ⇐⇒ ¤ £ ¡ ¢ erx u (x) r2 + a1 r + a2 + u0 (x) (2r + a1 ) + u00 (x) = 0 u00 (x) = 0 ⇐⇒ u (x) = Ax + B.

⇐⇒ r2 + a1 r + a2 = 0 2r + a1 = 0

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Luego en particular (para A = 1, B = 0) la función es solución de la ecuación homogénea (4), y por ser linealmente independiente con, la solución general de la ecuación homogénea se puede expresar en la forma: y (x) = erx (C1 + C2 x) con C1 , C2 ∈ R. Estas ideas desarrolladas para encontrar dos soluciones l.i. de una ecuación lineal homogénea de orden 2 con coeficientes constantes se pueden extrapolar al caso de ecuaciones de mayor orden. La dificultad obvia que surgirá es la determinación de las raíces de la correspondiente ecuación característica que será una ecuación polinómica de grado al menos tres. Todo el desarrollo teórico anterior nos permite dar el siguiente procedimiento para obtener todas las soluciones de una ecuación lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes. PROCEDIMIENTO PARA BUSCAR LA SOLUCIÓN GENERAL de una ecuación lineal homogénea de orden n con coeficientes constantes. (a) Encontrar las n raíces de la ecuación característica asociada (dicha ecuación es la que resulta de sustituir en la ecuación diferencial cada derivada y k) por la potencia rk ). (b) Para cada raíz real λ de multiplicidad algebráica 1, una solución de la ecuación ecuación diferencial homogénea es y = eλx . (c) Para cada raíz real λ de multiplicidad algebráica m > 1, m soluciones de la ecuación diferencial homogénea son: y1 = eλx , y2 = xeλx , . . . , ym = xm−1 eλx (d) Si α + iβ y α − iβ (con β 6= 0) son raíces de multiplicidad algebráica 1, entonces dos soluciones de la ecuación diferencial homogénea son: y1 = eαx sen βx,

y2 = eαx cos βx

(e) Si α + iβ y α − iβ (con β 6= 0) son raíces de multiplicidad algebráica m > 1, entonces 2m soluciones de la ecuación diferencial homogénea son: y1 = eαx cos βx, y2 = xeαx cos βx, . . . , ym = xm−1 eαx cos βx ym+1 = eαx sen βx, ym+2 = xeαx sen βx, . . . , y2m = xm−1 eαx sen βx Siguiendo los pasos anteriores, las n soluciones obtenidas y1 , y2 , . . . , yn son l.i. Por ello, la solución general de la ecuación diferencial homogénea es y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x), donde C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R. NOTA: Para las ecuaciones lineales con coeficientes variables, no se cuenta con un método general para determinar n soluciones linealmente independientes.

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Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Consideramos ahora el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal no homogénea de orden n y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = f (x) y llamaremos ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea dada la que resulta de sustituir f (x) por cero; esto es, y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0. Se verá que para resolver una ecuación no homogénea se procederá a calcular la solución general de su ecuación homogénea. Teorema 4.1 Supongamos que las funciones a1 (x), a2 (x), . . . , an (x), f (x) son continuas en un intervalo abierto I. Si zp (x) es una solución particular de la ecuación no homogénea e yg (x) es la solución general de la ecuación homogénea asociada, entonces todas las soluciones y(x) de la ecuación no homogénea se pueden expresar en la forma y(x) = yg (x) + zp (x) y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea. MÉTODOS PARA OBTENER UNA SOLUCIÓN PARTICULAR de la ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes. Vamos ahora a exponer métodos para obtener una solución particular de la ecuación lineal no homogénea de orden n con coeficientes constantes, que desarrollaremos en el caso de la ecuación de orden 2: y 00 + a1 y 0 + a2 y = f (x)

(5)

• Método de variación de constantes El método consiste en obtener una solución particular de la ecuación a partir de la solución general de la ecuación homogénea asociada, dada por yg (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) Para ello las constantes C1 , C2 de dicha solución se consideran funciones de x y se trata de determinar funciones C1 (x) , C2 (x) para las que zp (x) = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x)

(6)

sea solución de la ecuación completa dada. La única condición que en definitiva deben cumplir las funciones C1 (x) y C2 (x) es que la función dada en (6) y sus derivadas cumplan la ecuación diferencial (5). En efecto, de (6) se tiene que zp0 (x) = C10 (x) y1 (x) + C1 (x) y10 (x) + C20 (x) y2 (x) + C2 (x) y20 (x) y para simplificar los cálculos y evitar derivadas de segundo orden de las funciones incógnitas C1 (x) y C2 (x), supondremos que C10 (x) y1 (x) + C20 (x) y2 (x) = 0

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con lo que zp0 (x) = C1 (x) y10 (x) + C2 (x) y20 (x) y la derivada segunda es zp00 (x) = C10 (x) y10 (x) + C1 (x) y100 (x) + C20 (x) y20 (x) + C2 (x) y200 (x) por lo que zp (x) es solución de la ecuación diferencial no homogénea cuando C10 (x) y10 (x) + C1 (x) y100 (x) + C20 (x) y20 (x) + C2 (x) y200 (x) + +a1 [C1 (x) y10 (x) + C2 (x) y20 (x)] + a2 [C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x)] = f (x) que podemos escribir, reordenando términos, en la forma C1 (x) [y100 (x) + a1 y10 (x) + a2 y1 (x)] + C2 (x) [y200 (x) + a1 y20 (x) + a2 y2 (x)] + +C10 (x) y10 (x) + C20 (x) y20 (x) = f (x) Ahora, puesto que los corchetes de la expresión anterior son nulos (ya que y1 , y2 son soluciones de la ecuación homogénea), llegamos que bajo la hipótesis (7), zp (x) es solución particular de la ecuación cuando se verifique que C10 (x) y10 (x) + C20 (x) y20 (x) = f (x)

(8)

En definitiva, la función zp (x) es solución de la ecuación cuando existan funciones C1 (x) y C2 (x) que verifiquen las condiciones (7), (8); esto es, C10 (x) y1 (x) + C20 (x) y2 (x) = 0 C10 (x) y10 (x) + C20 (x) y20 (x) = f (x) Ahora bien, el sistema de ecuaciones anterior posee solución única pues el determinante de la matriz de coeficientes es el wronskiano de las soluciones l.i. y1 , y2 . Resolviendo este sistema, obtendremos C10 (x) y C20 (x). Después por integración se obtendrán C1 (x) y C2 (x) , y así se obtendrá la expresión de una solución particular de la ecuación Z Z f (x) y2 (x) f (x) y2 (x) zp (x) = −y1 (x) dx + y2 (x) dx W (x) W (x) NOTA: El razonamiento seguido en el método de variación de constantes se puede emplear para obtener una solución particular de cualquier ecuación lineal completa de orden n, conocida la solución general de la ecuación homogénea asociada. La dificultad obvia es que se necesita conocer la solución general de la ecuación homogénea asociada, para poder aplicar este método. • Método de los coeficientes indeterminados Este método nos facilita el cálculo de la solución particular cuando la función f (x) es exponencial, polinómica, seno, coseno o sumas y productos de éstas. Seguidamente ilustramos la idea subyacente en el método con algunos casos particulares. Consideremos la ecuación lineal no homogénea de orden 2 y 00 + a1 y 0 + a2 y = f (x)

(9)

Caso f (x) = ebx Puesto que la derivación de la función f reproduce dicha función con un posible cambio en el coeficiente numérico, es natural presuponer que la ecuación (9) posee como solución alguna del tipo y(x) = Bebx , para algún valor del coeficiente B.

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Como resulta que ¡ ¢ y(x) = Bebx es solución de (9) ⇐⇒ B b2 + a1 b + a2 ebx = ebx 1 ⇐⇒ B = 2 b + a1 b + a2 cuando el denominador no se anula. Por tanto, cuando b no sea raíz de la ecuación característica (es decir, el denominador anterior es no nulo) tendremos una solución particular de la ecuación (9). Por otra parte, si b es raíz de la ecuación característica, ensayando y(x) = Bxebx como posible solución de la ecuación, tenemos ¡ ¢ y(x) = Bxebx es solución de (9) ⇐⇒ B b2 + a1 b + a2 xebx + B(2b + a1 )ebx = ebx ⇐⇒ B(2b + a1 ) = 1 ya que el primer paréntesis se anula, al ser b raíz de la ecuación característica. Por consiguiente, obtenemos una solución particular de (9) si 2b + a1 no se anula. Esto es, si b no es raíz doble de la ecuación característica. Finalmente, cuando b es raíz doble de la ecuación característica, se puede comprobar que la función y(x) = x2 ebx /2 es una solución particular de la ecuación diferencial (9). En definitiva, si f (x) = ebx , la ecuación (9) tiene una solución particular de alguna de las tres formas siguientes: Bebx , Bxebx , Bx2 ebx , donde el coeficiente indeterminado B se obtendrá de imponer que sea solución particular. Obsérvese que se descartan la primera o las dos primeras posibilidades cuando la ecuación homogénea asociada posee ese tipo de soluciones. Caso f (x) = sen bx, f (x) = cos bx o cualquier combinación lineal de ellas Las derivadas sucesivas de este tipo de funciones nos hacen pensar que la ecuación (9) puede admitir una solución particular de la forma y(x) = α sen bx + β cos bx Se puede comprobar que esto es así, siempre que la ecuación homogénea asociada no posea soluciones del tipo propuesto. En dicho caso, se ensayará con una solución particular del tipo y(x) = x(α sen bx + β cos bx) Caso f (x) función polinómica de grado m en x En este caso es lógico pensar que (9) admita como solución particular un polinomio de grado menor o igual que m y(x) = α0 + α1 x + · · · + αm xm Los casos reseñados anteriormente se pueden generalizar a ecuaciones diferenciales de orden n. El siguiente cuadro muestra el tipo de solución particular zp (x) a ensayar cuando f (x) es de los tipos anteriormente citados o su forma es aún más general.

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f (x)

zp (x)

Pm (x)

∗ Pm (x)

Pm (x)ebx

∗ Pm (x)ebx

Pm (x)ebx sen(cx) + Qm (x)ebx cos(cx)

∗ Pm (x)ebx sen(cx) + Q∗m (x)ebx cos(cx)

9

∗ Aquí, Pm , Pm , Qm y Q∗m son polinomios de grado m. Siempre se deberá tener presente que si cualquiera de los sumandos de la solución propuesta zp (x) es solución de la ecuación homogénea, entonces se deberá ensayar como solución particular una del tipo xk zp (x), donde k será el menor número natural tal que ningún sumando de xk zp (x) sea solución de la ecuación homogénea. Obsérvese que la idea básica de este método no se puede extrapolar a ecuaciones con coeficientes no constantes.

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Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecuación diferencial ordinaria

En esta sección vamos a estudiar algunos sistemas físicos que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales lineales, centrando nuestra atención en distintos movimientos que se realizan en torno a una posición llamada de equilibrio. La permanencia del móvil en una región limitada del espacio, se debe a la existencia de una fuerza recuperadora que produce en el móvil una aceleración que tiende a frenarlo cuando se aleja de la posición de equilibrio. De la acción de esta fuerza, a la que pueden sumarse otras, como el rozamiento, o fuerzas externas de diversa índole, resulta que el móvil se precipite hacia la posición de equilibrio, donde finalmente se detiene, o bien evolucione hasta permanecer oscilando entre dos posiciones extremas, o bien oscile pero con amplitud cada vez mayor, llegando por último a escapar y dejar de ser un movimiento limitado (aunque antes de que ocurra eso, probablemente el sistema físico se destruirá). De entre estos sistemas físicos, vamos a interesarnos en unos particularmente importantes que reciben el nombre genérico de osciladores, y de ellos vamos a estudiar tres: un muelle, un péndulo y un circuito eléctrico sencillo, no tanto por su importancia técnica, que sin duda la tienen, pero que cae fuera del alcance de esta asignatura, sino porque constituyen sistemas conocidos, los conceptos físicos involucrados son sencillos, y es muy fácil pasar rápidamente de ellos a las ecuaciones diferenciales que constituyen sus modelos matemáticos. Comprobaremos un hecho crucial: los tres, independientemente de su estructura física, se dejan describir por el mismo modelo matemático, las ecuaciones diferenciales lineales. Por ello, algunas veces se les llama osciladores lineales y con más frecuencia osciladores armónicos, empleando para ello un término musical debido a que el tipo de oscilaciones que producen es el mismo que el que forma parte de las ondas sonoras.

5.1

Muelle

Un dispositivo elástico, como un muelle o una tira de goma, tienen la particularidad, debido al material de que están construidos, y a la forma (en el caso del muelle), de recuperar la longitud inicial después

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de ser estirados. Este comportamiento elástico es debido a la existencia de una fuerza recuperadora que se opone al estiramiento y que de acuerdo con la ley experimental de Hooke, es proporcional (para estiramientos pequeños) a la longitud estirada. Estudiaremos este primer sistema mecánico en los tres casos siguientes. 1. Ausencia de rozamiento y de fuerza externa 2. Sometido a rozamiento pero no a fuerzas externas 3. Sometido a rozamiento y a una fuerza externa 5.1.1

Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

Supongamos que disponemos de un muelle de masa despreciable que se encuentra suspendido de un extremo, y cuya longitud es l0 . Al colgar del otro extremo un cuerpo de masa m, el muelle se estira hasta alcanzar la longitud l1 , quedando entonces inmóvil. En ese momento, el sistema está equilibrado, y la posición del cuerpo se toma como origen. Cualquier desplazamiento posterior se considerará positivo si es hacia abajo de esta posición de equilibrio, y negativo si es hacia arriba. Asimismo, las fuerzas que actúen hacia abajo se tomarán positivas y las que actúen hacia arriba, negativas. Dado que el problema es unidimensional, no será necesario el empleo de vectores. En la posición de equilibrio hay dos fuerzas actuando, el peso P hacia abajo, y la fuerza recuperadora del muelle hacia arriba y que de acuerdo con la ley de Hooke, es proporcional a la longitud estirada, es decir −k(l1 − l0 ) donde k > 0 se llama constante elástica del muelle. Pero dado que el sistema está equilibrado, la suma F de todas las fuerzas es cero F = P − k(l1 − l0 ) = 0

l0 l1

x

Si ahora desplazamos el cuerpo hacia abajo una distancia x > 0, el estiramiento del muelle hará actuar de nuevo la fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento −kx de modo que la suma F de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es ahora F = P − k(l1 − l0 ) − kx = −kx Llamando a a la aceleración del cuerpo, la segunda ley de Newton permite escribir ma = −kx

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o bien, teniendo en cuenta que a = x00 mx00 + kx = 0 y si llamamos ω 2 =

k , la ecuación diferencial queda así m x00 + ω 2 x = 0.

5.1.2

Muelle sometido a rozamiento

La situación descrita en el caso anterior no es realista. Un muelle que se mueve en el aire, está sometido a fricciones que se traducen en la aparición de una fuerza que tiende a frenarlo. Además, en ciertas aplicaciones industriales, los muelles se diseñan de modo que el efecto de fricción sea importante, como ocurre con los amortiguadores que se emplean en determinados mecanismos. Admitamos que el rozamiento del aire influye sobre el movimiento del móvil sujeto al muelle, oponiendo una fuerza proporcional y de sentido contrario a la velocidad, es decir Fr = −bv

b>0

de modo que al añadir esta nueva fuerza, la segunda ley de Newton queda así ma = −bv − kx o bien x00 +

b 0 k x + x=0 m m

1 k b y ω2 = , donde hemos dividido por m y sustituido a por x00 y v por x0 . Por último, llamando = τ m m resulta 1 x00 + x0 + ω 2 x = 0. τ 5.1.3

Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal

Una vez analizada la influencia del rozamiento vamos a estudiar el efecto que produce la aplicación de una fuerza externa. Nos limitaremos, ya que es el caso más interesante, a fuerza externas sinusoidales. Imaginemos que ahora el punto S del que está colgado, experimenta un movimiento oscilatorio arriba y abajo dado por p(t) = δ cos ω 0 t

δ>0

p(t)

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Si nos situamos en el punto S, es decir, nos colocamos en un sistema de referencia no inercial, y, puesto que suma de fuerzas activas = −kx − bv fuerza de inercia = mδω 20 cos ω 0 t la segunda ley de Newton, se escribirá así −kx − bv + mδω 20 cos ω 0 t = ma Recordando que x00 = a y que x0 = v, y reordenando los términos, podemos escribir la ecuación diferencial de esta forma mx00 + bx0 + kx = mδω 20 cos ω 0 t al dividir por m, queda x00 +

1 0 x + ω 2 x = A0 cos ω 0 t τ

donde, como ya es habitual, hemos llamado

5.2

1 k b = y ω 2 = , además de A0 = δω 20 . τ m m

Péndulo

Al igual que para el muelle, analizaremos el movimiento del péndulo en los tres casos anteriores. 5.2.1

Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

Consideremos un péndulo constituido por un hilo de longitud l inextensible y de masa despreciable del que cuelga un cuerpo de masa m. Las fuerzas que actúan son el peso P = mg y la tensión T del hilo. Tomaremos como positivo el sentido hacia abajo en la dirección vertical, y como origen de ángulos la recta vertical OS. Al desplazarse el péndulo hacia la derecha, el ángulo descrito θ se tomará positivo, así como el arco de circunferencia que describe el cuerpo de masa m. Llamaremos s al desplazamiento a lo largo de este arco.

S θ -

+

O

s

T 1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 11 00 0000 1111 0000 1111 θ 0000 1111 Pt Pn 0000 1111 P

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El peso P puede descomponerse en una componente tangencial Pt a la trayectoria y en otra normal Pn . La diferencia entre esta última y la tensión del hilo produce una aceleración normal en el móvil responsable de los cambios de dirección de la velocidad en los distintos puntos de la trayectoria. La componente tangencial es la que provoca cambios en el módulo de la velocidad. Para los vectores tangenciales seguiremos adoptando el mismo convenio: un vector tangencial en un punto Q de la trayectoria tiene sentido positivo, si su proyección sobre la recta horizontal que pasa por Q, está situada a la derecha de Q, y negativo si está a la izquierda. Aplicando este convenio a Pt , vemos que tiene sentido negativo si θ > 0, y positivo si θ < 0. Dado que no hay movimiento en la dirección normal (aunque sí hay aceleración), sólo nos interesaremos, a efectos de desplazamientos, en la dirección tangencial. De acuerdo con todo esto, la segunda ley de Newton aplicada al péndulo sería mat = Pt Si llamamos t al vector unitario de sentido positivo tangente a la trayectoria, podremos escribir Pt = −mg sen θt y por lo tanto at = −g sen θ Pero la trayectoria es un arco de circunferencia de radio l, con lo cual s = θ l. Además at = d2 s = s00 , así que dt2

dv = dt

θ00 l = −g sen θ Esta ecuación diferencial no es lineal. En su resolución intervienen ciertos tipos de integrales llamadas integrales elípticas, pero ello cae fuera del alcance de esta lección. En lugar de eso vamos a hacer la suposición de que las oscilaciones del péndulo son de pequeña amplitud, es decir, vamos a suponer que el movimiento se realiza con valores pequeños de θ. En tal caso, del desarrollo en serie de la función seno, sen θ = θ −

θ3 θ5 + − ··· 3! 5!

tomamos una aproximación de primer orden sen θ ' θ para valores pequeños de |θ| con lo que la ecuación diferencial ahora es lineal θ00 l + gθ = 0 y si llamamos ω 2 =

g y también θ = x, queda así l x00 + ω 2 x = 0.

5.2.2

Péndulo sometido a rozamiento

Admitamos que el rozamiento que el aire opone al movimiento del péndulo produce efecto sólo sobre el módulo de la velocidad, pero no sobre su dirección y sentido. Es decir, que el rozamiento no afecta a la forma de la trayectoria, lo cual es una hipótesis bastante plausible. Admitamos además que el rozamiento

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es una fuerza proporcional al módulo de la velocidad, y puesto que sólo afecta a ese módulo, su dirección es tangencial y su sentido el opuesto a v. Es decir Fr = −bv t

b>0

donde t es un vector unitario tangente y de sentido positivo, de acuerdo con el criterio expuesto en la sección 2.1. A este respecto, es conveniente resaltar el hecho de que v es la componente tangencial de v, no su módulo, por lo que puede ser positiva o negativa. Recordando además, que estamos en la hipótesis de ángulos pequeños, podemos escribir la segunda ley de Newton aplicada al péndulo en estas nuevas condiciones ma = −mgθ − bv Puesto que la trayectoria es circular, tenemos que s = θl, de donde resultan s0 = θ0 l y s00 = θ00 l. Si ahora reordenamos los términos y dividimos por ml, queda θ00 + Por último, llamando x = θ,

g 1 b = y ω 2 = , la ecuación diferencial queda así τ m l x00 +

5.2.3

b 0 g θ + θ=0 m l

1 0 x + ω 2 x = 0. τ

Péndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal

Supongamos que el punto S del que está suspendido el péndulo, experimenta un desplazamiento horizontal p que en función del tiempo es p(t) = δ cos ω 0 t

δ>0

p(t) S θ -

+

11 00 O Para estudiar el movimiento vamos a situarnos sobre ese punto, con lo cual estamos en un sistema de referencia no inercial. La segunda ley de Newton en un sistema de tal tipo queda así suma de todas las fuerzas activas + fuerza de inercia = ma

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donde las fuerzas activas son el peso, la tensión del hilo y el rozamiento (si lo hay), mientras que la fuerza de inercia Fi es Fi = −mani donde ani es la aceleración del sistema no inercial, que de acuerdo con la figura, tiene (y por tanto, también Fi ) dirección horizontal.

p(t) S θ -

+ Fit

1 0 0 1

Fi

O Fin De las dos componentes, tangencial y normal (a la trayectoria) de la fuerza de inercia, sólo consideraremos la tangencial, ya que es la única que contribuye al movimiento y esta componente tangencial es Fit = Fi cos θ ' Fi ya que en la hipótesis de ángulos pequeños, cos θ ' 1. Tomando pues sólo las componentes tangenciales de las fuerzas, ya que son las únicas que contribuyen al movimiento, podemos escribir la segunda ley de Newton (en la aproximación de ángulos pequeños) así −mgθ − bv + mδω 20 cos ω 0 t = ma

pero como v = s0 = θ0 l y a = s00 = θ00 l, resulta

−mgθ − bθ0 l + mδω 20 cos ω 0 t = mθ00 l si ahora reordenamos los términos y dividimos por m y l b 0 g δ θ + θ = ω 20 cos ω 0 t m l l g δ 1 b Por último, llamando x = θ, = , ω 2 = y A0 = ω 20 , queda τ m l l 1 x00 + x0 + ω 2 x = A0 cos ω 0 t. τ θ00 +

5.3

Circuito eléctrico

En el caso del circuito eléctrico, y al no ser éste un sistema mecánico, términos como fuerza, velocidad o desplazamiento carecen de sentido. No obstante las similitudes en el comportamiento de este sistema eléctrico con los anteriores sistemas mecánicos es tan grande, como quedará de manifiesto al establecer la ecuación diferencial que lo rige, que el estudio de los tres sistemas merece ser abordado conjuntamente.

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5.3.1

16

Circuito LC

Un condensador es un componente eléctrico capaz de almacenar carga estableciéndose como consecuencia de ello una diferencia de potencial entre sus extremos. Una autoinducción es otro componente que reacciona a las variaciones de la corriente eléctrica que la recorre, creando asimismo una diferencia de potencial entre sus extremos. Para el condensador, la relación entre la diferencia de potencial vC y la carga q viene dada por vC =

q C

donde C es una constante positiva característica de cada condensador llamada capacidad. Para la autoinducción, la relación entre la diferencia de potencial vL y la variación de la corriente viene dada por la Ley de Faraday vL = L

di dt

donde i es la intensidad de la corriente y L una constante positiva característica de cada autoinducción, llamada inductancia. Supongamos que cargamos un condensador con una carga q, y a continuación lo conectamos con una autoinducción.

L VC VL

i C

El condensador comenzará a descargarse, estableciéndose un transporte de carga, es decir una corriente eléctrica variable con el tiempo a través de la autoinducción. Como inicialmente la corriente era cero y ahora no lo es, la autoinducción reaccionará oponiendo una diferencia de potencial entre sus extremos. De acuerdo con la ley de Kirchhoff de las tensiones vC + vL = 0 o lo que es lo mismo q di +L =0 C dt pero recordando que q 0 = i, podemos escribir Li00 +

1 i=0 C

que es una ecuación diferencial lineal. Si llamamos ω 2 =

1 y también x = i, queda LC

x00 + ω 2 x = 0.

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5.3.2

17

Circuito LCR

Una resistencia es un dispositivo eléctrico que reacciona al paso de la corriente con una caída de potencial entre sus extremos proporcional a la intensidad de la corriente que la recorre. Si llamamos vR a esta caída de potencial, la Ley de Ohm establece que vR = iR donde R es una constante de proporcionalidad llamada también resistencia.

VR L

R VC

VL

i C

Si al circuito LC que teníamos, le añadimos una resistencia en serie, la ley de Kirchhoff de las tensiones quedará ahora así vC + vR + vL = 0 o bien q di + iR + L = 0 C dt Ahora derivamos esta igualdad, recordando que i00 + Por último, llamamos x = i, así

1 R = , τ L

5.3.3

R 0 1 i + i=0 L LC ω2 =

x00 +

dq = i, reordenamos los términos y dividimos por L dt

1 , y la ecuación diferencial queda definitivamente LC

1 0 x + ω 2 x = 0. τ

Circuito LCR con una fuente de tensión sinusoidal

Una fuente de tensión es un dispositivo eléctrico que a diferencia de otros, como por ejemplo las resistencias, mantiene entre sus extremos una diferencia de potencial determinada con independencia de la intensidad de la corriente que la atraviese. Vamos a incorporar al circuito LCR, una fuente de tensión que mantiene entre sus extremos una diferencia de potencial que depende del tiempo de esta forma: v(t) = v0 sen ω 0 t

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18

VR L

R VC

VL

i C + V(t) Al emplear la ley de Kirchhoff de las tensiones queda vC + vR + vL = v0 sen ω 0 t pero recordando que vC =

q C

vR = iR

vL = L

di dt

podemos escribir q di + iR + L = v0 sen ω 0 t C dt Si ahora derivamos y tenemos en cuenta que

dq =i dt

1 i + i0 R + Li00 = v0 ω 0 cos ω 0 t C reordenando los términos y dividiendo por L queda i00 + Por último, llamando x = i,

R 0 1 v0 i + i = ω 0 cos ω 0 t L LC L

1 v0 1 R = , ω2 = y A0 = ω 0 , tenemos τ L LC L x00 +

5.4

1 0 x + ω 2 x = A0 cos ω 0 t. τ

Solución de los problemas de valores iniciales

En lo que sigue, resolveremos las diferentes ecuaciones diferenciales obtenidas aplicando las técnicas estudiadas anteriormente y a la vista de las soluciones interpretaremos el movimiento. 5.4.1

Ecuación

x00 + ω 2 x = 0

Las soluciones de la ecuación característica r2 + ω 2 = 0 son r = ±ωi, por lo que la solución general de la ecuación diferencial es x(t) = C1 cos ωt + C2 sen ωt

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19

Es costumbre escribir esta expresión de otra forma, para lo que introducimos las constantes A y φ de modo que C1 = A cos φ

C2 = −A sen φ

siendo A > 0 y 0 ≤ φ < 2π. De este modo resulta x(t) = A cos(ωt + φ) 2π que, como puede comprobarse, es una función periódica de período T = , independientemente de los ω valores de A y φ. A la expresión ωt + φ se le llama fase instantánea o simplemente fase, al número A, amplitud. ω es la pulsación, también llamada frecuencia angular, y a φ se llama constante de fase, fase inicial o ángulo de fase. Vamos ahora a dar condiciones iniciales que permitan calcular la amplitud y la constante de fase. Sean x0 (0) = x00

x(0) = x0

entonces, al sustituir en x y en x0 queda x0 = A cos φ, x00 = −Aω sen φ y de aquí podemos obtener A y φ para estas condiciones iniciales. En el siguiente cuadro, se resumen algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con los valores de x0 y x00 Cond. iniciales x0 > 0 x00 = 0 x0 < 0 x00 = 0 x0 = 0 x00 > 0 x0 = 0 x00 < 0

Solución x (t) = x0 cos ωt x (t) =

x00 senωt ω

Gráfica A B C D

Ang. de fase φ=0 φ=π φ = 3π/2 φ = π/2

x(t)

x(t) x

0

t

t

x0

Gráfica A

Gráfica B

20

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x(t)

x(t)

t

t

Gráfica C

5.4.2

Ecuación

x00 +

Gráfica D

1 0 x + ω 2 x = 0. τ

1 r + ω 2 = 0 tiene dos raíces que pueden ser reales τ 1 (distintas o iguales) o complejas, según como sea el signo del discriminante 2 − 4ω 2 . τ

La correspondiente ecuación característica r2 +

1 − 4ω 2 > 0 τ2

raíces reales distintas

1 − 4ω 2 = 0 τ2

raíces reales iguales

1 − 4ω 2 < 0 τ2

raíces complejas conjugadas

Raíces reales distintas. Sobreamortiguamiento Cuando el discriminante es positivo, las dos raíces reales resultan ser, como es fácil comprobar, negativas r r −1 −1 1 1 r1 = − ω2 < 0 r2 = − ω2 < 0 + − 2τ 4τ 2 2τ 4τ 2 y la solución general de la ecuación diferencial es x(t) = C1 er1 t + C2 er2 t Las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0 (0) = x00 permiten calcular las constantes C1 y C2 C1 =

x00 − r2 x0 r1 − r2

C2 = −

x00 − r1 x0 r1 − r2

así que la solución del problema de valores iniciales es ¸ ∙ 1 0 r1 t 0 r2 t (x − r2 x0 )e − (x0 − r1 x0 )e x(t) = r1 − r2 0

21

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De la observación de esta solución se desprende que el oscilador pasa por la posición de equilibrio cuando (x00 − r2 x0 )er1 t − (x00 − r1 x0 )er2 t = 0 y ello sólo ocurre cuando x00 −r2 x0 y x00 −r1 x0 tienen el mismo signo. El paso por la posición de equilibrio se da una sola vez en el instante t0 =

1 x0 − r1 x0 ln 00 r1 − r2 x0 − r2 x0

Así pues, o bien el oscilador no pasa nunca por la posición de equilibrio, o lo hace una sola vez, o siempre permanece en ella en el caso trivial de que x00 = x0 = 0. En cualquier caso, decimos que el sistema está sobreamortiguado. El amortiguamiento debido al término de fricción es tan grande que el sistema no llega a experimentar oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. A continuación se muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con los valores de x0 y x00 . x(t)

x(t)

t

t

x(t)

x(t)

t

t

Raíces reales iguales. Amortiguamiento crítico Cuando el discriminante es cero, sólo hay una raíz real (distinta) que resulta ser negativa r=

−1 0

0 ≤ φ0 < 2π

de acuerdo con las igualdades A = −E sen φ0

B = E cos φ0

con lo cual resulta que z(t) = A senω 0 t + B cos ω 0 t = −E sen φ0 sen ω 0 t + E cos φ0 cos ω 0 t = E cos(ω 0 t + φ0 ) donde A0 E=∙ ¸1/2 ω 20 2 2 2 (ω − ω 0 ) + 2 τ Resulta pues que la solución general de la ecuación diferencial completa es x(t) = g(t, C1 , C2 ) + E cos(ω 0 t + φ0 ) en la que g(t, C1 , C2 ) es la solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Ahora bien, la forma de la función g depende, como hemos visto en la sección 5.4.2, del signo del discriminante de la ecuación característica. Recordemos que puede tomar una de estas tres formas g(t, C1 , C2 ) = C1 er1 t + C2 er2 t g(t, C1 , C2 ) = ert (C1 + C2 t) g(t, C1 , C2 ) = eαt (C1 cos βt + C2 sen βt) que tienen en común, como es fácil comprobar, el que lim g(t, C1 , C2 ) = 0

t→∞

independientemente de los valores de C1 y C2 , o lo que es lo mismo, de las condiciones iniciales. Así pues, el movimiento comienza como la superposición (es decir, la suma) de un movimiento amortiguado dado por g(t, C1 , C2 ), y un movimiento oscilatorio no amortiguado E cos(ω 0 t + φ0 ). En esta situación, se dice que el sistema se encuentra en estado transitorio. Pero conforme pasa el tiempo, el primero de ellos va decayendo, por lo que su contribución al movimiento va siendo cada vez menor, mientras que el segundo permanece. Al cabo de mucho tiempo, sólo este último se mantiene, y entonces se dice que el sistema ha alcanzado el estado estacionario, en el que permanece indefinidamente. El estado transitorio es pasajero como indica su nombre, y ello es así por el efecto del amortiguamiento. En cambio, el estado estacionario permanece mantenido por la acción de la fuerza externa. Vamos a centrar nuestra atención en el estado estacionario del sistema A0 z(t) = ∙ cos(ω 0 t + φ0 ) ¸ 2 1/2 ω 0 (ω 2 − ω 20 )2 + 2 τ Observemos que el movimiento es oscilatorio con una frecuencia angular ω 0 que coincide con la de la fuerza externa. El amortiguamiento que tendería a frenar el oscilador es compensado por la acción impulsora de la fuerza externa de tal modo, que el movimiento se lleva a cabo con una amplitud constante como si el amortiguamiento no existiera. Pero sí existe. Una simple inspección de la expresión que da la

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amplitud de la oscilación, permite descubrir que un aumento en el factor 1/τ disminuye la amplitud. También podemos observar que una disminución en la diferencia entre la frecuencia angular propia ω del oscilador y la de la fuerza externa ω 0 , la aumenta. Estudiemos con más detalle estos fenómenos para lo que escribimos la amplitud de esta manera A0 E=∙ ¸1/2 ω 20 2 2 2 (ω − ω 0 ) + 2 τ e introducimos la la función 1 M (ω 0 ) = ∙ ¸1/2 ω 20 2 2 2 (ω − ω 0 ) + 2 τ Esta función presenta un máximo para aquel valor de ω 0 en el que el denominador alcanza el mínimo, y ello ocurre cuando r 1 1 1 ω0 = ω2 − 2 si ω 2 − 2 > 0 o cuando ω 0 = 0 si ω 2 − 2 < 0. 2τ 2τ 2τ Veamos los dos casos: 1 — Si ω 2 − 2 < 0, esto es b2 > 2mk, la función M (ω 0 ) es decreciente y el máximo se alcanza con 2τ ω 0 = 0. q 1 — Si ω 2 − 2 > 0, esto es b2 < 2mk, el máximo se alcanza cuando ω 0 = ω 2 − 2τ12 . A este valor se 2τ le llama frecuencia de resonancia del sistema. Observese que como se debe tener b2 < 2mk, para que haya resonancia, un sistema no puede estar en resonancia a menos que sea subamortiguado.

M (ω 0 ) b=1/4 b=1/2 b=1

b=3/2 b=2

ω

ω0

En la figura se muestran diversas gráficas de la función M (ω 0 ) para distintos valores del factor b. De la observación de la misma se deduce que la amplitud del estado estacionario alcanza valores grandes cuando ω ' ω 0 .

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Este aumento en el tamaño de la amplitud (tanto mayor mientras más pequeño sea el factor b) recibe el nombre de resonancia, y por ello, las curvas de la figura reciben el nombre de curvas de resonancia. El hecho de que la resonancia aumente al disminuir el valor de b es debido a que al oponer el oscilador un amortiguamiento débil, la fuerza impulsora externa encuentra pocas dificultades para excitarlo. Veamos qué ocurre en el caso extremo (que naturalmente no se da en la práctica) de que el amortiguamiento fuera nulo. La ecuación diferencial adoptaría entonces la forma x00 + ω 2 x = A0 cos ω 0 t que vamos a resolver. La solución general de la correspondiente ecuación homogénea es C1 cos ωt + C2 sen ωt y una solución particular de la ecuación completa puede obtenerse por el método de los coeficientes indeterminados, ensayando una del tipo z(t) = A sen ω 0 t + B cos ω 0 t Al derivar dos veces y sustituir z y z 00 en la ecuación diferencial resulta, tras reducir términos semejantes A(ω 2 − ω 20 ) sen ω 0 t + B(ω 2 − ω 20 ) cos ω 0 t = A0 cos ω 0 t y por lo tanto A=0

B=

A0 ω 2 − ω 20

de modo que la solución general de la ecuación diferencial es C1 cos ωt + C2 sen ωt +

A0 cos ω 0 t ω 2 − ω 20

Al determinar el valor de las constantes C1 y C2 mediante las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0 (0) = x00 resulta C1 = x0 −

A0 ω 2 − ω 20

C2 =

x00 ω

de modo que el movimiento del oscilador queda descrito mediante x (t) = x0 cos ωt +

x00 A0 (cos ω 0 t − cos ωt) sen ωt + 2 ω ω − ω 20

que puede escribirse, empleando la expresión trigonométrica de la diferencia de cosenos, de esta forma µ ¶ µ ¶ x0 ω − ω0 2A0 ω + ω0 sen x (t) = x0 cos ωt + 0 sen ωt + 2 t sen t ω ω − ω 20 2 2 De la observación de esta última expresión se deduce que el movimiento del oscilador es la superposip ción de un movimiento vibratorio armónico de amplitud constante x20 + x02 0 y de frecuencia angular ω representado por los dos primeros términos, y de un movimiento oscilatorio de amplitud µ ¶ 2A0 ω − ω0 sen t ω 2 − ω 20 2 ω + ω0 . Esta amplitud, como puede verse, no es constante, sino que varía 2 ω − ω0 sinusoidalmente con el tiempo a una frecuencia angular . 2 y de frecuencia angular

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x(t)

t

Supongamos por último, que además de ser nulo el amortiguamiento, ocurriera además ω = ω 0 . La ecuación diferencial adoptaría la forma x00 + ω 20 x = A0 cos ω 0 t y entonces la función z(t) = A sen ω 0 t + B cos ω 0 t sería solución de la ecuación homogénea. Vamos por lo tanto a ensayar esta otra posible solución z(t) = t(A sen ω 0 t + B cos ω 0 t) Si derivamos dos veces z 0 (t) = (−Bω 0 t + A) sen ω 0 t + (Aω 0 t + B) cos ω 0 t z 00 (t) = (−Aω 20 t − 2Bω 0 ) sen ω 0 t + (−Bω 20 t + 2Aω 0 ) cos ω 0 t y sustituimos z y z 00 en la ecuación diferencial, resulta al agrupar términos semejantes −2Bω 0 sen ω 0 t + 2Aω 0 cos ω 0 t = A0 cos ω 0 t igualando coeficientes, obtenemos A=

A0 2ω 0

B=0

Resulta pues que la solución general de la ecuación diferencial es x(t) = C1 cos ω 0 t + C2 sen ω 0 t +

A0 t sen ω 0 t 2ω 0

Si introducimos las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0 (0) = x00 , podemos calcular los valores de las constantes C1 y C2 , que son C1 = x0

C2 =

x00 ω0

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de modo que el comportamiento del oscilador queda descrito por x(t) = x0 cos ω 0 t +

x00 A0 sen ω 0 t + t sen ω 0 t ω0 2ω 0

que consiste en la superposición de un movimiento vibratorio armónico representado por los dos primeros A0 t es creciente con el tiempo y cuya frecuencia angular términos y de una oscilación cuya amplitud 2ω 0 es ω 0 . El movimiento resultante es oscilatorio pero con una amplitud cada vez más grande, lo que trae como consecuencia, desde el punto de vista matemático que la validez de las suposiciones de linealidad hechas hasta ahora en base a considerar pequeñas oscilaciones, dejaría de tener lugar, y desde el punto de vista físico, la destrucción del sistema.

x(t)

t