Tema 5.- SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DE E.D.O. LINEALES Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General 1 Introducción

1

2 Series numéricas 2.1 Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 4 4

3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia 3.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series binómicas . . . .

4 7

4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales 4.1 Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 11 14

1

Introducción

Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o de orden superior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. Sin embargo, en las aplicaciones, se puede observar que las ecuaciones lineales con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no más, que las de coeficientes constantes, y que ecuaciones sencillas de segundo orden, como por ejemplo y 00 + xy = 0, no tienen soluciones expresables en términos de funciones elementales. Por esta razón vamos a dedicar este tema a la búsqueda de soluciones linealmente independientes que vienen representadas por lo que se denominan series de potencias. Así, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de las series de potencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes como es la obtención de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente, antes de definir y estudiar las propiedades elementales de las series de potencias, daremos algunos conceptos y resultados básicos relativos a las series numéricas que nos serán necesarios para abordar el estudio de las series de potencias.

2

Series numéricas

Se llama serie de números reales a todo par ordenado ({an }, {Sn }) en el que {an } es una sucesión de números reales arbitraria y {Sn } es la sucesión definida por: S1 = a1 Sn+1 = Sn + an+1 = a1 + · · · + an+1

para todo n ∈ N.

A {an } se le llama término general de la serie mientras que a la sucesión {Sn } se llamará sucesión de ∞ P P sumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por an (o más brevemente an ) a la serie de n=1

término general {an }.

1

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P Se dice que la serie de números reales an es convergente cuando su sucesión de sumas parciales es convergente (esto es, cuando su sucesión de sumas parciales tiene límite finito), en cuyo caso el límite de la sucesión de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se le representa por ∞ X

n=1

an = lim Sn = lim (a1 + · · · + an ). n→∞

n→∞

Cuando la sucesión de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga límite o bien el límite sea ±∞), diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma de la serie. Ejemplos: 1) Se denomina serie geométrica de razón r y primer término a, siendo a y r dos números reales no nulos, a la ∞ X

n=1

arn−1 = a + ar + ar2 + · · ·

Esta serie es convergente si y sólo si | r |< 1. En efecto, para r 6= 1, se tiene: Sn = a + ar + . . . + arn−1 =

arn − a r−1

y por tanto, •

a a) Cuando | r |< 1, entonces lim Sn = y la serie es convergente independientemente del 1−r a . valor de a siendo su suma 1−r b) Cuando | r |> 1, la serie es divergente ya que ⎧ +∞ si r > 1 y a > 0 rn − 1 ⎨ −∞ si r > 1 y a < 0 = lim Sn = lim a n→∞ n→∞ ⎩ r−1 no existe si r < −1

c) Cuando r = −1, como la sucesión de sumas parciales es a, 0, a, 0, . . . y el número a es no nulo, entonces la serie es divergente. d) En el caso r = 1, se tiene que Sn = a · n y de ahí que la serie diverja para cualquier valor de a.

P1 se denomina serie armónica. Dicha serie es divergente pues se verifica que lim Sn = n +∞, ya que, como se puede comprobar, la sucesión de sumas parciales {Sn } es estrictamente creciente y no está acotada superiormente. P 1 3) Para cada número real α, la serie recibe el nombre de serie armónica de orden α. El estudio nα de la convergencia de esta serie pone de manifiesto que, para α ≤ 1, dicha serie es divergente y para α > 1, la serie es convergente.

2) La serie

Veremos ahora dos propiedades generales de las series numéricas. Teorema 2.1 (Condición necesaria de convergencia) Una condición necesaria para que la serie P an sea convergente es que lim an = 0. P P bn son convergentes, entonces la Teorema an y P 2.2 (Propiedad de linealidad) Si las series serie (αan + βbn ) con α, β ∈ R es convergente y se cumple: ∞ X

(αan + βbn ) = α

n=1

∞ X

n=1

an + β

∞ X

bn .

n=1

A continuación daremos algunos resultados importantes en el estudio de la convergencia de algunos tipos de series.

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2.1

Series de términos no negativos

Definición 2.1 Una serie negativos.

P

an tal que an ≥ 0 para todo n ∈ N, se denomina serie de términos no

La sucesión de sumas parciales de una serie de este tipo es creciente, luego la serie es convergente si, y sólo si, la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente. Este hecho hace que las series de términos no negativos sean especialmente fáciles de tratar, y aunque se dispone de numerosos criterios de convergencia para las mismas, únicamente veremos los criterios de comparación, de D’Alembert, de Raabe y de Pringsheim. Teorema 2.3 (Criterio de comparación) P P Si, para las series de números reales no negativos an y bn , se cumple la desigualdad an ≤ bn

para todo n ≥ p, P P entonces se verifica: si la serie bn es convergente, la serie Pan es convergente. P Y en consecuencia: si la serie an es divergente, la serie bn es divergente. P Teorema 2.4 (Criterio de D’Alembert o del cociente) Si an es una serie de términos positivos tal que existe an+1 =λ∈R n→∞ an lim

se verifica: 1) Si λ < 1, entonces la serie

P

an es convergente.

2) Si λ > 1, pudiendo ser λ = +∞, entonces la serie

P

an es divergente.

an+1 3) Si λ = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea > 1 para todo n a partir de un cierto p ∈ N an P en cuyo caso la serie an es divergente. P Teorema 2.5 (Criterio de Raabe)Si para la serie de términos positivos an existe el límite ¶ µ an+1 lim n 1 − =λ n→∞ an entonces: 1) Si 1 < λ ≤ ∞ , la serie converge. 2) Si −∞ ≤ λ < 1, la serie diverge.

µ ¶ an+1 3) Si λ = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea n 1 − < 1 para todo n ≥ p en cuyo caso an la serie diverge. Teorema P 2.6 (Criterio de Pringsheim) Si an es una serie de términos no negativos, y existe un número real α tal que la sucesión {nα an }converge a un número real positivo, entonces: X an converge si, y sólo si, α > 1.

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2.2

Series alternadas

Definición 2.2 Las series cuyos términos consecutivos alternan el signo se llaman alternadas. Así, P n suponiendo a > 0 para todo n ∈ N, las series alternadas aparecen de dos maneras: (−1) a n n ó P (−1)n−1 an .

Teorema 2.7 (Criterio de Leibnitz) Una condición suficiente para que converja la serie alternada P (−1)n an es que lim an = 0 y la sucesión {an } sea decreciente.

2.3

Series absolutamente convergentes

P Definición 2.3 Una serie de términos arbitrarios Pan es absolutamente convergente (absolutamente divergente) cuando la serie de términos no negativos |an | es convergente (divergente). Teorema 2.8 Toda serie absolutamente convergente, es convergente.

El recíproco del teorema anterior no es en general cierto. Por ejemplo, la serie de término general (−1)n an = es convergente pero no absolutamente convergente. n Definición 2.4 Las series que son convergentes pero no absolutamente convergentes, se llaman series condicionalmente convergentes.

3

Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia

Una serie de potencias centrada en un punto x0 ∈ R es una expresión de la forma ∞ X

n=0

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · ·

donde a0 , a1 , . . . son constantes reales. La serie anterior también se denomina serie de potencias de x−x0 . Obsérvese que en las series de potencias adoptaremos el convenio de hacer variar el índice de la suma desde cero, en lugar de comenzar con 1 como ha sido habitual hasta ahora, con el objeto de que el subíndice de cada monomio coincida con el grado de éste. Cuando se toma x0 = 0, se obtiene como caso particular una serie de potencias de x ∞ X

n=0

an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·

Puesto que un simple cambio de variables, tomando como nueva variable x−x0 , permite reducir cualquier serie de potencias considerada a otra análoga con x0 = 0, en lo sucesivo sólo manejaremos este último caso particular, que abrevia la escritura, sin que ello suponga restricción a los resultados que obtengamos. Asociada a dicha serie de potencias tenemos la sucesión de funciones {Sn (x)} definida así: Sn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn que recibe el nombre de sucesión de sumas parciales. P P Diremos que la serie an xn converge (diverge) en un punto c ∈ R cuando la serie numérica an cn sea convergente (divergente). Así pues, la serie de potencias es convergente en el punto c cuando existe y es finito lim Sn (c), cuyo valor se llama suma de la serie en el punto c. n→∞

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El subconjunto D de R formado por los puntos en los que la serie de potencias es convergente se denomina dominio de convergencia de la serie, en él es posible definir una función S : D → R dada por S(x) = lim Sn (x) n→∞

que se denomina suma de la serie en el conjunto D. P Diremos quePla serie an xn es absolutamente convergente (divergente) en un punto c ∈ R cuando la n serie numérica an c sea absolutamente convergente (divergente). Teorema 3.1 (Teorema de Abel) P 1) Si una serie de potencias an xn es convergente en un punto c ∈ R, c 6= 0, entonces es absolutamente convergente en todo punto del intervalo abierto (− |c| , |c|). 2) Si la serie diverge en un punto d, entonces diverge para todo valor de x tal que |x| > |d|. P Puesto que toda serie de potencias an xn es convergente en el punto x = 0, el teorema anterior nos permite precisar aún más cómo es el dominio de convergencia de tales series. Así, para toda serie de P potencias an xn se presenta una, y sólo una, de las tres situaciones siguientes: 1. La serie sólo converge en el origen. Se dice entonces que el radio de convergencia es R = 0.

2. La serie converge absolutamente en todo R. Se dice que tiene radio de convergencia R = ∞ y que su intervalo de convergencia es I = (−∞, +∞) 3. Existe un número R∗ ∈ R+ tal que la serie es absolutamente convergente en el intervalo abierto (−R∗ , R∗ ) y diverge en todo punto x ∈ R tal que | x |> R∗ . En este caso el radio de convergencia es R = R∗ y el intervalo de convergencia es I = (−R∗ , +R∗ ). En los ejemplos siguientes se comprueba que hay series de potencias con los tres tipos de radio de convergencia (R = 0, R = ∞ y R ∈ R+ ). Ejemplos: P n 1) La serie de potencias x para cada valor de x da lugar a una serie geométrica de razón x. Por ello es convergente si |x| < 1 y divergente si |x| ≥ 1. Se trata de una serie con radio de convergencia R = 1. Su intervalo de convergencia es ] − 1, 1[ y en él su suma es 1/(1 − x). P 2) La serie de potencias n!xn sólo converge en el origen (R = 0), ya que para cualquier x ∈ R, x 6= 0, P n la serie numérica n! |x| es divergente (se puede comprobar aplicando el criterio de D’Alembert); luego la serie dada no converge absolutamente en ningún x 6= 0, lo que asegura (¡justifíquese!) que la serie sólo converge en x = 0. ∞ xn P es absolutamente convergente para cualquier valor real de x y por n n=1 n tanto su radio de convergencia es R = ∞.

3) La serie de potencias

∞ xn P también es absolutamente convergente para todo x con |x| < 1, y n=1 n divergente cuando |x| > 1. Así que su radio de convergencia es 1. Ahora la serie converge no absolutamente para x = −1 y diverge para x = 1 (armónica). Su intervalo de convergencia es, por tanto, el intervalo (−1, 1) y su dominio de convergencia es [−1, 1).

4) La serie de potencias

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Cálculo del radio de convergencia P Dada una serie de potencias an xn , se sabe que en el interior de su intervalo de convergencia la serie es convergente. Por tanto, para averiguar el radio de convergencia consideraremos la serie P absolutamente |an | |x|n y veremos en qué puntos x converge esta última. Para ello, podemos aplicar el criterio de D’Alembert, calculando |an+1 | |x|n+1 = L (x) n n→∞ |an | |x| lim

y deduciendo los valores de x que para los que L (x) < 1. Estos valores constituirán el intervalo de convergencia de la serie. Ejemplos: P n2 n 1) El radio de convergencia de la serie a x , con 0 < a < 1, es R = ∞. Si a fuera mayor que 1, entonces R = 0. P n P xn P xn 2) Las series x , tienen radio de convergencia R = 1. Un estudio posterior , n+1 (n + 1)2 en los puntos 1 y −1 no lleva a decir que: la primera no es convergente en los puntos −1 y 1, la segunda converge en −1 pero no en 1 y la tercera converge en ambos puntos. PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIAS ∞ P Como los términos de una serie de potencias an xn son funciones potenciales y éstas son continuas, n=0

derivables e integrables, vamos a estudiar si su suma goza de las mismas propiedades. Ello nos lleva estudiar series de potencias de la forma: ∞ X

nan xn−1 ,

n=1

∞ X an n+1 x n +1 n=0

que son series de potencias obtenidas al derivar o integrar término a término la serie dada. Teorema 3.2 Las tres series de potencias

∞ P

n=0

de convergencia.

an xn ,

∞ P

n=1

nan xn−1 ,

∞ P

an n+1 tienen el mismo radio x n +1 n=0

Observación. Puede ocurrir que el dominio de convergencia de una serie de potencias y el de la serie obtenida al derivar término a término no coincidan; aunque, según el teorema anterior, ambas tienen el P xn−1 P xn converge en [−3, 3], mientras que sólo mismo radio de convergencia. Nótese que la serie n2 3n n3n converge en [−3, 3[. Teorema 3.3 Si

∞ P

n=0

an xn es una serie de potencias con radio de convergencia R 6= 0, intervalo de

convergencia I, y suma S(x) para cada x ∈ I, se verifica:

La función suma es derivable en el intervalo I, y además S 0 (x) =

∞ P

nan xn−1 , es decir, la derivada

n=1

de la suma de una serie de potencias se puede obtener derivando término a término la serie de potencias dada.

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Corolario 3.1 La suma de una serie de potencias

∞ P

an xn con radio de convergencia no nulo, tiene

n=0

derivadas de todos los órdenes en los puntos del intervalo de convergencia de la serie dada, y sus derivadas se pueden obtener derivando sucesivamente término a término la serie dada.

Teorema 3.4 Si

∞ P

n=0

an xn es una serie de potencias con radio de convergencia R 6= 0, dominio de

convergencia D, y suma S(x) para cada x ∈ D, se verifica: 1) La suma S(x) =

∞ P

n=0

2) La suma S(x) =

∞ P

an xn es continua en D.

n=0

an xn es integrable en todo intervalo cerrado y acotado contenido en D, y su

integral se puede obtener integrando término a término la serie dada. Es decir: Z x ∞ Z x X S(t)dt = an tn dt α

n=0

α

para cualesquiera α, x de D.

3.1

Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series binómicas

En este apartado se trata de dar respuesta a una cuestión que, en cierto modo, es recíproca de la anterior: Dada una función f , ¿existe una serie de potencias con radio de convergencia no nulo cuya suma sea igual a f ? La respuesta a esta pregunta es negativa: no todas las funciones se pueden expresar como series de potencias. Aquellas funciones que se distinguen por poder representarse en dicha forma se llaman analíticas. Definición 3.1 Se dice que una función f es analítica en x0 si, en un intervalo abierto que contenga a ∞ P x0 , esta función es la suma de una serie de potencias an (x − x0 )n que tiene un radio de convergencia n=0

positivo.

Teorema 3.5 Si f es analítica en x0 , entonces la representación f (x) =

∞ X f n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0

es válida en cierto intervalo abierto centrado en x0 . La serie anterior se llama serie de Taylor de f centrada en x0 . Cuando x0 = 0, también se le conoce como serie de Maclaurin de f. Además de los resultados conocidos ya sobre series de potencias, éstas tienen también una propiedad de unicidad; esto es, si la ecuación ∞ X

n=0

an (x − x0 )n =

∞ X

n=0

bn (x − x0 )n

es válida en algún intervalo abierto que contiene a x0 , entonces an = bn para n = 0, 1, 2, . . . . Por tanto, si de alguna manera se puede obtener un desarrollo en serie de potencias para una función analítica, entonces esta serie de potencias debe ser su serie de Taylor.

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El cálculo directo de los coeficientes de la serie de Taylor o Maclaurin por derivaciones sucesivas puede resultar difícil. El método más práctico para hallar una serie de Taylor o Maclaurin consiste en desarrollar series de potencias para una lista básica de funciones elementales. De esta lista se podrán deducir series de potencias para otras funciones mediante suma, resta, producto, división, derivación integración o composición con series conocidas. Antes de presentar esta lista básica desarrollaremos en serie la función f (x) = (1 + x)r con r ∈ R que produce lo que se llama la serie binómica. Las funciones de este tipo sólo son polinomios cuando r es natural o cero. Son indefinidamente derivables en un entorno del cero, y se tiene: f n) (x) = r(r − 1) · · · (r − n + 1)(1 + x)r−n ,

f n) (0) = r(r − 1) · · · (r − n + 1) µ ¶ r Por tanto, si cuando n ∈ N y r ∈ R utilizamos la notación para indicar n µ ¶ µ ¶ r r r(r − 1) · · · (r − n + 1) = y =1 n n! 0 obtenemos como posible desarrollo en serie de Mac-Laurin de la función dada el siguiente: ∞ µ ¶ X r n x n n=0

Cuando r no es un número natural o cero, el radio de convergencia de la serie de la expresión anterior es R = 1. La serie, en consecuencia, es absolutamente convergente en ] − 1, 1[ y divergente cuando | x |> 1. Se puede probar también que la suma de dicha serie en ] − 1, 1[ es precisamente la función f (x) = (1 + x)r . µ ¶ ∞ P r n La serie x se denomina serie binomial o binómica puesto que cuando r es un número natural n=0 n sólo sus n + 1 primeros términos son no nulos, y además su expresión es la conocida fórmula de Newton para la potencia del binomio (1 + x)r . Como casos particulares de la serie binómica citamos los siguientes: Para r = −1 1 = 1 − x + x2 − x3 + · · · 1+x Para r = 1/2 √ x 1·3 3 1·3·5 4 1 2 1+x=1+ − x + x − x + ··· 2 2·4 2·4·6 2·4·6·8 Para r = −1/2 1 1·3 2 1·3·5 3 1 √ = 1− x + x − x + ··· 2 2·4 2·4·6 1+x En la lista que sigue, ofrecemos las series de Maclaurin de otras funciones elementales junto con sus intervalos de convergencia.

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SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONES ELEMENTALES

senx = x −

x3 x5 (−1)n 2n+1 + ··· + − ··· + x 3! 5! (2n + 1)!

−∞ < x < ∞

cos x = 1 −

x2 x4 (−1)n 2n + − ··· + x + ··· 2! 4! (2n)!

−∞ < x < ∞

ex = 1 +

x x2 xn + + ··· + + ··· 1! 2! n!

−∞ < x < ∞

sh x = x +

1 x3 x5 + + ··· + x2n+1 + · · · 3! 5! (2n + 1)!

−∞ < x < ∞

ch x = 1 +

x2 x4 1 + + ··· + x2n + · · · 2! 4! (2n)!

−∞ < x < ∞

arcsen x = x+

1 x3 1 · 3 x5 (2n)! x2n+1 + + ··· + + ··· 2 3 2·4 5 (2n n!)2 (2n + 1)

ln (1 + x) = x−

x3 x4 (−1)n−1 n x2 + − + ··· + x + ··· 2 3 4 n

1 = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n x2n + · · · 1 + x2

−1 < x < 1 −1 < x < 1 −1 < x < 1

n

arctg x = x−

x3 x5 x7 (−1) x2n+1 + − + ··· + +··· 3 5 7 2n + 1

−1 < x < 1

Entre las aplicaciones de los desarrollos en serie se encuentran: — El cálculo de integrales definidas. — El cálculo de la suma de series numéricas. — La resolución de ecuaciones diferenciales.

4

Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales

En esta sección veremos un procedimiento para obtener soluciones en serie de potencias de una ecuación diferencial lineal. El método de series de potencias para resolver una ecuación diferencial consiste en sustituir la serie de potencias ∞ X

n=0

an (x − x0 )n

en la ecuación diferencial y después determinar cuáles deben ser los coeficientes a0 , a1 , a2 , . . . para que la serie de potencias satisfaga la ecuación diferencial. Esto es muy semejante al método de coeficientes indeterminados, pero ahora tenemos un número infinito de coeficientes que de algún modo hemos de obtener.

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Para ilustrar el método de la serie de potencias consideremos una ecuación diferencial lineal de primer orden sencilla. Ejemplo: Encontrar una solución en serie de potencias en torno a x = 0 de la ecuación y 0 + 2xy = 0.

(1)

Solución: Si suponemos que existe una solución en serie de potencias de la forma y (x) =

∞ X

an xn ,

n=0

nuestra tarea consistirá en determinar los coeficientes an . Para ello, sustituimos los desarrollos en serie de y (x) y y 0 (x) en la ecuación (1), obteniendo ∞ X

nan xn−1 + 2x

n=1

∞ X

an xn = 0,

n=0

o equivalentemente ∞ X

nan xn−1 +

n=1

∞ X

2an xn+1 = 0.

(2)

n=0

Si escribimos los primeros términos de estas series y sumamos los coeficientes de potencias iguales de x, se obtiene a1 + (2a2 + 2a0 ) x + (3a3 + 2a1 ) x2 + (4a4 + 2a2 ) x3 + · · · = 0. Para que la serie de potencias del primer miembro de la ecuación anterior sea idénticamente cero, se debe verificar que todos los coeficientes sean iguales a cero. De modo que a1 = 0, 3a3 + 2a1 = 0,

2a2 + 2a0 = 0, 4a4 + 2a2 = 0, . . .

Resolviendo el sistema anterior resulta a1 = 0,

a2 = −a0 ,

2 a3 = − a1 = 0, 3

1 1 a4 = − a2 = a0 . 2 2

Por tanto, la serie de potencias adopta la forma 1 y (x) = a0 − a0 x2 + a0 x4 + · · · 2 Si bien el cálculo de estos primeros términos es útil, sería mejor disponer de una fórmula de término general del desarrollo en serie de potencias de la solución. Para ello, volvemos a la expresión (2) y la escribimos de manera que las dos series presenten la misma potencia de x, esto es ∞ X

(k + 1) ak+1 xk +

k=0

∞ X

2ak−1 xk = 0,

k=1

y, puesto que la primera serie empieza en k = 0 y la segunda en k = 1, separamos el primer término de la primera y sumamos los coeficientes de igual potencia de x, obteniendo que a1 +

∞ X

k=1

[(k + 1) ak+1 + 2ak−1 ] xk = 0.

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Haciendo ahora todos los coeficientes iguales a cero, obtenemos una relación de recurrencia para los coeficientes a1 = 0 ak+1 = −

2 ak−1 k+1

Tomando k = 1, 2, . . . , 6 y teniendo en cuenta que a1 = 0, resulta que 2 a2 = − a0 = −a0 , 2

(k = 1)

2 a3 = − a1 = 0, 3

(k = 2)

2 1 a4 = − a2 = a0 , 4 2!

(k = 3)

2 a5 = − a1 = 0, 5

(k = 4)

2 a7 = − a1 = 0, 7

(k = 6)

2 1 a6 = − a4 = − a0 , 6 3! y de aquí, se observa que

(k = 5)

n

a2n =

(−1) a0 n!

a2n+1 = 0

n = 1, 2, 3, . . . n = 0, 1, 2, . . .

Puesto que el coeficiente a0 se deja indeterminado, sirve como constante arbitraria y, por tanto, proporciona la solución general de la ecuación ∞ X 1 (−1)n 2n y (x) = a0 − a0 x2 + a0 x4 + · · · = a0 x . 2 n! n=0

Se puede comprobar que esta serie tiene radio de convergencia R = ∞. Además esta serie recuerda el desarrollo de la función exponencial, verificándose que 2

y (x) = a0 e−x , solución que se podía obtener fácilmente ya que se trataba de una ecuación de variables separables.

4.1

Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios

Aunque el método de series de potencias puede usarse en ecuaciones lineales de cualquier orden, sus aplicaciones más relevantes se refieren a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma a (x) y 00 + b (x) y 0 + c (x) y = 0,

(3)

donde a (x) , b (x) y c (x) son funciones analíticas de x. En realidad, en la mayoría de las aplicaciones esas funciones son polinomios. Por esta razón limitaremos el estudio a este tipo de ecuaciones. Para determinar cuándo el método de series de potencias será efectivo, reescribimos la ecuación anterior en la forma y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0,

(4)

con el coeficiente principal 1 y p (x) = b (x) /a (x) y q (x) = c (x) /a (x) . Nótese que p (x) y q (x) en general no tienen porqué ser analíticas en los puntos que a (x) se anula. Por ejemplo, en la ecuación xy 00 + y 0 + xy = 0 todos los coeficientes son funciones analíticas en todos los puntos pero si lo escribimos en la forma (4) 1 resulta que p (x) = no es analítica en x = 0. x

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Definición 4.1 El punto x = x0 se denomina punto ordinario de la ecuación diferencial (3) si las funciones p (x) y q (x) son analíticas en x0 . En caso contrario, el punto recibe el nombre de punto singular. Ejemplos: 1) El punto x = 0 es un punto ordinario de la ecuación xy 00 + (sen x) y 0 + x2 y = 0 pues p (x) =

sen x x2 x4 =1− + + ··· , x 3! 5!

q (x) = x

son ambas analíticas en x = 0. 2) El punto x = 0 no es un punto ordinario de la ecuación √ y 00 + x2 y 0 + xy = 0 √ pues p (x) = x2 es analítica en el origen, pero q (x) = x no lo es, ya que q (x) no es diferenciable en x = 0. Vamos a encontrar ahora soluciones en serie de potencias en torno a puntos ordinarios, para ecuaciones diferenciales del tipo (3) en las que los coeficientes son polinomios. Para ello, se deberá, tal y como hemos ∞ P hecho en un ejemplo anterior, sustituir y (x) = an (x − x0 )n en (3), agrupar términos semejantes e n=0

igualar a cero los coeficientes de la serie de potencias resultante, lo que conducirá a una relación de recurrencia para los coeficientes an . Para simplificar, supondremos que un punto ordinario de la ecuación diferencial está siempre localizado en x = 0, ya que si no lo está, la sustitución t = x − x0 traslada el valor x = x0 a t = 0. Establecemos ahora un resultado básico de existencia de soluciones en serie de potencias en torno a un punto ordinario de la ecuación (3) que justifica el método de series de potencias. Teorema 4.1 Si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (3), entonces existen dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias centradas en 0, es decir, cada una de la forma y (x) =

∞ X

an xn ,

n=0

cuyos radios de convergencia son por lo menos tan grandes como la distancia de x = 0 al punto singular más próximo. Ejemplo: Encontrar la solución de 2y 00 + xy 0 + y = 0 en forma de serie de potencias en torno al punto ordinario x = 0. Solución: Consideramos y (x) =

∞ X

n=0

an xn ,

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y los correspondientes desarrollos en serie para y 0 (x) y y 00 (x) dados por y 0 (x) =

∞ X

y 00 (x) =

nan xn−1 ,

n=1

n=2

Sustituimos estas series de potencias en nuestra ecuación ∞ X

n=2

∞ X

2n (n − 1) an xn−2 +

∞ X

n (n − 1) an xn−2 .

nan xn +

n=1

∞ X

an xn = 0,

n=0

y escribimos las tres series de forma que el término general de cada una de ellas sea una constante multiplicada por xk . ∞ X

2 (k + 2) (k + 1) ak+2 xk +

k=0

∞ X

kak xk +

k=1 0

∞ X

ak xk = 0.

k=0

Separamos los términos correspondientes a x y agrupamos los coeficientes de xk obteniendo 4a2 + a0 +

∞ X

[2 (k + 2) (k + 1) ak+2 + kak + ak ] xk = 0.

k=1

Igualando a cero los coeficientes de la serie de potencias, resulta que 4a2 + a0 = 0 ak+2 =

−1 ak 2 (k + 2)

k ≥ 1.

De esta manera, a2 =

−1 a0 22

a4 =

−1 1 a2 = 2 a0 2·4 2 ·2·4

a6 =

−1 −1 a4 = 6 a0 2·6 2 · 3!

a3 =

−1 a1 2·3

(k = 1)

(k = 2)

a5 =

−1 1 a3 = 2 a1 2·5 2 ·3·5

(k = 3)

(k = 4)

a7 =

−1 −1 a5 = 3 a1 2·7 2 ·3·5·7

(k = 5)

−1 1 (k = 6) a6 = 8 a0 2·8 2 · 4! Considerando a0 y a1 como constantes arbitrarias, se obtiene a8 =

n

a2n =

(−1) a0 22n · n!

n ≥ 1, n

a2n+1 =

(−1) a1 2n [1 · 3 · 5 · · · · · (2n + 1)]

n ≥ 1.

De aquí resultan dos soluciones linealmente independientes y1 (x) =

∞ (−1)n P x2n 2n · n! n=0 2

y2 (x) =

∞ P

n

(−1) x2n+1 n n=0 2 [1 · 3 · 5 · · · · · (2n + 1)]

y por consiguiente la solución general de nuestra ecuación viene dada por y (x) = a0 y1 (x) + a1 y2 (x) . Este método se puede utilizar también para resolver problemas de valores iniciales. Si se tienen los valores de y (0) y y 0 (0) , es fácil comprobar que se verifica que a0 = y (0) y a1 = y 0 (0) , con lo cual se llega a una solución única del problema de valor inicial.

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4.2

Soluciones en torno a puntos singulares

En la sección precedente vimos que no hay mucha dificultad en encontrar una solución en serie de potencias de a (x) y 00 + b (x) y 0 + c (x) y = 0, en torno a un punto ordinario x = x0 . Sin embargo, cuando x = x0 es un punto singular, no siempre es ∞ P posible encontrar una solución de la forma y (x) = an (x − x0 )n . n=0

Veremos que, en algunos casos, si podemos obtener una solución de la forma y (x) =

∞ P

n=0

donde r es una constante a determinar.

an (x − x0 )

n+r

¡ ¢ Por ejemplo, si consideramos la ecuación diferencial 6x2 y 00 + 5xy 0 + x2 − 1 y = 0, que tiene un punto ∞ P singular en x = 0, esta ecuación no tienen ninguna solución de la forma y (x) = an xn . No obstante, n=0

se puede demostrar que existen dos soluciones en serie de la forma y (x) =

∞ P

an xn+1/2

y

y (x) =

n=0

∞ P

an xn−1/3 .

n=0

Vamos, por tanto, a investigar la solución de la ecuación (3) cerca de un punto singular. Los puntos singulares se subdividen en regulares e irregulares. Para definir estos conceptos reescribimos la ecuación de la forma y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0. Definición 4.2 Un punto singular, x = x0 , de la ecuación (3) es un punto singular regular si tanto (x − x0 ) p (x) como (x − x0 )2 q (x) son analíticas en x0 y es un punto singular irregular en caso contrario. Ejemplo Los puntos x = 0 y x = −1 son, ambos, puntos singulares de la ecuación diferencial ¡ ¢ 2 x2 (x + 1) y 00 + x2 − 1 y 0 + 2y = 0.

Si examinamos p (x) =

x−1 x2 (x + 1)

y

q (x) =

2 x2

(x + 1)2

podemos observar que x = 0 es un punto singular irregular, mientras que x = −1 es un punto singular regular. Antes de establecer un resultado de existencia de soluciones en serie en torno a un punto singular regular, necesitamos la siguiente definición. Definición 4.3 Si x0 es un punto singular regular de y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0, entonces llamamos ecuación indicial de ese punto a la ecuación r (r − 1) + p0 r + q0 = 0 donde p0 = lim (x − x0 ) p (x) x→x0

y

2

q0 = lim (x − x0 ) q (x) x→x0

Las raíces de la ecuación indicial se llaman exponentes (índices) de la singularidad x0 .

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En general, si x0 es un punto singular regular de (3), entonces las funciones (x − x0 ) p (x) y (x − x0 )2 q (x) son analíticas en x0 ; es decir, los desarrollos 2

(x − x0 ) p (x) = p0 + p1 (x − x0 ) + p2 (x − x0 ) + · · · 2 2 (x − x0 ) q (x) = q0 + q1 (x − x0 ) + q2 (x − x0 ) + · · · son válidos en intervalos que tengan radio de convergencia positivo. Después de sustituir y (x) = ∞ P an (x − x0 )n+r en la ecuación y simplificar, la ecuación indicial es la ecuación cuadrática en r que n=0

resulta de igualar a cero el coeficiente total de la menor potencia de (x − x0 ) .

Para estudiar la existencia de soluciones en serie en torno a puntos singulares regulares, y al igual que hicimos en la sección precedente, restringiremos nuestra atención al caso en el que x0 = 0 es un punto singular regular de la ecuación. El siguiente teorema nos garantiza la existencia de al menos una solución en serie de la forma anterior a la vez que proporciona, en algunos casos, la expresión de una segunda solución linealmente independiente. Teorema 4.2 Soluciones en serie de Frobenius Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0 y sean r1 y r2 las raíces, con r1 ≥ r2 , de la ecuación indicial asociada. Entonces: (a) Para x > 0, existe una solución de la forma y1 (x) =

∞ X

an xn+r1 ,

a0 6= 0

n=0

correspondiente a la raíz mayor r1 . (b) Si r1 − r2 no es cero ni un entero positivo, entonces existe una segunda solución linealmente independiente para x > 0 de la forma y2 (x) =

∞ X

bn xn+r2 ,

b0 6= 0

n=0

correspondiente a la raíz menor r2 . Ejemplo: Encontrar la solución de 3xy 00 + y 0 − y = 0 en forma de serie de potencias en torno al punto singular regular x = 0. Solución: Ensayamos una solución de la forma y(x) =

∞ X

an xn+r .

n=0

Puesto que y 0 (x) =

∞ X

n=0

(n + r) an xn+r−1 ,

y 00 (x) =

∞ X

n=0

(n + r) (n + r − 1) an xn+r−2

Tema 5. Soluciones en serie de potencias de EDOs. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 16

al sustituir en la ecuación, obtenemos 3

∞ X

n=0

=

∞ X

n=0 r

= x

(n + r) (n + r − 1) an xn+r−1 +

∞ X

n=0

(n + r) (3n + 3r − 2) an xn+r−1 −

"

−1

r (3r − 2) a0 x

+

"

∞ X

k=0

(n + r) an xn+r−1 −

∞ X

∞ X

an xn+r

n=0

an xn+r

n=0

#

k

(k + r + 1) (3k + 3r + 1) ak+1 − ak x

#

=0

lo cual implica que r (3r − 2) a0 = 0 ak+1 =

1 ak (k + r + 1) (3k + 3r + 1)

k = 0, 1, 2, . . .

(5)

2 De la ecuación r (3r − 2) = 0 (ecuación indicial), tenemos que r1 = y r2 = 0. Al sustituir en (5) los 3 dos valores de r resultan dos relaciones de recurrencia diferentes 1 1 ak+1 = ak+1 = ak ak (3k + 5) (k + 1) (k + 1) (3k + 1) Iterando en ambas relaciones obtenemos 1 a1 = a0 5·1

a1 =

1 a0 1·1

a2 =

1 1 a1 = a0 8·2 2!5 · 8

a2 =

1 1 a1 = a0 2·4 2!1 · 4

a3 =

1 1 a2 = a0 11 · 3 3!5 · 8 · 11

a3 =

1 1 a1 = a0 3·7 3!1 · 4 · 7

a4 =

1 1 a3 = a0 14 · 4 4!5 · 8 · 11 · 14

a4 =

1 1 a1 = a0 4 · 10 4!1 · 4 · 7 · 10

.. . an =

.. . 1 a0 n!5 · 8 · 11 · · · (3n + 2)

an =

1 a0 n!1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)

Conseguimos así dos soluciones en serie y1 (x) = a0 x2/3 y2 (x) = a0 x0

∞ P

1 xn n!5 · 8 · 11 · · · (3n + 2) n=0 ∞ P

1 xn n!1 · 4 · 7 · · · (3n − 2) n=0

Se puede comprobar que el radio de convergencia de estas series es R = ∞. Además se puede ver que ninguna es un múltiplo constante de la otra y por lo tanto, y1 (x) y y2 (x) son soluciones linealmente independientes. Luego, y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) " # " # ∞ ∞ X X 1 1 2/3 n 0 n = C1 x x + C2 x x n!5 · 8 · 11 · · · (3n + 2) n!1 · 4 · 7 · · · (3n − 2) n=0 n=0

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representa la solución general de la ecuación diferencial en cualquier intervalo que no contenga al origen. En el caso en el que r1 = r2 sólo puede haber una solución en serie de Frobenius. Si r1 −r2 es un entero positivo, puede existir o no una segunda solución en serie de Frobenius correspondiente a la raíz menor r2 . Los resultados correspondientes a la obtención de una segunda solución linealmente independiente en estas dos situaciones particulares los enunciamos en el siguiente teorema. Teorema 4.3 Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0 y sean r1 y r2 las raíces, con r1 ≥ r2 , de la ecuación indicial asociada. Entonces: (a) Si r1 = r2 , existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de la forma ∞ X

y1 (x) =

an xn+r1

a0 6= 0

n=0

y2 (x) = y1 (x) ln x +

∞ X

bn xn+r1

n=1

(b) Si r1 − r2 es un entero positivo, existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de la forma y1 (x) =

∞ X

an xn+r1

n=0

y2 (x) = Cy1 (x) ln x +

a0 6= 0 ∞ X

bn xn+r2

n=0

b0 6= 0

donde C es una constante que puede ser cero. En el caso (b) del teorema b0 6= 0, pero C puede ser cero o no; de modo que el término logarítmico puede estar presente o no en la segunda solución. Los coeficientes de estas series (y la constante C) pueden determinarse por sustitución directa de las series en la ecuación diferencial. Observación: Puede ocurrir que al intentar encontrar la solución en serie de una ecuación diferencial de la forma (3), en torno a un punto singular regular, las raíces de la ecuación indicial resulten ser números complejos. Cuando r1 y r2 son complejos, la suposición r1 > r2 carece de significado y debe ser reemplazada por Re (r1 ) > Re (r2 ) , y, en este caso las soluciones serán complejas. Esta dificultad puede ser superada mediante el principio de superposición. Puesto que una combinación de soluciones también es solución de la ecuación diferencial, podríamos formar combinaciones adecuadas de y1 (x) y y2 (x) para obtener soluciones reales. Por último, si x = 0 es un punto singular irregular, debe hacerse notar que puede ser posible no ∞ P encontrar ninguna solución de la forma y(x) = an xn+r . n=0