Apuntes: Matem´aticas Financieras

1. 1.1. 1.1.1.

Lecci´ on 7 - Rentas - Valoraci´ on (Continuaci´ on) Valoraci´ on de Rentas: Constantes y Diferidas Renta Temporal y Pospagable En este caso, el origen de la renta es un momento d distinto al instante 0,

por lo que el diferimiento se produce desde 0 hasta d. En d + 1 se produce el primer pago y el u ´ltimo en d + n (gr´afico 1).

Figura 1: Valor final renta diferida pospagable

El valor actual, que se denota por d /an⌉i se obtiene sumando los capitales unitarios en el momento 0. Otra forma de encontrar el valor, es a partir del valor de la renta en d y trasladarla a 0 (multiplicando por (1 + i)−d ):

d /an⌉i

= (1 + i)−d · an⌉i

El valor final de la renta no se ve modificado por el diferimiento. Si en vez de pagar una cantidad unitaria, en cada momento del tiempo se paga una cuant´ıa constante C, el valor actual se obtiene como:

V0 = C ·d /an⌉i = C · (1 + i)−d · an⌉i Ejemplo Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al final de cada a˜ no a partir del cuarto a˜ no y durante 10 a˜ nos, si se utiliza el tipo del 10 %. 1

1.1 Valoraci´on de Rentas: Constantes y Diferidas

En este caso es una renta pospagable (ya que las cuant´ıas se abonan al final de cada a˜ no), de cuant´ıa constante y con un diferimiento de 4 a˜ nos. Por lo tanto el valor actual de la renta se obtendr´a a partir del valor de la renta en d para luego encontrar el valor en 0. El valor en d es:

a10⌉10 =

1 − (1 + i)−n 1 − (1 + 0,1)−10 = = 6,1445 i 0,1

Ahora, a partir del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en 0:

4 /a10⌉10

= (1 + i)−d · a10⌉10 = (1 + 0,1)−4 · 6,1445 = 4,1968

Ahora, a partir de la renta unitaria, se obtiene el valor de la renta de cuant´ıa C multiplicando por dicha cuant´ıa:

V0 = C·4 /a10⌉10 = C·(1+i)−d ·a10⌉10 = 5000·4,1968 = 5000·(1+0,1)−4 ·6,1445 = 20984,11

1.1.2.

Renta Perpetua y Pospagable En este caso los pagos no acaban en d + n sino que contin´ uan de forma

indefinida. El valor actual de dicha renta se puede calcular de tres formas distintas: 1. A partir de la suma de todos los capitales llevados al instante 0:

d /a∞⌉i

[ ] = 1·(1+i)−(d+1) +1·(1+i)−(d+2) +· · · = (1+i)−d (1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · ·

El t´ermino del corchete es justamente la suma infinita vista en el caso de l renta perpetua, pospagable pero inmediata y cuya suma vale 2

1 i

y por lo tanto

Apuntes: Matem´aticas Financieras

d /a∞⌉i

=

(1 + i)−d i

2. Como l´ımite de la renta temporal

d /a∞⌉i

= l´ım n → ∞(1 + i)−d · an⌉i =

(1 + i)−d i

3. A partir del traslado de la renta permanente en el instante d (a∞⌉i ) al instante 0 (d /a∞⌉i = (1 + i)−d a∞⌉i ) Por u ´ltimo, si la renta no es unitaria sino que paga una cuant´ıa constante C entonces el valor de la renta permanente es:

V0 = C ·d /a∞⌉i =

C · (1 + i)−d i

Ejemplo Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al principio de cada a˜ no a partir del cuarto a˜ no y de forma indefinida, si se utiliza el tipo del 10 %. En este caso es una renta pospagable (ya que las cuant´ıas se abonan al principio de cada a˜ no), de cuant´ıa constante y con un diferimiento de 4 a˜ nos. Adem´as es una renta permanente ya que el pago de las cuant´ıas se produce de forma indefinida. Una de las formas para obtener el valor actual de la renta es valorar la renta indefinida en el instante d y valorarla despu´es en 0. El valor de la renta permanente en d es:

a∞⌉10 =

1 1 = = 10 i 0,1

y ahora, multiplicando por (1 + i)− d se encuentra el valor de dicha renta en d: 3

1.1 Valoraci´on de Rentas: Constantes y Diferidas

d /a∞⌉10

= (1 + 0,1)−4 ·

1 = 0,6830 · 10 = 6,830 0,1

Y por u ´ltimo, se multiplica por C para tener la renta de cuant´ıa C = 5000:

V0 = 5000 ·d /a∞⌉10 = 5000 · 6,830 = 34150,67

1.1.3.

Renta Temporal y Prepagable En este caso los capitales se pagan al principio del periodo pero existiendo

un diferimiento entre 0 y el periodo d. Por lo tanto, el primer pago se hace en d.

Figura 2: Valor final renta diferida prepagable

El valor actual se puede obtener como la suma de todos los capitales trasladados al isntante 0 o como el valor actual en 0 de la renta sin diferimiento

an⌉i d /¨

¨n⌉i = (1 + i)−d · a

y finalmente, a partir de la relaci´on entre la renta pospagable y prepagable1 se obtiene que

an⌉i d /¨ 1

= (1 + i)−d+1 · an⌉i

¨n⌉i = (1 + i)−1 an⌉i Como recordatorio a

4

Apuntes: Matem´aticas Financieras

Si en vez de ser una renta unitaria, es una renta constante de cuant´ıa C, entonces el valor actual es:

V¨0 = C ·d /¨ an⌉i = C · (1 + i)−d+1 · an⌉i = C · (1 + i)−d+1 · an⌉i Ejemplo Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al principio de cada a˜ no a partir del cuarto a˜ no y durante 10 a˜ nos, si se utiliza el tipo del 10 %. En este caso es una renta prepagable (ya que las cuant´ıas se abonan al principio de cada a˜ no), de cuant´ıa constante y con un diferimiento de 4 a˜ nos. Por lo tanto el valor actual de la renta se obtendr´a a partir del valor de la renta en d para luego encontrar el valor en 0. El valor en d es:

¨10⌉10 = a

1 − (1 + i)−n 1 − (1 + 0,1)−10 = = 6,7590 1 − (1 + i)−1 1 − (1 + 0,1)−1

Ahora, a partir del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en 0:

a10⌉10 4 /¨

¨10⌉10 = (1 + 0,1)−4 · 6,7590 = 4,6165 = (1 + i)−d · a

Ahora, a partir de la renta unitaria, se obtiene el valor de la renta de cuant´ıa C multiplicando por dicha cuant´ıa:

V0 = C·4 /¨ a10⌉10 = C·(1+i)−d ·¨ a10⌉10 = C·(1+0,1)−4 ·6,7590 = 5000·4,6165 = 23082,52 Tambi´en se puede resolver el ejercicio a partir de la relaci´on entre la renta diferida pospagable y la renta diferida prepagable. As´ı, sabiendo que:

¨10⌉10 = (1 + i) · a10⌉10 a 5

1.2 Valoraci´on de Rentas: Constantes y Anticipadas

y sustituyendo en la expresi´on para la renta diferida y prepagable:

a10⌉10 4 /¨

= (1 + i)−d · (1 + i) · a10⌉10 = (1 + i)−d+1 · a10⌉10

y como se ha visto antes a10⌉10 = 6,1445 por lo que

a10⌉10 4 /¨

= (1 + i)−d+1 · a10⌉10 = (1 + 0,1)−4+1 · 6,1445 = 4,6165

Y, finalmente multiplicando por C se obtiene la renta pedida en el ejercicio:

V0 = 5000 · 4,6165 = 23082,52

1.1.4.

Renta Perpetua y Prepagable De forma an´aloga a la renta pospagable, se obtiene la renta permanente

prepagable como:

¨∞⌉i = a∞⌉i = (1 + i)−d · a d /¨

(1 + i)−d+1 i

y si la cuant´ıa es constante: C · (1 + i)−d+1 ¨∞⌉i = V¨0 = C ·d /¨ a∞⌉i = C · (1 + i)−d · a i

1.2.

Valoraci´ on de Rentas: Constantes y Anticipadas En estos casos la renta finaliza en el periodo n pero se valora en un instante

posterior n + k por lo que la renta est´a anticipada k periodos en el momento de la valoraci´on. 6

Apuntes: Matem´aticas Financieras

El valor actual de dichas rentas no se ve afectado ya que en el momento 0 la renta es inmediata. Adem´as no pueden existir rentas perpetuas y anticipadas ya que dichas rentas no terminan nunca y por lo tanto no se pueden valorar en un instante posterior al de su finalizaci´on. El problema radica en encontrar el valor final, que depender´a de si la renta es pospagable o prepagable.

1.2.1.

Renta pospagable

Figura 3: Valor final renta anticipada y pospagable

El valor final en este tipo de rentas se denota por k /Sn⌉i y se obtiene de dos formas: 1. trasladando todas las cuant´ıas al instante n + k. 2. trasladando el valor final de la renta en n (ya calculado en apartados anteriores) y trasladar dicho valor a n + k multiplicando por el factor de capitalizaci´on (1 + i)k :

k/Sn⌉i = (1 + i)k · Sn⌉i Si la renta es de cuant´ıa constante C entonces el valor final ser´a

Vn+k = C · k/Sn⌉i = C · (1 + i)k · Sn⌉i Ejemplo 7

1.2 Valoraci´on de Rentas: Constantes y Anticipadas

Valore un Bono que se compr´o hace 15 a˜ nos, que paga unas cuant´ıas anuales de 1000 euros al final de cada a˜ no durante 10 a˜ nos si el tipo de inter´es para su valoraci´on es el 8 %. Como el bono tiene una duraci´on de 10 a˜ nos y se valora 5 a˜ nos despu´es, se trata de una renta anticipada. Para su valoraci´on, se puede encontrar el valor del bono a los 10 a˜ nos a trav´es de la expresi´on para la valoraci´on de una renta pospagable y luego valorarla cinco a˜ nos despu´es. As´ı, el valor de la renta a los 10 a˜ nos ser´a:

V10 = C · S10⌉8 = 1000 ·

(1 + 0,08)10 − 1 = 1000 · 14,4865 = 14486,56 0,08

Y, para encontrar el valor final del bono, se debe llevar el valor de la renta V10 5 a˜ nos adelante:

V10+5 = 1000 · 5/S10⌉8 = 1000 · (1 + 0,08)5 · Sn⌉i = 1000 · 1,4693 · 14,4865 = 21285,51

1.2.2.

Renta prepagable En este caso, como los capitales se pagan al principio del periodo, el u ´ltimo

capital se paga en n − 1.

Figura 4: Valor final renta anticipada y prepagable

De nuevo, se puede valorar la renta sumando todos los capitales una vez trasladados a n + k o trasladando el valor de la renta en n a n + k. En ese caso, y ¨ n⌉i : denotando el valor de la renta por k /S 8

Apuntes: Matem´aticas Financieras

¨

k /Sn⌉i

¨ n⌉i = (1 + i)k · S

y a partir de la relaci´on entre el valor final de una renta pospagable y prepagable2 se obtiene que:

¨

k /Sn⌉i

= (1 + i)k+1 · Sn⌉i

Si la renta es de cuant´ıa constante C entonces el valor final ser´a

¨ n⌉i = C · (1 + i)k · S ¨ n⌉i = ·(1 + i)k+1 · Sn⌉i ¨ = C ·k /S Vn+k Ejemplo Valore un Bono que se compr´o hace 15 a˜ nos, que paga unas cuant´ıas anuales de 1000 euros al principio de cada a˜ no durante 10 a˜ nos si el tipo de inter´es para su valoraci´on es el 8 %. Como el bono tiene una duraci´on de 10 a˜ nos y se valora 5 a˜ nos despu´es, se trata de una renta anticipada. Para su valoraci´on, se puede encontrar el valor del bono a los 10 a˜ nos a trav´es de la expresi´on para la valoraci´on de una renta prepagable (ya que las cuant´ıas se abonan al principio de cada a˜ no) y luego valorarla cinco a˜ nos despu´es. Adem´as, se puede obtener el valor de la renta prepagable a partir de su expresi´on o a partir de la renta pospagable. As´ı, una vez obtenido S10⌉0,08 en el apartado anterior, la renta prepagable se obtiene como:

¨ 10⌉0,08 = (1 + 0,08)S10⌉0,08 = (1,08) · 14,4865 = 15,6455 S As´ı, el valor de la renta a los 10 a˜ nos ser´a:

¨ 10⌉8 = 1000 · 15,6455 = 1000 · 14,4865 = 15645,49 V¨10 = 1000 · S 2

¨ n⌉i = (1 + i) · Sn⌉i A modo de recordatorio S

9

1.3 Valoraci´on de Rentas: Rentas Fraccionadas

Y, para encontrar el valor final del bono, se debe llevar el valor de la renta V10 5 a˜ nos adelante:

¨ 10⌉8 = 1000·(1+0,08)5 · S ¨ 10⌉0,08 = 1000·1,4693·15,6455 = 22988,35 V10+5 = 1000·5/S

1.3.

Valoraci´ on de Rentas: Rentas Fraccionadas Se dice que una renta es fraccionada cuando se divide cada cuant´ıa y cada pe-

riodo en m partes iguales y en cada periodo de tiempo de amplitud un capital de cuant´ıa

1.3.1.

1 m

le corresponde

CS 3 m

Renta temporal y pospagable En cada periodo de tiempo, la distribuci´on de los capitales es id´entica y por lo

tanto se puede sustituir por un capital equivalente a los m capitales en cada periodo. De esta forma pasamos de una renta fraccionada a una que no lo est´a.

Figura 5: Valor final renta fraccionada

Si pensamos en la renta unitaria, en cada periodo hay m cuant´ıas y por tanto al final del periodo se puede encontrar el valor final de la renta compuesta de las m cuant´ıas que ser´a Sm⌉im es decir, el valor final de una renta pospagable con m 3

Es importante tener claro las relaciones entre los tantos efectivo (i), tantos nominal de frecuen-

cia m (jm ) y r´edito asocidado a subperiodos de amplitud ( )m m 1 + jm

10

1 m.

Dicha relaci´on es 1 + i = (1 + im )m =

Apuntes: Matem´aticas Financieras

periodos y con un tipo en cada periodo de im . Como la cuant´ıa no es unitaria sino que toma el valor

1 m

entonces el valor final de la renta en cada periodo es:

1 · Sm⌉im m Por otro lado, utilizando la expresi´on para el valor final de una renta pospagable se obtiene que: Sm⌉im =

(1 + im )m − 1 im

y teniendo en cuenta la relaci´on de los tipos anuales y el r´edito de frecuencia m, i = (1 + im )m − 1 y im = jm · m se obtiene que: 1 1 (1 + im )m − 1 i · Sm⌉im = · = m m im jm De tal forma que en cada periodo el capital que se abona es

i jm

y por lo tanto,

utilizando la valoraci´on de las rentas pospagables no fraccionadas se obtiene el valor (m)

(m)

de las fraccionadas, que se denotan por an⌉i y Sn⌉i simplemente multiplicando por la cuant´ıa anual C =

i : jm

(m)

an⌉i =

(m)

Sn⌉i = Siendo el operador

i jm

i · an⌉i jm i · Sn⌉i jm

el que permite pasar de una renta fraccionada a una

que no lo est´a. Si la renta es constante, en cada momento

1 m

el capital es

C . m

m cuant´ıas al final del periodo se obtienen como: C C (1 + im )m − 1 C i i · Sm⌉im = · = · =C· m m im m im jm 11

El valor de las

1.3 Valoraci´on de Rentas: Rentas Fraccionadas

y por lo tanto los valores actual final son

(m)

V0

(m)

= C · an⌉i = C ·

(m)

Vn(m) = C · Sn⌉i = C ·

i · an⌉i jm i · Sn⌉i jm

Ejemplo Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuant´ıas trimestrales pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. Para encontrar tanto el valor actual como el final es necesario encontrar previamente el tanto nominal de frecuencia 4, que en ese caso toma el valor

1

j4 = 4 · (1,12 4 − 1) = 0,1149 Posteriormente se encuentra el valor actual de la renta fraccionada unitaria:

(4)

a10⌉12 =

i · an⌉i jm

Para lo cual hace falta calcular la renta pospagable no fraccionada:

an⌉i =

1 − (1 + i)−n 1 − (1 + 0,12)−10 = = 5,6502 i 0,12

Y sustituyendo en la expresi´on de la renta fraccionada se obtiene que:

(4)

a10⌉12 =

0,12 i · an⌉i = · 5,6502 = 5,9010 jm 0,1149

Existe otra forma de valorar las rentas fraccionadas. Este segundo m´etodo consiste en valorarlas como no fraccionadas pero tomando como medida del tiempo 12

Apuntes: Matem´aticas Financieras

un em´esimo periodo (pensar en meses, trimestres, etc). En ese caso, el n´ umero de periodos consiste en el n´ umero de a˜ nos multiplicado por el n´ umero de periodos al a˜ no n · m, el tipo de inter´es ser´a el r´edito de frecuencia m y la cuant´ıa ser´a

C . m

As´ı,

se obtienen los valores actuales y finales de una renta de n · m como:

V0 =

C · an·m⌉im m

Vn =

C · Sn·m⌉im m

y

l´ogicamente, la valoraci´on de las rentas debe ser la misma, por lo que se cumple que:

(m)

C · an⌉i =

C · an·m⌉im m

Ejemplo Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuant´ıas trimestrales pospagables durante 10 a˜ nos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. En este caso se encontrar´a el valor actual de la renta fraccionada como si no fuera fraccionada. Para ello ser´a necesario encontrar el r´edito trimestral. Para encontrar el r´edito mensual se puede partir del tanto nominal de frecuencia trimestral obtenido anteriormente:

1

j4 = 4 · (1,12 4 − 1) = 0,1149

i4 =

j4 0,1149 = = 0,0288 4 4 13

1.3 Valoraci´on de Rentas: Rentas Fraccionadas Ahora, sabiendo que el n´ umero de periodos es n · m = 10 · 4 = 40, el valor de la renta es

] ] [ [ 1 1 1 − (1 + 0,0288)−40 1 1 − (1 + im )−(n+m) = · = 5,90 an·m⌉im = · m 4 im 4 0,0288

1.3.2.

Renta perpetua y pospagable El valor actual de la renta perpetua se puede obtener como l´ımite de la renta

temporal, as´ı:

(m)

(m)

i i i 1 · an⌉i = · l´ım an⌉i = · n→∞ jm jm n→∞ jm i

a∞⌉i = l´ım an⌉i = l´ım n→∞

y por lo tanto

(m)

a∞⌉i =

1 jm

y si la cuant´ıa es constante C:

(m)

V0

(m)

= C · a∞⌉i =

C jm

Ejemplo Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuant´ıas trimestrales perpetuas y pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. Como se ha visto anteriormente el valor actual de la renta perpetua toma la forma

(m)

a∞⌉i = 14

1 jm

Apuntes: Matem´aticas Financieras

donde, para su valoraci´on, se necesita jm . Como hemos visto en el apartado 1

anterior, j4 = 4 · (1,12 4 − 1) = 0,1149 y por lo tanto:

(4)

a∞⌉12 = 1.3.3.

1 = 8,7032 0,1149

Renta temporal y prepagable De nuevo, para cada periodo se construye una renta equivalente no frac-

cionada y pospagable desplazando todas las cuant´ıas

1 m

un periodo a la derecha

1

multiplic´andolas por (1 + i) m = 1 + im y as´ı la cuant´ıa de la renta pospagable y no fraccionada es:

1

(1 + i) m ·

1 m

y los valores actuales y finales se obtienen a partir de la valoraci´on de la renta temporal pospagable no fraccionada:

1

1

(m) m · a m · ¨(m) a n⌉i = (1 + i) n⌉i = (1 + i)

i · an⌉i jm

¨ (m) = (1 + i) m1 · S(m) = (1 + i) m1 · i · Sn⌉i S n⌉i n⌉i jm De nuevo, es importante observar que el operador que permite pasar de una renta prepagable y fraccionada a una renta pospagable y fraccionada es (1 + i)f rac1m Cuando la cuant´ıa es constante,

C m

en cada subperiodo, los valores actual y

final son:

¨(m) (m) ¨n⌉i V0 = C · a

¨(m) ¨ (m) Vn = C · S n⌉i 15

1.3 Valoraci´on de Rentas: Rentas Fraccionadas

Ejemplo Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuant´ıas mensuales prepagables, de duraci´on 10 a˜ nos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. Para encontrar el valor de la renta fraccionada prepagable se necesita el valor de la renta no fraccionada y pospagable. As´ı, en primer lugar se obtiene

an⌉i =

1 − (1 + i)−n 1 − (1 + 0,12)−10 = = 5,6502 i 0,12

Para encontrar la renta fraccionada pospagable se multiplica la cantidad anterior por

i , jm

por lo que, previamente, se debe encontrar j12 : 1

j12 = 12 · (1,12 12 − 1) = 0,1139 Ahora, la renta fraccionada pospagable es:

(m)

an⌉i =

i 0,12 · an⌉i = · 5,6502 = 5,9546 jm 0,1139

Y por u ´ltimo, la renta prepagable se encuentra a partir de la pospagable a 1

multiplicando por (1 + i) m : 1

1

(m) m · a 12 · 5,9546 = 1,009 · 5,9546 = 6,0111 ¨(m) a n⌉i = (1 + i) n⌉i = (1 + 0,12)

1.3.4.

Renta perpetua y prepagable De nuevo, la renta perpetua se obtiene como l´ımite de la temporal. Por lo

tanto: 1

¨(m) a ∞⌉i

= l´ım

n→∞

¨ (m) S n⌉i

= (1 + i)

1 m

i (1 + i) m · · l´ım an⌉i = jm n→∞ jm

16

Apuntes: Matem´aticas Financieras

y si la cuant´ıa es constante

¨(m)

V0

1.3.5.

1

=C·

¨(m) a ∞⌉i

C · (1 + i) m = jm

Rentas Fraccionadas, Diferidas y Anticipadas Para valorar las rentas fraccionadas diferidas, se obtiene el valor de la renta

sin tener en cuenta el diferimiento y luego se aplica el operador para las rentas diferidas, (1 + i)−d . De la misma forma, si se quiere valorar una renta fraccionada anticipada, se valora la renta sin tener en cuenta los a˜ nos anticipados y luego se aplica el operador de las rentas anticipadas, (1 + i)k . Ejemplo Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuant´ıas mensuales prepagables, diferida 3 a˜ nos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. En el ejemplo anterior se ha calculado la renta anterior para el caso en el que no hay diferimiento:

1

(m) m · a ¨(m) a n⌉i = (1 + i) n⌉i = 6,0111

Para encontrar la renta diferida, tan solo hay que multiplicar por (1 + i)−d

(m) an⌉i d /¨

¨n⌉i = (1 + i)−d a

(m)

y en este ejercicio

(m) an⌉i 3 /¨

= (1 + i)−3 · 6,0111 = 0,7118 · 6,0111 = 4,2786

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