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1 · Los números reales VAMOS A CONOCER… Los números racionales Los números irracionales Los números reales y su representación Intervalos Raíces y sus propiedades Racionalización Aproximación de números y su error Notación científica

¿QUÉ NECESITAS SABER? Operar con números racionales Realiza las siguientes operaciones: 3 3 − 2⋅ 3 1 3 7 4 5 − ⋅ + a) b) 3 2 4 5 10 5

3 2 ⎛ 3 ⎞ c) − ⋅ ⎜2 − ⋅ 2⎟ 5 3 ⎝ 4 ⎠

1 2 − +1 3 5 d) 2 ⎛3 4 ⎞ :⎜ − ⎟ 3 ⎝2 5⎠

Fracciones propias e impropias Expresa como fracción impropia los siguientes números mixtos: a) 2 +

3 5

b) 1 +

3 4

c) 3 +

1 6

d) 1 +

Expresa como número mixto las siguientes fracciones impropias: a)

7 4

b)

7 3

c)

17 7

d)

25 4

1 4

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La civilización griega ya intuía la existencia de números «inconmensurables» que no podían ser expresados como fracción de dos números, como por ejemplo la medida de la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ó la razón existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

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1. Los números racionales Notación El símbolo ∧ representa la conjunción lógica «y». Por ejemplo: « p ∈  ∧ n ∈  » quiere decir «p pertenece a Z y n pertenece a N».

El conjunto de los números racionales, Q, está formado por todas las fracp ciones de la forma siendo p un número entero y n un número natural n distinto de cero. ⎧p ⎫  = ⎨ : p ∈  ∧ n ∈  con n ≠ 0⎬ ⎩n ⎭

d

Paso de decimal a fracción d

Todo número decimal exacto, periódico puro o mixto se puede expresar como una fracción.

Ejemplos • Dado el número 2’345, la fracción mal el número dado.

2 345 tiene como expresión deci1 000

 • Dado el número x = 3’5 , como sólo hay una cifra decimal en el periodo, multiplicamos el número por 10 y le restamos el número inicial:

!

RECUERDA…

Podemos expresar cualquier fracción como un número decimal, solo basta con dividir el numerador entre el denominador.

10 x = 35’5555... − x = 3’5555... 9 x = 32’0000...  32 , una fracción de expresión decimal 3’5 . 9  • Tomemos ahora el número x = 2’346 . Despejando obtenemos x =

– Primero multiplicamos el número por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales periódicas y no periódicas tengamos. – Luego multiplicamos el número por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales no periódicas tengamos y restamos: 1 000 x = 2 346’6666... −100 x = 234’6666... 900 x = 2 112’0000... 2 112 Despejando en la expresión anterior obtenemos x = , una fracción  900 cuya expresión decimal es 2’346 .

ACTIVIDADES 1. Expresa como decimal las siguientes fracciones y clasifica los números decimales obtenidos: 3 2 5 1 a) b) c) d) 5 3 6 7 2. Expresa como fracción los siguientes números decimales:    a) 0’05 b) 2’74 c) 0’07 d) 2’353

 e) 2’9

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2. Los números irracionales Observemos el siguiente número decimal:

Observación

0’101001000100001000001... Este número decimal no es exacto y en él no se puede definir un periodo,

Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales.

por tanto estamos ante un número que no puede ser racional. d

Los números irracionales tienen una expresión decimal infinita no periódica.

Ejemplo Demostrar que Supongamos que

2 no es racional. 2 es racional, entonces se podría expresar como una

fracción irreducible: 2=

a irreducible (a y b no tienen divisores comunes) b

Despejando y elevando al cuadrado tenemos: a=

2b

a2 = 2b 2 De esta expresión se deduce que a es par, por tanto a = 2p. Sustituyendo en la expresión a2 = 2b 2: ( 2p)2 = 2b 2 ⇒ 4 p 2 = 2b 2 ⇒ 2p 2 = b 2 Con esto concluimos que b también es par, b = 2q. Sin embargo esto es una a contradicción ya que era irreducible y ahora numerador y denominador b son divisibles entre 2: a 2p p a = = ← ¡OJO! La fracción era irreduciible b 2q q b En consecuencia

2 no se puede expresar como una fracción y, por

tanto, es un número irracional.

d

El número π El número π es un ejemplo de número irracional. Durante mucho tiempo conseguir la mejor aproximación de este número ha sido un reto matemático. En la actualidad se conocen miles de millones de cifras de este número. π = 3’14159265358979...

Los números que se obtienen como solución de la ecuación x2 = a, donde a ∈  con a ≥ 0 y no es un cuadrado perfecto, son irracionales.

ACTIVIDADES

 3. Escribe dos números irracionales comprendidos entre 21 ’ y 2’1. 4. Encuentra dos números racionales y dos irracionales entre 0’3201 y 0’32001. 5. Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles irracionales:  ’ a) 12

b)

3 5

 c) 0’1234

d)

1 4

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3. Los números reales R

π

2 Q

d

0’2 Z

3

N

0

5 5 3

–2

El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales y el de los números irracionales. Este conjunto se representa con el símbolo R.

1

El conjunto de los números reales se puede representar en una recta, la recta real, donde cada número se corresponde con uno de sus puntos.

Representación de números en la recta real Representación de números racionales

Para representar una fracción tenemos que dividir el segmento en el que se encuentre en tantas partes como indique el denominador, utilizando el teorema de Tales, y marcar el numerador.

Números decimales

Ejemplos

Si queremos representar en la recta un número racional expresado en forma decimal, simplemente tenemos que pasarlo a fracción y representarla. 1 1+

0

1 6

1+

4 6

2

Representación de números irracionales

En general, nos resultará imposible representar con exactitud un número irracional. Lo que se suele hacer es indicar el segmento donde se encuentra. Este segmento puede ser tan pequeño como queramos, dependiendo del número de decimales que utilicemos para aproximar. Ejemplos 1

2 1’2

1 1

1’3

2 2

1’25 1’26

Representación de números irracionales de la forma

a

Estos números se pueden representar de forma exacta utilizando el teorema de Pitágoras. Para ello tenemos que construir un triángulo cuya hipotenusa mida la raíz buscada y transportar esta distancia a la recta con el compás. Ejemplos

0

1

2

0

2

2

1

3

2

ACTIVIDADES 6. Representa en la recta real los siguientes números irracionales: a)

5

b)

7

c)

10

d) π

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4. Topología de la recta real 4.1. Relaciones de orden Dados dos números reales a y b: • Diremos que a es menor que b, a < b, si b – a es positivo. • Diremos que a es mayor que b, a > b, si b – a es negativo. • Diremos que a es menor o igual que b, a ≤ b, si a < b ó a = b. • Diremos que a es mayor o igual que b, a ≥ b, si a > b ó a = b. Además, tenemos las siguientes propiedades: • Dados dos números reales distintos a y b, siempre a < b ó a > b. • Si a ≤ b, a + c ≤ b + c, para cualquier número real c. • Si a ≤ b y c ≥ 0, entonces a · c ≤ b · c. • Si a ≤ b y c ≤ 0, entonces a · c ≥ b · c.

4.2. Intervalos d

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con un segmento o una semirrecta de la recta real.

Intervalo abierto

( a, b) { x ∈  : a < x < b}

a

b

Intervalo cerrado

⎡⎣ a, b ⎤⎦

{ x ∈  : a ≤ x ≤ b}

a

b

Intervalo semiabierto

⎡⎣ a, b

) { x ∈  : a ≤ x < b}

a

b

Intervalo semiabierto

( a, b ⎤⎦ { x ∈  : a < x ≤ b}

a

b

)

{x ∈  : a < x}

a

)

{x ∈  : a ≤ x}

a

Semirrecta abierta

( −∞, b)

{ x ∈  : x < b}

Semirrecta cerrada

( −∞, b ⎤⎦

{ x ∈  : x ≤ b}

Semirrecta abierta

( a,

Semirrecta cerrada

⎡a, +∞ ⎣

+∞

Definiciones

b

• Un intervalo es abierto cuando sus extremos no pertenecen al intervalo.

b

• Un intervalo es cerrado cuando sus extremos pertenecen al intervalo.

ACTIVIDADES 7. Representa gráficamente y expresa mediante intervalos y conjuntos: a) los números reales menores que –3. b) los números reales mayores o iguales que 2 y menores que 7. c) los números reales mayores o iguales que –5. d) los números reales menores que –5 y mayores que –10. 8. Representa gráficamente y expresa mediante intervalos: a) b)

{ x ∈  : −2 ≤ x < 5} { x ∈  : −2 < x ≤ 3}

c) d)

{ x ∈  : x ≤ −1} { x ∈  : −3 < x < 0}

e) f)

{ x ∈  : x ≥ −1} { x ∈  : 0 ≤ x ≤ 4}

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5. Potencias de exponente racional 5.1. Potencias de exponente natural

Potencias por recurrencia

d

La definición de potencia de exponente natural por recurrencia es: • a0 = 1 • an + 1 = a · an, para n ∈ N

Definimos a elevado a la n-ésima potencia, an, con a un número real y n un número natural, como el resultado de multiplicar n veces el número a por sí mismo: n veces 

 n a = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a

Propiedades de las potencias an = a n− m am

• a0 = 1

•

• a1 = a

n m n⋅m • (a ) = a

• an · am = an + m

n n n • ( a ⋅ b) = a ⋅ b

Ejemplos Simplificar las expresiones utilizando las propiedades de las potencias: • 35 ⋅ 36 ⋅ 3 = 35+ 6 +1 = 312 •

25 ⋅ 2 1 1 = 25+1− 8 = 2−2 = 2 = 8 4 2 2

• 5−2 ⋅ (52 )3 : 5−4 = 5−2 ⋅ 52⋅3 : 5−4 = 5−2 ⋅ 56 : 5−4 = 5−2+ 6 − ( −4 ) = 58 •

23 ⋅ ( 2 ⋅ 34 )2 23 ⋅ 22 ⋅ 34 ⋅ 2 25 ⋅ 38 = 25− ( −3) ⋅ 38 − 7 = 28 ⋅ 3 = = 35 : 23 ⋅ 3−2 35 ⋅ 2−3 ⋅ 32 2−3 ⋅ 37

5.2. Potencias de exponente entero

Potencias en la calculadora Para calcular potencias con la calculadora utilizamos la tecla shift combinada con la tecla × de multiplicación para indicar los exponentes. Podemos observar que encima de la tecla aparece el icono «x y». 7

Para calcular 5 debemos introducir: 5

shift

×

7

=

Para definir potencias de exponente entero necesitamos definir las potencias de exponente negativo. Este tipo de potencias deben cumplir las propiedades de las potencias de exponente natural, por tanto: an ⋅ a− n = an+( − n ) = an − n = a0 = 1 ⇒ a− n =

d

1 an

Una potencia con exponente negativo es el inverso de esta misma potencia con exponente positivo. 1 a− n = n a

ACTIVIDADES 9. Simplifica y expresa el resultado como una potencia de exponente positivo: a)

(22 ⋅ 27 )2 ⋅ 2−5 (25 )2

c)

22 (23 : 24 )−5 : 2−3 23 (2−2 )−3

e)

32 : (2 : 33 )2 2 : (3 ⋅ 22 )−2

b)

(23 ⋅ 24 )−2 : 2−12 (2 ⋅ 25 )2

d)

34 (23 )−2 : (24 ⋅ 35 ) 23 ⋅ 3−2

f)

65 ⋅ 23 : (24 : 3−2 )−2 22 : 35

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5.3. Potencias de exponente racional Antes de definir estas potencias vamos a hacer una pequeña reflexión: si queremos que las propiedades de las potencias de exponente entero se puedan extender a las potencias de exponente racional, la propiedad (ab )c = ab ⋅c deberá ser cierta, y como todo número racional se puede expresar como una fracción, tendremos lo siguiente:

(a ) 1 n

n

=a

1 ⋅n n

RECUERDA… Si

1 n

=a⇒a =

n

n

a = b , entonces b = a n

!

a con n ∈ 

n d

Definiremos la potencia a m como la raíz m-ésima de an. n

am =

m

an

Raíces equivalentes d

Se dice que dos raíces son equivalentes si al expresarlas como potencia las fracciones que determinan los exponentes son equivalentes. p n q m n a = ap ⇔ = m q

Ejemplos

Raíces reducibles

• Expresar en forma de potencia y escribir raíces equivalentes: Potencia

Raíces equivalentes

3

4

23

24

5

27

35

3

8

26

12

29

10

36

15

39

Se dice que una fracción es reducible si se puede simplificar. Si el exponente que determina una raíz es una fracción reducible, podemos simplificarla y así, a su vez, simplificaremos la raíz. 12

26 = 6 23 = 2 ← irreducible

• Simplificar las siguientes raíces: a)

12

28 =

b)

20

330 =

3

22 33

c)

6

27 =

d)

6

524 = 54

c)

6

32

3

ACTIVIDADES 10. Expresa en forma de potencia: a)

2

b)

3

34

d)

5

23

11. Expresa como raíz las siguientes potencias: 4

1

1

2

a) 3 3

b) 5 4

c) 22

d) 38

12. Simplifica las siguientes raíces: a)

26

b)

15

312

c)

60

536

d)

15

64

5

32

d)

4

64

13. Obtén dos raíces equivalentes de cada una: a)

5

b)

3

34

c)

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6. Las raíces: propiedades y operaciones ACTIVIDADES RESUELTAS

6.1. Reducción de raíces a común índice

• Reduce a común índice las raíces:

Vamos a reducir las raíces

5

23

4

2

23 ⋅ 3

212 ,

20

210 ,

20

215 ⋅ 315

• Ordena de menor a mayor las siguientes raíces: 6

6

21

3

23 y 6 37 a índice común:

1. Expresamos las raíces en forma de potencia:

El mcm de los índices es 20. Así, las raíces equivalentes serán: 20

10

3 10

7

23 = 210

6

37 = 36

2. Reducimos los exponentes a común denominador y volvemos a expresar las potencias en forma de raíz. El mcm de los denominadores es 30: 3 10

72

9

7

23 = 210 = 230 =

30

6

29

35

37 = 36 = 330 =

30

335

Si reducimos a común índice:

6.2. Extracción de factores de una raíz 6 = 6 63 = 6 216 6

6

21

722 = 6 5 184

Vamos a extraer factores de la raíz

21 < 6 216 < 6 5 184 ↓ 6

21 < 6 < 3 72

1 944 :

1. Descomponemos el radicando en factores primos:

Ahora, ordenando las raíces equivalentes obtenemos: 6

4

4

1 944 =

4

23 ⋅ 35

2. Dividimos el exponente de cada factor primo entre el índice de la raíz. El cociente es el exponente del factor primo que sale fuera de la raíz y el resto es el exponente del factor primo que queda dentro de la raíz: 5=4·1+1 4

1 944 =

4

23 ⋅ 35 =

4

3=4·0+3 23 ⋅ 34·1+1 =

4

23 ⋅ 34 ⋅ 3 = 3 4 23 ⋅ 3

Ejemplo 3

212 ⋅ 625 = 6 561

3

212 ⋅ 54 24 ⋅ 5 3 5 = ⋅ 38 32 32

6.3. Introducción de factores en una raíz Podemos introducir un factor dentro de una raíz elevando dicho factor al índice de la raíz: 2 22 ⋅ 2 23 2 = = 53 (53 )2 56

34 5 2 = 5 (34 )5 2 = 5 320 2

ACTIVIDADES 14. Extrae todos los factores posibles: a)

223

b)

3

314

c)

6

192

217 ⋅ 323 519

d)

5

d)

3 2 4

15. Introduce los factores dentro de la raíz: 3 a) 2 5

b) 3 3

2 c) 5 3 5

16. Ordena las siguientes raíces de mayor a menor: 2

3

3

4

75

6

32

e)

32 5

3

5 3

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6.4. Suma y resta de raíces Dos raíces son semejantes si tienen los mismos índices y radicandos. d

Para sumar o restar varias raíces estas tienen que ser semejantes.

Raíces en la calculadora

Ejemplos 4 4 4 4 4 • 2 4 + 11 4 − 5 4 = ( 2 + 11 − 5) 4 = 8 4

• 3 7 − 5 343 = 3 7 − 5 73 = 3 7 − 5 ⋅ 7 7 = (3 − 35) 7 = −32 7

Para calcular raíces con la calculadora utilizamos la tecla shift combinada con la tecla ÷ de división para indicar los índices. Podemos ver que enci1 ma de la tecla aparece el icono «x /y». Para calcular

6.5. Producto y cociente de raíces

3

Para multiplicar o dividir dos raíces estas tienen que tener el mismo índice. n

d

a⋅b = n

n

a

n

b

común y luego operar.

•

5

3

4

5

=

32 ⋅ 5 =

2 ⋅ (−6) 5

6

4

5

=

−12 5

34 ⋅ 6 53 =

6

4

=

5

−12 = 4

5

34 ⋅ 53

23 2

• •

4

4

= m n

a =

( a) n

m

=

n⋅ m

n

2 3= 3

⎛ 2⎞ = ⎜ 2 − 1+ ⎟ 3⎠ ⎝

−3

6.6. Potencia y raíz de una raíz d

=

ACTIVIDADES RESUELTAS • 2 3− 3+

2 ⋅ 5 −6

5

Opera y simplifica:

Ejemplos 5

÷

shift

para cualquier n ∈ N

Si las raíces no tienen el mismo índice siempre podemos reducirlas a índice

•

3 debemos introducir:

a ⋅ n b para cualquier n ∈ N

n

a = b

5

a para cualesquiera n, m ∈ N

•

2

= 12

5 3 3

26 ⋅ 24 12 7 = 2 23

23 ⋅ 5 22 = 20

3=

20

215 ⋅ 20 28 =

223 = 2 ⋅ 20 23

33 ⋅ 3 3 = 33 ⋅

3

3 = 33 ⋅ 6 3 =

= 6 39 ⋅ 3 = 6 310 = 3 35 = 3 3 32

am para cualesquiera n, m ∈ N

Ejemplo

(

) = ( 2) 5

2

4

5

=

4

25 = 2 4 2

ACTIVIDADES 17. Opera y simplifica: a) 2 5 − 3 ⋅ 6 125

3 2 b) 3 ⋅ 7 + 4 ⋅ 3 49

18. Opera y simplifica: 3 ⋅ 3 32

a)

b)

6

35 ⋅ 3 3

c)

5 ⋅ 4 53

c)

8 ⋅ 3 2 ⋅ 4 23

d)

5 4

53

19. Opera y simplifica: a)

3

3 5

33

b)

3⋅ 4 3 3

d)

4⋅ 32 3

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7. Racionalización Signo de una raíz Como hemos visto, si, a = bn.

n

d

Racionalizar una fracción es eliminar las raíces de su denominador.

a = b si, y solo

• Si n es par, tenemos que b n ≥ 0 , por tanto: n a = ±b

7.1. Fracciones con una raíz en el denominador a Vamos a racionalizar fracciones del tipo . Para ello multiplicamos el n b n numerador y el denominador por b n −1 , con lo que obtenemos:

• Si n es impar, tenemos que bn tiene el mismo signo: n

a n

a=b

b

a n b n −1

=

b ⋅ n b n −1

n

a n b n −1

=

n

a n b n −1

=

b ⋅ b n −1

n

bn

=

a n b n −1 b

Por ejemplo: 4 = ±2

• •

3

−8 = −2

•

3

8=2

d

Para racionalizar una fracción del tipo n

dor y el denominador por

a

multiplicamos el numerab y simplificamos.

b n −1

n

Ejemplos 2

•

•

2 2 5

2⋅ 2

=

2

2

2⋅ 2

2⋅ 2 = 2

=

2 ⋅ 23

2 ⋅ 23 = 2

5

=

5

5

2 ⋅ 2 5

2

2

3

=

10

25 ⋅ 26 = 2

10

211 2 ⋅ 10 2 = = 2 2

10

2

7.2. Fracciones con un binomio en el denominador Las fracciones que vamos a racionalizar serán de uno de los siguientes tipos:

d

a

a

a

b+ c

b− c

b− c

Para racionalizar fracciones con un binomio en el denominador multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplos

Definición

•

El conjugado de un binomio a + b es el binomio a – b. De esta forma, al multiplicarlos obtenemos una diferencia de cuadrados: ( a + b) ( a − b) = a − b 2

2

•

1 1−

2

=

3 2− 3

1+ (1 − =

2

2)(1 +

2)

=

1+

2

1 − ( 2)

3 ( 2 + 3) ( 2 − 3 )( 2 + 3 )

=

2

=

1+ 2 1+ 2 = = −1 − −1 1− 2

3 ( 2 + 3) = 2− 3

2

3 ( 2 + 3) = −1

= − 3( 2 + 3 ) = − 6 − 3 = −3 − 6

ACTIVIDADES 20. Racionaliza y simplifica las siguientes expresiones: a)

b)

3 3 3 1− 3

c)

d)

2 3

2 4

1+ 5

4

e)

f)

5

g)

5 5 7− 2

h)

7 243 3 2−3

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1 · Los números reales

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8. Aproximaciones. Error absoluto y relativo d

Decimos que una aproximación es de orden n cuando obtenemos un número racional con n decimales.

EJEMPLOS • Aproximar 3’23295234 hasta las diezmilésimas (orden 4).

Para expresar el orden de aproximación indicamos el nombre de la cifra hasta

Truncamiento: 3’2329

la que se quiere redondear; así, una aproximación a las décimas es de or-

Por exceso: 3’2330

den 1, a las centésimas es de orden 2, a las milésimas es de orden 3...

Redondeo: 3’2330 • Aproximar 3’23277879 hasta las milésimas (orden 3).

8.1. Métodos de aproximación • Aproximación por defecto o truncamiento: se eliminan las cifras decimales a partir del orden considerado.

Truncamiento: 3’232 Por exceso: 3’233

• Aproximación por exceso: se eliminan las cifras decimales a partir del orden considerado y se añade una unidad a la última cifra decimal. • Redondeo: se eliminan todas las cifras decimales a partir del orden indi-

Redondeo: 3’233 • Aproximar 0’45329823 hasta las millonésimas (orden 6).

cado y, si la cifra siguiente al orden considerado es mayor o igual que 5,

Truncamiento: 0’453298

se añade una unidad a la última cifra decimal que incluimos.

Por exceso: 0’453299 Redondeo: 0’453298

8.2. Error absoluto y relativo d

El error absoluto (Ea) de una aproximación Va de un número Vr es el valor absoluto de su diferencia: Ea = Vr − Va El error relativo (Er) de una aproximación Va de un número Vr es el valor del cociente del error absoluto entre Vr: Er =

V − Va Ea = r Vr Vr

RECUERDA…

!

El valor absoluto de un número es dicho número ignorando el signo.

Cotas para el error absoluto

−5 = 5

En muchas ocasiones no conocemos exactamente el número que queremos

+7 = 7

aproximar. En esos casos no podemos calcular exactamente el error. d

La cota del error absoluto indica en cuánto nos podemos equivocar como máximo al utilizar una aproximación. Cotas del error absoluto

Observación

Orden

Truncamiento

Aproximación por exceso

Redondeo

Décimas Centésimas Milésimas

0’1 0’01 0’001

0’1 0’01 0’001

0’05 0’005 0’0005

Cuanto menores sean los errores más exacta será nuestra aproximación.

ACTIVIDADES 21. Aproxima por defecto, por exceso y redondea los siguientes números reales hasta las milésimas y hasta las diezmilésimas: a) 2’34556

b)

3

c) 1’39984

d) π

22. Calcula el error absoluto y el error relativo para el ejercicio anterior. En caso de no poder calcularlo exactamente, indica la cota del error cometida.

Y

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Matemáticas

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Y

9. Notación científica Órdenes de magnitud Giga-

109

Mega-

106

Normalmente los números que manejamos son pequeños, pero en muchas ocasiones trabajamos con números muy grandes, como por ejemplo: • la distancia de la Tierra al Sol.

3

Kilo-

10

Hecto-

102

Deca-

10

En otras ocasiones la cantidad que debemos manejar es tan pequeña que su

Deci-

10–1

expresión requiere muchas cifras decimales, como por ejemplo:

Centi-

10–2

• el grosor de una hoja de papel.

Mili-

10–3

Micro-

10–6

Nano-

10–9

• el número de bacterias en un cultivo.

• la distancia del enlace molecular. Esta circunstancia hizo que se ideara una notación para simplificar las expresiones muy grandes o muy pequeñas. Observemos los siguientes números: 32 000 000 000 000 = 3’2 · 10 000 000 000 000 = 3’2 · 1013 0’00000089 = 8’9 : 10 000 000 = 8’9 · 10–7

d

Para que un número esté expresado correctamente en notación científica debe tener la siguiente forma: a’bcd… · 10n, donde n es un número entero

Observemos que tiene una sola cifra entera y que el resto de las cifras son decimales.

Uso de la calculadora Para escribir un signo negativo en el exponente primero debemos pulsar la tecla EXP y después la tecla +/– .

d

En un número expresado en notación científica el exponente al que está elevado el 10 es el orden de magnitud.

Ejemplos Escribir en notación científica los siguientes números: • 12 300 000 000 = 1’23 · 1010

• 324’5 · 107 = 3’245 · 109

• 0’000000432 = 4’32 · 10–7

• 0’034 · 10–8 = 3’4 · 10–10

• 0’018 · 105 = 1’8 · 103

• 345’6 · 10–7 = 3’456 · 10–5

ACTIVIDADES 23. Escribe en notación científica los siguientes números: a) 3 450 000 000 000

c) 32 diezmilésimas

e) 0’000000348

b) 24 millones

d) 35 milésimas

f) 23 billones

24. Los siguientes números están mal expresados en notación científica. Corrígelos: a) 32’54 · 106

c) –0’0089 · 10–3

e) 0’00543 · 109

b) 3 400 · 105

d) 3 244 · 10–7

f) 324’5 · 10–7

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1 · Los números reales

19

9.1. Suma y resta en notación científica

MATEMÁTICAS DE PROFESIÓN

Para sumar y restar números expresados en notación científica necesitamos

Las competencias matemáticas

que todos estén expresados con el mismo orden de magnitud. Ejemplos • 2’4 · 105 + 5’3 · 104 = 2’4 · 105 + 0’53 · 105 = 2’93 · 105 Hemos pasado el sumando 5’3 · 104 a orden 5 con lo que ambos sumandos son del mismo orden y podemos así sumar normalmente. • 5’78 · 10–4 – 3’25 · 10–3 = 0’578 · 10–3 – 3’25 · 10–3 = 2’672 · 10–3 En esta ocasión hemos pasado 5’78 · 10–4 de orden –4 a orden –3. Si vamos a sumar o restar números escritos en notación científica debemos escribirlos en el orden de magnitud mayor que aparezca.

9.2. Producto y división en notación científica Para multiplicar y dividir números expresados en notación científica simplemente tenemos que operar las potencias de 10 por un lado y el resto de la expresión por otro.

7 −3 7 + ( −3) = 15’96 ⋅ 10 4 = 1596 ’ ⋅ 103 • (4’56 ⋅ 10 ) ⋅ (3’5 ⋅ 10 ) = (4’56 ⋅ 3’5) ⋅ 10

Hemos escrito correctamente el resultado en notación científica. 5 ’ ⋅ 107 ) = (−4’5 : 18 ’ ) ⋅ 105− 7 = −2’5 ⋅ 10 −2 • (−4’5 ⋅ 10 ) : (18

9.3. Uso de la calculadora en notación científica Con una calculadora podemos expresar números en notación científica uti2

EXP

EXP

. Por ejemplo, para expresar 2 · 105 deberemos teclear

5 y nos aparecerá en pantalla la expresión 205 , que representa el

número que estábamos buscando. Ejemplo –8

Expresamos –5’32 · 10 en la calculadora en notación científica tecleando: 5.32

+/–

EXP

8

+/–

ACTIVIDADES 25. Realiza las siguientes operaciones en notación científica: a) 3’45 ⋅ 107 + 9’8 ⋅ 106

c) 2’53 ⋅ 10−7 : 5 ⋅ 104

b) 3’1⋅ 10−5 − (2’5 ⋅ 10−9 ) ⋅ (3 ⋅ 103 )

d) − 2’34 ⋅ 10−8 + 3’21⋅ 10−9

26. Realiza las siguientes operaciones utilizando la calculadora: a) − 3’54 ⋅ 10−6 + 4 ⋅ 107 ⋅ ( − 9’8 ⋅ 10−17 ) b) ( − 2’34 ⋅ 109 )3 : ( − 2’7 ⋅ 1038 ) c)

Una competencia es el conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes suficientes para realizar una determinada actividad de forma eficaz. Podemos clasificar en siete las competencias en Matemáticas:

Ejemplos

lizando la tecla

c

2’65 ⋅ 1042 + 3’4 ⋅ 1023 ⋅ (3’2 ⋅ 109 )2 123 ’ ⋅ 1058

• Pensar y razonar. Las Matemáticas ayudan a desarrollar el razonamiento abstracto. • Argumentar. Utilizar el razonamiento lógico para poder demostrar las consecuencias de una idea o situación. • Comunicar. Utilizar el lenguaje de forma clara y precisa, expresándose correctamente. • Modelar. Utilizar los modelos matemáticos para aproximar situaciones reales. • Plantear y resolver problemas. Utilizar las herramientas que nos proporcionan las Matemáticas para enfrentarse a distintos problemas. • Representar. Realizar representaciones matemáticas de situaciones reales e interpretar dichas representaciones. • Utilizar avances técnicos. La informática es una herramienta que debe ser utilizada para desarrollar el resto de competencias.

c

d Y

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Matemáticas

20

Y

INFORMÁTICA MATEMÁTICA Matemáticas de Microsoft El programa Matemáticas de Microsoft es una herramienta muy útil que podemos utilizar para corregir los ejercicios de la unidad. La mejor forma de conocer un programa es utilizándolo, por tanto, una vez instalado lo mejor es realizar los ejemplos que exponemos a continuación. Para insertar raíces debemos hacer clic en

o en

en la calculadora que apa-

rece a la izquierda. Introducimos en la línea de edición los siguientes datos: 3 4

La calculadora

Pulsamos

INTRO

3

en el teclado, o bien hacemos clic en el botón

del pro-

grama, y obtenemos:

Si introducimos en el programa

2 ó

2 2 no obtendremos una salida de

datos, sino que tendremos tan sólo el resultado numérico. Con esta herramienta podemos racionalizar todo tipo de expresiones, por ejemplo: 3+ 2 3− 2 Para escribir fracciones pulsamos el botón

de la calculadora.

La calculadora nos ayudará a la hora de introducir las expresiones en la línea de edición.

Hacemos clic en el botón

y obtenemos la racionalización de la expresión.

Para aprender a utilizar el programa podemos practicar corrigiendo los ejercicios de la unidad, como por ejemplo los de simplificación de expresiones, los de racionalización o los de notación científica.

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Página 21

1 · Los números reales

21

ACTIVIDADES RESUELTAS Simplifica las siguientes raíces y extrae factores cuando sea posible:

b)

10

(

a) 3

2354 ⋅ 255

5

a)

c)

27

3

)

2 2⋅42 2 2

(2 3 )

2

3 3

Racionaliza:

d)

3

b)

2 4+ 2 2− 3

3 3

2

5

2

a) 25 ⋅ 25 3 4

a)

10

=

b)

5

(

10

) = ( 3)

=

2 5

27

=

b)

=

2 2 29

3

2⋅62⋅ 42 2 2

4

=

1 23 c)

3

2 4+ 2

4 3

1 = = 12 9 = 12 12 6 2 2 2

212 26

⋅3 3⋅2 3 ⋅2 3

3 3

2

5

=

3

2

3 ⋅3 3⋅2 ⋅ 3 2 6

3

9

2

23 18 327 ⋅ 318 3929 ⋅ 18 36215

=

252 5 = = 10 27

= 9 32

12

24 2223

(2 3 )

6 8 25 5

25 5

2⋅3 2 ⋅ 42

3

=

2 2 12

2

9

2 2⋅42

3

10

10

=25 25

2 5

3

25 ⋅ 6 8

2 10

2

c)

d)

=

27

24 13

3 3

10

18

22

= 18

2 5

2

=

3+2

3

3

3

c)

3

3

4 2

3

1 1− 3

+

1

a)

3 3

3

b)

3

=

3 3

=

33

c)

4 2

d)

3 3 3

3⋅ 3 3

3

3

3 3

− 2=

1 1− 3

3

2

+

2

=

=

3

3 3

3 3 3

4 2 2 2 1

1+ 3

=

3

− 2=

3 3 = 3⋅3

6

6 5 32 ⋅ 33 3 = 2 3 32

4 2 − 2=2 2− 2= 2 2

(1+ 3 ) + (1 − 3 ) (1 − 3 )(1+ 3 )

=

2 = −1 1− 3

f)

2( 4 − 2 ) 4 2 − ( 2 )2

6− 2

( 3 + 2) ( 3 − 2)

=

1+ 2 2 (1 − 2 2 ) (1+ 2 2 )

1+ 2 2

=

1 − (2 2 )2

=

( 2 − 5) ( 2 − 5) ( 2 + 5) ( 2 − 5)

=

2 2 ( 6 + 2) ( 6 − 2) ( 6 + 2)

=

=

=

2 2 ( 6 + 2) 2 2 ( 6 + 2) = = 4 6−2

=

2 ( 6 + 2) 12 + 2 = = 2 2

=

2 3 + 2 2( 3 + 1) = = 3 +1 2 2 2

( 2 − 5) 3 2 3

=

=

2 − 10 − 10 + 5 7 − 2 10 − 7 + 2 10 = = −3 3 2−5 2 2

=

=

( 2 − 5) 3 2

1+ 2 2 1+ 2 2 1+ 2 2 − 1 − 2 2 = = = 1− 8 −7 7 1− 4 ⋅ 2

2+ 5

2

3 3 = 3 32 3

(2 − 3 )( 3 − 2)

=

2− 5

e)

Solución

=

1− 2 2

1 1+ 3

=

−7 + 4 3 =7−4 3 −1

d)

d)

(4 + 2 ) (4 − 2 )

=

254327318392936215 = 22

− 2

2( 4 − 2 )

=

2 3−4− 3 3+2 3 = 3−4

Racionaliza: b)

2+ 5

=

=

3

2

f)

2( 4 − 2 ) 2( 4 − 2 ) 4 − 2 = = 16 − 2 14 7

2− 3

=

= 18 360276 = 9 330238 = 3324 9 3322

a)

2− 5

6− 2

Solución

Solución 5

2 2

e)

1− 2 2

d)

3+2

⋅3 3⋅2 3 ⋅2 3

1

c)

=

3 ⋅ 22 + 2 = 2

2 ( 2 + 5 ) 3 22 ( 2 − 5 )( 2 + 5 ) 3 2 3 22

22 (2 + 10 ) = (2 − 5)2

3

=

3 2 22 (2 + 10 ) 2 (2 + 10 ) =− −6 6

Y

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Matemáticas

22

Y

ACTIVIDADES FINALES d EJERCICIOS Los números racionales 27. Expresa las siguientes fracciones en forma decimal: a)

1 6

c)

2 15

e)

5 7

b)

9 14

d)

15 13

f)

9 5

28. Expresa los siguientes números decimales en forma de fracción: a) 3’56

d) 2’333333...

g) 0’515151...

b) 2’9999...

e) 0’344444...

h) 0’454545...

c) 3’67999...

f) 0’324545...

i) 3’123232...

29. Encuentra tres ejemplos de fracciones cuya expresión decimal sea un número decimal periódico puro. 30. Encuentra tres ejemplos de fracciones cuya expresión decimal sea un número decimal periódico mixto. 31. Encuentra tres ejemplos de fracciones cuya expresión decimal sea un número decimal exacto.

37. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica la respuesta: a) Hay números racionales que tienen una expresión decimal infinita. b) Los números enteros son aquellos que tienen una expresión decimal exacta. c) Un número irracional se puede expresar como una fracción. d) Hay fracciones que tienen una expresión decimal infinita no periódica. e) Existen números irracionales que no son números reales. f) Existen números enteros que no son racionales.

Topología de la recta real 38. Representa gráficamente y escribe el intervalo y el conjunto de todos los números reales que verifiquen: a) Ser mayores que –3 y menores que 3. b) Ser menores que –5 y mayores que –14. c) Ser mayores o iguales que –4. d) Ser menores que 7.

32. Realiza las siguientes operaciones. Si no puedes realizarlas directamente, pasa primero los números decimales a fracción y luego efectúa las operaciones, pasando el resultado de nuevo a número decimal:   a) 3’41 + 2’378   b) 5’28 + 5’673    c) 5’23 ⋅ (− 5’3) − 4’27

e) Ser menores que 8 y mayores o iguales que –3. f) Ser mayores o iguales que –4 y menores o iguales que 5. g) Ser menores o iguales que –4. h) Ser mayores o iguales que –5 y menores que –3. 39. Representa gráficamente y escribe los intervalos que representan los siguientes conjuntos: a)

Los números reales

b)

33. Clasifica los siguientes números según sean racionales o irracionales: a)

8

c) −5’323222...

b)

49 25

d)

1 17

e)

121

f) 3 − 5 3

34. Escribe dos números racionales comprendidos entre 3’211 y 3’21101. 35. Escribe dos números irracionales comprendidos entre 1’2222... y 1’212121... 36. Representa de forma exacta en la recta real: a)

6

b)

15

c)

17

c)

{ x ∈ R : −6 ≤ x ≤ 3} { x ∈ R : −2 < x ≤ 1} { x ∈ R : −3 ≤ x < −2}

40. Representa gráficamente y escribe los intervalos que representan los siguientes conjuntos: a) b) c) d) e)

{ x ∈ R : x < −5} { x ∈ R : x ≥ −3} { x ∈ R : x ≤ 6} { x ∈ R : x > 9} { x ∈ R : 0 < x < 5}

41. Indica tres números que pertenezcan a cada uno de los intervalos del ejercicio anterior.

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Página 23

1 · Los números reales

42. Dado el intervalo (–5, 1), indica:

23

50. Expresa en una sola raíz:

a) Todos los números enteros que pertenezcan al inter-

3 ⋅ 3 34

a)

4

23 ⋅ 5

d)

3

b)

8

3 ⋅ 4 35

e)

2 2 2 2

c)

3

24 ⋅ 4 35 ⋅ 6 3

f)

valo dado. b) ¿Cuántos números racionales hay en dicho intervalo? c) ¿Cuántos números irracionales hay en dicho intervalo? d) ¿Y números reales?

33 3 3

( 3)

2

3

43. Escribe los conjuntos y los intervalos que representan los

51. Expresa como potencia de exponente racional:

siguientes gráficos: a)

(

3

22

4

b)

(

4

5⋅ 5

4

⎛ 1⎞ c) ⎜⎜ 3 7 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠

a) 3

0

7

b) –2

0

c) –8

d) 0

e) –2

)

3

)

6

e)

⎞ 25 ⎟ 7 ⎟ 2 ⎠

(

3

7

3

)

1 2

2

⎞ ⎛ 35 ⎟ f) ⎜⎜ 3 2 ⎟ ⎝3 3 ⎠

2

0

–3

3

⎛ ⎜ d) ⎜ ⎝

7

52. Opera y extrae factores:

0

44. Escribe el conjunto que representan los siguientes inter-

a)

4

310 33

e)

valos y represéntalos gráficamente: a) [–2, 4]

c) (2, 5]

e) (–7, –2)

b)

2 ⋅ 3 24 ⋅

b) [3, 6)

d) (–∞, 3]

f) [–2, +∞)

c)

a ⋅ 3 a5

d) a2 ⋅ 3

Las raíces: propiedades y operaciones 45. Ordena las siguientes raíces de mayor a menor:

f) 7 24 − 8 54 + 216

25

g)

1 a

h)

96 − 150 + 486

(x

8

x3 ⋅ 4 x

)

2

Racionalización 53. Racionaliza: 1 a) 5

2 ; 4 53 ; 4 8 ; 6 7

3

1 3 18 2 5

2

b)

c)

2

3 6

46. Encuentra dos raíces equivalentes a: a)

3

5

b)

4

54. Racionaliza: 23

c)

3

d)

25

10 a)

1 1+ 3

b)

1 2− 5

c)

1 3+ 2

47. Simplifica las siguientes raíces: 55. Racionaliza y simplifica: a)

4

64

b)

3

312

c)

30

218

d)

6

125 a)

3 2+ 5

2

c)

2+ 3

e)

3 3+ 5

48. Introduce los factores dentro de la raíz: 3

a) 5 2

b) 3 6

2 c) 5 5

443 d) 3 2

b)

2 2+ 2

d)

1 4

f)

3

2 2−5

56. Racionaliza y simplifica: 49. Extrae todos los factores que sea posible: a)

4

19

2 ⋅3

c)

7

b)

5

212 ⋅ 37

d)

4

8

3 ⋅5 ⋅8 16

25

25 ⋅ 37 511

4 4

a)

b)

6

3

3 2

c)

5

3+ 2

3

2 3 (1 + 2 )

d)

1 3

2 ( 2 + 1)

e)

2 3

f)

−

3 2

10 2+ 5

Y

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Matemáticas

24

Y

ACTIVIDADES FINALES Aproximaciones. Error absoluto y relativo 57. Redondea, trunca y aproxima por exceso a las centésimas los siguientes números:

63. Los siguientes números no están expresados correctamente en notación científica, corrígelos: a) 34’5 · 104

d) 2 340 · 107

a) 3’465343243

d) 2’89635433

b) 234’4 · 10–6

e) 0’0004353 · 10–21

b) 0’05564543

e) 3’18490986

c) 0’0004387 · 1023

f) 2 300 · 10–12

c)

f) 3’565656...

7

58. Redondea, trunca y aproxima por exceso a las diezmilésimas los números del ejercicio anterior. 59. Calcula el error absoluto y el error relativo para las aproximaciones del ejercicio anterior. 60. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno:

Truncamiento

Redondeo

a) 9 · 108 · 3’7 · 1012

c) 3’5 · 10–35 · 2’1 · 1030

b) 7’3 · 10–31 · 8’9 · 1038

d) 9’23 · 10–12 · 5’1 · 10–7

65. Realiza las siguientes operaciones sin hacer uso de la calculadora: a) 2’34 · 107 – 3’2 · 108

Cota del error absoluto Orden

64. Realiza las siguientes operaciones sin hacer uso de la calculadora:

Aprox. por exceso

66. Realiza las siguientes operaciones sin hacer uso de la calculadora: a) 1’35 · 10–3 – 1’2 · 10–4

Milésimas

b) 1’98 · 10–5 + 1’32 · 10–6

b) 2 · 1012 + 3’89 · 1011

Diezmilésimas 67. Realiza las siguientes divisiones sin hacer uso de la calculadora:

Cienmilésimas Millonésimas Diezmillonésimas

Notación científica 61. Expresa con todas las cifras los siguientes números: a) 2 · 104

c) 2 · 106

e) 3 · 10–8

b) –2’34 · 105

d) 3’2 · 10–3

f) 4 · 10–6

62. Expresa en notación científica los siguientes números: a) 32 000 000

d) 45 600 000 000

b) 0’000000345

e) 0’0000567

c) –0’000000004529

f) –897 600 000 000 000

d PROBLEMAS 70. La masa del Sol es, aproximadamente, 330 000 veces la masa de la Tierra. Si la masa de la Tierra es 6 · 1024 kg, calcula la masa del Sol. 71. La Tierra tiene una masa aproximada de 6 · 1024 kg. Sabiendo que la densidad media es 5’5 · 103 kg/m3, calcula el volumen de la Tierra. Nota: densidad =

masa volumen

a) 6 · 1010 : 3 · 1015

c) –2’5 · 103 : 5 · 10–4

b) –1’44 · 10–8 : 3’6 · 103

d) 2’7 · 10–7 : 3 · 10–9

68. Comprueba con la calculadora los resultados obtenidos en los tres ejercicios anteriores. 69. Realiza las siguientes operaciones haciendo uso de la calculadora: a) 2’1 · 107 – 2’4 · 10–10 · (–1’5 · 1017) 3

b) (1’3 ·1017) + 1’8 · 1050 c)

− 1’3 ⋅ 102 + 3 ⋅ 10−5 ⋅ 2 ⋅ 109 2 ⋅ 1015

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1 · Los números reales

72. Si la distancia de la Tierra al Sol es, aproximadamente, 1’4 · 108 km y la distancia de la Tierra a la Luna es 4 · 105 km, calcula la distancia de la Luna al Sol en el momento que muestra la figura.

25

76. La velocidad del sonido en el agua es 1’6 · 103 m/s. Si un submarinista tarda 0’2 s en detectar un sonido que se produce en la superficie, ¿a qué profundidad se encuentra el submarinista?

Luna 90° Tierra Sol

73. La masa de un electrón es 9 · 10–31 kg. Las masas de un protón y de un neutrón son aproximadamente 1’67 · 10–27 kg. Determina la masa de un átomo de azufre sabiendo que tiene 16 electrones, 16 protones y 16 neutrones. 74. La velocidad de la luz es 3 · 108 m/s. Calcula el tiempo que tardará en recorrer 15 km. Nota: hay que pasar los kilómetros a metros. 75. La masa del electrón es 9 · 10–31 kg. Si en un tubo de aceleración alcanza una velocidad de 2 · 108 m/s, ¿qué energía cinética tendrá el electrón dentro de dicho tubo? 1 Nota: la fórmula de la energía cinética es Ec = mv 2. 2

AUTOEVALUACIÓN 1. Pasa a fracción los siguientes números decimales:  a) 0’0087 b) 3’2325

7. Expresa correctamente en notación científica: a) 0’035 · 1012

c) –38’2 · 10–3

b) 0’000000345

d) 354 200 000 000 000 000

2. Encuentra dos números entre 1’2301 y 1’230101. 8. Completa la siguiente tabla: 3. Indica el intervalo, representa gráficamente y expresa con desigualdades los conjuntos siguientes: a) Los números reales menores o iguales que –3. b) Los números reales mayores que –2 y menores o iguales que –1. c) Los números reales mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 5. 1 3

4. Expresa como raíz única

2 ⋅ 5 53 ⋅ 53 5⋅ 6 5

5. Expresa en forma de potencia

3 4

3

.

a)

2−5

b)

6−2 2+ 6

Milésimas

Millonésimas

Número

3’4195

1’32855435

Aproximación por exceso Truncamiento Redondeo Cota error redondeo Cota error truncamiento

22 . 3

9. Calcula sin utilizar la calculadora: 2’7 ⋅ 1017 b) a) 3’5 · 1012 + 8’5 · 1013 3 ⋅ 1018

6. Racionaliza y simplifica: 23

Orden

10. Calcula utilizando la calculadora: c)

5 3

5

d)

2− 6 2+ 6

3’2 ⋅ 105 + 2 ⋅ 104 ⋅ 2’3 ⋅ 102 3’8 ⋅ 10−7

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Matemáticas

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MATEMÁTICAS RECREATIVAS El hotel de Hilbert El matemático Hilbert poseía un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas numeradas. Un buen día hubo una convención de números naturales y se alojaron en su hotel, con lo que este estaba ocupado completamente. Al rato de alojar a los números naturales, vinieron los números enteros negativos para la convención y Hilbert, que para estas cosas siempre había tenido buenas ideas, pidió a los números naturales que se pasaran a las habitaciones pares, de manera que las impares quedaran vacías. Hecho este cambio alojó a los números negativos en las habitaciones impares y así volvió a llenar el hotel y todos los números quedaron alojados.

¿Hay más números? El conjunto de los números naturales (N) resuelve los pro-

Este nuevo conjunto contiene al conjunto de los números

blemas de ordenar, contar, sumar, multiplicar… Pero hay

enteros, ya que consideramos que

problemas que no podemos solucionar utilizando este

p=

conjunto numérico, por ejemplo: x+5=2 Tenemos entonces la necesidad de ampliar el concepto de

p donde p ∈  1

Con este conjunto parece que tenemos resuelto el problema, sin embargo si consideramos la ecuación

número y obtenemos así los números enteros (Z). En este

x2 = 2

conjunto identificamos los números naturales como los

no hallamos solución dentro del conjunto de los números

números enteros positivos y el cero.

racionales y, por tanto, se hace necesaria una nueva am-

Siguiendo esta línea de razonamiento nos encontramos

pliación del conjunto numérico. Esta nueva ampliación será

con que este nuevo conjunto numérico es insuficiente, ya

el conjunto de los números reales (R).

que no podemos resolver ecuaciones como:

Una vez ampliado el concepto a este conjunto nos que-

3·x=5 No podemos encontrar un número entero que resuelva esta ecuación, por lo que se hace necesaria una nueva

darán otras preguntas: ¿qué pasa con la ecuación x2 = –1?, ¿tendremos la necesidad de realizar más ampliaciones del concepto de número?

ampliación del concepto de número. De esta nueva ampliación surge el conjunto de los números racionales (Q).

OLIMPIADA MATEMÁTICA El número 12 tiene seis divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Cuatro de ellos son pares y dos son impares. Halla algunos números cuyos divisores sean todos pares excepto el 1. Describe la secuencia de números que tienen esta propiedad. Halla algunos números que tengan exactamente la mitad de sus factores pares y describe nuevamente la secuencia de números que tienen esa propiedad. Si puedes, explica en ambos casos por qué es cierto el resultado de tus conclusiones.

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1 · Los números reales

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EN RESUMEN

NÚMEROS REALES

Números decimales exactos o periódicos

Números decimales no periódicos

Números racionales

Aproximación

Números irracionales

Números enteros

Notación científica

Raíces

Propiedades Números naturales

n

am = a

n

a⋅b =

n m

a =

( a) n

m

n

n⋅m

=

Racionalización

m n

n

a⋅nb a am

AMPLÍA CON… DESARROLLO MATEMÁTICO DE LOS NÚMEROS REALES DE NIVEL ALTO DESARROLLO DE LA UNIDAD DIVIDIDO EN APARTADOS, CON EJERCICIOS Y PROBLEMAS CONTENIDOS SOBRE NÚMEROS IRRACIONALES CON UN NIVEL DE 4º DE ESO Y