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1 · Los números y la Tierra

SUMARIO 1. Números naturales 2. Jerarquía de operaciones 3. Potencias 4. Los números enteros 5. Operaciones con números enteros 6. Los números decimales 7. Operaciones con números decimales 8. Cálculo aproximado y redondeo 9. Características de la Tierra 10. Los movimientos de la Tierra 11. La Geosfera 12. Minerales y rocas 13. Tipos de rocas

CIENCIA RECREATIVA • La Aritmética • Los números negativos • Peano y los naturales • El problema del cangrejo • Colecciona minerales

INVESTIGACIÓN DIGITAL • Eratóstenes y Cavendish

AL FINALIZAR ESTA UNIDAD... • Diferenciarás los números enteros, naturales y decimales. • Operarás con números enteros, naturales y decimales. • Conocerás la estructura de la Tierra y sus movimientos. • Distinguirás entre rocas y minerales.

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Esta montaña tiene caminos escarpados donde jamás las voces llegarían; que no la habita nadie, y ni las alimañas cruzan sobre este polvo y estas rocas con ruinoso verdín. (...) JENARO TALENS: Faro sacratif Y

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ciencias de la naturaleza

1. Números naturales

D

Números Romanos

Además del sistema decimal, el sistema de numeración para expresar números naturales que nos resulta más conocido son los números romanos. Este sistema utiliza letras para representar números cuya equivalencia con el sistema decimal es la siguiente: I=1

V=5

El conjunto de los números naturales se representa por la letra ⺞ y se corresponde con el siguiente conjunto de números: ⺞ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …, 20, …, 1.000, …} Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar números naturales, no es propiamente un número natural.

1.1. Operaciones con números naturales. Propiedades

X = 10

Suma L = 50

C = 100

D = 500

M = 1.000

Si tengo un cesto con 14 manzanas y otro cesto con 23 manzanas, al sumar los dos cestos tendré en total 37 manzanas. 14 + 23 = 37

Las reglas prácticas para usar los números romanos son las siguientes: • Los valores de las letras I, X y C se suman. • Las letras I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces seguidas. • Las letras V, L y D sólo se pueden poner una vez. • Si una letra está a la derecha de otra de mayor valor se suman sus valores. • Si una letra está a la izquierda de otra de mayor valor se restan sus valores. • Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras multiplicar su valor por mil.

Se utiliza la suma de números naturales cuando queremos añadir dos o más cantidades. d

Propiedad conmutativa de la suma Si cambio el orden de los sumandos la suma no varía.

a+b=b+a Resta Si en el cesto en que tenía 23 manzanas hay 12 con gusano, ¿cuántas manzanas sanas me quedan? 23 – 12 = 11 manzanas sanas Se utiliza la resta de números naturales cuando a una cantidad le queremos sustraer otra cantidad. Operaciones con sumas y restas Si en la misma operación tenemos sumas y restas, las operaciones se hacen de izquierda a derecha. Ejemplo •4+5–3+2–4=9–3+2–4=6+2–4=8–4=4 •7–2+3–2–5+8=5+3–2–5+8=8–2–5+8= =6–5+8=1+8=9 •6–3+4–3–4=3+4–3–4=7–3–4=4–4=0 • 7 + 8 – 6 – 3 + 2 = 15 – 6 – 3 + 2 = 9 – 3 + 2 = 6 + 2 = 8

Y

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Multiplicación En una caja caben 15 libros. Si tengo 5 cajas, ¿cuántos libros tengo? Tenemos dos alternativas:

D

Recuerda…

El sistema de numeración decimal utiliza 10 cifras: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• Sumar el contenido de cada caja: 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75 libros • Utilizar la multiplicación. La suma anterior es equivalente a multiplicar los libros que caben en cada caja por el número total de cajas: 15 · 5 = 75 d

Propiedad conmutativa de la multiplicación Si cambio el orden de los factores el resultado no varía.

a·b=b·a División Queremos empaquetar 30 libros en cajas de 6 libros cada una.

D

Ejemplos de números romanos

• • • •

III = 1 + 1 + 1 = 3 VI = 5 + 1 = 6 MV = 1.000 + 5 = 1.005 DCXII = 50 + 100 + 10 + 2 = = 612 • CMLII = 1.000 – 100 + 50 + + 2 = 952 • MCMLIV = 1.000 + 1.000 – – 100 + 50 + 5 – 1 = 1.954 • XIII = 13.000

En este caso, utilizaremos la división para repartir los 30 libros en varias cajas iguales, para obtener el número de cajas que necesitamos. 30 6 0 5

30 : 6 = 5 cajas

En nuestro ejemplo no sobra ningún libro, por tanto, tenemos lo que llamamos división exacta. También podría ocurrir que en vez de tener 30 libros tuviéramos 32. Tendríamos que utilizar también 5 cajas, pero sobrarían 2 libros (resto). En este caso hablaríamos de división entera. d

Propiedad fundamental de la división entera En una división entera se cumple la siguiente igualdad: Dividendo = divisor · cociente + resto, con resto < divisor

A CTIVIDADES Resueltas Aplica la propiedad fundamental de la división entera a la división 135 : 23. Solución 135 23 20 5 D = 135 d = 23 c=5 r = 20 D = d · c + r → 135 = 23 · 5 + 20

A CTIVIDADES Resueltas Aplica la propiedad fundamental de la división entera en la división 7.425 : 15 7425 15 142 495 075 00 7.425 = 15 · 495 + 0 Y

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ciencias de la naturaleza

A C T I V I D A D E S 1. Realiza las siguientes sumas: a) 5 + 4 + 1 + 11

c) 6 + 3 + 4 + 1

e) 7 + 2 + 3 + 1 + 2

b) 8 + 5 + 6 + 1 + 2 + 9

d) 7 + 2 + 11 + 23

f) 10 + 1 + 100 + 31

a) 7 – 2

c) 89 – 23

e) 8 – 2

b) 34 – 23

d) 54 – 12

f) 21 – 8

a) 4 + 3 – 5

c) 9 – 2 + 4 – 5

e) 3 – 1 + 2 + 4 – 3

b) 6 – 1 – 2 + 4

d) 7 + 3 – 1 – 2

f) 2 + 3 – 2 + 8 – 7

a) 9 · 72

c) 35 · 12

e) 12 · 3

b) 15 · 6

d) 15 · 24

f) 23 · 14

2. Realiza las siguientes restas:

3. Realiza las siguientes operaciones:

4. Realiza las siguientes operaciones:

5. Calcula las siguientes divisiones y aplica la propiedad fundamental de la división entera. a) 50 : 10

c) 35 : 7

e) 36 : 12

b) 78 : 13

d) 615 : 15

f) 48 : 6

6. En cada caja de huevos caben 7 docenas. ¿Cuántos huevos llevo en 3 cajas? 7. Aplica la propiedad fundamental de la división entera a las siguientes divisiones: a) 45 : 13

c) 63 : 17

e) 134 : 54

b) 54 : 21

d) 73 : 12

f) 98 : 26

8. Calcula los valores que faltan: D 80 325

d 20 60

c 4 12 21

r 45 10

9. Opera y aplica la propiedad fundamental de la división entera. a) 45 : 13

c) 63 : 17

e) 134 : 54

b) 54 : 21

d) 73 : 12

f) 98 : 26

10. Si reparto 150 alumnos en clases de 30 alumnos, ¿cuántas clases necesito? 11. Si en el ejercicio anterior fueran 175 alumnos, ¿cuántos alumnos sobrarían?

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A C T I V I D A D E S 12. ¿Cómo continúa la serie? a) 1, 3, 6, 10, 15, 21…

c) 1, 2, 4, 8, 16, 32…

b) 30, 27, 24, 21, 18, 15…

d) 1, 2, 6, 24, 110, 660…

13. Calcula el valor de las letras en cada operación: a) 5 + a + 3 = 15

c) 6 · c = 30

b) b + 7 – 3 = 10

d) 36 : d = 12

14. Juan, Luis y Laura salen con 20, 30 y 10 † respectivamente. Juan gasta la mitad, Luis 13 † y Laura se encuentra un billete de 20 †. ¿Cuánto dinero tienen entre los tres cuando llegan a casa? 15. Luis gastó 13 † en un libro y 20 † en un CD de música. Si tenía 50 †, ¿cuánto le queda? 16. Andrea tiene el instituto a 450 m de su casa. Si sale a las 8:15 de su casa y tarda 5 min por cada 50 m, ¿a qué hora llegará a clase? 17. Para ir de Madrid a Cádiz tengo que recorrer 720 km. ¿Cuánto tardaré a una velocidad media de 120 km/h? 18. Las edades de Luis, Pedro y María suman 40 años. Si Luis tiene 16 años, ¿qué edad tienen Pedro y María si son mellizos? 19. ¿Cuál es el valor de la siguiente cesta de la compra? • 3 kg de kiwis a 3 †/kg

• 2 kg de merluza a 35 †/kg

• 2 kg de aguacates a 5 †/kg

• 4 kg de patatas a 2 † cada 2kg

• 1 kg de naranjas a 2 †/kg Si se paga a partes iguales entre cinco personas, ¿cuánto paga cada uno? 20. El producto de dos números es 90. Si uno es 15, ¿cuál es el otro? 21. Sandra dedica a estudiar, de lunes a viernes, 2 h al día. Si cada mes tiene cuatro semanas, ¿cuántas horas dedica al estudio en un mes? 22. ¿Qué altura tiene cada una de las 20 plantas de un edificio que mide 120 m de altura? 23. Luisa y Juana llevan cada una 2 paquetes de 5 botellas de 2 l de agua. ¿Cuánta agua llevan en total? 24. En la liga de baloncesto hay 18 equipos con 8 jugadores por equipo que miden, aproximadamente, 2 m cada uno. Colocados uno encima de otro, ¿llegaríamos al tejado de un edificio de 250 m de altura? Si cada jugador paga 9 euros por participar en la liga de baloncesto ¿cuánto dinero sacan los organizadores del campeonato en total? Si son 3 organizadores, ¿cuánto gana cada uno? Y

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2. Jerarquía de operaciones Marta y Daniel tienen 36 y 60 huevos respectivamente. ¿Cuántas docenas tienen entre los dos? Para resolver este problema tenemos dos alternativas: • Saber cuántas docenas tiene cada uno y sumarlas: Marta → 36 : 12 = 3

Daniel → 60 : 12 = 5

Total → 8 docenas

Como vimos en el apartado anterior, en una única operación sería: 36 : 12 + 60 : 12 = 3 + 5 = 8 docenas • Saber cuántos huevos tienen entre los dos y luego dividir para calcular el número de docenas: Total de huevos → 36 + 60 = 96

Total de docenas → 96 : 12 = 8

Con una sola operación se escribiría de la siguiente forma: (36 + 60) : 12 Y se resolvería de la siguiente manera: (36 + 60) : 12 = 96 : 12 = 8 docenas Podemos observar que con la segunda alternativa, utilizando paréntesis, se realizan menos operaciones.

A CTIVIDADES Resueltas Opera: a) 5 · (6 – 3 + 4) – 9 : (6 – 3) b) 9 · (5 – 3 – 1) · (12 – 5) c) [12 · 8 – (7 + 5) · 6] – (9 – 5) : :4+3 d) 6 · (5 – 2 · 2) + 4 (12 : 3 – 3 + + 2 · 7 · 2) Solución a) 5 · (6 – 3 + 4) – 9 : (6 – 3) = = 5 · (3 + 4) – 9 : 3 = 5 · 7 – – 3 = 35 – 3 = 32 b) 9 · (5 – 3 – 1) · (12 – 5) = 9 · · (2 – 1) · 7 = 9 · 1 · 7 = 9 · 7 = = 63 c) [12 · 8 – (7 + 5) · 6] – (9 – 5) : : 4 + 3 = [96 – 12 · 6] – 4 : 4 + + 3 = [96 – 72] – 1 + 3 = 24 – – 1 + 3 = 23 + 3 = 26 d) 6 · (5 – 2 · 2) + 4 · (12 : 3 – 3 + + 2 · 7 · 2) = 6 · (5 – 4) + 4 · · (4 – 3 + 14 · 2) = 6 · (1) + 4 · · (4 – 3 + 28) = 6 + 4 · (1 + 28) = 6 + 4 · (29) = 6 + 116 = 122

d

La regla general de la jerarquía de operaciones es la siguiente: 1. Lo primero que debemos resolver son los corchetes y paréntesis, realizando las operaciones de su interior. 2. Se realizan los productos y las divisiones. 3. Si hay varios productos y divisiones encadenados, éstos se operan en orden de izquierda a derecha. 4. Se realizan las sumas y las restas. 5. Si existen varias sumas o restas encadenadas, éstas se operan en orden de izquierda a derecha.

Ejemplos • 6 · 4 – 8 : 2 : 2 + 3 · 2 · 5 = 24 – 4 : 2 + 6 · 5 = 24 – 2 + 30 = = 22 + 30 = 52 • 72 : (2 + 8 : 2) + 8 · 2 = 72 : (2 + 4) + 16 = 72 : 6 + 16 = = 12 + 16 = 28

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A C T I V I D A D E S 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) (7 + 4 + 5) : 4 – 2 · (7 – 5)

b) 3 · (5 – 2 · 2) + 2 · (7 – 2)

2. Opera: a) (6 – 4) · 5 + 6 · (7 – 5) b) (10 – 5 – 4) · 7 – (8 – 4) : 2 c) (6 + 5 – 3) · 8 · (4 – 2) – (5 – 3) d) 5 + (16 – 8) · (10 – 2) – (14 – 6 – 3) 3. Opera: a) [5 – (8 – 3) + (5 + 3) · 6] – (8 – 3) · 5 b) 6 · [6 – (4 – 3) + (6 + 3) : 3 – 36 : 12] · 5 – 2 · 4 c) 7 + (9 – 5) · [(8 – 3) : 5 – (4 – 3) · (6 – 5)] d) 9 – (8 – 5) + [6 + (9 – 3) : 2 – (9 – 4) : 5] 4. Completa el cuadro siguiente: a 56 72

b 7 9

a+b

12

a-b 41

a·b

20 2

525

a:b

5. Calcula el valor que falta en las siguientes operaciones: a) 2.504 : b)

· 32 = 2.560

c) 525 + d) 2 · e)

= 313

– 279 = 611 + 215 = 465

: 5 + 410 = 425

f) 1.234 –

: 3 = 534

6. Luis tiene 60 manzanas y las mete en bolsas de 5 manzanas cada una. María tiene 36 peras y las guarda en bolsas de 6 peras cada una. ¿Cuántas bolsas tienen entre los dos? Resuélvelo como una única operación combinada. 7. Tengo que recorrer los 420 km que hay de Madrid a Alicante. Si ya he conducido 2 h a 120 km/h, ¿cuántos kilómetros me quedan por recorrer? Si el resto del camino lo realizo a 90 km/h, ¿cuánto tiempo me queda para llegar? 8. Un constructor compra 5 parcelas de 250 m2 cada una, a 130 †/m2. Dos meses después vende 3 de ellas a 150 †/m2. Por último, medio año después, tras una caída de precios, vende las restantes a 100 †/m2. Calcula las ganancias o pérdidas obtenidas con el negocio. Y

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3. Potencias

D

Observación

Algunas potencias debemos conocer:

que

冦 冦

n veces

Igual que un producto es una forma matemática más corta de representar un mismo elemento sumado varias veces, una potencia es una manera más corta de representar un número multiplicado varias veces. Por ejemplo:

• 1n = 1 · 1 · … · 1 = 1

4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 45

n veces

• 0n = 0 · 0 · … · 0 = 0 1

•a =a • a0 = 1

Si tomamos cualquier número y lo representamos por la letra a, sería: a · a · a · a · a = a5 De una manera más general: a · a · a · … · a = an Elementos de una potencia d

−

<

Dada una potencia an: • La base es el factor que se está multiplicando (a). • El exponente es el número de veces que se multiplica el factor (n).

− ∇

Ejemplos • 2 · 2 = 22 → Se lee 2 elevado a 2 o 2 al cuadrado → Su valor es 4. • 4 · 4 · 4 = 43 → Se lee 4 elevado a 3 o 4 al cubo → Su valor es 64. • 6 · 6 · 6 · 6 = 64 → Se lee 6 elevado a 4 o 6 a la cuarta → Su valor es 1.296.

3.1. Producto de potencias Producto de potencias de distinta base y mismo exponente

D

d

Potencias de números negativos

Para multiplicar dos potencias de distinta base y el mismo exponente se multiplican las bases y se deja el exponente. an · bn = (a · b)n

Si la base es negativa: • El resultado es positivo si el exponente es par: (–4)2 = (–4) (–4) = 16 • El resultado es negativo si el exponente es impar: (–4)3 = (–4) (–4) (–4) = –64

Producto de potencias de la misma base d

El resultado de multiplicar potencias de la misma base es otra potencia de igual base y de exponente la suma de los exponentes. an · am = an + m

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3.2. Cociente de potencias

D

Cociente de potencias de distinta base y mismo exponente d

Para dividir dos potencias de distinta base y el mismo exponente se dividen las bases y se deja el exponente.

• • • • • • • • • •

an : bn = (a : b)n Cociente de potencias de la misma base d

El resultado de dividir potencias de la misma base es otra potencia de igual base y de exponente la diferencia de los exponentes.

Ejemplos 3

4 · 23 = (4 · 2)3 = 83 53 · 63 = (5 · 6)3 = 303 63 · 62 = 63+2 = 65 27 · 23 = 27+3 = 210 96 : 36 = (9 : 3)6 = 36 84 : 44 = (8 : 4)4 = 24 37 : 32 = 37–2 = 35 83 : 82 = 83–2 = 81 (65)2 = 65·2 = 610 (53)4 = 53·4 = 512

an : am = an – m Potencia de una potencia d

El resultado de operar una potencia de potencia es otra potencia de igual base y exponente el producto de los exponentes. m

(a ) n

= an · m

A C T I V I D A D E S 1. ¿Cómo se leen las siguientes potencias? a) 52

b) 63

c) 94

d) 33

e) 71

d) 83

e) 71

2. Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 22

b) 33

c) 24

3. Escribe en forma de potencia: a) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

c) 6 · 6 · 6

e) 1 · 1 · 1 · 1

b) 4 · 4

d) 7 · 7 · 7 · 7

f) 9 · 9

4. Calcula el resultado de las siguientes potencias: a) (–5)2

b) (–6)3

c) (–9)4

d) (–3)3

f) (52)6

g) (44)4

h) (83)3

i) (123)0

a) 33 · 34

b) 74 · 7

c) 23 · 43

d) 32 · 52

e) 42 : 4

f) 77 · 74

g) 124 · 34

h) 15 · 12

b) 22 · 22 · 22

c) (54 : 52)3

d) (62 · 6)3

e) (–7)1

5. Opera:

6. Calcula el resultado: a) 32 · 32

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4. Los números enteros 6

¿En qué planta acabará Andrea si coge el ascensor en la planta 3ª, sube 2 plantas y baja 7?

5 4

Evidentemente, Andrea terminará dos pisos por debajo de la planta que está a pie de calle. No existe ningún número natural que represente el piso donde acabará Andrea.

3 2 1 0

Un número por debajo del cero es un número negativo. En nuestro ejemplo, 2 por debajo del cero es –2.

-1 -2 -3

d

El conjunto de los números enteros (⺪) está compuesto por los números negativos y los números naturales. ⺪ = {... –100..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5..., +100...}

4.1. Representación de los números enteros en la recta

D

En la recta el cero marca el origen. A la izquierda del cero aparecerán los números enteros negativos y a la derecha del cero los números enteros positivos, es decir, los números naturales.

Recuerda…

< símbolo de menor que; 6 símbolo de mayor que, –5 > –7

Números enteros

Un número es mayor que otro cuanto más a la derecha esté situado en la recta numérica.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

Números enteros negativos

3

4

5

6

Números naturales

4.2. Opuesto de un número entero

-5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

3

4 5

Todo número entero tiene su opuesto, que se corresponde con el simétrico respecto del 0. Por ejemplo, el opuesto de –3 es 3 y el opuesto de 5 es –5.

4.3. Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el mismo número sin el signo. Por tanto, el valor absoluto de un número es siempre positivo: • El valor absoluto de un número positivo es él mismo. • El valor absoluto de un número negativo es su opuesto. Ejemplos • |+5| = 5

• |–3| = 3

• |18| = 18

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A C T I V I D A D E S 1. Representa los siguientes números en la recta numérica: a) 5

b) 6

c) –3

d) –5

e) 0

f) –1

g) 2

h) 8

g) 1

h) 7

2. Calcula el opuesto de los números siguientes y represéntalos en una recta: a) 2

b) –1

c) 3

d) –4

e) –3

f) 0

3. Calcula el valor absoluto de 3, –10, –3, –115, 0, 142, 44 y 28. 4. Pon signo positivo o negativo a las siguientes afirmaciones: a) 20 grados bajo cero.

d) Hace un calor de 40 °C a la sombra.

b) Quinta planta.

e) Tengo 5 † y debo pagar 7 †.

c) Debo 12 †.

f) Bajo a la planta 2 de los garajes.

5. Indica el valor de cada letra del siguiente gráfico: A

B 0

C

D

6. ¿Qué números tienen por valor absoluto 5? 7. Ordena de menor a mayor los siguientes números: –1

2

5

0

|–2|

|2|

|–3|

8. Calcula los valores de las letras: a) a + |a| = 10

c) c – |–4| = 0

b) –5 + |b| = 0

d) |d| – d = 0 (d es natural)

9. Ordena de menor a mayor los siguientes números: –10

2

–7

0

|–6|

|–7|

|–3|

10. Representa en la recta el opuesto de cada letra: A B

0 C

D

11. ¿Cuántas unidades hay entre un número y su opuesto? 12. En las siguientes parejas de números indica cuál es mayor y menor, emplea el símbolo adecuado: a) –7, 3

b) –8, –10

c) –1, 2

d) 3, 5

13. Representa en una recta los siguientes números enteros: 1

3

8

–3

–8

0

–2

14. ¿Cuántas unidades hay entre –4 y su valor absoluto? 15. Un número y su opuesto están separados por 8 unidades. ¿Cuáles son estos números? Y

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ciencias de la naturaleza

5. Operaciones con números enteros 5.1. Suma y resta de números enteros

D

Recuerda…

Regla de los signos con paréntesis: +(+a) = +a –(+a) = –a +(–a) = –a –(–a) = +a Es muy fácil de recordar: • Si tenemos un signo «+» delante del paréntesis, dejamos lo que hay dentro como está. • Si tenemos un signo «–» delante del paréntesis, cambiamos de signo lo que hay dentro.

Las reglas básicas para sumar y restar números enteros son las siguientes: 1. Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los números y se deja el signo que tienen. (+a) + (+b) = +(a + b)

(–a) + (–b) = –(a + b)

2. Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los números y se deja el signo del que tenga mayor valor absoluto. (+a) + (–b) = +(a – b) si |a| > |b| (+a) + (–b) = –(b – a) si |b| > |a| 3. La resta de dos números enteros es la suma del primero más el opuesto del segundo. (+a) – (+b) = (+a) + (–b)

(+a) – (–b) = (+a) + (+b)

Ejemplos • (+3) + (+5) = 3 + 5 = 8 • (+4) + (–3) = 4 – 3 = 1 • (–5) – (+ 4) = –5 – 4 = –9 • (+16) – (+12) – (–12) – (+32) = 16 – 12 + 12 – 32 = = (16 + 12) – (12 + 32) = 28 – 44 = –16 • 12 + 13 – 8 + 5 +17 = (12 + 13 + 5 + 17) – 8 = 47 – 8 = 39 • –13 – 15 + 14 – 8 = 14 – (13 + 15 + 8) = 14 – 36 = – 22

5.2. Producto de números enteros

D

Regla de los signos para la multiplicación +·+=+

+·–=–

–·+=–

–·–=+

d

Para multiplicar números enteros tenemos que: 1. Multiplicar los valores absolutos de los números. 2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos.

Ejemplos • (+2) · (+4) = +8

• (+8) · (–3) = –24

• (–5) · (–4) = +20

• (+2) · (–3) · (–4) = (+ · – · –) (2 · 3 · 4) = +24 • (–3) · (–5) · (–3) = –45

• (–7) · (+2) · (–3) = +42

Y

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matemáticas

5.3. División de números enteros d

Para dividir números enteros tenemos que: 1. Dividir los valores absolutos de los números.

D

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Regla de los signos para la división

2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos. Ejemplos

+·+=+

+·–=–

–·+=–

–·–=+

• (+4) : (+2) = +2

A CTIVIDADES Resueltas

• (+8) : (–4) = –2

• (–30) : (–5) : (–3) = –2

• (–55) : (–5) = +11 • (+20) : (–2) : (–5) = (+ : – : –) (20 : 2 : 5) = +2

• (–70) : (+2) : (–7) = +5

5.4. Operaciones combinadas Tenemos operaciones combinadas cuando en una misma operación hay sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y, a veces, paréntesis y corchetes. Para resolver estas operaciones aplicaremos las siguientes reglas: d

El orden que hay que seguir para calcular operaciones combinadas es el siguiente: 1. Lo primero que hay que resolver son las operaciones que aparecen dentro de los paréntesis y corchetes. Para calcular las operaciones que hay en su interior se aplican las reglas generales (2–5). 2. Se realizan los productos y las divisiones. 3. Si hay varios productos y divisiones encadenados se operan siguiendo el orden de izquierda a derecha. 4. Se realizan las sumas y las restas. 5. Si existen varias sumas o restas encadenadas se operan siguiendo el orden de izquierda a derecha.

Ejemplos • (–2) + (–5) – (+3) · (–4) – (+12) : (–6) = = (–2) + (–5) – (+ · –) (3 · 4) – (+ : –) (12 : 6) = = (–2) + (–5) – (–12) – (–2) =

冦

–2 – 5 = –7 +12 + 2 = +14

冦

= –2 – 5 + 12 + 2 =

= –7 + 14 = +7

• (–3) · (–5) + [(+3) – (+15) : (–3)] = (–3) · (–5) + [(+3) – (–5)] = = (–3) · (–5) + [+3 + 5] = (–3) · (–5) + (+8) = +15 + 8 = +23 Y

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A C T I V I D A D E S 1. Opera: a) (+4) + (+3)

c) (–5) + (+1)

e) (–8) + (–2)

b) (+3) + (–5)

d) (+1) + (+9)

f) (–6) + (–4)

2. Resuelve las siguientes restas de números enteros: a) (+5) – (+1)

c) (–7) – (–9)

e) (–21) – (+23)

b) (+6) – (+3)

d) (+1) – (+11)

f) (–5) – (–4)

3. Realiza las siguientes operaciones de sumas y restas: a) 11 + 3 – 18 + 3 +7

c) –3 – 1 + 5 – 18

e) 15 + 1 + 17 – 2 – 4

b) –3 – 15 + 15 + 16

d) 3 + 8 + 5 – 4 + 9

f) 35 + 21 – 6 + 27 + 4

4. Resuelve las operaciones con paréntesis: a) –(3 – 5 + 15) + (6 – 5 + 13)

c) +4 – 8 + (5 + 6 + 7) – (10 – 4)

b) (2 + 3 – 4) – (5 +7) – (3 – 5 + 2)

d) (–4 + 2 + 5) – (16 – 3 + 15)

5. Opera los siguientes productos de números enteros: a) (+1) · (+5)

c) (–16) · (–2)

e) (–2) · (+2)

b) (+18) · (+3)

d) (+6) · (+2)

f) (–5) · (–14)

6. Opera las siguientes divisiones de números enteros: a) (+10) : (+5)

c) (–16) : (–2)

e) (–2) : (+2)

b) (+18) : (+3)

d) (+6) : (+2)

f) (–50) : (–10)

7. Realiza las siguientes operaciones: a) (+2) · (–3) · (+5)

c) (+27) : (–3) : (+3)

b) (–4) · (+3) · (–14)

d) (–40) : (+8) : (–5)

8. Resuelve las siguientes operaciones con paréntesis: a) –(5 – 3 + 5) + (16 – 15 + 3)

d) (4 + 12 – 5) – (6 – 3 – 15)

b) (12 + 5 – 2) – (6 + 8) – (13 – 5 + 12)

e) –5 + (5 + 7 – 17) – (5 – 17) + (5 – 6)

c) 6 – 7 + (15 + 7 + 7) – (15 – 17) 9. Calcula el valor de las letras: a) (+2) + (+a) = 4

b) (+b) + (–13) = 5

c) (–6) + (+c) = 2

10. Un submarinista se encuentra a 7 m bajo el nivel del mar. Si quiere descender a una fosa que se encuentra a –82 m, ¿cuántos metros le quedan por descender? 11. Quita los paréntesis y opera: a) (+13) – (–6) + (+3) + (+1)

c) (–17) + (+13) + (–22) – (+3)

b) (–5) – (+3) – (–2) + (+9)

c) (+2) + (+8) – (+3) – (+16)

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A C T I V I D A D E S 12. Resuelve las siguientes operaciones: a) [(–7 + 13) – 3] + (7 + 2) – (7 – 5) · (7 – 9)

c) 7 · [3 + 2 – (2 – 6)] + (6 – 2) – (8 + 6) : 7

b) [(5 – 10) : (9 – 1 – 9)] + (3 – 7) : (6 – 8)

d) 2 · (3 – 4) – [(–6 – 7) · (2 – 4)] : (–2 + 4)

13. Opera: a) [(12 + 13) – 8] – (5 + 17)

c) (5 – 16) : (7 – 1 – 17)

e) 3 · [8 + 10 – (24 – 8)]

b) –(13 – 15) · (14 – 8)

d) –(13 – 5) : (5 – 9)

f) (1 – 2) – (16 + 12) : 7

14. Opera: a) [(1 + 3) – 8] – (5 +7) – (3 – 5) · (4 – 8)

c) 3 · [8 + 1 – (14 – 8)] + (10 – 2) – (35 + 14) : 7

b) [(5 – 1) : (7 – 1 – 7)] – (3 – 5) : (7 – 9)

d) 4 · (5 – 4) – [–(–3 – 4) · (6 – 2) – 2] : (–8 + 7)

15. Resuelve las operaciones: a) (+9) : [(–3) : (+3)]

c) [(–72) : (+6)] : (–2)

b) [(–30) : (+5)] : (–2)

d) [(+72) : (+8)] : [(+3) : (–3)]

16. Opera: a) (+4) · (–2) – (+3) + (+2)

c) (–2) · (+3) + (–4) · (+5)

b) (–7) – (+5) – (–8) : (+4)

d) (+8) + (+6) – (+80) : (–5)

17. Resuelve: a) (+5) + (–5) · [(+4) – (–2)]

c) [(–7) – (+3)] · [(–12) : (+4)]

b) [(–4) – (+7)] · [(–8) : (+2)]

d) (+12) · [(+8) + (+20) : (–4)]

18. Resuelve: a) 12 + 3 – [–(4 + 5) +7]

c) –5 – 6 + [7 + (10 – 4)]

e) (13 – 8) · (10 – 14 + 2)

b) (–3 – 4) · 2 – (4 – 8)

d) –(3 – 7) + [(–6) : (–3)]

f) –(1 – 2) · [(–16 – 1) + 9)]

19. Cierto líquido se congela a –8 °C y se evapora a los 158 °C. ¿Cuántos grados deberemos calentarlo si queremos que se evapore y, actualmente, se encuentra en estado sólido? 20. El saldo de mi tarjeta telefónica es de 12 †. Si cada min cuesta 25 cts. y hablo durante 4 min, ¿cuál será el saldo que me resta? 21. Lucía lleva en la cartera 25 † y saca del cajero automático otros 50 †. Compra 2 l de leche a 1 †/l y 5 kg de manzanas a 2 †/kg. Además, compra una serie de productos en el supermercado por los que paga 35 † en total. ¿Le queda dinero suficiente para comer con su hijo en un restaurante si cada menú cuesta 25 †? 22. Un autobús viaja con 7 pasajeros. En la primera parada se bajan 4 pasajeros y se suben 3. En la segunda parada suben 5 pasajeros más y en la tercera se bajan otros 4. ¿Cuántos pasajeros se bajan en la última parada? Cada viajero paga 2 †. ¿Cuánto dinero recauda en total? Y

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6. Los números decimales

D

Ordenar números decimales

Para ordenar números decimales los escribimos todos hasta la misma cifra decimal y luego ordenamos como corresponda. Por ejemplo: 3 centésimas = 0’03 52 milésimas = 0’052 123 diezmilésimas = 0’0123 Los expresamos en diemilésimas: 0’0300, 0’0520, 0’0123 Ordenamos: 0’0520 > 0’0300 > 0’0123

Hasta ahora hemos hablado de números naturales {1, 2, 3...} y números enteros {...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...}. Pagamos 5 o 6 €, ha habido una bajada a 3 °C o a 4 °C. Pero sabemos que también existen más posibilidades: una camiseta puede costarnos 5’25 € o la temperatura puede bajar hasta –3’5 °C. Pues bien, estos números que vamos a utilizar forman el conjunto de los números decimales. La forma más fácil de reconocer los números decimales es verlos como el resultado de realizar la división correspondiente a una fracción, por ejemplo: Fracción 14 = 0’56 25

1 4 ⎯⎯ →

25

1 4 0 0’56 1 5 0 0

6.1. Elementos de un número decimal • Parte entera: son las cifras que están a la izquierda de la coma. • Parte decimal: es lo que está a la derecha de la coma. Ejemplos ⎧Parte entera = 65 ⎧Parte entera = 32 • 65’34 ⎯⎯ • 32’451⎯⎯ →⎨ →⎨ ⎩Parte decimal = 34 ⎩Parte decimal = 45

6.2. Lectura de números decimales Unidades

‘

Décimas

Centésimas

Milésimas

Diez milésimas

U

‘

d

c

m

dm

Ejemplos

• 65’34 → 65 unidades y 34 centésimas • 32’451 → 32 unidades y 451 milésimas • 0’56 → 0 unidades y 56 centésimas o sólo 56 centésimas

A CTIVIDADES Resueltas Escribe con letras cómo se leen los números: a) 32’332 b) 0’98 c) 20’09 Solución a) 32’332 = 32 unidades y 332 milésimas c) 20’09 = 20 unidades y 9 centésimas d) 7’0001 = 7 unidades y 1 diezmilésima

d) 7’0001

b) 0’98 = 98 centésimas

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6.3. Clases de números decimales No todos los números decimales tienen la misma estructura; veamos los siguientes ejemplos: ) 4 8 = 133333 ’ ... = 13 ’ = 16 ’ • • 3 5 ) 71 = 2’366666... = 2’36 • • π = 3’14159265... 30

D

Recuerda…

Para indicar las cifras que componen el periodo de un número decimal se suele escribir un arco encima de ellas: ២ 3,3564646464… = 3,3564

Existen distintas clases de números decimales: • Decimales exactos: son los números decimales que tienen un número finito de cifras decimales. Por ejemplo, el número 1’6 tiene una sola cifra decimal. • Decimales periódicos: son los números decimales que tienen infinitas cifras que se repiten periódicamente. Existen dos tipos: – Decimales periódicos puros: son los que tienen el periodo justo después de la coma. Por ejemplo, el número 1’333... es periódico con periodo 3, que se repite a partir de la coma. – Decimal periódico mixto: son los que tienen cifras no periódicas entre la coma y el periodo, es decir, el periodo no comienza justo después de la coma. Por ejemplo, el número 2’3666... además de tener el 6 repetido indefinidamente, tiene otro decimal que no se repite. • Decimales infinitos no periódicos: son los números decimales con infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. Por ejemplo, el número π tiene infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. Ejemplos • 3’4 → Decimal exacto

២ • 2’3456456456... → Decimal periódico mixto 2’3456 ២

• 0’1111... → Decimal periódico puro 0’1

• 冪苴 10 = 3’162277 → Decimal infinito no periódico

D

Definición

El anteperiodo está formado por las cifras decimales que anteceden a las cifras periódicas en un número decimal periódico mixto.

D

Observación

Existen muchos decimales infinitos no periódicos. De hecho, hay más decimales de este tipo que de los otros. Por ejemplo, todas las raíces cuadradas que no son exactas son decimales infinitos no periódicos: 冪苴 5 = 2’2360679…

A CTIVIDADES Resueltas Identifica cada tipo de número decimal de entre los siguientes: a) 7’31 b) 2’666... c) 7’5626262... d) 冪苴 5 Solución a) 7’31 → Decimal exacto

b) 2’666... → Decimal periódico puro

c) 7’5626262... → Decimal periódico mixto d) 冪苴 5 → Decimal infinito no periódico Y

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7. Operaciones con números decimales 7.1. Suma de números decimales

A CTIVIDADES Resueltas Si tenemos dos monedas de 2 †, una de 1 †, una de 50 cts., una de de 5 cts. y una de 2 cts., ¿cuántos euros tengo en total? 2 † + 2 † + 1 † + 50 cts. + 5 cts. + + 2 cts. = 2 + 2 + 1 + 0’50 + 0’05 + + 0’02 = 5’57 †

d

Para sumar números decimales sólo tenemos que alinear los números en columna sobre las unidades y operar como si no hubiera coma.

Ejemplo

Calcular 2’345 + 5’32. 2’345 + 5’32 7’665

7.2. Resta de números decimales d

Para restar números decimales sólo tenemos que poner los números alineados en columna sobre las unidades y operar como si no hubiera coma. Colocaremos ceros hasta completar el mismo número de decimales.

Ejemplo

Calcular 5’32 – 2’345. 5’32 5’320 – 2’345 ⎯⎯⎯⎯⎯→ – 2’345 2’975

7.3. Producto de números decimales

D

d

Jerarquía de las operaciones

El orden en el que se realizan las operaciones con números decimales es el mismo que con números enteros: 1. Paréntesis. 2. Multiplicaciones y divisiones. Si hay varias se opera de izquierda a derecha. 3. Sumas y restas. Si hay varias se opera de izquierda a derecha.

Para multiplicar números decimales hacemos la multiplicación como si fueran números enteros y colocamos la coma dejando a la derecha tantos decimales como suma de decimales tengan los factores.

Ejemplo

Calcular 2’345 · 5’3. 2’345 ⎯⎯→ 2’345 tiene 3 decimales x 5’3 ⎯⎯→ 5’3 tiene 1 decimal 7035 1 1 7250 12’4285 ⎯⎯→ El resultado tendrá 3 + 1 = 4 decimales

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7.4. Cociente de números decimales Sin decimales en el divisor Se divide hasta que se baja la cifra del decimal en el dividendo, en ese momento se pone la coma en el cociente y se sigue dividiendo. Si queremos avanzar en el número de decimales del cociente y no tenemos en el dividendo, tendremos que poner los ceros que hagan falta y continuar. Ejemplo

D

Calcular 73’33 : 3 Dividimos hasta las milésimas. 73’33 3 13 24’ 13

⎯⎯→ 73’33 3 13 24’44 13 13 1

⎯⎯→

Hipatia de Alejandría dijo…

73’330 3 13 24’443 13 13 10 1

Con decimales en el divisor Lo primero que tenemos que hacer es quitar los decimales del divisor. Para ello multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. Una vez hecho esto, hacemos la división de la misma forma que en el apartado anterior. Ejemplo

Calcular 73’33 : 3’1 Dividimos hasta las centésimas. Para quitar los decimales del divisor multiplicamos por 10: 73’33 · 10 = 733’3 733’3 31 113 23’ 203

⎯⎯→

733’3 31 113 23’6 203 17

3’1 · 10 = 31

\ Defiende

tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.

Hipatia fue una matemática y filósofa que nació en Alejandría (Egipto) en el 370 y murió en el 415. Fue la primera mujer matemática de la que se tiene conocimiento. Hizo importantes aportaciones a las matemáticas y a la astronomía. Fue una persona que luchó por sus ideas, contrarias al pensar de la época, y por su condición de científica, lo que la llevó a ser perseguida y, finalmente, asesinada.

⎯⎯→ 733’30 31 113 23’65 203 170 15

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A C T I V I D A D E S 1. Pasa a número decimal las siguientes fracciones. Extrae, como máximo, cuatro cifras decimales: a)

3 4

b)

5 9

c)

7 3

d)

2 2

e)

6 7

f)

1 2

2. Indica los elementos de los siguientes números decimales: a) 43’123

b) 0’345

c) 6’01

d) 7

e) 0’0001

d) 7

e) 0’0001

3. Escribe cómo se leen los siguientes números: a) 43’123

b) 0’345

c) 6’01

4. Ordena de mayor a menor: a) 34 milésimas

b) 6 diezmilésimas

c) 2 décimas

d) 62 centésimas

5. Escribe cómo se leen los siguientes números: a) 13’312

b) 10’35

c) 7’213

d) 6

e) 0’01

f) 7’67

6. Ordena de mayor a menor: a) 4 milésimas

b) 65 diezmilésimas

c) 12 décimas

d) 623 centésimas

7. Opera: a) 5’234 + 34’983

c) 3’4561 – 2’233

e) 98’12314 + 123’32892

b) 563’01 – 98’176

d) 0’009 + 0’00001

f) 123 – 12’98

a) 5’23 · 34’3

c) 3’456 · 2’23

e) 98’4 · 123’392

b) 563’01 · 98’76

d) 0’09 · 0’001

f) 123 · 12’98

8. Opera:

9. Calcula: a) (2’126 + 12’3) · 3’2

b) (53’101 + 18’76) · 2’002

10. Opera: a) 5’23 : 3’3

c) 345’6 · 23

e) 0’09 : 0’001

b) 563’01 : 98’6

d) 98’4 : 3’32

f) 123 : 12’98

a) (5’23 – 3’3) · 5’32

c) 763 : (98’4 – 3’32)

e) 2’33 · (563’01 + 98’6)

b) 345’6 : (23 – 12’3)

d) 0’09 : 0’001 + 0’02

f) 123 : (12’98 + 23)

11. Calcula:

12. Opera: a) (2’34 + 5’231) · 34’12 + 3’432 · (123’12 + 0’002) b) (763’32 – 12’01) : 321 – (32’32 – 32’02) · 12’1 c) (65’32 + 21’12) · 32’12 + (321’3 – 123’32) : 32’98

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A C T I V I D A D E S 13. Lucía lleva 3’5 † y Pedro 2’53 †. Si tienen que comprar un tebeo que cuesta 4’25 †, ¿cuánto les sobrará? 14. Ángela tiene que repartir 15’21 † entre sus tres hijos. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 15. Una clase de 1.º de ESO tiene 28 alumnos. Si 19 de ellos son alumnas, ¿que fracción del total corresponde a cada sexo? 16. David compra 2’3 kg de peras a 1’25 †/kg, 1’5 kg de manzanas a 1’30 †/kg y 2 docenas de huevos a 1’25 † la docena. ¿Cuánto le va a costar la compra? 17. Opera: a) 15’32 + 4’3

c) 8’114 + 12’392

e) 0’09 + 0’01

b) 3’61 + 12’256

d) 23’01 – 9’176

f) 1.231 – 0’9232

a) 15’3 · 4’35

c) 8’14 · 32’322

e) 1’119 · 2’002

b) 2’126 · 12’3

d) 153’101 · 198’76

f) 1.126 · 1’928

a) 15’3 : 2’23

c) 19’4 : 13’3

e) 0’000003 : 0’0001

b) 193’2 · 87

d) 2.321’5 : 65’5

f) 321 : 12’98

18. Calcula:

19. Opera:

20. Calcula: a) 15’3 · 4’35 + 432

c) (11’119 – 3’21) : 1’928

b) 568’14 : 32’322 – 2’12

d) 32’ 21 · (26 – 1’04)

21. Opera: a) (53’101 + 18’76) · 2’003 – [(11’119 – 3’21) : 1’928] b) [(2’126 + 12’3) · 3’2 – 12’2] – (568’14 : 32’322 – 2’12) c) (153’32 + 1’122) : 32’12 – [(1’3 – 1’12) · 0’98] 22. Un CD tiene un precio de 19’80 †. Si nos hacen un descuento de 3’25 †. ¿Cuánto nos cuesta el CD? 23. María quiere hacerse un vestido y necesita 3’5 m de tela. Si la tela cuesta 5’75 † el metro y la modista le cobra 32’75 † por hacérselo, ¿cuál será el precio total? 24. Luis ha comprado tres sobres a 0’38 † cada uno y tres tarjetas a 0’52 † cada una. Si ha pagado con un billete de 10 †, ¿cuánto dinero le han devuelto? 25. Un coche gasta 4’5 l de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos litros consumirá en un viaje de 320 km? ¿Cuánto le cuesta la gasolina si el precio del litro son 0’67 †? Y

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8. Cálculo aproximado y redondeo Podemos decir que existen los números decimales exactos y todos los demás. La diferencia fundamental es que los números decimales exactos tienen un número finito de decimales y los demás tienen un número infinito de decimales. Cuando el número de cifras decimales es mayor de lo que necesitamos o es infinito, tenemos que «cortarlas» y nos vemos obligados a aproximarlas. Para ello existen dos métodos básicos: redondeo y truncamiento.

8.1. Redondeo

D

Error en la aproximación decimal

El error es la diferencia entre el número decimal original y el aproximado. Por ejemplo: Original: 5’9872 Aproximado: 5’987 Error = 5’9872 – 5’987 = = 0’0002

Redondeamos un número decimal cuando lo aproximamos a la unidad más cercana en un cierto número de orden. Para aproximar un número decimal por redondeo seguimos los siguientes pasos: 1. Elegimos el orden de redondeo. 2. Si la cifra siguiente al orden de redondeo es mayor o igual a 5 añadimos una unidad a la cifra de redondeo. 3. Si la cifra siguiente al orden de redondeo es menor que 5 dejamos la cifra de redondeo como estaba. Ejemplo Redondear el número 5’98723421... • Si tomamos como cifra de redondeo las milésimas, 5’9872, la cifra de redondeo es 7 y la siguiente es 2, por tanto el resultado es 5’987. • Si tomamos como cifra de redondeo la centésima, 5’987, la cifra de redondeo es 8 y la siguiente es 7, por tanto el resultado es 5’99.

8.2. Truncamiento Para truncar un número decimal sustituimos por ceros todas las cifras que siguen a la cifra por la que queremos realizar el truncamiento. Ejemplo Truncar el número 5’9872... • Truncado a la centésima: 5’9800... = 5’98 • Truncado a la décima: 5’9000... = 5’9

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A C T I V I D A D E S 1. Redondea: a) 3’345676 a la diezmilésima b) 9’9872321 a la milésima c) 0’0001 a la centésima d) 0’9821 a la décima a la milésima 2. Trunca: a) 3’345676 a la diezmilésima b) 9’9872321 a la milésima c) 0’0001 a la centésima d) 0’9821 a la décima 3. Calcula el error cometido en las siguientes aproximaciones: a) 7’69012 a la diezmilésima

b) 0’01234 a la milésima

4. Realiza los siguientes redondeos: a) 7’8991233 a la diezmilésima

c) 0’01001 a la centésima

b) 1.023’00921 a la milésima

d) 12’3213 a la décima

5. Realiza los siguientes truncamientos: a) 7’8991233 a la diezmilésima

c) 0’01001 a la centésima

b) 1.023’00921 a la milésima

d) 12’3213 a la décima

6. Calcula el error que se comete al realizar las aproximaciones siguientes: a) 7’8991233 a la diezmilésima

c) 0’01001 a la centésima

b) 1.023’00921 a la milésima

d) 12’3213 a la décima

7. Un parque cuadrado tiene 1.220 m. por cada lado. Si hay un paseo que rodea el parque y quieres entrenarte tardando 3 minutos cada 1.000 m, ¿cuánto tardarás en dar una vuelta? Redondea a la centésima. 8. El peso de una familia es de: 86’567 kg el padre; 65’23584 kg la madre; 45’2564 la hija mayor; 68’9742 kg el hijo mediano y 34’859 kg la hija pequeña. ¿Podrán subirse juntos en un ascensor cuyo peso máximo es de 300 kg? Redondea a la centésima. 9. Reparte de la manera más equitativa posible esta cantidad de caramelos entre 3 amigos: 1’25057 kg de fresa, 0’57892 kg de menta y 0’8999 kg de café. Redondea a la milésima. Y

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9. Características de la Tierra 9.1. El exterior de la Tierra

D

Si pudiéramos mirar la Tierra desde el espacio exterior distinguiríamos tres partes:

Datos de la Tierra

• Diámetro ecuatorial: 12.756 km. • Diámetro polar: 12.713 km. • Superficie: 510 millones de kilómetros cuadrados. • Superficie de los continentes: 149 millones de km2. • Superficie de los océanos: 361 millones de kilómetros cuadrados. • Punto más alto: Everest, 8.848 m.

• Atmósfera Capa gaseosa que rodea la Tierra. • Hidrosfera Capa acuosa formada por océanos, mares, ríos, lagos, hielos polares, glaciares, nieve de las montañas y las aguas subterráneas. El 71 % de la Tierra está cubierta por agua. • Litosfera Cubierta sólida externa del planeta formada por rocas y minerales. Comprende las tierras emergidas (islas y continentes) y los fondos marinos.

9.2. Paralelos y meridianos En la superficie terrestre podemos trazar dos tipos de líneas que sirven para localizar un punto sobre la tierra: • Líneas horizontales o paralelos Son semicircunferencias paralelas al Ecuador, también llamado paralelo cero. El Ecuador divide la Tierra en dos hemisferios: norte y sur. Dicha localización se mide en grados e indica la latitud. Por ejemplo: 20º N, son 20 grados latitud norte.

180 150

150

120

120

90

90

Oeste (–)

Este (+)

60

60

30

30

9.3. Los puntos cardinales

0

\

Meridianos.

Son referencias para orientarse en el espacio. Como el Sol sale por el Este, a partir de ahí, podemos encontrar los demás puntos para orientarnos: si nos colocamos con los brazos abiertos y el derecho señala el Este, el izquierdo señalará el Oeste, enfrente estará el Norte y a nuestra espalda, el Sur.

Norte (+) 90

90 60

60

30

30

Ecuador

0

30

30

60

60 90

\ Paralelos.

• Líneas verticales o meridianos El meridiano cero se llama meridiano de Greenwich y divide a la Tierra en dos partes iguales: los hemisferios este y oeste.

90 Sur (–)

Para orientarte por la noche debes buscar la Estrella Polar que nos indica el Norte.

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A C T I V I D A D E S 1. Describe en tu cuaderno el exterior de la Tierra. 2. ¿Cómo dividen la Tierra los paralelos y los meridianos? ¿Cómo se llama el paralelo cero? ¿Y el meridiano cero? 3. ¿Qué son los puntos cardinales y cómo se llaman? 4. Dibuja una persona con los brazos extendidos. Si su brazo izquierdo señala el Este, indica la posición de los otros puntos cardinales. 5. La Tierra está formada por las siguientes envolturas: gaseosa, líquida y sólida. ¿Cómo se denomina cada una de ellas? ¿De qué se componen? 6. Para determinar la ubicación de un lugar en la Tierra hay que conocer su latitud y su longitud. Esto se sabe a partir de los paralelos y los meridianos que pasan por ese punto. La latitud o distancia medida en grados entre un lugar y el ecuador, Norte o Sur según el hemisferio en que se encuentre y la longitud o distancia medida en grados desde el meridiano que pasa por un lugar y el meridiano de Greenwich, nos ayudarán en la búsqueda.

Con ayuda del mapa de coordenadas geográficas, ¿qué países y ciudades están en las siguientes coordenadas?: Países a) Entre los 11º y 1º de latitud Norte y los 60º y 73º de longitud Oeste. b) Entre los 20º y 32º de latitud Norte y los 10º y 25º de longitud Este. Ciudades a) 40º 45´ N y 73º 50´ Oeste. b) 40º 25´ N y 3º 41´ Oeste.

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10. Los movimientos de la Tierra Cuando decimos que se ha puesto el Sol o que ha salido el Sol, cometemos una incorrección, pues el Sol no gira alrededor de la Tierra, sino esta alrededor del Sol.

A

En realidad, el día y la noche se deben a nuestro planeta, la Tierra, que a la vez que gira alrededor del Sol, da vueltas sobre sí misma como una peonza.

10.1. Movimiento de rotación B

Es el movimiento que realiza la Tierra sobre sí misma, alrededor de su eje norte-sur, y que coincide con la línea que va desde el Polo Norte al Polo Sur. El sentido de rotación de la Tierra es de oeste a este y tarda 24 horas en dar una vuelta completa sobre sí misma.

\ Sentido

de rotación de la Tierra visto desde el polo Norte (A) y desde el Ecuador (B).

Este movimiento de rotación explica por qué en unas zonas de la Tierra es de día y en otras de noche, ya que el Sol no ilumina por igual toda la superficie del planeta. También son consecuencias las diferencias horarias.

10.2. Movimiento de traslación Es el movimiento que realiza la Tierra alrededor del Sol, y en él tarda 365 días y seis horas; estas seis horas forman cada cuatro años un día más: entonces se produce lo que llamamos año bisiesto.

D

Recuerda…

Cuando es verano en el hemisferio norte, es invierno en el hemisferio sur y viceversa. ¿Qué pasa en el Ecuador? Pues que no hay estaciones propiamente dichas, y el día y la noche duran doce horas cada uno. ¿Qué pasa en los polos? Debido a la inclinación del eje de rotación de la Tierra, en los Polos Norte y Sur los días y las noches duran seis meses.

El eje norte-sur o eje de rotación de la Tierra está inclinado respecto al plano de traslación alrededor del Sol, como si fuera una peonza; esto provoca que los rayos solares lleguen con diferente inclinación a la Tierra, originándose cuatro estaciones: • La primavera, que empieza el 21 de marzo. • El verano, que empieza el 21 de junio. • El otoño, que empieza el 23 de septiembre. • El invierno, que empieza el 22 de diciembre. Estos movimientos de la Tierra dan lugar a que los días y las noches tengan una duración diferente: en los meses de verano los días son muy largos y las noches cortas, mientras que en invierno los días son más cortos que las noches. También son consecuencias las estaciones y las zonas climáticas.

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A C T I V I D A D E S 1. Explica la diferencia entre movimiento de rotación y movimiento de traslación. 2. ¿Cuál es el sentido de rotación de la Tierra?, ¿cuánto tiempo tarda en realizarlo? 3. ¿Cuándo crees que hará más calor en la Tierra, cuando los rayos del Sol caigan en vertical sobre ella, o cuando caigan muy inclinados? 4. ¿Cómo se llama el plano en el que la Tierra realiza su movimiento de traslación? 5. Confecciona una frase científicamente correcta utilizando los términos siguientes: inclinación eje terrestre, días y noches, diferente duración. 6. Completa el cuadro: Movimientos de la Tierra

Características del movimiento

Duración

Efectos sobre el planeta

7. Observa el esquema y completa el siguiente texto: «El día que más horas de luz tiene se denomina ..................................... y es el ...................... . El día que menos horas de luz tiene se denomina ................................... y es el 22 de diciembre. Los días en que las horas de luz duran lo mismo que las horas de oscuridad se denominan ..................... y son el .......................... y el ..............................e. La causa de que la duración de los días y noches varíe de una región a otra de la Tierra a lo largo del año es el ..................................... del planeta y ...................................».

Equinoccio de primavera, 21 de marzo

PRIMAVERA

INVIERNO

Solsticio de verano, 21 de junio

VERANO

Órbita terrestre Ecuador

Equinoccio de otoño, 23 de septiembre

Solsticio de invierno, 22 de diciembre OTOÑO

Círculo Polar Ártico

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11. La Geosfera 11.1. Estructura interna de la Tierra El interior de la Tierra se organiza en capas según su composición química. Así, nos encontramos, de arriba abajo: Corteza Manto superior Manto inferior

• Corteza: capa muy delgada, de 30 a 70 km de profundidad en los continentes y de 5 a 10 km en los océanos. La mayoría de las rocas de la corteza son de silicato de aluminio.

Núcleo externo Núcleo interno

• Manto: se encuentra a continuación de la corteza. Formada por silicatos y óxidos de magnesio y hierro, es más densa que la corteza y se divide en:

\

Estructura interna de la Tierra.

– Manto superior, que llega hasta los 1.000 km. – Manto inferior, que comprende desde los 1.000 km hasta los 2.900 km. Supone el 83 % del volumen y el 65 % de la masa total de la Tierra. • Núcleo: es la capa más interna de la Tierra. La temperatura que puede alcanzar es de 6.650 ºC. Comprende: – Núcleo externo, desde los 2.900 km hasta los 5.170 km de profundidad. Está formado por hierro y níquel fundidos. – Núcleo interno, desde los 5.170 km hasta los 6.370 km. Se compone de hierro y níquel en estado sólido y su forma es parecida a la de una esfera.

11.2. La corteza terrestre ELEMENTOS PRINCIPALES DE LA CORTEZA TERRESTRE Oxígeno . . . . . . . . . . 46,5 % Silicio . . . . . . . . . . . . 29,0 % Aluminio . . . . . . . . . . 8,3 % Hierro. . . . . . . . . . . . . 5,0 % Calcio . . . . . . . . . . . . . 4,1 % Potasio . . . . . . . . . . . . 2,5 % Sodio . . . . . . . . . . . . . 2,3 % Magnesio. . . . . . . . . . 2,3 %

A la corteza terrestre y a la parte superior del manto se le denomina litosfera (litos, «piedra») y es la cubierta sólida del planeta formada por rocas y minerales. En la litosfera podemos diferenciar placas tectónicas oceánicas, continentales y mixtas. Composición química Los elementos principales que componen la corteza terrestre son ocho: oxígeno, silicio, aluminio, hierro, calcio, potasio, sodio y magnesio. El oxígeno y el silicio son los más abundantes; por eso, la mayoría de las rocas que forman parte de la corteza son silicatos, unos compuestos formados por esos elementos. El resto de los elementos de la corteza solo suponen el 24,5 %.

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A C T I V I D A D E S 1. Haz en tu cuaderno un resumen de la estructura interna de la Tierra, en el que indiques sus diferentes capas, sus características y su composición química correspondiente. 2. Realiza un diagrama de barras con los elementos principales de la corteza terrestre, tomando los siguientes valores: oxígeno, 46,5 %; silicio, 29 %; aluminio, 8,3 %; hierro, 5 %; resto de los elementos, 11,2 %. 3. ¿Por qué la mayoría de las rocas que forman la corteza son silicatos? 4. Completa las siguientes frases: a) Los principales elementos geoquímicos de la corteza son: ................, silicio, ................, ................, calcio, ................, ................ y ................ . b) La estructura de la Tierra se organiza en capas y de arriba abajo son: ................, con rocas de silicato de ................; ................, formado por silicatos y ................ de ................ y ................, dividido en ................ superior y ................ inferior; ................, que es la capa más ................ de la Tierra y que se divide en ................ externo y ................ interno, su forma se parece a una ................ . 5. Busca información y contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el segundo elemento más abundante de la corteza terrestre? ¿Y el primero? b) ¿Qué científico identificó el silicio? c) ¿En qué proteína de la sangre podemos encontrar hierro? d) ¿Quién descubrió el calcio? ¿Y el magnesio? e) ¿De qué sustancia que interviene en la fotosíntesis forma parte el magnesio? 6. Relaciona los siguientes conceptos: 1. Corteza

a. Silicatos y óxidos de magnesio y hierro

2. Manto

b. Hierro y níquel

3. Núcleo

c. Silicatos de aluminio

7. ¿A qué denominamos litosfera? ¿Qué tipos de placas tectónicas existen? 8. Ordena de mayor a menor los siguientes elementos según las cantidades en qué se encuentran en la Tierra: sodio, oxígeno, aluminio, calcio y hierro. 9. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre el núcleo externo y el núcleo interno? Y

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12. Minerales y rocas 12.1. Minerales Son materiales sólidos de origen natural, no originados por ningún organismo vivo, y formados por una sola sustancia. Los minerales forman parte de las rocas. Normalmente, los minerales aparecen en forma de cristales. Suelen presentar formas geométricas: la pirita, en cubos; el aragonito, en prismas, etc. Propiedades de los minerales Las más importantes son: \

• Color: el color real de un mineral se observa al rayarlo, ya que este color puede no coincidir con el color externo. El azufre es amarillo.

Azufre.

• Brillo: es el aspecto que tiene la superficie del mineral cuando refleja la luz. La mayoría de los minerales brillan, por ejemplo el cuarzo. • Dureza: es la resistencia que ofrece el mineral a ser rayado. Un mineral es más duro que otro si consigue rayarlo y no es rayado por él.

\

• Densidad: es característica de cada mineral. Recuerda que se mide en g/cm3 y en el sistema internacional en kg/m3.

Caliza.

9 1. Talco se raya con la uña 2. Yeso se raya con la uña 3. Calcita se raya con una lima 4. Fluorita se raya con una lima 5. Apatito se raya con el vidrio 2 1

6. Ortosa se raya con el vidrio 7. Cuarzo 8. Topacio 9. Corindón 10. Diamante 5

7 6

10

8

3 4

\

La escala de Mohs mide la dureza de los minerales con un índice del 1 al 10.

12.2. Rocas Están formadas por la unión de uno o varios minerales. En el primer caso tenemos la caliza, formada por calcita, y en el segundo, el granito, compuesto al menos de tres componentes: cuarzo, feldespato y mica.

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13. Tipos de rocas Las rocas se clasifican según el modo en que se han formado y, así, nos encontramos con los siguientes tipos: ígneas, sedimentarias y metamórficas. Rocas ígneas o magmáticas Son rocas ricas en silicio. Se producen al enfriarse y solidificarse el magma fundido o lava, que se origina en el interior de la Tierra a temperaturas de hasta 1.200 °C. Hay dos tipos de rocas magmáticas:

\

Basalto.

\

Granito.

\

Caliza fosilífera.

\

Turba.

\

Pizarra.

\

Mármol.

• Rocas volcánicas: originadas a partir de una erupción volcánica. Ejemplo: el basalto. • Rocas plutónicas: formadas a gran profundidad del magma. Ejemplo: el granito. Rocas sedimentarias Se originan a partir de la destrucción de otras rocas por la acción de diferentes agentes geológicos. Se forman en la superficie de la Tierra, y el viento, el agua y los glaciares erosionan, transportan y depositan los sedimentos formados. A veces se aprecian fósiles en ellas. Un ejemplo de este tipo de rocas es la caliza. Rocas sedimentarias de origen orgánico • Carbón: se encuentra en zonas continentales y se forma a partir de restos de plantas de agua dulce existentes en otras épocas geológicas. Estos restos quedaron enterrados y se fueron transformando, enriqueciéndose en carbono. Hay cuatro tipos de carbón, de mayor a menor contenido en carbono son: antracita, hulla, lignito y turba. Es una fuente energética en desuso. • Petróleo: es una mezcla de hidrocarburos (compuestos de carbono e hidrógeno). De color oscuro y menos denso que el agua, se originó por la acción de bacterias sobre restos animales y vegetales y se encuentra en zonas continentales y en el fondo del mar. Actualmente, el petróleo es la principal fuente de energía. Sus productos derivados son: carburantes, plásticos, colorantes, etc. Rocas metamórficas Se forman a partir de las rocas magmáticas y sedimentarias cuando estas se hunden en el interior de la Tierra y sufren transformaciones en su composición química, forma y estructura. Ejemplos son: la pizarra, a partir de la arcilla, y el mármol, a partir de la caliza.

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El ciclo de las rocas Como las rocas metamórficas se forman a partir de los otros dos tipos de rocas, la naturaleza las reutiliza muchas veces en lo que llamamos el ciclo de las rocas. Una roca volcánica, al salir a la superficie, puede sufrir erosión debido al viento, al agua o a los glaciares y sus partículas son transportadas lejos de su lugar de origen. Estas partículas rocosas pueden formar sedimentos en el mar, los ríos, la tierra, etc., dando lugar a rocas sedimentarias que, si se hunden profundamente por efectos del calor y la presión, pueden convertirse en rocas metamórficas, las cuales, al sufrir transformaciones en su composición y estructura, se convierten en magmáticas, y empieza otra vez el ciclo. Ciclo de las rocas.

Y

Erosión Transporte Sedimentación

Elevación y exposición a la intemperie

ROCAS MAGMÁTICAS VOLCÁNICAS

SEDIMENTOS

Enfriamiento superficial

Compactación y cementación ROCAS SEDIMENTARIAS ROCAS MAGMÁTICAS PLUTÓNICAS

Metamorfismo

ROCAS METAMÓRFICAS

Enfriamiento profundo

Fusión MAGMA

A C T I V I D A D E S 1. Escribe en tu cuaderno el ciclo de las rocas. ¿Qué otros ciclos conoces? ¿Tienen alguna semejanza con el de las rocas? 2. ¿En qué se diferencia un mineral de una roca? 3. Copia en tu cuaderno las propiedades más importantes de los minerales. 4. ¿Qué mineral ocupa el puesto 10 de la escala de Mohs? ¿Y el puesto 1? ¿Cuál tiene más dureza? 5. ¿Cuál es el criterio de clasificación de las rocas? 6. Realiza en tu cuaderno una tabla en la que se indique: tipo de roca, sus características, cómo se ha formado, un ejemplo de ella y sus aplicaciones.

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A C T I V I D A D E S 7. Si el yeso se raya con la uña y la florita con una lima, ¿cuál de los dos minerales es más blando? 8. Contesta verdadero o falso a las siguientes cuestiones: a) Las rocas magmáticas son ricas en hierro. b) El carbón es una roca sedimentaria. c) La pizarra es una roca metamórfica. 9. Busca información y haz una tabla en la que indiques el tipo de roca y las aplicaciones más importantes de esta. 10. Une mediante flechas según corresponda: 1. Diamante

a. Se raya con el vidrio

2. Talco

b. Se raya con la uña

3. Calcita

c. Raya a todos

4. Ortosa

d. Se raya con una lima

11. Completa el siguiente texto: «Al rayar un mineral se observa su ………… . Según como refleja la luz podemos apreciar su ………… sobre la superficie del mineral. La resistencia que ofrece a ser rayado me indica la …………. del mineral». . 12. ¿Por qué crees que el Acueducto de Segovia está hecho de granito?

Z

Acueducto de Segovia, construido en granito.

13. Atendiendo a su dureza clasifica los siguientes minerales dentro de la escala de Mohs: a) Diamante

d) Cuarzo

b) Apatito

e) Calcita

c) Yeso

f) Fluorita Y

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ACTIVIDADES FINALES 1. Sara tiene que comprar dos ramos de flores, uno para su madre y otro para su abuela. Cada ramo está compuesto por una decena de rosas y cada rosa vale 10 †. ¿Cuánto gastará? Si lleva 300 †, ¿cuánto le sobrará? 2. Samuel ha realizado 3 series, de 2 vueltas cada una, en una pista de atletismo de 400 m. ¿Podrías decir cuántos metros ha recorrido? 3. Jaime tiene 5 monedas de 10 cts. de euro, 10 monedas de 20 cts., 3 monedas de 50 cts., 2 monedas de 1 † y 4 monedas de 2 †. ¿Cuántos euros lleva en el monedero? 4. Un frutero compra 220 kg de naranjas a 2 †/kg y las envasa en cajas de 4 kg cada una. El transporte, el alquiler y los empleados le suponen un coste de 1 †/kg. Si desea obtener un beneficio total de 110 †, ¿a cuánto debe vender cada caja? 5. Un pescadero pagó ayer 375 † por 25 kg de lenguados. ¿Cuántos kg ha comprado hoy si ha pagado 450 †? 6. En un partido de baloncesto las canastas encestadas por los jugadores de uno de los equipos son las siguientes: 1 punto

2 puntos

3 puntos

10

3

1

Antonio

4

4

0

Pedro

6

2

3

Morgan

3

8

0

Peter

1

3

2

Fredy

6

3

1

Andrés

8

3

2

Luis

¿Con cuántos puntos acabó este equipo? Si el otro equipo anotó 110 puntos, ¿quién ganó? 7. A principios de mes recibo mi salario 1.250’25 †, pero inmediatamente me llegan las facturas de la luz, 34’45 †; el agua, 26’86 † y el móvil, 65’35 v. A lo largo del mes me surgen dos imprevistos, se avería el coche con una reparación que asciende a 174’43 † y me toca el décimo de lotería, 120 †. Para el día 10 del mes pago la letra de la hipoteca 745’32 †. A finales de mes me llaman 3 amigos para pintar una fachada y nos dan 425’15 † a repartir. ¿De cuánto dinero dispongo al finalizar el mes? ¿Cuánto podré ahorrar al año sin imprevistos ni trabajos extraordinarios? 8. Un granjero tiene 120 gallinas. De cada gallina obtiene 9 huevos a la semana. ¿Cuántas docenas obtiene al año?

Y

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9. A partir de la siguiente tabla, indica las semejanzas y las diferencias entre la estructura interna de la Tierra y la de los planetas internos. Planeta

Corteza

Manto

Núcleo

Mercurio

Rocosa

Rocas y sílice

De hierro

Venus

De sílice

Rocoso

De hierro y níquel

Marte

De roca

Roca de sílice

De roca y sólido

10. Completa el dibujo y explica el ciclo de las rocas.

11. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Explica el motivo: a) La Tierra realiza tres movimientos: sobre sí misma, alrededor del Sol y alrededor de la Luna. b) Hay dos tipos de líneas imaginarias: los meridianos y los paralelos. c) España se encuentra en el hemisferio Sur de la Tierra. d) El manto es la capa interna de la Tierra más delgada. e) El elemento más abundante en la corteza terrestre es el silicio. f) No existe ninguna diferencia entre un mineral y una roca. 12. ¿En qué fechas comienzan cada una de las cuatro estaciones? 13. Une con flechas los conceptos que tengan relación: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Corteza Paralelo Atmósfera Rotación Oxígeno Dureza Metamórficas

a. Tipo de roca b. Principal elemento de la corteza c. Propiedad de los minerales d. Línea imaginaria e. Parte de la litosfera f. Movimiento de la Tierra g. Capa exterior de la Tierra Y

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ciencias de la naturaleza

Unidad 1

CIENCIA RECREATIVA La Aritmética La aritmética es la disciplina dentro de las matemáticas que estudia los números naturales, enteros y racionales (estos dos últimos tipos los veremos más adelante) y trata las operaciones definidas entre ellos. La aritmética ha estado presente en todas las civilizaciones y, al parecer, las primeras constancias de su desarrollo se encuentran en la antigua Babilonia y Egipto como herramienta para el comercio. Los matemáticos y filósofos griegos Pitágoras y Euclides fueron quienes dieron valor al concepto de número y sus propie‡dades, y Diofanto de Alejandría (siglo III a. C. aprox.) dio el empujón definitivo a la aritmética con su obra Aritmética, que fue referente de esta materia durante casi dos milenios.

siglos XIV y XV, es decir, hace relativamente poco tiempo. Sin embargo, en la India ya aparecen alusiones a este tipo de números durante los siglos VI y VII. Quizá la alusión más representativa a los números negativos la podemos encontrar en los documentos de finanzas judías.

Peano y los naturales El italiano Giuseppe Peano (1858-1932) fue el matemático que definió las reglas (axiomas) para poder construir los números naturales, a partir de los cuáles se pueden definir el resto de los tipos de números.

En el siglo XVII Pierre de Fermat (1601-1665) y en el siglo XIX Giuseppe Peano (18581932) formalizaron y desarrollaron la aritmética hasta llevarla a la forma en que la conocemos en la actualidad.

Los números negativos En Occidente el uso de los números negativos se empieza a generalizar durante los

El problema del cangrejo Un cangrejo tiene que cruzar por una playa de 100 m. Durante el día recorre 30 m y por la noche se pierde y retrocede 20 m. ¿Cuántos días tardará en cruzar la playa? (Piénsalo un poco, no es tan evidente.)

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Colecciona minerales Para la salida al campo necesitarás un equipo de coleccionista que debe incluir: • Mapa y brújula. • Cincel y martillo de geólogo. • Papel de periódico o servilletas de papel.

Cuida las muestras obtenidas Con mucho cuidado, envuelve cada muestra con papel de periódico o con las servilletas. Esto se hace para que tus minerales no se rayen entre sí durante la vuelta a casa.

• Gafas y guantes protectores.

Limpia las muestras

• Lápiz y cuaderno.

Al llegar a casa, saca las muestras para limpiarlas. Para realizar esta operación utiliza un cepillo de dientes que usarás solo para tus minerales.

• Cámara de fotos. • Ropa y zapatos adecuados. Planificar la excursión Lo mejor es organizar una salida con tu profesor y tus compañeros de clase. Debéis documentaros sobre el lugar que vais a visitar y el tipo de muestras que hay en ese sitio. El mapa de la zona y la brújula os ayudarán a llegar al lugar que queréis explorar. Búsqueda de muestras Si encuentras una muestra interesante, debes hacer un dibujo detallado del lugar donde está. También es conveniente hacer unas fotos y anotar en el mapa el sitio exacto de tu hallazgo.

Ten cuidado al mojar las muestras con agua, pues hay minerales solubles en ella y se disolverían (la halita es uno de ellos). Identificación Observa tu mineral con la lupa y anota todo lo que creas importante para su identificación: color, brillo, dureza… También puedes calcular su densidad. Si tienes alguna duda, vete a la página de reconocimiento de minerales. Te recomendamos que hagas una ficha completa de cada mineral, te será útil para reconocerlos.

Esta operación debes repetirla cada vez que encuentres una muestra que te guste.

Etiquetar y guardar

Protégete al extraer las muestras que encuentres

Una vez que tengas identificados tus minerales, deberás guardarlos con mucho cuidado. Cada uno irá en una cajita del tamaño adecuado.

Si hallas una muestra y quieres llevártela a casa, rómpela con el martillo hasta tener el tamaño que desees. Para esta operación no debes olvidar ponerte las gafas y los guantes protectores.

Luego escribirás en una etiqueta el nombre del mineral, el sitio del hallazgo, la fecha y lo que creas más importante. Pega la etiqueta en la caja y ya puedes presumir de colección. También puedes ir a tiendas especializadas de ciencia y naturaleza y comprar muestras de minerales ya identificados.

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INVESTIGACIÓN DIGITAL RECURSOS Entra en estas direcciones para resolver el reto: • www.astromia.com/biogra fias/eratostenes • es.wikipedia.org/wiki/Eratós tenes • es.wikipedia.org/wiki/Caven dish • es.wikipedia.org/wiki/Henry_ Cavendish

Eratóstenes y Cavendish El reto Dos científicos de dos épocas muy distantes tienen en común sus estudios sobre la Tierra. Vamos a saber más sobre ellos. Manos a la obra 1. Investiga un poco la vida de Eratóstenes y contesta a las siguientes preguntas: a) ¿En qué año y dónde nació Eratóstenes? ¿Cuándo murió? b) ¿Qué importante cargo tuvo en la biblioteca de Alejandría? c) Eratóstenes tuvo una gran variedad de conocimientos, cita algunos. En su faceta de matemático, estudió unos números muy familiares, ¿a cuáles nos referimos? 2. Una de sus principales aportaciones a la ciencia fue su trabajo sobre la determinación del tamaño de la Tierra. a) Realiza un pequeño trabajo sobre cómo se hizo esa medición. Puedes realizarlo en Power Point y acompañarlo de las imágenes que consideres más oportunas.

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Eratóstenes.

b) Eratóstenes encontró que el diámetro de la Tierra era de 250 estadios (unos 40.000 km). ¿A cuántos kilómetros equivale un estadio? 3. Conozcamos a Henry Cavendish y contesta a estas cuestiones: a) ¿Dónde y cuando nació? ¿En qué fecha murió? ¿Cuál es su descubrimiento más célebre y por el que es más conocido? b) En su época, Cavendish tuvo fama de excéntrico; sin embargo, fue un químico genial con una gran mente científica. Con el llamado experimento Cavendish determinó la densidad de la Tierra. Explica en qué consistió el experimento. c) Con el experimento anterior determinó el valor de una constante muy importante, ¿de cuál? ¿Qué se pudo averiguar sobre la Tierra con ese descubrimiento?

\

Henry Cavendish.

d) Con sus investigaciones, Cavendish demostró experimentalmente que la ley de la gravedad enunciada por otro científico se cumplía para cualquier par de cuerpos, ¿a qué científico nos referimos? 4. En un pequeño trabajo realizado en Power Point explica la importancia de la aportación de Cavendish a la ciencia y algunos de sus experimentos más famosos.

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AUTOEVALUACIÓN 1. Calcula:

9. Calcula el opuesto de estos números enteros:

a) 4 · 3 – 5 · 2 + 4 · 2

a) –7

b) 15 + 4 · 5 – 4 · 8 c) 12 – 6 · 2 + 2 · 3 – 6

b) 2

c) 0

d) –6

e) 1

f) –27

10. Calcula el valor absoluto de los siguientes números:

d) 2 · 9 – 60 : 5 – 3 · 2

a) –7

2. ¿Cuántos segundos tiene un día?

b) 2

c) 0

d) –6

e) 1

f) –27

11. Opera:

3. Opera: a) (15 – 6) : 3 + 4

a) (+2) + (+5)

c) (–3) – (+4)

b) 8 · (8 – 5) + (9 + 2) · 5

b) (+4) + (–5)

d) (–3) – (–4)

c) 6 – (9 – 4) · (7 – 6) + 3 · 5 d) [(5 – 3) · 6 – (3 – 2) · 2] + (15 – 4) 4. Calcula las siguientes divisiones enteras e indica el cociente y el resto: a) 865 : 34

12. Quita los paréntesis y opera: a) (+3) – (–15) + (+19) – (+7) b) (–9) + (–5) – (–4) – (–12) 13. Resuelve:

b) 1.895 : 54 5. Para las divisiones del ejercicio anterior, aplica la propiedad fundamental de las divisiones enteras.

a) (–5) · (+4)

c) (–16) : (–4)

b) (+18) · (+3)

d) (–80) : (+8)

14. Resuelve quitando los paréntesis: a) (+14) : (–2) + (+4) · (+13)

6. Javier tiene 70 † y compra 2 bolígrafos y 4 carpetas. Si cada carpeta vale el doble que un bolígrafo y cada bolígrafo cuesta 3 †, ¿cuánto dinero gasta y cuánto le sobra?

b) (–7) – (+5) · (–3) – (+8) 15. Opera: a) –(1 – 3) · [8 – (–5 + 7)]

7. Separa los números naturales de los que no lo son: 3

–1

–4

–2

0

1

7

–3

8. Representa en la recta los siguientes números enteros: –1

5

–8

–4

8

0

7

b) –(3 – 5) · [(4 – 8) – (2 + 4)] 16. Lorena tiene en el monedero 2 monedas de 1 cts., 4 monedas de 2 cts., 2 monedas de 5 cts., 6 monedas de 10 cts., 1 moneda de 20 cts. y 4 monedas de 50 cts. ¿Cuántos euros tiene en total?

1. a) 10, b) 3, c) 0, d) 0; 2. 86.400 segundos; 3. a) 7, b) 79, c) 16, d) 21; 4. a) C = 25, r = 15 / b) C = 35, r = 5; 5. a) 865 = 34 · 25 + 15, b) 1.895 = 54 · 35 + + 5; 6. Gastan 30 †, sobran 40 †; 7. Naturales: 0, 1, 3, 7; 8. –8 9. a) 7, b) –2, c) 0, d) 6, e) –1, f) 27; 10. a) 7, b) 2, c) 0, d) 6, e) 1, f) 27; –4 –1 0 5 78 11. a) 7, b) – 7, c) –1, d) 1; 12. a) 30, b) 2; 13. a) –20, b) 48, c) 4, d) –10; 14. a) 36, b) 0; 15. a) 12, b) –20; 16. 300 cts = 3 †

SOLUCIÓN Y