FÍSICA 2º BACHILLERATO BLOQUE TEMÁTICO: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

CAMPO MAGNÉTICO 1.- Magnetismo. Experiencias de Oërsted. Propiedades magnéticas de la materia. 2.- Campo magnético. 3.- Determinación del campo magnético. 3.1.- Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento. 3.2.- Campo magnético creado por una corriente eléctrica infinita. 3.3.- Campo magnético creado por una corriente circular (espira). 3.4.- Campo magnético creado en el interior de un solenoide. 4.- Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento.

1) Magnetismo. Experiencias de Oërsted. Propiedades magnéticas de la materia. El estudio de la electricidad no queda completo si no se trata el magnetismo. Siempre que los electrones se mueven (corriente eléctrica) aparecen efectos magnéticos. Veamos algunas ideas y conceptos inciales: - El fenómeno del magnestismo es conocido desde hace más de 2000 años. - La magnesia (periclasa) es un mineral que formaba parte de las piedras de Magnesia, abundantes en las cercanía se la Magnesia de Tesalia (Grecia) y que por sus propiedades dieron nombre al fenómeno del magnetismo. - Los imanes naturales son aquellos que presentan el magnetismo de forma natural. Por ejemplo la magnetita, una mezcla de óxidos de hierro. - Imanes artificiales son aquellos cuyas propiedades magnéticas le son inducidas de forma artificial. Generalmente son metales como el hierro, el cobalto o el níquel y sus aleaciones, las sustancias que pueden ser imanes artificiales. La mayor parte de los imanes comerciales se fabrican de ALNICO, aleaciones de aluminio, níquel y cobalto. Ya sean naturales o artificiales, los imanes presentan las siguientes propiedades: 1) Todo imán presenta una máxima atracción en los extremos, llamados polos magnéticos. 2) Un imán tiene dos polos que se conocen como polo norte y polo sur. Esta denominación tiene relación con la orientación de la brújula, un imán, respecto de los polos norte y sur geográficos en la Tierra, otro imán. 3) Los polos de un imán no se pueden separar, por mucho que se divida un imán siempre tendrá dos polos. Esta es una diferencia con las cargas eléctricas que sí se pueden separar. 4) Los polos del mismo nombre se repelen entre sí. Los polos de diferente nombre se atraen.

Ideas básicas sobre el desarrollo histórico del magnetismo. Hans Cristian Oërsted (1777-1851). En 1820 dio un paso muy importante en el conocimiento del magnetismo al comprobar que la aguja de una brújula se desviaba en las proximidades de un hilo conductor por el que circulaba corriente eléctrica. [1]

Antes de conectar la corriente eléctrica la aguja imantada de la brújula está orientada hacia el polo del imán natural que es la Tierra.

Al conectar el circuito eléctrico la aguja se orienta perpendicularmente al hilo, como si existiera un campo magnético más potente que el de la Tierra que obliga a la aguja a orientarse así.

La orientación de la aguja depende del sentido de la corriente eléctrica.

Por tanto, una corriente eléctrica produce el mismo efecto que un imán natural. Este efecto es tanto más potente cuanto mayor es la intensidad de la corriente eléctrica.

Michael Faraday (1791-1867). Doce años más tarde, en 1832, observó el efecto contrario al que observó Oërsted, es decir, al mover un imán en las cercanías de un conductor por el que no circula corriente alguna (o bien , al mover el conductor en las cercanías de un imán) se genera en este una corriente “inducida”.

André-Marie Ampère (1775-1836). Estableció los fundamentos del electromagnetismo basándose en las experiencias de Oërsted. Se pueden resumir muy básicamente de la siguiente manera: - Entre dos cargas eléctricas inmóviles se establece una interacción eléctrica cuya expresión viene dada por la ley de Coulomb. - Entre varias cargas en movimiento se establecen dos interacciones, una eléctrica (ley de Coulomb) y otra magnética. Se origina, por tanto, una interacción electromagnética. - Una carga en reposo no puede experimentar interacción electromagnética. - Se dice que en un punto del espacio existe un campo magnético si una carga móvil colocada en él experimenta una fuerza. James Clerk Maxwell (1831-1879). En 1860 sintetizó la electricidad y el magnetismo. Estableció que los campos eléctrico y magnético, actuando juntos, generan un tipo de energía llamada energía de radiación. Estableció también que la luz no es más que una onda electromagnética.

Explicación del magnetismo natural. Un electrón en movimiento es el imán más pequeño que existe y también tiene su polos norte y sur inseparables. [2]

Un átomo, al tener electrones, es un diminuto imán llamado dipolo magnético. Estos dipolos surgen debido al movimeinto orbital de los electrones y al movimiento de rotación de los electrones mismos (spín). Un material cualquiera está formado por átomos, luego está formado por infinidad de dipolos magnéticos, cada uno con su polo norte y su polo sur. Por tanto, cualquier material debería presentar características magnéticas. ¿Por qué no ocurre más que en determinados materiales? La mayor parte de los cuerpos tienen sus dipolos orientados al azar, de manera que el campo magnético total de cuerpo se anula (figura a). En una sustancia magnética, ya sea natural o artificial, sus dipolos están orientados en el mismo sentido, ofreciendo globalmente un polo norte y y polo sur (figura b).

Figura a

Figura b

Las sustancias se pueden clasificar según su comportamiento magnético en:

Sustancias paramagnéticas. Son atraídas débilmente por un imán y prácticamente no se imantan. Por ejemplo, el aluminio. La orientación de los dipolos magnéticos en estas sustancias es muy débil.

Sustancias diamagnéticas. Son repelidas débilmente por un imán. Esto es debido a que algunos dipolos atómicos se orientan en sentido contrario al campo magnético exterior. Por ejemplo, cobre, plata, plomo.

Sustancias ferromagnéticas. Son fuertemente atraídas por un imán y fácilmente imantables. Se admite que estas sustancias constan de pequeñas regiones en las cuales todos los dipolos magnéticos están orientados en la misma dirección (dominios magnéticos). En un material ferromagnético no imantado los dominios están orientados al azar, pero en presencia de un campo magnético externo la mayoría de los dominios se alinean con ese campo (imantación).

En el hierro dulce o forjado los dominios se orientan con facilidad, pero pierden rápidamente esa orientación si cesa el campo magnético exterior. En el acero los dipolos se resisten más a cambiar su orientación, permaneciendo es esta posición largo tiempo (imán permanente). Un simple golpe o un calentamiento excesivo puede provocar una reorientación azar de los dipolos en un imán que, evidentemente, ha dejado de ser permanente. La Tierra es imán debido a su núcleo de hierro y níquel. Sin embargo su campo magnético es débil, no suficiente como para orientar dipolos magnéticos ni dominios magnéticos en todas las sustancias que hay en ella.

[3]

2) Campo magnético ① Definición

Todo imán (incluídas las cargas eléctricas en movimiento) está rodeado por un espacio en el cual se ejercen los efectos magnéticos. Esta zona del espacio se denomina campo magnético.

② Intensiad del campo magnético El campo magnético viene determinado por el vector inducción magnética, , que nos da la intensidad del campo magnético. Para obtener una definición adecuada podemos repasar las definiciones de las intensidades de campos vistos hasta ahora: ·) representa la intensidad del campo gravitatorio en un punto, es la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre la masa unidad colocada en dicho punto. ·) representa la intensidad del campo eléctrico en un punto, es la fuerza eléctrica que se ejerce sobre la carga de prueba unidad colocada en ese punto. El signo de la carga de prueba es positivo.

Por tanto:

·) representa la intensidad del campo magnético en un punto, es la fuerza magnética que se ejerce sobre la carga de prueba unidad en movimiento en ese punto. El signo de la carga de prueba es positivo.

③ El campo magnético no es conservativo. Consecuencias: a- No existe un “potencial magnético”, análogo a los ya vistos, potencial eléctrico o potencial gravitatorio. b- Sí importa el camino seguido por la carga que se desplaza en el seno de un campo magnético entre dos puntos cualesquiera del mismo. c- El trabajo realizado por la fuerza magnética a lo largo de una línea cerrada no tiene por qué ser cero. En definitiva, en el campo magnético no se puede hablar de una “energía potencial magnética” ni se puede aplicar, por tanto, el teorema de la energía potencial para calcular el trabajo que realiza la fuerza magnética. d- Si hubiera que determinar el trabajo que realiza la fuerza magnética, hay que recurrir a la expresión general del trabajo

e- No existe una única expresión para la inducción magnética, intensidad del campo gravitatorio

o el campo eléctrico

, como ocurría con la . Por tanto,

para cada imán cada situación de cargas eléctricas en movimiento, se debe determinar la expresión de la inducción magnética creada. [4]

f- Las expresiones de la inducción magnética dependen fundamentalmente de - La forma del conductor (o del imán) - El medio en el que se encuentra inmerso. En este aspecto coincide con el campo eléctrico. - De la intensidad de corriente que circula por el conductor. En este caso hablamos de campos magnéticos creados por corrientes eléctricas. - De la posición del punto donde se va a calcular el campo magnético respecto del imán o conductor que genera el campo. En este aspecto coincide con el campo eléctrico y gravitatorio, aunque la forma en que depende de la posición no tiene por qué (y de hecho no coincide frecuentemente) con la inversa del cuadrado de la distancia. ④ Unidad El campo magnético, mejor inducción magnética, se mide en el S.I. en Teslas (T), en honor a Nicola-Tesla (1857-1943) descubridor del motor de inducción, del motor asincrónico de campo giratorio y de las corrientes polifásicas. Es el principal responsable del modelo actual de producción y transporte de la corriente eléctrica. Un tesla, 1 T, es una unidad muy grande. El campo magnético terrestre en la superficie de la Tierra es de 5·10-5 T (aproximadamente). Los imanes convencionales de laboratorio pueden alcanzar los 2,5 T. La definición oficial de un Tesla se verá más adelante, al estudiar la acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento (punto 4). Otra unidad muy utilizada para la inducción magnética es el gauss. Esta unidad no es del S.I., por lo que requiere conocer su conversión a Teslas: 1 T = 104 gauss

⑤ Forma del campo magnético Una forma de ver la dirección que tiene un campo magnético es mediante una brújula, pues la dirección que toma la aguja es la dirección del mismo. Al igual que los campos gravitatorio y eléctrico, el campo magnético es un campo de fuerzas (vectorial) que se representa gráficamente mediante líneas de fuerza o líneas de campo que reciben el nombre de líneas de inducción magnética. Las líneas de inducción magnética cumplen las siguientes condiciones: - Salen del polo norte y entran en el polo sur de un imán. - Son cerradas, es decir, en un imán van desde el polo norte hacia el polo sur. Por esto no se pueden separar ambos polos de un imán, pues si los polos magnéticos se pudieran separar y aislar las líneas de campo seráin abiertas, empezarían o terminarían en cada polo aislado, como ocurre en las cargas eléctricas. Una experiencia clásica que permite ver el campo magnético creado por un imán rectangular consiste en esparcir limaduras de hierro sobre un papel que a su vez se encuentra sobre el imán. Las limaduras se distribuyen sobre el papel según las líneas de campo magnetico tal como se ve en la siguientes figuras. [5]

¿Cómo conseguir un campo magnético uniforme? Para conseguir un campo magnético uniforme se pueden enfrentar dos imanes planos por sus polos opuestos, la situación sería

También en un imán en U hay una zona donde

es uniforme

Estas zonas de campo magnético uniforme son muy interesantes en este tema para estudiar cómo se comportan las partículas cargadas en movimiento cuando penetran en dichas zonas. Campo magnético terrestre. Representación idealizada.

[6]

3) Determinación del campo magnético Los campos magnéticos utilizado mayormente en la industria y en laboratorios son los creados por corrientes eléctricas que circulan a través de una bobina. En cualquier caso, para determinar la expresión de la inducción magnética que cualquier conductor crea a su alrededor cuando pasa por el mismo una corriente eléctrica se utiliza la ley de Biot y Savart. Sea un hilo conductor cualquiera, situado en el vacío, por el que pasa una intensidad de corriente I. Deseamos conocer la inducción magnética pequeña longitud de hilo,

) creada por una

, en un punto P del espacio. La ley de Biot y Savart establece que la expresión de la inducción magnética en el punto P es ) Donde, → es una constante de proporcionalidad que depende del medio y que se denomina permeabilidad magnética en el vacío. Su valor es

Al igual que la permitividad eléctrica, la permeabilidad magnética en el aire es muy similar a la permeabilidad en el vacío. Las sustancias ferromagnéticas tienen una permeabilidad mayor a , pudiendo adquirir valores muy altos. Las sustancias paramagnéticas tienen una permeabilidad magnética cuyo valor es aproximadamente igual a . Las sustancias diamagnéticas tienen una permeabilidad magnética inferior a . El valor de la permeabilidad magnética de una sustancia se puede escribir,

donde

es la permeabilidad magnética relativa.

I → es la intensidad de corriente que circula por el hilo (en amperios). → es un elemento conductor de longitud dl. Su dirección es el propio hilo y su sentido es el de la intensidad de corriente1. → a este producto se le denomina “Elemento de corriente” → es un vector unitario cuya dirección y sentido viene expresado en la figura línea de unión de con el punto P). r → es la distancia del punto P, donde se quiere calcular el campo, al elemento de corriente. → es la intensidad del campo magnético diferencial, inducción magnética diferencial, creada por el elemento de corriente

en el punto P. Su dirección y sentido viene

determinada por las características del producto vectorial

.

1

Es importante hacer notar que el sentido de la intensidad de corriente es el contrario al de la corriente de electrones que forman la corriente eléctrica. El sentido de la intensidad de corriente se eligió por convenio antes de conocer la naturaleza de la corriente eléctrica, desde el polo positivo de una pila hasta el polo negativo.

[7]

Para determinar el valor de la inducción magnética total, creada por todo el conductor en el punto P es necesario determinar todas las intensidades magnéticas diferenciales, , de todos los elementos de corriente en que se divide el conductor y, después sumarlas (integración). El problema puede ser muy complejo pues su solución dependerá de la forma del conductor. En estos apuntes no se realizarán estas determinaciones (excepto para una carga aislada), sino que directamente se aportarán las soluciones que la ley de Biot y Savart da para los siguientes casos: -

Carga eléctrica aislada en movimiento Corriente eléctrica infinita Espira Solenoide

3.1.- Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento. Sea una carga eléctrica que se mueve con una velocidad en el vacío. El producto de la carga, q, por esta velocidad hace el papel, en la ley de Biot y Savart, del elemento de corriente. En efecto, si vemos las unidades de estos productos, →

→

→

→

Por tanto, en este caso, podemos escribir la ley de Biot y Savart de la siguiente forma, ) Como vemos, no se ha está midiendo un campo magnético diferencial, sólo el que crea una única carga. El módulo de la inducción magnética es, sen

sen

La dirección de la inducción magnética es perpendicular al plano que forman sentido es el de avance de un sacacorchos que gire desde hasta .

y . Su

3.2.- Campo magnético creado por una corriente eléctrica infinita. Si pudiéramos hacer un estudio experimental de la inducción magnética alrededor de un hilo por el que pasa una corriente eléctrica (experimento de Oërsted), observaríamos que: - Si la intensidad de corriente aumenta, la inducción magnética aumenta de forma proporcional, y viceversa. - Si la distancia al hilo aumenta, la inducción magnética disminuye de forma proporcional, y viceversa. - Si se cambia el medio, el campo magnético cambia.

[8]

Podríamos concluir que la expresión que establece la inducción magnética en un punto del espacio cercano a un hilo por el que pasa una corriente eléctrica debe tener en cuenta una relación directa con la intensidad de corriente que circula por el hilo, y una relación inversa con la distancia del punto considerado al hilo. En efecto, el módulo de la inducción magnética que crea una corriente eléctrica infinita es,

La dirección es perpendicular al hilo conductor y su sentido se determina por la “regla de la mano derecha”, que consiste en colocar el pulgar de la mano derecha en la dirección de la intensidad de corriente, entonces la dirección de la inducción magnética coincide con la dirección que marcan el resto de dedos de la mano.

A la hora de representar el campo magnético en el plano del papel, es conveniente establecer una simbología para representar una magnitud vectorial que es perpendicular al plano que forma el papel. Así, el símbolo ʘ indica que el sentido de la magnitud que se representa “sale del papel hacia fuera”. El símbolo ⦻, o simplemente un aspa, indica que que el sentido de la magnitud que se representa “entra hacia dentro del papel”. Por ejemplo, el campo magnético del hilo infinito que aparece en la figura anterior se puede representar

[9]

El ejemplo inverso viene representado en la siguiente figura,

Otros ejemplos de este tipo de representación

[10]

3.3.- Campo magnético creado por una corriente circular (espira). Hay muchos dispositivos, como electroimanes, transformadores,…, en los que los conductores están arrollados formando una bobina. Por ello es importante conocer el campo magnético creado por uno de estos arrollamientos como paso previo al conocimiento del campo magnético creado por el arrollamiento completo. De forma genérica, una espira es un conductor que se cierra sobre sí mismo y por el que circula una corriente uniforme. Centrándonos en una espira circular por la que circula una corriente I, el campo magnético en su centro viene dado por la expresión,

En cuanto a la dirección y sentido del vector inducción magnética en el centro de la espira (ver figura): - Dirección: perpendicular al plano de la espira. - Sentido: se aplica la regla del sacacorchos (o del tornillo), es decir, el sentido del vector es el de avance de un sacacorchos que gira según lo hace la intensidad de corriente que circula por la espira. Según el criterio adoptado a la hora de representar vectores perpendiculares al plano del papel, si representamos la espira en tal plano el campo magnético en el centro de la espira “entrará” o “saldrá” según sea el sentido de la corriente que circula por la espira.

3.4.- Campo magnético creado en el interior de un solenoide. Un solenoide es cualquier dispositivo físico capaz de crear una zona de campo magnético uniforme. Un ejemplo teórico es una bobina construida con un hilo conductor arrollado, formando espiras. Por él se hace circular una corriente eléctrica

[11]

El campo magnético uniforme se crea en el interior del solenoide, su forma será:

El valor de la inducción magnética en el interior del solenoide viene dado por la expresión,

siendo, N el número de espiras del solenoide y l la longitud del mismo. Como vemos, la permeabilidad magnética del medio se encuentra en el numerador. Dentro de los solenoides se introducen sustancias de permeabilidad magnética alta (como hierro dulce), para transformar las bobinas en potentes imanes. Si dentro del solenoide no hay nada la permeabilidad magnética será la del aire que, como hemos dicho, es aproximadamente igual a la permeabilidad magnética del vacío, .

Respecto a la dirección y sentido del vector : - Dirección: eje del solenoide - Sentido: regla de la mano derecha (ver figura), o del sacacorchos, es decir, el sentido de avance de un sacacorchos que gire según lo hace la intensidad de corriente que pasa por el solenoide.

En el exterior de un solenoide la forma del campo magnético es similar al creado por un imán rectangular, tal como se puede ver en las figuras anteriores.

[12]

4) Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento. Ya conocemos qué es la inducción magnética y las expresiones de algunos campos magnéticos creados por algunos conductores (en algunas zonas concretas cercanas a dichos conductores). Ahora vamos a analizar qué le ocurre a una carga (o varias) móvil cuando penetra en una región donde existe un campo magnético. Concretamente vamos a analizar los siguientes casos: - Comportamiento de una carga móvil aislada inmersa en un campo magnético. - Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica lineal. - Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio.

4.1.- Comportamiento de una carga móvil aislada inmersa en un campo magnético. ① Sea q una carga positiva que se mueve en el seno de un campo magnético con una velocidad . Por estar inmersa en dicho campo, y por estar moviéndose, esta carga experimenta una fuerza magnética, ② Dado que se trata de una carga eléctrica, también es susceptible de experimentar una fuerza eléctrica ) si, además, se encuentra inmersa en un campo eléctrico, . Por tanto, la fuerza global sobre la carga sería:

Esta fuerza recibe en nombre de fuerza de Lorentz, es la fuerza ejercida por el campo electromagnético sobre una carga eléctrica aislada en movimiento. ③ La expresión de la fuerza eléctrica ya ha sido analizada en el tema dedicado al campo eléctrico,

④ Falta por conocer la expresión de la fuerza magnética. Supongamos en primer lugar la situación general de la figura adjunta. La carga q se mueve con una velocidad cuyo vector, , forma un ángulo α con el vector inducción magnética, . Las direcciones y sentidos elegidos en la figura son totalmente arbitrarios. La expresión de la fuerza magnética es ) por tanto, debemos hacer un producto vectorial de los vectores velocidad e inducción magnética. El resultado de aplicar esta expresión es un vector cuyas características son: - Módulo,

sen

- Dirección, perpendicular al plano que forman los vectores

y .

- Sentido. El de avance de un sacacorchos que gire en el sentido → . También se puede aplicar la regla de la mano izquierda, representada en la siguiente figura, [13]

Por tanto, para el caso general representado en la figura anterior, el sentido de la fuerza magnética será el positivo del eje z.

⑤ Consideraciones importantes sobre la fuerza magnética. - La fuerza magnética es máxima cuando los vectores

y

son perpendiculares,

sen esta expresión permite definir el Tesla como unidad de inducción magnética en el S.I. Si despejamos la intensidad del campo magnético, →

Un tesla es la inducción de un campo magnético que ejerce una fuerza de un newton sobre una carga de un culombio cuando se mueve con una velocidad de un metro por segundo en el interior del campo, perpendicularmente a las líneas de inducción.

- El sentido de la fuerza magnética con la regla de la mano izquierda sólo es válida para cargas positivas. Hay que tener en cuenta por tanto que si la carga que se mueve en el campo magnético es negativa el sentido de la fuerza magnética es el contrario al que da la regla de la mano izquierda.

[14]

4.2.- Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica lineal. Como sabemos, la corriente eléctrica es un conjunto de cargas eléctricas en movimiento (electrones). Desde el punto de vista magnético, una corriente eléctrica: - Crea su propio campo magnético. - Puede sufrir (las cargas que forman la corriente y, por tanto, el hilo conductor por el que circulan) la fuerza de Lorentz si se introduce el conductor en el seno de un campo magnético externo. Es este aspecto el que se va a analizar en este apartado.

Supongamos un hilo conductor (cobre) que se introduce en el seno de un campo magnético uniforme. Por el hilo no circula corriente eléctrica alguna. En esta situación se puede afirmar que el hilo conductor no está sometido a ninguna fuerza pues aunque los electrones de los átomos del hilo están en movimiento, realmente este movimiento es aleatorio y la fuerza magnética global se anula. Supongamos ahora que por el hilo circula una corriente de intensidad I. En esta situación, cada uno de los electrones que forma la corriente eléctrica experimenta una fuerza magnética con una dirección y sentido concreto. Globalmente el hilo se ve sometido a una fuerza que vamos a determinar. Para un electrón que forma parte de la corriente eléctrica la fuerza a que se ve sometido es ) donde e es la carga del electrón. Para todos los electrones que forman la corriente eléctrica en un instante, )

Como todos los electrones llevan la misma velocidad, tienen la misma carga y están sometidos al mismo campo magnético, podremos poner )

)

donde N es el número de electrones que han están pasando en un instante t. Vamos a desarrollar la expresión un poco más. La velocidad de los electrones en la corriente eléctrica viene dada por

[15]

donde t es el tiempo que tardan los electrones en recorrer la longitud , que es el vector longitud del hilo. Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que la intensidad de corriente y cuyo módulo es la longitud de hilo que está sometida a la acción del campo eléctrico. Por tanto, )

→

)

ahora bien, por definición, la intensidad de corriente es la cantidad total de carga que pasa por la sección de un conductor en la unidad de tiempo,

En definitiva, ) expresión que se conoce como primera ley de Lapace y que permite estimar el valor de la fuerza magnética a que se ve sometido un hilo de corriente en el seno de un campo magnético. - Módulo: donde α es el ángulo que forma el hilo y el campo magnético. - Dirección: perpendicular al plano que forma el hilo y el campo magnético. - Sentido: regla de la mano izquierda

Hay que tener en cuenta que las cargas eléctricas que se mueven son electrones, que se mueven en sentido contrario al asignado a la intensidad. Por tanto, el dedo corazón debe indicar el sentido de la intensidad y no del movimiento de los electrones. En el ejemplo representado en la página anterior, el sentido de la fuerza es

[16]

4.3.- Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio. Según estamos viendo, -Una corriente eléctrica genera un campo magnético. -Una corriente eléctrica, hilo conductor, inmerso en un campo magnético se ve sometido a una fuerza magnética. Es evidente que las dos cosas ocurren a la vez, por tanto, si acercamos dos hilos por los que pasa corriente, ambos hilos generan su propio campo magnético y además ambos hilos se ven afectados por la corriente eléctrica vecina ya que se suponen los suficientemente próximos entre sí. Supongamos la siguiente situación de partida: dos hilos paralelos e infinitos por los que circulan sendas corrientes de intensidad Ia e Ib, en el mismo sentido. La distancia entre los hilos es d.

Vamos a representar la dirección y sentido del campo magnético que genera la corriente a en el punto donde se encuentra el hilo b (Ba) y viceversa.

Los módulos de estos campos son,

→ →

[17]

La fuerza a que se ve sometido el conductor a, por estar inmerso en el campo magnético del conductor b, ,

,

→

, es ,

sen

La fuerza a que ve sometido el conductor b, por estar inmerso en el campo magnético del conductor a, ,

,

, es

→

,

sen

Ambas fuerzas son iguales en módulo y dirección, pero de sentidos opuestos y aplicadas sobre cuerpos diferentes (tercer principio de la Dinámica). La dirección y sentido de dichas fuerzas viene representada a continuación (regla de la mano izquierda),

Por tanto, ambos conductores se atraen con una fuerza cuyo módulo es

Dado que estamos considerando los dos hilos paralelos como infinitos, es conveniente cambiar la longitud de sitio y determinar la fuerza por unidad de longitud que se establece entre los dos hilos,

Es claro que si las intensidades que circulan por los dos hilos tienen sentidos opuestos, el módulo y dirección de las fuerzas no cambia, pero sí su sentido. En esta situación los hilos se repelen,

[18]

El hecho de que dos conductores ejerzan fuerzas de atracción o de repulsión entre ellos se ha tomado como criterio para definir la unidad de intensidad de corriente en el S.I.:

Amperio: es la corriente que, circulando por dos conductores paralelos e indefinidos, separados por una distancia de un metro en el vacío, produce sobre cada uno una fuerza de 2·10-7 N por metro de longitud de conductor.

Efectivamente, si los hilos están en el vacío, Ia = Ib = 1 A, y d = 1 m,

Ampliación. Fuerzas sobre una espira rectangular plana en el seno de un campo magnético. Fundamento del funcionamiento de un galvanómetro. Consideramos inicialmente una espira rectangular de lados a y b recorrida por una intensidad de corriente I en el sentido indicado por la figura, y sometida a la acción del campo magnético uniforme, . En esas condiciones se originan fuerzas en cada lado de la espira cuyo módulo dirección y sentido vienen dados por la ley de Laplace.

[19]

[20]

El galvanómetro es un aparato que se utiliza para medir pequeñas corrientes eléctricas. En la figura 1 se muestran sus componentes principales. Un imán permanente y un núcleo de hierro dulce hacen que el campo magnético tenga una inducción prácticamente constante (en la figura, por la forma del imán, el campo magnético es uniforme y radial). Entre los polos hay una bobina rectangular que puede girar sobre un eje que pasa por su centro, y está unida a una aguja que señala sobre una escala graduada. Cuando pasa una corriente por el aparato, la bobina gira un ángulo proporcional a dicha corriente, valor que la aguja marcará en la escala. Un resorte de acero hace que la aguja vuelva a la posición cero cuando cesa la corriente. El galvanómetro puede servir para medir corrientes más grandes si se conecta a una resistencia apropiada, llamada resistencia de derivación (shunt) de forma que pase casi toda la corriente por ella (derivación de baja resistencia). Por la bobina pasará una corriente determinada muy pequeña, suficiente para mover la aguja sobre la escala. Con estas características el galvanómetro recibe el nombre de amperímetro (figura 2).

[21]

[22]

Problemas resueltos. Un electrón, con una energía cinética de 6·10-16 J penetra en un campo magnético uniforme de 4·10-3 T de forma que la dirección del campo es perpendicular a la dirección del movimiento del electrón. a) ¿A qué fuerza está sometido el electrón dentro del campo? b) ¿Cuánto vale el radio de la trayectoria que describe? a) La situación viene representada en la figura adjunta. Cuando un electrón se mueve con una velocidad (a lo largo del eje x) y penetra en una zona donde existe un campo magnético uniforme y perpendicular a dicha velocidad (representado en el eje z, en sentido negativo de dicho eje –hacia dentro del papel-), experimenta una fuerza magnética cuyo valor es ) donde e es la carga del electrón. El módulo de esta fuerza es

La dirección del vector fuerza es perpendicular al plano que forman el vector campo y el vector velocidad (eje y). La regla de la mano izquierda permite determinar el sentido de la fuerza magnética para una carga positiva, como se trata de una carga negativa el sentido de la fuerza magnética será el contrario al que determine dicha regla, es decir, la fuerza va dirigida hacia valores negativos del eje y (ver figura). Para determinar el módulo de la fuerza necesitamos saber la velocidad del electrón, dato que obtendremos a partir del valor de su energía cinética. →

,

,

como vemos, ha sido necesario consultar el valor de la masa del electrón. Por tanto, ,

,

,

Para el sistema de referencia representado en la figura, ,

)

b) La trayectoria de una partícula sobre la que se ejerce una fuerza y que se mueve con una velocidad perpendicular a dicha fuerza, de manera que esta condición de perpendicularidad se mantiene sólo en el instante inicial, será una parábola. Se trata de, por ejemplo, un tiro horizontal en el caso de un campo gravitatorio, o de una partícula cargada que penetra en perpendicularmente a un campo eléctrico uniforme.

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Sin embargo, este no es el caso pues se trata de una partícula (el electrón) sobre el que se ejerce una fuerza que en todo momento es perpendicular a la velocidad de la misma, es decir, es una fuerza central. Por tanto, su trayectoria será una circunferencia.

Como en este caso la fuerza centrípeta es la fuerza magnética, podemos escribir las expresiones de ambas fuerzas (en módulo)

despejando el radio de curvatura,

expresión que se puede generalizar para cualquier tipo de carga que penetre en un campo magnético uniforme perpendicularmente a dicho campo,

Para el caso que nos ocupa, ,

, ,

Recordar también aquí que, al tratarse de un movimiento circular uniforme, se pueden utilizar las conocidas expresiones de dicho movimiento.

[24]

Una partícula alfa sale perpendicularmente del plano del papel con una velocidad de 20000 km/s. En el instante en que la partícula sale del papel penetra en un campo magnético uniforme de 2·10-2 T. La dirección del campo es el plano del papel, de izquierda a derecha y horizontal. Encontrar la fuerza que actúa sobre la partícula y el radio de su trayectoria. Datos: carga del electrón = 1,6·10-19 C, masa del protón = masa del neutrón = 1,67·10-27 kg. Este problema es en su resolución idéntico al anterior, con la diferencia de que se trata de una carga positiva y que las direcciones de la velocidad y del campo magnético vienen impuestas. Una partícula alfa es un núcleo de helio, es decir, un átomo de helio que ha perdido sus dos electrones, í → Por tanto, su carga y su masa serán, ,

, ,

,

Según las direcciones de la inducción magnética y de la velocidad de la partícula, esta se ve sometida a una fuerza cuya dirección y sentido viene mostrada en la figura adjunta, es decir, ,

La fuerza a que ve se sometida la partícula en el momento de salir del papel es, según la ley de Lorentz, ) El módulo de esta fuerza será, ,

,

Por tanto, para el sistema de referencia utilizado, , En cuanto al radio de curvatura de la trayectoria circular que sigue la partícula, su expresión, deducida en el problema anterior es,

De donde , ,

,

Como vemos, comparando con el radio de curvatura de un electrón (problema anterior), su valor ha aumentado considerablemente, resultado, fundamentalmente, del aumento de la masa de la partícula cargada que penetra en el campo.

[25]

Una varilla de 0,2 kg de masa y 0,3 m de longitud es recorrida por una corriente de 12 A. La varilla se encuentra sobre un plano horizontal. Se aplica un campo magnético vertical de intensidad creciente de manera que cuando este vale 0,02 T la varilla comienza a deslizar. Determinar el coeficiente estático de rozamiento entre el suelo y la varilla.

a) Al encontrarse la varilla en el seno de un campo magnético y pasar por ella una corriente eléctrica, la varilla se ve sometida a una fuerza magnética cuyo valor es (ley de Laplace), ) El sentido la fuerza es (regla mano izquierda) perpendicular a la varilla hacia fuera del papel. Podemos representar las fuerzas que se ejercen sobre la varilla, si la miramos como se indica

El valor del la inducción magnética va creciendo de manera que cuando vale 0,02 T la fuerza magnética que genera sobre la varilla es tal que está a punto de empezar a deslizar. En esta situación los módulos de las fuerzas cumplen con la condición → donde FR es la fuerza de rozamiento que, al estar la varilla aún parada, depende del coeficiente estático de rozamiento, → sen

→

sen , ,

, ,

,

[26]

Por un alambre de cobre, situado en el ecuador terrestre y paralelamente a él, pasa una corriente que lo mantiene flotando en el aire por la acción del campo magnético terrestre. Determine la intensidad de corriente que es necesario que pase por dicho alambre. Datos. Campo magnético terrestre, B = 0,00005 T; densidad lineal del conductor = 8 g/m. Situación descrita en el problema

para que esto ocurra debemos hacer pasar una corriente por el hilo que, al estar inmerso en el campo magnético terrestre, hace que sobre el hilo se ejerza una fuerza magnética que contrarreste el peso del hilo. Como la dirección del campo magnético terrestre es de norte a sur, la dirección de la intensidad de corriente y de la fuerza magnética deben ser las siguientes (regla de la mano izquierda)

Donde el valor de la fuerza magnética viene dado por la ley de Laplace ) En la situación de equilibrio, los módulos de las fuerzas peso y magnética son iguales, →

sen

Despejando

Como un metro de hilo pesa 8 gramos, ,

[27]

Calcula la fuerza a que se verá sometido cada uno de los lados del triángulo de la figura. Datos: I = 0,5 A; B = 0,2 T; ; ;

El campo magnético es uniforme y va dirigido de forma horizontal desde el polo norte al sur. Cada uno de los tramos del triángulo se ve sometido a una fuerza magnética ya que por ellos está pasando una corriente eléctrica y se encuentran inmersos en un campo magnético. La expresión que permite calcular esta fuerza es la ley de Laplace, ) Estableceremos primero un sistema de referencia (ver figura). En estas condiciones,

,

)

Tramo . La fuerza a que está sometido el hilo es, en módulo, sen

,

,

,

,

Su dirección es perpendicular al plano que forman el hilo y la inducción magnética, es decir, el eje z. Su sentido es el positivo del eje z (regla de la mano izquierda). Por tanto, para el sistema de referencia de la figura, , Tramo

)

. sen

luego este hilo no se ve sometido a fuerza alguna ya que la intensidad de corriente tiene la misma dirección que la inducción. Tramo

. sen

,

,

,

sen

Debemos determinar el valor del ángulo. Para ello, si observamos la figura adjunta, , ,

sen

,

arcosen ,

[28]

Por tanto, ,

,

,

sen

,

La dirección de esta fuerza es perpendicular al plano que forman el hilo y la inducción magnética, es decir, el eje z. Su sentido es el negativo del eje z (regla de la mano izquierda). Por tanto, para el sistema de referencia de la figura, ,

)

El triángulo girará

Dos espiras circulares de radio 2π metros se colocan en ángulo recto una respecto de la otra con centro común. Una de ellas, situada en el plano xy, es recorrida por una corriente de 3 A. La otra, recorrida por una corriente de 4 A, está situada en el palo yz. ¿Cuál es el valor del campo magnético en el centro?

La situación viene representada en la figura adjunta. Los sentidos de las intensidades son supuestos pues no se mencionan en el enunciado del problema. El módulo de la inducción magnética creada por una espira circular en su centro y en el vacío viene dado por la siguiente expresión,

Empecemos por la espira del plano yz, recorrida por la intensidad I’

A,

Su dirección es perpendicular al plano de la espira y su sentido es el de avance de un sacacorchos que gire como lo hace la intensidad de corriente (véase figura), por tanto, ) En cuanto a la espira del plano xy, recorrida por I = 3A,

[29]

En la figura anterior se puede ver la dirección y sentido de la inducción magnética. Por tanto, ) Aplicando el principio de superposición, la inducción magnética en el centro de las dos espiras será,

cuyo módulo es, )

)

Cuatro conductores paralelos largos transportan corrientes de igual magnitud, 2 A, cuyos sentidos vienen indicados en la figura. Calcular el campo magnético en el centro del cuadrado que definen los cuatro conductores.

Cada hilo genera su propio campo magnético en el centro del cuadrado. Las direcciones y sentidos de dichos campos vienen reflejadas en la figura adjunta. La dirección y sentido de cada uno de estos campos se determina teniendo en cuenta que las líneas de campo generadas por una corriente rectilínea son circunferencias con centro en la línea de corriente y colocadas en planos perpendiculares a ella. El sentido de estas líneas es el indicado por los dedos de la mano derecha cuando se coge el conductor de modo que el dedo pulgar señala el sentido de la corriente. La mitad de la diagonal del cuadrado mide ,

,

,

Los módulos de los campos generados por cada hilo son iguales al ser las intensidades de corriente que circulan por ellos iguales. Su valor se puede determinar a partir de la expresión

,

,

Si el sistema de referencia tiene como ejes x e y las propias diagonales del cuadrado, podemos anotar las inducciones magnéticas en el centro del cuadrado como sigue,

[30]

, , La inducción total en el centro del cuadrado es, ,

,

Cuyo módulo es ,

Dos conductores rectilíneos y paralelos están separados entre sí una distancia de 15 cm. Ambos están recorridos por una intensidad de corriente. Por el primero de ellos pasan 54000 culombios cada hora y por el segundo pasan 10 A. Determinar: a) El valor de la fuerza que actúa por unidad de longitud sobre cada conductor. b) El valor de la inducción magnética en cada uno de los dos puntos pertenecientes al plano determinado por ambos conductores y equidistantes 20 cm del primero de ellos. a) La intensidad de corriente que pasa por el primer hilo es

El enunciado no indica el sentido relativo de la corriente entre ambos hilos. Se considerará que el sentido de la corriente es el mismo en los hilos, como se muestra en la figura adjunta. Las fuerzas que se establecen entre dos hilos infinitos son de atracción si los sentidos de la corriente coinciden. Son de repulsión si los sentidos de la corriente son contrarios (véase pág. 17 y siguientes). El módulo de dicha fuerza por unidad de longitud es

,

b) Los dos puntos que están en el mismo plano que los hilos y que equidistan 20 cm del primer hilo son los marcados en la figura siguiente

Punto 1. El hilo 1 y el hilo 2, al llevar corriente, generan en P1 un campo magnético, El campo total sobre P1 será, según el principio de superposición,

respectivamente.

[31]

Los módulos son, , ,

,

Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, la dirección y sentido de la inducción magnética creada por cada hilo es (regla de la mano derecha) la representada a continuación.

Por tanto, ,

,

)

Punto 2. Operando de la misma manera,

Los módulos son, ,

, Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, la dirección y sentido de la inducción magnética creada por cada hilo es (regla de la mano derecha) la representada a continuación.

Por tanto, )

[32]

Un alambre recto y largo conduce una corriente I en el sentido +x, mientras que un segundo conductor transporta una corriente I/2 según el sentido +y. ¿En qué puntos la inducción magnética resultante es nula? La situación de partida viene representada en la figura adjunta. Cada hilo genera un campo magnético. El módulo del campo generado por el hilo del eje x depende de forma directa de la intensidad que circula por dicho hilo y de forma inversa de la distancia en línea recta perpendicular a dicho hilo, es decir, depende de la distancia medida sobre el eje y:

De la misma manera, el campo generado por el hilo del eje y depende de la distancia en línea recta perpendicular a dicho hilo, es decir, depende de la distancia medida sobre el eje x:

Ambos campos se pueden anular en aquellos puntos donde sus sentidos sean opuestos. Si observamos dichos sentidos (regla de la mano derecha), esto solo puede ocurrir en el primer y tercer cuadrante. En esos lugares, puede haber puntos donde

→ Aquellos puntos que verifican la ecuación de la recta y = 2x son los buscados.

[33]

Un electrón se mueve en una región sin ningún campo de fuerzas, con una velocidad de 100.000.000 m/s, en la dirección y sentido indicados en la figura, y llega a un punto, P, en el que entra en una región con un campo magnético perpendicular al papel y hacia dentro,

¿Qué intensidad ha de tener el campo magnético para que el electrón vuelva a la primera región por un punto, Q, situado a 30 cm de P? ¿A qué lado del punto P está situado Q? El razonamiento en este problema es idéntico al problema de la página 24. Se anotarán aquí directamente las ecuaciones y sus resultados. Fuerza que se ejerce sobre el electrón al penetrar en el campo magnético, es la carga del electrón. El módulo de esta fuerza es

, donde e

Su dirección es vertical sobre el papel y su sentido hacia abajo. Esta fuerza obliga al electrón a describir una trayectoria circular dentro del campo magnético. En módulo

despejando el radio de curvatura,

Para el caso que nos ocupa, para que el electrón salga a 30 cm sobre la vertical del punto de entrada debe recorrer media circunferencia de radio 15 cm. En esta situación, , ,

,

,

Tal como se indica en la figura, el electrón describe una semicircunferencia en el sentido horario saliendo del campo por debajo del punto P.

[34]

Un electrón se mueve a 20000 km/s. Penetra en un condensador plano que tiene 1000 V de diferencia de potencial ente sus placas y una distancia entre las mimas de 1 cm. La dirección de entrada del electrón en el condensador es perpendicular a las líneas de campo eléctrico. ¿Cómo hay que colocar un imán para que la trayectoria del electrón siga recta? ¿Cuál es la inducción magnética de dicho imán? Analicemos primero el movimiento del electrón entre las placas del condensador. La situación descrita en el problema viene representada en la figura adjunta, en la que también se ha establecido un sistema de referencia. Cuando el electrón penetra entre las placas del condensador, se ve sometido a una fuerza eléctrica debido a que entre dichas placas hay un campo eléctrico (representado en la figura). El electrón es atraído hacia la placa positiva y, en esta situación, describirá una trayectoria parabólica hasta que impacte con la placa. El módulo de la fuerza eléctrica es

donde e es la carga del electrón, las mismas.

, la diferencia de potencial entre las placas y d la distancia entre

Para que el electrón siga recto es necesario compensar la fuerza eléctrica con otra fuerza, en este caso magnética, resultado de colocar adecuadamente un imán. Es claro que la fuerza magnética que sufra el electrón, por la acción del campo magnético del imán, debe de ir dirigida en sentido opuesto a la fuerza eléctrica y tener el mismo valor en módulo.

La expresión de la fuerza magnética es ) y su módulo sen Para que la dirección y sentido de la fuerza magnética sea la de la figura, el campo magnético debe tener la dirección del eje x en su sentido positivo α

º). Esto es así porque el vector

está

dirigido según el producto vectorial de por y su sentido está determinado por la carga de la partícula. En este caso, al tratarse de un electrón, el sentido de la fuerza es el contrario al correspondiente a dicho producto vectorial. Por tanto, →

[35]

Para el sistema de referencia elegido )

Estos apuntes se finalizaron el 29 de marzo de 2011 en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España). Realizados por: Felipe Moreno Romero [email protected] http://www.escritoscientificos.es

[36]