1. MODELAMIENTO DE SISTEMAS: FUNDAMENTOS 1.1 INTRODUCCION Un sistema representa una unidad donde se hacen tratamientos físicos o químicos de materiales que puede ser contrastada con un modelo que representa una descripción matemática del sistema real. La disposición de varios sistemas unidos entre sí por flujos comunes de materiales y/o información constituye un proceso. La salida del proceso es una función no solamente de las características de sus sistemas (o subsistemas) sino también de sus interacciones o interrelaciones. Una propiedad del sistema o de su entorno a la que se le puede asignar valores numéricos arbitrarios se denomina como un parámetro. También puede ser una constante o el coeficiente de una ecuación. El estudio de un proceso, mediante la manipulación de su representación matemática o de su modelo físico, constituye una simulación. Los estudios clásicos de un proceso en estado estacionario se complementan con un análisis dinámico, lo que exige un conocimiento de los criterios de estabilidad y de los métodos de operación para evaluar exitosamente el funcionamiento del proceso El análisis de sistemas se refiere al reconocimiento y definición de problemas, su planteamiento o modelamiento mediante la aplicación de principios científicos y el desarrollo de procedimientos de solución con cuyos resultados se adquiera una total comprensión de la situación. El análisis y la simulación de procesos presentan las siguientes ventajas: 1. Experimentación Continua: Es posible estudiar procesos existentes en una forma mas rápida, económica y completa que en la planta real. La simulación puede aumentar o reducir el tiempo real de una forma análoga a como una cinematográfica acelera o retarda las imágenes; de esta forma se puede observar más fácilmente la operación del sistema. 2. Extrapolación: Con un modelo matemático adecuado se pueden ensayar intervalos extremos de las condiciones de operación, que pueden ser impracticables o imposibles de realizar en una planta real. También es posible establecer características de funcionamiento 3. Estudio de conmutabilidad y evaluación de otros planes de actuación: Se pueden introducir nuevos factores o elementos de un sistema y suprimir otros antiguos al examinar el sistema con el fin de ver si estas modificaciones son compatibles. La simulación permite comparar distintos diseños y procesos

2

que todavía no están en operación y ensayar hipótesis sobre sistemas o procesos antes de llevarlos a la práctica 4. Repetición de experimentos: La simulación permite estudiar el efecto de la modificación de las variables y parámetros con los resultados producibles. En el modelo matemático se puede introducir o retirar a voluntad un error, lo cual no es posible en la planta real 5. Control de cálculo: La simulación constituye una importante ayuda material para el estudio de los sistemas de control con lazos abiertos y cerrados 6. Ensayo de sensibilidad: Se puede ensayar la sensibilidad de los parámetros de costos y básicos del sistema; por ejemplo, un incremento de un 10 % en la velocidad de alimentación podrá tener, según los casos, un efecto mínimo o muy importante sobre el funcionamiento del sistema 7. Estudio de la estabilidad del sistema: Se puede examinar la estabilidad de sistemas y subsistemas frente a diferentes perturbaciones

1.2 TIPOS DE MODELOS DE SISTEMAS Debido a su utilización en diversos campos de la ciencia, es imposible incluir dentro de una sola definición las diferentes acepciones de la palabra modelo. Un sistema se puede modelar mediante, ya sea, una construcción física o analógica, una representación gráfica o un mapa, un enunciado teórico o un planteamiento matemático. Es decir, se pueden describir los siguientes tipos de modelos: 1. Modelos Físicos: Son construcciones materiales que representen sistemas como barcos, plantas pilotos, maquetas de edificios y otros 2. Modelos Analógicos: Son construcciones materiales que representen circuitos eléctricos, electrónicos o mecánicos 3. Teorías Provisionales: Son postulaciones que explican comportamientos fenomenológicos en sistemas como la de los gases ideales o la de la gota de líquido para la nucleación 4. Gráficos o Mapas: Son representaciones mediante símbolos convencionales de estructuras de sistemas que explican en algunos casos su organización o su distribución o su logística, etc. Por ejemplo, la representación de un proceso químico mediante su diagrama de flujo

Mach 2

3

5. Enunciados matemáticos y modelos en forma de símbolos: Son sistemas de ecuaciones que expresan simbólicamente el fenómeno que se desarrolla en el sistema. Por ejemplo, el modelamiento matemático que exprese el flujo y los cambios de materia y energía a través de un reactor ideal de mezcla completa.

1.3 MODELOS MATEMATICOS Los modelos matemáticos son los que mas utiliza el ingeniero químico para el análisis de sus procesos. El tipo mas aplicado es el que modela los fenómenos de transporte de masa, energía y cantidad de movimiento a través de un sistema, pero en algunos casos se hace necesario el planteamiento de un modelo del tipo balance de población o el ajuste de una información conocida a un modelo matemático que empíricamente permita su análisis. La descripción de cada uno de estos tipos de modelos matemáticos es la siguiente: 1. Modelos de Fenómenos de Transporte: Se aplican en sistemas donde se desarrollan fenómenos de transporte de entidades como materia, energía y cantidad de movimiento, como el flujo de fluidos en tuberías y el flujo de materia y calor en reactores y columnas de destilación. 2. Modelos de Balance de Población: Se aplican en sistemas donde se hace necesario plantear un modelo de balance de población para describir las propiedades de la masa reaccionante en una localización puntual, como su concentración, temperatura o tiempo de residencia. Por ejemplo, en un reactor agitado que no se cumple el idealismo de un mezclado perfecto y, por lo tanto, no se cumple la consideración de una igualdad de condiciones en cada una de las localidades en la masa reaccionante. 3. Modelos Empíricos: Se aplican a un sistema del que se tiene conjunto de datos discretos de sus propiedades y pueden ajustarse a una ecuación matemática que satisfaga la correspondencia dato a dato. Puede utilizarse como recurso de interpolación

1.3.1 MODELOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE Para un ingeniero químico, los sistemas que le competen son aquellos en los que se realizan transformaciones físicas o químicas ya sea en forma continua o discontinua. Estos sistemas se pueden modelar aplicando los principios de conservación de masa, energía y cantidad de movimiento, es decir, como modelos de fenómenos de transporte.

Mach 3

4

Los modelos de fenómenos de transporte son representaciones matemáticas de los procesos reales en distintos niveles de descripción que se relacionan con la complejidad del detalle físico interno.

Tipos de Modelos de Fenómenos de Transporte Una clasificación, en orden descendente, de acuerdo al grado de detalle de la descripción fisicoquímica es: 1. Descripción Atómica y Molecular: Se caracteriza porque trata un sistema arbitrario como si estuviese compuesto de entidades individuales, cada una de las cuales sigue ciertas leyes. En consecuencia, las propiedades y las variables de estado del sistema se obtienen como suma de todas las entidades. La mecánica cuántica, la mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio, así como la mecánica clásica constituirían métodos típicos de análisis mediante los cuales se podrían calcular teóricamente todas las propiedades y formas de respuesta de un sistema. 2. Descripción Microscópica: Corresponde a un tratamiento fenomenológico del problema y admite que el sistema puede considerarse como continuo. Se ignoran las interacciones moleculares detalladas y se plantean ciertas ecuaciones de balance diferencial para materia, energía y cantidad de movimiento. Cada balance, a través del sistema, puede expresarse en la siguiente forma:  Rapidez Neta   Flujo Neto   Flujo Neto  Rapidez Neta   Rapidez Neta            de de de de de  = − + −   Acumulación   Entrada   Salida   Generación   Consumo           

Al construir el modelo se reemplaza cada uno de los términos anteriores por expresiones matemáticas que sean tan rigurosas y a la vez contengan tan pocos parámetros desconocidos como sea posible. Cada balance se plantea para cada una de las direcciones en el espacio en que se considera el sistema y, por lo tanto, el modelo lo constituye una ecuación diferencial parcial. Se aplica, por ejemplo, a fenómenos de transporte laminar y teorías estadísticas de la turbulencia. 3. Descripción de Gradiente Múltiple: En este nivel se incorpora menos información detallada acerca de las características internas del sistema que en Mach 4

5

el caso de la descripción microscópica. Las formas de las ecuaciones matemáticas están sugeridas y corresponden a las ecuaciones de transporte microscópico pero con coeficientes modificados. La característica esencial de la descripción de gradiente múltiple es que son importantes uno o más términos de dispersión que deben ser retenidos en el modelo, con o sin los términos convectivos. El modelo de gradiente múltiple se aplica en procesos con flujo turbulento o en el flujo con pasos muy complicados como el que tiene lugar en lechos de relleno o medios porosos, procesos en los que no se puede medir ni calcular el campo de velocidad local. 4. Descripción de Gradiente Máximo: Es una forma menos detallada de descripción que se puede considerar como un modelo simplificado de gradiente múltiple en el que se suprimen los términos de dispersión y solamente se conserva una derivada en términos del flujo global. Cuando no se intenta analizar el detalle interno de los modelos de gradiente múltiple se realizan suposiciones simplificables adicionales con lo cual se obtienen ecuaciones matemáticas de fácil tratamiento que resultan, no obstante, muy satisfactorias para numerosos fines. En el modelo de gradiente máximo se desprecia toda la dispersión y solamente el mayor componente (unidimensional) del gradiente de la variable independiente se considera en cada balance. Por ejemplo, en la representación de gradiente máximo de un reactor químico o sistema de absorción de gases, solamente se consideran los gradientes de concentración en la dirección axial originados por el flujo global, mientras que los gradientes que los gradientes radiales, la dispersión, etc, se ignoran. Los modelos de gradiente máximo son los generalmente considerados en los libros elementales para los procesos continuos y se pueden generalizar a un balance con los siguientes términos:  Transporte  {Acumulación} + {Transporte Global} = {Generación} + a traves de la   sup erficie   

El balance de materia para cada especie “i” y el balance de energía se expresan, respectivamente, con las siguientes ecuaciones:

Balance de materia de la especie i,

Mach 5

∂ci ∂ (v z ci ) = Ri + mi( t ) + ∂t ∂z

6

Balance de energía

∂T   ∂T (t ) + vz  = SR + E ∂z   ∂t

ρC p 

La descripción del gradiente máximo reduce los principios fisicoquímicos a ecuaciones diferenciales menos detalladas. El balance de cantidad de movimiento se ignora puesto que normalmente se supone que la velocidad es constante o bien una función sencilla de “z”. En el balance de energía el término S R representa la energía neta desprendida por el proceso durante la(s) reacción(es) que se representa por Ri en el balance(s) de materia. El término mi(t ) tiene en cuenta la velocidad de transferencia molar, por unidad de volumen de la especie “i”, a través de los límites del sistema de área “S” ( mi(t ) es positivo cuando se introduce materia). En el balance de energía E (t ) representa la transferencia de interfase de energía a través de los límites del sistema por unidad de volumen por uno o bien una combinación de los siguientes mecanismos: conducción, convección, radiación, trabajo mecánico o transferencia de materia que le acompaña. Finalmente, en el modelo de gradiente máximo es importante recordar que las concentraciones y temperaturas ya no son valores puntuales sino valores promediados para la sección transversal y son funciones de una sola dirección coordenada. La descripción del gradiente máximo reduce los principios fisicoquímicos a unas ecuaciones diferenciales menos detalladas. 5. Descripción Macroscópica: En este nivel se ignora todo detalle dentro del subsistema especificado y, en consecuencia, en el planteamiento matemático no intervienen gradientes espaciales. En los balances generales, solamente el tiempo permanece como una variable diferencial independiente. Las variables dependientes, tales como concentración y temperatura, no son funciones de la posición y, por tanto, representan valores medios para todo el volumen del subsistema. Esta pérdida de detalle simplifica grandemente la descripción matemática, pero como contrapartida, lleva consigo una pérdida de información concerniente a las características del comportamiento del sistema. Este tipo de modelo es el que se planteará en los siguientes capítulos para el análisis dinámico de sistemas.

1.4 CARACTERIZACION DE UN MODELO MATEMATICO Diferentes criterios son significativos para la caracterización de un modelo matemático como determinístico o probabilístico, de variable continua o discreta, en estado estacionario o dinámico, de parámetro globalizado o distribuido.

Mach 6

7

Según la caracterización del modelo se requerirán procedimientos y restricciones matemáticas específicas para su solución. Un modelo de parámetro globalizado se plantea con una ecuación diferencial ordinaria mientras que uno de parámetro distribuido se expresa mediante una ecuación diferencial parcial. Un modelo en estado estacionario no incluye las variaciones de las propiedades del sistema en el tiempo y, por lo tanto, su descripción puede ser una ecuación algebraica en el caso de un modelo de parámetro globalizado o una ecuación diferencial en el caso de un modelo de parámetro distribuido

Modelo Determinístico y Modelo Probabilístico Los modelos determinísticos son aquellos en los que cada variable y parámetro puede asignarse a un número fijo definido o una serie de números fijos para una serie dada de condiciones. Por el contrario, en los modelos probabilísticas o estocásticos se introduce el principio de incertidumbre y, por lo tanto, las variables o parámetros utilizados para describir las relaciones entrada-salida y la estructura de los elementos (y las restricciones) no son conocidos con precisión.

Modelo de Variable Continua – Modelo de Variable Discreta Un modelo es de variación continua si su variable dependiente puede asumir cualquier valor incluido dentro de un intervalo de la variable independiente, pero si solo puede tomar algunos valores, entonces el modelo es de variación discreta, por ejemplo, una variable que solo puede tomar valores enteros. En los procesos propios de la ingeniería química suelen encontrarse tanto variables continuas como discretas en un mismo problema, Por ejemplo, al optimizar un sistema de compresión de un gas se deben seleccionar un número entero de etapas de compresión (variable discreta) además de las presiones de succión y descarga en cada etapa (variables continuas).

Modelo en Estado Estacionario – Modelo en Estado Dinámico El modelamiento de un sistema en estado estacionario se refiere a su planteamiento considerando que los términos correspondientes a la acumulación en los distintos balances son iguales a cero. Otra forma equivalente de expresar la misma idea consiste en decir que cuando el tiempo tiende hacia el infinito desaparecen los estados transitorios y el sistema es invariante con respecto al tiempo y, por lo tanto, los términos derivativos se hacen iguales a cero Los procesos en estado no estacionario también se pueden llamar transitorios o dinámicos.

Mach 7

8

Aun cuando ha sido una práctica usual de los procedimientos de diseño de procesos, desarrollarlos para la operación en estado estacionario, cuando comenzó a estudiarse ampliamente el control de procesos se encontró que la operación en estado no estacionario era muy importante. Por supuesto que el análisis y el diseño de un proceso en estado no estacionario requiere mas tipos diferentes y detallados de información que en el caso de estado estacionario, pero el análisis dinámico de la operación prolongada suele con frecuencia conducir a un mejor diseño desde el punto de vista económico, que al fin y al cabo, es lo que importa. Un ejemplo típico de un proceso en estado no estacionario puede ser la puesta en marcha de una columna de destilación, que alcanzará eventualmente un conjunto de condiciones de operación en estado estacionario. De hecho, cuando se examina con más detalle, se encuentra que la columna siempre opera en estado estacionario con pequeñas fluctuaciones de temperatura y concentración, que se producen en todo momento, pero que posiblemente oscilan alrededor de los valores medios en estado estacionario. El análisis dinámico ayuda a minimizar las desviaciones de las especificaciones del producto durante la puesta en marcha, parada o cambios en los niveles de operación.

Modelo de Parámetro Globalizado – Modelo de Parámetro Distribuido En un modelo de parámetro globalizado se ignoran las variaciones espaciales y las distintas propiedades y las variables dependientes se pueden considerar homogéneas en todo el sistema. En un modelo de parámetro distribuido se tienen en cuenta en forma detallada las variaciones en el comportamiento del sistema en todo su conjunto. Todos los sistemas reales son, por supuesto, distribuidos porque existen algunas variaciones en todo el conjunto. Sin embargo, las variaciones son con frecuencia relativamente pequeñas de tal forma que se pueden ignorar y, entonces, el sistema se puede considerar globalizado. La respuesta a la pregunta de si la globalización de parámetros es válida dista mucho de ser sencilla. Una buena regla aproximada es que si la respuesta del elemento, para todos los fines prácticos, es instantánea en el conjunto de todo el elemento, entonces el parámetro del elemento puede ser globalizado. Si la respuesta presenta diferencias instantáneas a lo largo del elemento, ya no sería globalizado. Por respuesta se entiende la velocidad de propagación de la señal de entrada a través del elemento. Así, para ver si debe utilizarse una ecuación de parámetro distribuido o globalizado, es necesario conocer algo acerca de los detalles internos del elemento en cuestión. Debido a que los procedimientos matemáticos para la resolución de sistemas de parámetro globalizado son más sencillos que para los sistemas de parámetro distribuido, con frecuencia se aproxima este último por un sistema equivalente de Mach 8

9

parámetro globalizado. Mientras que la globalización resulta, con frecuencia, posible es preciso tener mucho cuidado en evitar el enmascaramiento de las características sobresalientes del elemento distribuido (lo que dará lugar a la construcción de un modelo inadecuado) debido a la globalización. Además, la variabilidad o no linealidad del modelo de parámetro globalizado puede dar lugar a un tratamiento matemático tan difícil como el modelo original no globalizado. Un ejemplo importante es el tanque de mezcla que se emplea para el mezclado de fluidos o para efectuar reacciones químicas. Generalmente, se basan los cálculos en la suposición de que el tanque está perfectamente agitado de forma que todo el volumen del mismo consiste en un material homogéneo de características idénticas al producto que sale del tanque. Ahora bien, en un tanque real existen placas deflectoras, esquinas, etc., y la mezcla no es perfecta en todas las regiones, lo que conduce a falta de uniformidad en el tanque. Con frecuencia se ignoran estas variaciones y se emplean ciertos valores medios para las propiedades del material contenido en el tanque. Para muchos propósitos la suposición globalizada resulta bastante satisfactoria, aunque para ciertos tipos de reacciones químicas el mezclado no ideal puede tener efectos importantes. Las variaciones espaciales consideradas en los modelos de parámetro distribuido pueden ser para una dimensión solamente o para dos o tres. Por ejemplo, en los métodos habituales de diseño de un absorbedor de gases con relleno se supone que las concentraciones varían en forma continua en la dirección axial o de flujo, pero en cambio se ignoran en la dirección radial. En un reactor tubular o de partículas de relleno se le considera, generalmente, en la misma forma pero en este caso los gradientes radiales de temperatura pueden ser importantes. Para tener en cuenta lo anterior se hace necesario utilizar un modelo de parámetro distribuido de dos o tres dimensionasen el que se consideren las variaciones radial y axial de la temperatura y la concentración.

1.5 ESTRUCTURA MATEMATICA DE UN MODELO Ecuaciones Diferenciales – Ecuaciones Algebraicas El modelamiento de un sistema en estado dinámico se plantea mediante sistemas de ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencias de acuerdo a que el sistema sea de variación continua o discreta. Los modelos de variación continua también se pueden plantear mediante ecuaciones integrales. Los modelos de variación continua tanto de parámetro globalizado en estado no estacionario como de parámetro distribuido en estado estacionario se expresan Mach 9

10

mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En los de parámetro globalizado la variable independiente es el tiempo mientras que en los de parámetro distribuido es una dirección espacial. Los modelos de variación continua de parámetro distribuido se expresan mediante ecuaciones diferenciales parciales tanto para descripción en estado estacionario como no estacionario. Si el modelo se describe en estado estacionario, las variables independientes son las direcciones espaciales y si su descripción es en estado no estacionario se agrega el tiempo como variable independiente. Los modelos de variación discreta se expresan mediante ecuaciones de diferencias finitas, que también pueden ser unidimensionales o multidimensionales según el número de conexiones entre los subsistemas de parámetro globalizado. En condiciones estacionarias, las ecuaciones diferenciales de un modelo de parámetro globalizado se transforman en ecuaciones algebraicas mientras que las ecuaciones diferenciales parciales de un modelo de parámetro distribuido se transforman en ecuaciones diferenciales que expresan las variaciones del sistema con respecto a las direcciones espaciales

1.6 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO Los modelos de parámetro globalizado son modelos matemáticos de fenómenos de transporte descritos macroscópicamente, es decir, que solo se consideran las variaciones del sistema con el tiempo y se omiten las variaciones espaciales. En su planteamiento se aplican un conjunto de leyes fundamentales de la física y la química como los principios de conservación de la masa, energía o cantidad de movimiento, las ecuaciones de transporte superficial, las ecuaciones de estado, las ecuaciones de equilibrio químico y físico y las ecuaciones cinéticas de reacciones.

Ecuación de balance de materia total En el flujo total de materia a través de un sistema se cumple el principio de conservación y su balance se puede expresar de la siguiente manera: Flujo Másico Flujo Másico Rapidez de Acumulación  − =  de Entrada  de Salida  de Masa 

Mach 10

(1.1)

11

En la ecuación (1.1) cada uno de los términos expresa unidades de masa por unidad de tiempo. El miembro derecho de la ecuación corresponde a un término rapidez de cambio de masa, es decir, a una derivada con respecto al tiempo

Ecuaciones de balance de materia de componente En el flujo de materia a través de un sistema, el principio de conservación de cada componente se plantea mediante un balance que se puede expresar de la siguiente manera: FlujoMolar FlujoMolar RapidezMolar RapidezMolar RapidezMolar           de de de + − =  (1.2)  de  −  de  Entrada   Salida   Generación   Consumo  Acumulac i ó n          

En la ecuación (1.2) cada uno de los términos expresa una cantidad de moles de componente por unidad de tiempo. Los flujos molares de entrada y salida son tanto convectivos como difusivos. Los términos Rapidez de Generación, Rapidez de consumo y Rapidez de Acumulación se expresan como derivadas con respecto al tiempo. En el planteamiento de un modelo se requieren tantos balances de materia como componentes estén presentes en el sistema.

Ecuación de balance de energía En el modelamiento de un sistema abierto, el principio de la conservación de la energía se expresa mediante la primera ley de la termodinámica de la siguiente manera: FlujoTotal FlujoTotal  Flujo de Calor  Trabajo Re alizado Rapidezde Cambio           por el de Energía  = de Energia −  de Energia +  Añadido al  −       Entrada   Salida   Sistema Sistema en el Sistema          

(1.3) En la ecuación (1.3) cada uno de los términos expresa una cantidad de energía por unidad de tiempo. Los flujos energéticos totales de entrada y salida incluyen energía interna, cinética y potencial tanto por convección como difusión. El flujo calórico

Mach 11

12

añadido al sistema incluye las transferencias por conducción, radiación y de reacción. El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores incluye trabajo de eje y de tipo presión por flujo volumétrico. El término rapidez de cambio de energía en el sistema es la del cambio en energía interna y potencial del sistema.

Ecuaciones de transferencia de masa y energía Para modelamiento de parámetro globalizado, la ecuación de transferencia de masa relaciona el flujo másico superficial con el cambio de concentración mientras que la ecuación de transferencia de energía relaciona el flujo superficial de calor con el cambio de temperatura. Las constantes de proporcionalidad son los coeficientes globales de transferencia. Las ecuaciones de transferencia de masa y energía se pueden escribir así:  FlujodeMasa    = {CoeficienteGlobaldeTransferencia}{CambiodeConcentración} Superficial 

(1.4)

 FlujodeCalor    = {CoeficienteGlobaldeTransferencia}{CambiodeTemperatura} Superficial 

(1.5)

Ecuaciones de estado En el planteamiento de un modelo pueden necesitarse las relaciones entre algunas propiedades físicas o termodinámicas con la temperatura, presión o concentración. Lo anterior se puede plantear con respecto a la densidad y a la entalpía de la siguiente forma:

{DensidadLíquido} = ρ L = f ( P, T , xi ) {DensidadVapor} = ρV = f ( P, T , yi ) {EntalpíaLíquido} = h = f ( P, T , xi ) {EntalpíaVapor} = H = f ( P, T , yi )

(1.6) (1.7) (1.8) (1.9)

Algunas simplificaciones que suelen hacerse sin afectar considerablemente la exactitud del modelo son: h = C PT

Mach 12

(1.10)

13 H = C P T + λV

(1.11)

Si se considera la influencia de la temperatura en el valor del calor específico, se plantea algo más riguroso así: T

h = ∫ C P (T )dT To

(1.10)

Suele considerarse una relación polinomial entre el calor específico y la temperatura, de tal manera que disponiendo de los coeficientes de cada uno de los términos se puede integrar la ecuación (1.10) y expresar una relación entre la entalpía de líquido y la temperatura. La entalpía de una mezcla de “N” componentes líquidos se puede calcular, despreciando los efectos calóricos de mezclado, mediante un promedio de la siguiente manera: N

h=

∑x h M i =1 N

i i

∑x M i =1

i

i

(1.11)

i

Las densidades de los líquidos pueden asumirse como constantes siempre y cuando no se observen grandes cambios en ellas con los cambios de temperatura y composición. Las densidades de los vapores no pueden considerarse constantes y para sus cálculos se aplica, generalmente, una ecuación de estado. Considerando un comportamiento ideal, la densidad de un vapor se puede calcular con la ecuación

ρV =

nM MP = V RT

(1.12)

Estado de Equilibrio La segunda ley de la termodinámica nos facilita las ecuaciones que nos expresan las condiciones de un sistema para que se mantenga en estado de equilibrio, ya sea que Mach 13

14

se trate del equilibrio de un sistema reaccionante (Equilibrio Químico) o del equilibrio entre varias fases (Equilibrio Físico)

Equilibrio Químico En una reacción química en estado de equilibrio se cumple que la suma total de los potenciales químicos de cada uno de los componentes de la reacción es igual a cero (considerando al potencial de los reaccionantes con signos negativos y el de los productos con signos positivos). La forma usual de aplicar lo anterior es en términos de la constante de equilibrio para una reacción. Para una reacción en fase acuosa de la forma aA + bB ⇔ cC + dD

(1.13)

La expresión para la constante de equilibrio es una relación entre las concentraciones de los componentes de la reacción en equilibrio escrita de la siguiente manera: c d [ C ]e [D ]e Ke = [A]ea [B]be

(1.14)

Para una reacción en fase gaseosa, se puede transformar la expresión en términos de las presiones parciales de la siguiente manera:

Ke =

Pcc,e Pdd,e Paa,e Pbb.e

(1.15)

Equilibrio Físico El equilibrio entre dos fases ocurre cuando el potencial químico de cada componente es el mismo en ambas fases. Para un sistema de dos fases líquido y vapor se pueden aplicar las siguientes leyes o considerandos:

Mach 14

15

Ley de Dalton: Para una fase vapor con comportamiento ideal se aplica la ley de Dalton que calcula la presión parcial de cada componente como el producto de la fracción molar del componente en la fase vapor y la presión total Pi = y i PT

(1.16)

Ley de Raoult: Para una fase líquida con comportamiento ideal se aplica la ley de Raoult en la cual se iguala la presión parcial de un componente en la fase vapor con la presión de saturación del componente puro en la fase líquida de la siguiente manera:

yi PT = xi Pi o

(1.17)

De lo anterior se puede demostrar que la presión total de la fase vapor se puede calcular en función de la composición de la fase líquida con la siguiente ecuación: N

PT = ∑ xi Pi o

(1.18)

i =1

Las presiones de vapor son función de la temperatura, solamente; y esta dependencia se puede expresar mediante relaciones como la de Antoine.

Volatilidad Relativa: La volatilidad relativa α ij del componente “i” con respecto al componente “j” se define mediante la siguiente relación;

α ij =

y i / xi yj / xj

(1.19)

Las volatilidades relativas son constantes en un cierto número de sistemas y son frecuentemente usadas debido a esta ventaja.

Mach 15

16

Al aplicar la ecuación (1.19) a un sistema binaria para el componente más volátil con respecto al menos volátil se demuestra una ecuación muy usual para calcular las composiciones de la fase vapor en equilibrio con una fase líquida y que es la siguiente:

y=

αx 1 + (α − 1) x

(1.20)

Constantes de distribución de fases: Las relaciones entre la composición de la fase vapor y la de la fase líquido en equilibrio son las denominadas Constantes de distribución de fases, Se utilizan ampliamente, especialmente en la industria del petróleo

Ki =

yi xi

(1.21)

Las constantes de distribución de fases dependen de la temperatura y la composición y en menor extensión de la presión

Cinética Química El modelamiento de reactores requiere del manejo de las relaciones y la terminología que se utiliza al describir la cinética de las reacciones químicas mediante sus ecuaciones de velocidad de reacción. Estas ecuaciones expresan la dependencia de la velocidad de una reacción con la concentración de los reaccionantes y la temperatura de la reacción.

Ley de acción de masas Esta ley establece que la velocidad global de una reacción depende de la temperatura y de la concentración de los reaccionantes elevada a sus respectivas potencias. Si la velocidad depende de la concentración de los reaccionantes A y B, suele expresarse mediante la denominada ecuación de velocidad de reacción con la siguiente forma: r = k [ A] [B ] a

Mach 16

b

(1.22)

17

Los exponentes a y b son los órdenes de la reacción con respecto a cada uno de los reaccionantes Con esta definición suelen caracterizarse las reacciones desde el punto de vista cinético como de primer orden, segundo orden, etc.

Ecuación de Arrhenius La dependencia de la velocidad de reacción con la temperatura se incluye en la constante específica de velocidad de reacción. La ecuación de Arrhenius es muy usual para considerar la influencia de la temperatura en la constante de velocidad de reacción de la siguiente forma:  E  k = A exp −   RT 

(1.23)

“A” es el denominado factor preexponencial y “E” es la energía de activación de la reacción, “R” es la constante de los gases (1.99 cal/mol-K) y “T” es la temperatura en grados K

1.6.1 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO: Características Al analizar un modelo de parámetro globalizado y para el desarrollo de su posible solución, se hace necesario identificar los parámetros, las constantes, las variables y el tipo de ecuaciones que lo conforman. Esto hace que el sistema modelado se pueda caracterizar como univariable o multivariable y lineal o no lineal

Constantes, Parámetros y Variables Las constantes son los términos físicos o químicos independientes del tiempo, las direcciones espaciales y las condiciones del sistema como la constante de los gases o el peso mol de una sustancia. Los parámetros son todos aquellos valores que pueden ser variables pero que en el sistema se toman como constantes como el diámetro y la altura de un recipiente cilíndrico. Las variables son aquellas propiedades del sistema que pueden cambiar mediante algún efecto externo sobre ellas mismas o como consecuencia de los cambios externos realizados sobre algunas propiedades del sistema. A las primeras se les llama variables de entrada y a las segundas variables de salida

Mach 17

18

Sistemas univariables (SISO) y multivariables (MIMO) Un modelo de parámetro globalizado univariable se expresa mediante una ecuación diferencial con una variable de entrada y una variable de salida. Esto suele referirse como un modelo SISO (Single Input Single Output). Un modelo multivariable incluye varias variables de entrada o salida y se refiere como un modelo MIMO (Multiple Input Multiple Output). Se requieren tantas ecuaciones diferenciales como variables de salida se identifiquen en el sistema. Las variables de salida son las propiedades que cambian con el tiempo y, por lo tanto, los términos derivadas de dichas propiedades con respecto al tiempo se observan en las ecuaciones diferenciales.

Orden y Linealidad de un sistema El orden de la dinámica de un sistema univariable está dado por el orden de la ecuación diferencial que expresa su modelamiento. Si la ecuación diferencial es lineal el sistema es lineal, en caso contrario es no lineal. La siguientes ecuaciones diferenciales son las forma estándares de escribir los modelos dinámicos de un sistema univariable lineal de primer y segundo orden, respectivamente. dY (t ) + Y (t ) = KX (t ) dt

Primer Orden:

τ

Segundo Orden:

τ2

d 2Y (t ) dY + 2ζτ + Y (t ) = KX (t ) 2 dt dt

(1.24)

(1.25)

Siendo τ , ζ y K, parámetros que caracterizan dinámicamente al sistema y que se calculan con algunas de sus características físicas. Y(t) es la variable de salida y X(t) es la variable de entrada Por ejemplo, la dinámica de algunas válvulas de control es de un modelo lineal de segundo orden con la forma de la ecuación (1.25) pero con algunas consideraciones se puede ajustar a un modelo lineal de primer orden con la forma de la ecuación (1.24) y hasta en algunos casos se puede despreciar el parámetro τ y, entonces, su dinámica solo se caracteriza por el parámetro K. Algunos sistemas de flujo a través de un tanque se ajustan a un modelo no lineal porque al introducir algunas consideraciones físicas en su planteamiento, su

Mach 18

19

descripción matemática es una ecuación diferencial no lineal de primer orden, como por ejemplo, la siguiente:

τ

dY (t ) + Y (t ) = KX (t ) dt

(1.26)

La solución de un modelo no lineal puede hacerse en algunos casos por métodos analíticos, pero en casos complejos se tiene que recurrir a la solución mediante métodos numéricos. Es una práctica importante la linearización de los sistemas no lineales alrededor de un valor de referencia y la comparación de los resultados encontrados en ambos casos. Lo anterior, es necesario para simplificar el diseño de los lazos de control de sistemas no lineales.

1.7 ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA El análisis dinámico de un sistema consiste en su modelamiento y la solución matemática correspondiente para un determinado cambio en algunas de sus variables de entradas con respecto a sus valores invariantes en el tiempo mientras se encuentre en estado estacionario. En sistemas lineales es usual expresar sus ecuaciones diferenciales de tal manera que las variables representen los cambios con respecto a sus valores iniciales o en estado estacionario. Estas representaciones se denominan Variables Desviación y se simbolizan, generalmente, con el mismo de la variable pero en mayúscula. Es decir, que: X (t ) = x(t ) − x(o)

(1.27)

De la definición (1.27) se deduce que el valor inicial de una variable desviación es igual a cero. Esta transformación permite que se analice la dinámica de un sistema observando las desviaciones de sus variables de salida cuando las variables de entrada se desvían de sus valores iniciales.

1.7.1 PERTURBACION Y RESPUESTA DE UN SISTEMA Se emplean los términos Perturbación y Respuesta para referirse al tipo de cambio considerado en la variable de entrada y al perfil que muestran las variables Mach 19

20

desviación de salida, respectivamente. Algunas perturbaciones con respuestas de sencilla solución matemática para el análisis dinámico de un sistema son las denominadas Paso, Pulso, Impulso, Rampa y Sinusoidal.

Respuesta Paso o Escalón (Step) Las perturbaciones paso son funciones que cambian instantáneamente desde un valor a otro y son, por lo tanto, constantes. Si el cambio paso es de un tamaño ∆x , la perturbación se denomina Función Paso, x(t), y se define como: x(t ) = ∆x x(t ) = 0

para t > 0 para t ≤ 0

(1.28)

La función paso en términos desviación es: X (t ) = ∆x

para t > 0

(1.29)

La representación gráfica de una función paso es una línea recta horizontal como se observa en la Figura 1.1.:

Figura 1.1. Función Paso (Rojo) Si el tamaño del paso es igual a la unidad, la perturbación se Función Paso Unitario y se simboliza

Mach 20

21 U (t ) = 1

para t > 0

(1.30)

La respuesta de un sistema a una perturbación paso en su variable de entrada se denomina Respuesta Paso o Respuesta Paso unitario según el tamaño del cambio paso.

Respuesta Pulso (Pulse) Un pulso es una función de forma arbitraria (usualmente rectangular) que comienza y termina en el mismo valor. Un pulso rectangular es, simplemente, la suma de una función paso positiva a partir de un tiempo cero y una función paso negativa a partir de t o minutos después, siendo t o el denominado Tiempo Muerto. Por lo tanto, una Función Pulso de altura h y anchura t o se expresa como x(t ) = h(t ) − h(t − t o )

(1.31)

La representación gráfica de una función pulso rectangular con altura h y una anchura igual t o se observa en la Figura 1.2:

Figura 1.2 Función Pulso Rectangular La función pulso rectangular de altura uno y anchura t o se expresa como

Mach 21

22 x(t ) = u (t ) − u (t − t o )

(1.32)

Respuesta Impulso (Impulse) La función impulso es un pulso de altura infinita, longitud cero y área igual a k unidades. Es como una ficción puramente matemática pero de mucha utilidad en ciertos tratamientos matemáticos para el análisis dinámico de sistemas. Cuando el área del impulso es igual a la unidad, la función se define como la Función Delta Dirac, δ (t ) . La función impulso de área k suele escribirse como un factor de la función Delta Dirac de la siguiente manera: x(t ) = kδ (t )

(1.33)

La representación gráfica de una función impulso de área k se observa en la Figura 1.3:

Figura 1.3 Función Impulso de área k

Respuesta Rampa (Ramp) Las variaciones rampas son funciones que cambian linealmente con el tiempo de la siguiente manera: x(t ) = kt

Mach 22

(1.34)

23

Siendo k, una constante. Este tipo de cambio se aplica, por ejemplo, en el modo de variar con el tiempo del valor deseado de la presión o de la temperatura de un reactor operado por lotes La representación gráfica de una función rampa de pendiente k se observa en la Figura 1.4:

Figura 1.4. Función rampa de pendiente k

Respuesta Sinusoidal La variación sinusoidal de una variable de entrada se expresa como una función seno con una determinada frecuencia, w, y amplitud, A, de la siguiente manera: x(t ) = ASen( wt )

(1.35)

La representación gráfica de la función (1.35) se observa en la Figura 1.5. Las variaciones sinusoidales son muy poco aplicadas en los procesos de la ingeniería química. Sin embargo, las respuestas de un sistema a un cambio sinusoidal en sus variables de entrada son de una importancia tan grande que su estudio ha introducido unas estrategias adicionales para el análisis dinámico de sistemas conocido como las respuestas en el dominio de la frecuencia.

Mach 23

24

Figura 1.5. Función Seno de amplitud A y frecuencia w

1.7.2 DOMINIOS PARA EL ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA El estudio de la dinámica de un sistema en el Dominio del Tiempo significa que las ecuaciones diferenciales que constituyen el modelo matemático se resuelven directamente, es decir, en términos de las funciones dependientes del tiempo. Pero si las ecuaciones diferenciales se transforman según la definición de Laplace el análisis dinámico o el comportamiento del sistema se estudia en el Dominio de Laplace. En capítulos posteriores, se explican los fundamentos que facilitan un conjunto de conceptos y propiedades para el análisis dinámico de un sistema en el Dominio de la Frecuencia y para el caso de sistemas cuyos modelos son multivariables se hace uso del álgebra matricial para el análisis dinámico de su respuesta en lo que se denomina el Espacio de los Estados.

Dominio Tiempo En el dominio del tiempo, las variables se manejan directamente en función del tiempo y los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales, tanto analíticos como numéricos, se resuelven directamente en términos del tiempo. Para cada uno de los cambios descritos anteriormente para una variable de entrada, las funciones empleadas son las definidas en función del tiempo.

Dominio Laplace Al aplicar transformada de Laplace tanto a las variables de entrada como a las ecuaciones diferenciales, el análisis no se plantea en términos del tiempo sino de una nueva variable “s”. Para cada una de las perturbaciones anteriores las correspondientes transformadas de Laplace son:

Mach 24

25

Respuesta Paso:

X ( s) =

∆x s

(1.36)

Respuesta Pulso:

X (s) =

h ( s ) h ( s )e − t o s h − = (1 − e −to s ) s s s

(1.37)

Respuesta Impulso:

X (s) = k

Respuesta Rampa:

X (s) =

k s2

(1.39)

Respuesta Seno:

X ( s) =

Aw s + w2

(1.40)

(1.38)

2

La transformada de Laplace solo puede aplicarse a ecuaciones diferenciales lineales y es de mucha utilidad para el análisis dinámico de sistemas lineales porque transforma una ecuación diferencial de tal manera que su representación es mucho más compacta y conveniente que la correspondiente representación en función del tiempo. Por ejemplo, la ecuación diferencial en términos del tiempo que modela a un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada y una variable de salida suele escribirse en su forma estándar de la siguiente manera:

τ

dY (t ) + Y (t ) = KX (t ) dt

La correspondiente transformada de Laplace se expresa de tal manera que muestre una relación entre las variables de entrada y salida del sistema y que escrita como una función de transferencia es la descripción del sistema en el dominio de Laplace: Y (s) K = X (s) τs + 1

Dominio Frecuencia El estudio dinámico de un sistema en el dominio de la frecuencia se fundamenta en las características que muestra la respuesta de un sistema de primer orden lineal ante una perturbación sinusoidal de cierta frecuencia y amplitud en su variable de Mach 25

26

entrada. A partir de estas características se definen unas propiedades que dependen de la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada como son la relación entre las amplitudes entre la función sinusoidal de entrada y la respuesta del sistema y el desfase entre ellas y a partir de estas se plantean unos conceptos como los de Bode y Nyquist muy útiles y aplicables en el análisis de cualquier sistema.Los métodos de análisis en el dominio de la frecuencia son un poco más abstractos que los correspondientes en los otros dominios y se apoyan en el concepto de función de transferencia propio de los estudios en el dominio de Laplace.

Espacio de los Estados La escritura de un modelo en forma del Espacio de los Estados se puede aplicar a sistemas lineales con múltiples variables de entrada y salida. Lo anterior significa que el modelo lo constituyen tantas ecuaciones diferenciales lineales como variables de salida hayan y este conjunto puede compactarse en una escritura matricial de la siguiente forma: X& = AX + Bu

Y = CX + Du Cada una de las letras A, B, C, D representa una matriz. “X” es el vector de las variables de estado del sistema y el punto arriba simboliza el vector de sus derivadas con respecto al tiempo; “Y” es el vector de las variables de salida del sistema y “u” es el vector de las variables de entrada. A y B son las matrices de los coeficientes de cada uno de los términos lineales en cada una de las ecuaciones diferenciales. C y D son matrices que expresan una relación entre las variables de estado y de entrada con las de salida

Bibliografía Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice Hall International Series. 1998 Edgar T.F., Himmelblau D.M. Optimization of Chemical Processes. McGraw-Hill International Editions. 1989 Himmelblau D.M., Bischoff K.B. Análisis y Simulación de Procesos. Editorial Reverte S.A. 1976 Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers. Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990 Mach 26