Lab. No. 3 – Modelamiento de Sistemas Eléctricos

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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERÍA ELECTRÓNICA SISTEMAS DINAMICOS 1160601

LABORATORIO No. 3 – MODELAMIENTO Y ANALISIS DINAMICO DE SISTEMAS ELECTRICOS INSTRUCCIONES 1- Las actividades de laboratorio y los informes deberán ser desarrollados en grupos de hasta 2 (dos) alumnos. 2- Caso algún alumno no pueda hacer las actividades, en el día previsto de su laboratorio, el mismo deberá entregar el informe individualmente siempre y cuando presente constancia que justifique su ausencia, por lo contrario la no constancia de su justificación tendrá como nota (0) cero para ese laboratorio. 3- Los trabajos o informes deberán ser entregados, únicamente, en la semana siguiente después del laboratorio. 4- Las soluciones deberán ser de forma clara, simple y organizada. Si hay figuras, tablas y ecuaciones, esas deberán ser numeradas y referenciadas. No deberá ser utilizado en el informe, material ya presentado en las guías de cada laboratorio. 5- La página inicial del informe será la página que contiene las actividades ejecutadas. 6- Los ejercicios ha ser solucionados serán suministrados en el laboratorio por el profesor. OBJETIVO Las actividades a seguir tienen por objetivo fijar la operación y el uso del Matlab / Simulink como herramienta para solucionar modelos de sistemas eléctricos. La idea es ir examinando todos los tópicos de la teoría através de estos ejemplos. REFERENCIAS 1- Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall do Brasil, 3a. Ed., 1998. 2- Hanselman, D.; Littlefield, B. MATLAB 5: Versão do Estudante, Guia do Usuário, Makron Books, 1999. 3- www.mathworks.com 4- Close, Charles M. Modeling and analysis of dynamic systems. 3rd. ed. New York : John Wiley and Sons, 2001. 5- Ogata, Katsuhiko. Dinámica de sistemas. México :Prentice-Hall Hispanoamericana, 1987.

A.

SOLUCIÓN EXACTA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Para resolver de forma exacta una o varias ecuaciones diferenciales, Matlab dispone de la orden dsolve. Por defecto, la variable independiente es t, pero se puede usar cualquier otra variable si se incluye como último argumento:

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La letra D se utiliza para representar la derivación con respecto a la variable independiente, es decir, u’ se escribe Du; las derivadas orden superior u’’, u’’’, . . . se escriben D2u, D3u, . . . Cuando se resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales, Matlab proporciona las funciones solución en orden léxico-gráfico. 1. Ejemplo

B.

SOLUCIÓN EXACTA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

El MATLAB contiene dos comandos para calcular soluciones numéricas para ecuaciones diferenciales: ode23 e ode45; el comando ode23 usa o método de Runge - Kutta para ecuaciones diferenciales de segunda y tercer orden; el comando ode45 usa el método de Runge - Kutta para ecuaciones diferenciales de cuarta y quinto orden. Los comandos ode23 y ode45 poseen los mismos tipos de argumentos. La forma mas simples del comando ode45 requiere cuatro argumentos. El primer argumento es el nombre de la función, definida en el MATLAB, que retorna el valor de la ecuación diferencial y’ = g(x,y) cuando es fornecido valor para x e y. El segundo y el tercer argumentos representan los limites en el intervalo en el cual deseamos calcular el valor de la función y = f(x). El cuarto argumento contiene la condición inicial necesaria para determinar la única solución para la ecuación diferencial ordinaria. Se asume que ese argumento representa el valor de la función dentro del intervalo considerado. El comando ode45 posee dos salidas: un conjunto de coordenadas x e, un conjunto de coordenadas y correspondientes, los cuales representan los puntos de la función y = f(x).

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2.

Ejemplo

C.

APLICANDO LOS COMPONENTES ELECTRICOS EN EL SIMULINK

El simulink tiene todos los recursos necesarios para un programa de simulación completo. Además de eso, existen otros recursos que permiten, por ejemplo, emular sistemas eléctricos, sistemas mecánicos, maquinas de estado y técnicas de procesamiento de señales. También es posible emplear el simulink para realizar tareas de control en tiempo real de un proceso. En el matlab un conjunto de funciones especializadas es llamado de “Toolbox” y en el simulink es llamado de “Blockset”. En la figura 1, es presentado el Simpower system. El Simpower system consiste de varias carpetas que contienen los bloques necesarios para la simulación del sistema eléctrico. Ese blockset puede ser usado para realizar la simulación directamente del esquema eléctrico sin necesidad del empleo declarado de ecuaciones diferenciales. Los bloques del Simpower system son considerados especiales y normalmente solo pueden ser conectados a los demás bloques del simulink usando bloques conversores especiales como se muestra en la figura 2. Debido a la presencia de no linealidad presente en algunos bloques de este “Blockset”, se debe tener un cuidado especial en el uso adecuado del algoritmo de simulación. Se acostumbra a emplear el algoritmo ODE23.

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Figura 1. Recursos disponibles del SimPowerSystems

Figura 2. Uso de bloques conversores entre el SimPower Systems y el Simulink

Para mostrar el empleo de SimPower Systems para simular circuitos eléctricos será usado el sistema presentado en el siguiente ejemplo. 3.

Ejemplo Consiste en un circuito RC (resistor y capacitor) como se presenta en la figura 3. Los componentes resistor, capacitor e inductor son generados a partir del ajuste de los parámetros del bloque “Series RLC Branch” presentado en la figura 4 y en la tabla 1. Sistemas Dinámicos

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Figura 3. Ejemplo de un circuito eléctrico RC

Tabla 1. Ajustes del Bloque “Series RLC Branch” Componente Resistor Inductor Capacitor

Parámetros del bloque “Series RLC Branch” Resistencia (R) Inductancia (L) Capacitancia (C) Valor en Ohmios 0 Inf 0 Valor en Henrios Inf 0 0 Valor en Faraday

Figura 4. Caja de dialogo del bloque “Series RLC Branch”

Las figura 5 muestra el ambiente de simulación a tratar el circuito anteriormente presentado. Para generar las señales de tensión en el capacitor y de corriente de la figura 6 fue considerado el capacitor inicialmente descargado y la tensión de alimentación igual a 10 Volts. Los valores del capacitor y del resistor empleados en la simulación fueron respectivamente de 100µF y 100Ω. Complementando las informaciones de la simulación se verifica que fue usado el algoritmo de integración ODE23 y el tiempo de simulación de 0,1 segundos.

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Figura 5. Simulación del sistema eléctrico RC

(a) (b) Figura 6. Señales del ambiente simulado del sistema eléctrico RC, (a) Voltaje de capacitor Vc(t), (b) Corriente del sistema i(t)

D.

SIMULACIÓN DE SISTEMAS ELECTRICOS DIFERENCIALES EN EL SIMULINK

UTILIZANDO

ECUACIONES

Para simular sistemas dinámicos eléctricos usando un conjunto de ecuaciones diferenciales que representan con fidelidad el comportamiento dinámico. El ejemplo anterior del circuito RC presentado en la figura 3 descrito por las siguientes ecuaciones: dVc (t ) 1 1 =− Vc (t ) + Vi (t ) dt RC RC

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dVc (t ) 1 = I (t ) dt C Para resolver la ecuación diferencial de primer orden, se emplea operación inversa a la derivada, ósea, la integración.

1  1  Vc (t ) = ∫  − Vc (t ) + Vi (t )  dt RC  RC  I (t ) = C

dVc (t ) dt

La figura 7, presenta el ambiente de simulación completo. Para generar las señales de tensión y de corriente fueron utilizadas las mismas consideraciones iniciales. Los señales de corriente y de tensión son idénticos a los obtenidos en el ejemplo anterior pues el circuito eléctrico es lo mismo, solo cambiar la manera de implementar la simulación.

Figura 7. Ambiente de simulación con las ecuaciones diferenciales del sistema RC

4.

Ejemplo A partir del siguiente circuito, obtener el comportamiento transitorio de las señales Vo(t) y Io(t) para t > 0 sobre un intervalo de 10 segundos, considerando condiciones iniciales nulas.

Figura 8. Circuito eléctrico a simular Sistemas Dinámicos

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Las figura 9 muestra el ambiente de simulación a tratar el circuito anteriormente presentado. Las señales de tensión en el resistor de salida Vo(t) y de la corriente Io(t) son presentadas en la figura 10. Complementando las informaciones de la simulación se verifica que es utilizado el algoritmo de integración ODE23 y el tiempo de simulación de 10 segundos.

Figura 9. Simulación del circuito eléctrico ejemplo 4.

(a) (b) Figura 10. Señales del circuito eléctrico simulado, (a) Voltaje de salida Vo(t), (b) Corriente Io(t)

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Ejercicios para realizar 1.

Considere el siguiente circuito que se presenta a continuación. Obtener el comportamiento del voltaje de salida Vo(t) para t > 0 para un intervalo de 10 segundos. Simular el circuito a través del simulink y a través de la solución de la ecuación diferencial obtenida del circuito. Considerando como entrada Vin(t): a) Una señal pulso

Vin(t) = 10 para 0 ≤ t ≤ 1, Vin(t) = 0 para t > 1

b) Una señal senoidal Vin(t) = 10e-0,5t Sen(2πt)

2.

Para el siguiente circuito, obtener la respuesta transitoria de I(t) de 0 a 0,5 segundos

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