1 1.1

Super…cies regladas De…nición y ejemplos

Vamos a estudiar una clase importante de super…cies que son aquellas generadoas por una recta que se mueve a lo largo de una curva. Por tanto, son aquellas super…cies que contienen in…nitas rectas. Los ejemplos mas sencillos de dichas super…cies son los conos y los cilindros. Varias cuádricas, como por ejemplo el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico, son super…ces regladas. De hecho, el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico son super…cies doblemente regladas en el sentido de que admiten dos familias uniparamétricas de rectas. De…nición. Una super…cie reglada S es una super…cie que contiene al menos una familia uniparamétrica de rectas. Por tanto, una super…cie reglada admite una parametrización de la siguiente forma: ~r : D R 2 ! R3 ; ~r(u; v) = ~ (u) + v w(u) ~ donde ~ (u) y w(u) ~ son curvas en R3 . A las parametrizaciones de este estilo (lineales en uno de los parámetros) las llamaremos parametrizaciones regladas. La curva ~ (u) se denomina directriz ó curva base. La super…cie así parametrizada contiene a la siguiente familia de rectas (para cada u tenemos una recta): v 7 ! ~r(u0 ; v) = ~ (u0 ) + v w(u ~ 0 ):

Supondremos ~ 0 (u) 6= ~0 y w(u) ~ 6= ~0 para todo u. Veremos más adelante que toda recta en la super…cie es necesariamente una línea asintótica. 1.1.1

Helicoide

Se considera la super…cie formada por las rectas que se apoyan en la hélice de ecuación ~ (u) = (cos u; sin u; u), u 0, paralelas al plano z = 0 y que se apoyan en el eje OZ. Véase la siguiente grá…ca:

1

Un punto X de la super…cie satisface la siguiente ecuación: ! ! ! OX = OP 0 + P 0 P donde P 0 es el punto del eje OZ y P , P 0 están en la recta que se apoya en la hélice y en el eje OZ y que es paralela al plano z = 0. Por tanto si P es el punto de la hélice con coordenadas (cos u; sin u; u), las coordenadas de P 0 son (0; 0; u). se tiene: ~r(u; ) = (0; 0; u) + (cos u; sin u; 0) = ( cos u; sin u; u) , con u 0 y

2 [0; 1].

Por tanto, la curva base es el eje OZ y el vector director describe una circunferencia. 1.1.2

Banda de Möbius

Super…cie con la siguiente parametrización ~r(u; v) = ~ (u) + v w(u) ~ con ~ (u) = (cos u; sin u; 0) ; u u u : w(u) ~ = cos cos u; cos sin u; sin 2 2 2 1.1.3

Hiperboloide de una hoja

Consideramos el hiperboloide hiperbólico o de una hoja con ecuación cartesiana: x2 y 2 z 2 + 2 = 1: a2 b c2 2

Una parametrización de dicha super…cie es: ~r(u; v) = (a cosh v cos u; b cosh v sin u; c sinh v) : Dicha parametrización tiene la desventaja de que no nos muestra las familias de rectas contenidas en la super…cie. Vamos a ver que esta super…cie es doblemente reglada encontrando dos posibles parametrizaciones regladas. Suponemos a; b; c > 0 y tomamos ~r1 (u; v) = ~ (u) + v ~ 0 (u) + (0; 0; c) ; ~r2 (u; v) = ~ (u) + v ~ 0 (u) + (0; 0; c) ; con ~ (u) = (a cos u; b sin u; 0) : Esto es, ~r1 (u; v) = = 2 ~r (u; v) = = 1.1.4

(a cos u; b sin u; 0) + v (( a sin u; b cos u; 0) + (0; 0; c)) (a (cos u v sin u) ; b (sin u + v cos u) ; vc) ; (a cos u; b sin u; 0) + v ( ( a sin u; b cos u; 0) + (0; 0; c)) (a (cos u + v sin u) ; b (sin u v cos u) ; vc) :

Paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico es la cuádrica cuyas secciones con los planos principales son parábolas y cuyas intersecciones con planos ortogonales a los planos principales son hipérbolas.

3

Consideramos el paraboloide hiperbólico con ecuación cartesiana: x2 a2

y2 = z: b2

Es una superfcie doblemente reglada y se pueden dar dos parametrizaciones regladas: ~r1 (u; v) = ~r2 (u; v) = 1.1.5

au; 0; u2 + v (a; b; 2u) ; au; 0; u2 + v (a; b; 2u) :

Conoide de Plücker

Consideramos la superfcie con ecuación cartesiana: z=

2xy : + y2

x2

Una parametrización de dicha super…cie es: ~r(u; v) =

u; v;

2uv + v2

u2

;

pero no es una parametrización reglada. Vamos a cambiar a coordenadas polares; esto es, u = r cos v = r sin tenemos: ~r(r; ) = (r cos ; r sin ; 2 cos sin ) = (0; 0; 2 cos sin ) + r (cos ; sin ; 0) :

1.2

Curvatura de una super…cie reglada

Vamos a comprobar que la curvatura de Gauss o total de una super…cie reglada es siempre menor o igual que cero. Sea S una super…cie reglada con parametrización: ~r(u; v) = ~ (u) + v w(u); ~

4

(u; v) 2 D:

Supongamos además que todos los puntos de la super…cie son regulares; esto es, ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v) 6= ~0, para todo (u; v) 2 D. Se tiene: ~ru (u; v) = ~ 0 (u) + v w ~ 0 (u); ~rt (u; v) = w(u); ~ 1 ~ (u; v) = (~ 0 (u) + v w ~ 0 (u)) ^ w(u); ~ N k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k 8 ~ 00 (u); < ~ruu (u; v) = ~ 00 (u) + v w ~ruv (u; v) = w ~ 0 (u); : ~rvv (u; v) = ~0:

El determinante de la matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P = ~r(u; t) es: det(IIP ) =

L(u; v) M (u; v) M (u; v) N (u; v)

=

L(u; v) M (u; v) M (u; v) 0

=

(M (u; v))2

~ (u; t) obtenemos: Teniendo en cuenta las expresiones de ~rut (u; t) y N ~ (u; v) M (u; v) = ~ruv (u; v) N 1 ((~ 0 (u) + v w ~ 0 (u)) ^ w(u)) ~ = w ~ 0 (u) k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k 1 = [w ~ 0 (u); ~ 0 (u) + tw ~ 0 (u); w(u)] ~ k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k 1 [w ~ 0 (u); ~ 0 (u); w(u)] ~ : = k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k Por tanto, det(IIP ) = Teniendo en cuenta

[~ 0 (u); w(u); ~ w ~ 0 (u)]2 : k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k2

det (IP ) = k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k2 ; [~ 0 (u); w(u); ~ w ~ 0 (u)]2 det (IIP ) = ; k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k2 la curvatura total o de Gauss de una super…cie reglada es: det (IIP ) KT (u; t) = = det (IP )

[~ 0 (u); w(u); ~ w ~ 0 (u)]2 k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k4 5

0:

0:

Por tanto, los puntos de las super…cies regladas son hiperbólicos, parabólicos o planos. Llamamos parámetro de distribución y lo denotamos p(u) al valor del producto mixto: p(u) = [~ 0 (u); w(u); ~ w ~ 0 (u)] : Si p(u) = 0 entonces KT (u; t) = 0 y el punto P = ~r(u; t) es un punto parabólico o plano. Una de las curvaturas principales es cero y por tanto, las líneas asintóticas son líneas de curvatura. Si p(u) 6= 0 entonces KT (u; t) < 0 y el punto P = ~r(u; t) es un punto hiperbólico. Una de las curvaturas principales es negativa y la otra es positiva. 1.2.1

Ejercicio

Hallar el parámetro de distribución y la curvatura de Gauss de las siguientes super…cies en un punto arbitrario: 1. Helicoide con parametrización ~r(u; ) = ( cos u;

sin u; u) , con u

0y

2 [0; 1].

2. Banda de Möbius con parametrización ~r(u; v) = (cos u; sin u; 0) + v cos

u u u cos u; cos sin u; sin : 2 2 2

3. Hiperboloide de una hoja con parametrización ~r(u; v) = (cos u

v sin u; sin u + v cos u; v) :

4. Paraboloide hiperbólico con parametrización ~r1 (u; v) = u + v; 2v; u2 + 2vu : 5. Conoide de Plücker con parametrización ~r(r; ) = (r cos ; r sin ; 2 cos sin ) :

6

1.3

Clasi…cación de las super…cies regladas

Recordamos que una super…cie plana es aquella cuya curvatura de Gauss is cero en todo punto. Tales super…cies se llaman super…cies desarrollables y se pueden construir doblando una hoja de papel (por ejemplo, los cilindros, los conos). Por tanto, una super…cie reglada es desarrollable si y sólo si M = 0. 1. Si p(u) = [~ 0 (u); w(u); ~ w ~ 0 (u)] = 0 para todo valor del parámetro u la super…cie es desarrollable. Se tienen los siguientes casos: (a) Si w ~ 0 (u) = ~0 entonces w(u) ~ = w ~ es un vector constante y la super…cie es una super…cie cilíndrica. En este caso, se tiene: ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v) = (~ 0 (u) + v w ~ 0 (u)) ^ w(u) ~ 0 = ~ (u) ^ w: ~ Si ~ 0 (u) ^ w ~ 6= ~0 (esto es, los vectores ~ 0 (u) y w ~ no son paralelos) entonces el vector normal es 0 ~ ~ (u; v) = ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v) = ~ (u) ^ w : N k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k k~ 0 (u) ^ wk ~

~ (u; v) es constante a lo largo de cada generaOBSERVACIÓN: N triz ya que no depende del parámetro v. (b) Si ~ 0 (u) = ~0 entonces ~ (u) es constante; esto es, consiste en un único punto. La super…cie es una super…cie cónica. En este caso, se tiene: ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v) = (~ 0 (u) + v w ~ 0 (u)) ^ w(u) ~ 0 = vw ~ (u) ^ w(u): ~ Si w ~ 0 (u) ^ w(u) ~ 6= ~0 (esto es, los vectores w ~ 0 (u) y w(u) ~ no son paralelos) entonces el vector normal es w ~ 0 (u) ^ w(u) ~ ~ 0 (u) ^ w(u) ~ ~ (u; v) = v w = : N 0 0 kv w ~ (u) ^ w(u)k ~ kw ~ (u) ^ w(u)k ~ ~ (u; v) es constante a lo largo de cada generaOBSERVACIÓN: N triz ya que no depende del parámetro v. 7

(c) Si w ~ 0 (u) 6= ~0, ~ 0 (u) 6= ~0 entonces la condición p(u) = 0 nos indica que los vectores w ~ 0 (u), ~ 0 (u) y w(u) ~ son coplanarios. Se tiene: ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v) = ~ 0 (u) ^ w(u) ~ + vw ~ 0 (u) ^ w(u): ~ Como w ~ 0 (u), ~ 0 (u) y w(u) ~ son coplanarios los vectores ~ 0 (u) ^ w(u) ~ yw ~ 0 (u)^ w(u) ~ son paralelos y por tanto, ~ru (u; v)^~rv (u; v) es proporcional al vector w ~ 0 (u)^ w(u) ~ que no depende del parámetro v. OBSERVACIÓN: el plano tangente es el mismo en todos los puntos de la generatriz. En este caso la super…cie se denomina desarrollable tangencial. 2. Si p(u) 6= 0 para todo valor del parámetro u la super…cie es no desarrollable o alabeada.

1.4

Puntos singulares de una super…cie reglada

Los puntos singulares de una super…cie con parametrización ~r(u; v) = ~ (u) + ! v w(u) ~ son aquellos puntos P con OP = ~r(u; v), que veri…can: ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v) = (~ 0 (u) + v w ~ 0 (u)) ^ w(u) ~ = ~0: Vamos a hallar los valores del parámetro v para los cuales se cumple la condición anterior. Para ello, multiplicamos escalarmente la expresión anterior por w ~ 0 (u) ^ w(u), ~ suponiendo w ~ 0 (u) ^ w(u) ~ 6= ~0. Se tiene: 0 = (~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)) (w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ 0 0 = ((~ (u) + v w ~ (u)) ^ w(u)) ~ (w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ 2 0 0 = (~ (u) ^ w(u)) ~ (w ~ (u) ^ w(u)) ~ + v kw ~ 0 (u) ^ w(u)k ~ ; de donde, se obtiene: v=

(~ 0 (u) ^ w(u)) ~ (w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ ; 2 kw ~ 0 (u) ^ w(u)k ~

Por tanto, los puntos singulares de la super…cie se encuentran en la curva con parametrización: ~ (u) = ~ (u)

(~ 0 (u) ^ w(u)) ~ (w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ w(u); ~ 2 0 kw ~ (u) ^ w(u)k ~ 8

que llamamos línea de estricción. Llamamos puntos centrales a los puntos regulares de la línea de estricción. OBSERVACIÓN: En la línea de estricción además de los puntos singulares se encuentran los puntos de la super…cie tales que el vector w ~ 0 (u) ^ w(u) ~ es ortogonal al vector ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v). 1.4.1

Puntos centrales

Veamos que en una super…cie reglada no desarrollable la curvatura de Gauss alcanza su valor máximo en los puntos centrales. Supongamos p(u) 6= 0, teniendo en cuenta la expresión de la curvatura de Gauss: KT (u; v) = se deduce que:

[~ 0 (u); w(u); ~ w ~ 0 (u)]2 < 0; k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k4

jKT (u; v)j es máximo () k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k2 es mínimo. Llamamos ~v (u; v) = ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v). Teniendo en cuenta la siguiente expresión: ~ru (u; v) ^ ~rv (u; v) = ~ 0 (u) ^ w(u) ~ + vw ~ 0 (u) ^ w(u); ~ se tiene: d k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k2 dv d d = (~v (u; v) ~v (u; v)) = 2 ~v (u; v) ~v (u; v) dv dv 0 0 = 2 (w ~ (u) ^ w(u)) ~ (~ (u) ^ w(u) ~ + vw ~ 0 (u) ^ w(u)) ~

0 =

= 2 (w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ (~ 0 (u) ^ w(u)) ~ + v kw ~ 0 (u) ^ w(u)k ~

2

:

Por tanto, el valor máximo de k~ru (u; v) ^ ~rv (u; v)k2 se alcanza para el siguiente valor de v: (w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ (~ 0 (u) ^ w(u)) ~ v= ; 2 kw ~ 0 (u) ^ w(u)k ~

que coincide con el valor del parámetro v de los puntos centrales de la super…cie. OBSERVACIÓN: En los puntos centrales el valor absoluto de la curvatura de Gauss es máximo. 9

1.4.2

Arista de retroceso

Si la super…cie es desarrollable entonces los vectores ~ 0 (u), w(u), ~ w ~ 0 (u) son coplanarios y el vector w ~ 0 (u)^w(u) ~ no es ortogonal al vector ~ru (u; v)^~rv (u; v). Por tanto, todos los puntos de la línea de estricción son puntos singulares y en este caso, a la curva con parametrización: ~ (u) = ~ (u)

(w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ (~ 0 (u) ^ w(u)) ~ w(u); ~ 2 kw ~ 0 (u) ^ w(u)k ~

la llamaremos arista de retroceso. OBSERVACIÓN: A lo largo de la arista de retroceso la super…cie se desdobla en dos hojas. Como w ~ 0 (u), ~ 0 (u) y w(u) ~ son coplanarios, el vector ~ 0 (u) se puede escribir como combinación lineal de los vectores w ~ 0 (u) y w(u): ~ ~ 0 (u) = (u)w(u) ~ + (u)w ~ 0 (u): Por tanto, ~ 0 (u) ^ w(u) ~ = ( (u)w(u) ~ + (u)w ~ 0 (u)) ^ w(u) ~ 0 = (u)w ~ (u) ^ w(u): ~ Multiplicando escalarmente la expresión anterior por el vector w ~ 0 (u) ^ w(u) ~ obtenemos: 2

(~ 0 (u) ^ w(u)) ~ (w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ = (u) kw ~ 0 (u) ^ w(u)k ~ ; de donde (u) =

(~ 0 (u) ^ w(u)) ~ (w ~ 0 (u) ^ w(u)) ~ ; 2 kw ~ 0 (u) ^ w(u)k ~

y la arista de retroceso se puede parametrizar como sigue: ~ (u) = ~ (u)

(u)w(u): ~

Por tanto, ~ (u) = ~ (u) + (u)w(u) ~ y podemos parametrizar la super…cie en función de la arista de restroceso como sigue: ~r(u; v) = ~ (u) + (u)w(u) ~ + tw(u) ~ = ~ (u) + ( (u) + v) w(u): ~ 10

Derivando ~ (u) = ~ (u) (u)w ~ 0 (u), se tiene:

(u)w(u) ~ y teniendo en cuenta ~ 0 (u) = (u)w(u) ~ +

0 ~ 0 (u) = ~ 0 (u) (u)w(u) ~ (u)w ~ 0 (u) 0 = (u)w(u) ~ + (u)w ~ 0 (u) (u)w(u) ~ 0 = ( (u) (u)) w(u): ~

(u)w ~ 0 (u)

Por tanto: 1. Si (u) = cónica.

0

(u) entonces ~ 0 (u) = ~0 y la super…cie es una super…cie

2. Si (u) 6= 0 (u), el vector w(u) ~ es proporcional a ~ 0 (u) y a super…cie es una super…ce desarrollable tangencial y puede parametrizarse como sigue: ~r(u; v) = ~ (u) +

v 0 (u)

(u)

en función de su arista de retroceso.

11

~ 0 (u);

(u; v) 2 I

R;