1 1.1

Unidad 1. Temperatura Conceptos fundamentales

Sistema. Región del espacio delimitada de forma abstracta o física por el resto del universo (entorno), donde su interacción con éste último es objeto de estudio. Coordenadas termodinámicas. Magnitudes físicas macroscópicas que describen el estado interno de un sistema. Estado. Condición del sistema representado por valores únicos de determinadas coordenadas termodinámicas. Termodinámica. Rama de la física que establece principos generales apartir de las relaciones entre coordenadas termodinámicas de un sistema.

1.2

Equilibrio térmico

Consideremos los sistemas j y k con masa y composición química costantes, descritos por conjuntos de coordenadas termodinámicas independientes (xj ; y j ) & (xk ; y k ). Pongámoslos en contacto mutuo mediante dos tipos de paredes:

Pared adiabática. División física donde cualesquiera j y k continuan en el mismo estado antes y después de haber estado en contacto. Pared diatérmica. Delimitación física donde cualesquiera j y k pueden modi…car su estado inicial para alcanzar un nuevo estado conjunto, denominado estado de equilibrio térmico.

1.3

Ley cero de la termodinámica

Consideremos los sistemas j y k separados por una pared adiábatica, pero cada uno de ellos en contacto con un tercer sistema n mediante una pared diatérmica. Además, todo el conjunto se aisla del entorno mediante paredes adiabáticas. La experiencia demuestra que no sólo los sistemas j; n y k; n alcanzarán el equlibrio térmico, sino que los sistemás j; k también lo harán. Este resultado se conoce como la ley cero de la termodinámica:

1

A utor Omar H. C. Silva Autor

Ley cero "Dos sistemas en equilibrio térmico con un tercero están en equilibrio térmico entre sí" Temperatura. Propiedad común de dos o más sistemas que determina si están o no en equilibrio térmico. Microscópicamente para un gas ideal T =

2 h 3k

kin i

la temperatura se relaciona con la energía cinética promedio por partícula del gas ideal!

1.4

Temperatura

Considere un sistema j en el estado (xj0 ; y0j ) en equilibrio térmico con el sistema k en el estado (xk0 ; y0k ). Modi…cando j podemos encontrar estados en equilibrio termico con el estado inicial de k (xj1 ; y1j )

(xj2 ; y2j )

(xjr ; yrj )

por la ley cero, estos estados están en equilibrio termico entre sí. El lugar geométrico de tales estados se denomina isoterma.

yj

yk

k

k

( xs , y s )

T0 k

k

( x1 , y1 ) j

T0

j

( xr , y r )

j

j

j

( x1 , y1 )

j

( x0 , y0 )

T1

k

k

( x0 , y0 )

T1

xj

xk

Isotermas correspondientes 2

A utor Omar H. C. Silva Autor

Análogamente, modi…cando los estados de k podemos encontrar estados en equilibrio térmico con el estado inicial de j (xk1 ; y1k )

(xk2 ; y2k )

(xks ; ysk )

de igual manera, tales estados se hayan en equilibrio térmico entre sí por la ley cero de la termodinámica y describirán una isoterma para k. Ambos isotermas determinan una propiedad común en todos los estados denominada temperatura.

1.5

Escalas termométricas

La asignación de una escala termométrica consiste en la adopción arbitraria de un conjunto de reglas. Consideremos un sistema patrón, denominado termómetro, y un grupo de isotermas descritas por éste. Establecemos la escala por la ecuación T = ax

y = const:

(funcion termometrica)

donde y es mantenida …ja y la coordenada x se denomina propiedad termométrica. La ecuación representa una linea horizontal en el digrama yx, donde la constante a es determinada durante el equilibrio térmico del termómetro con un estado de un sistema externo, denominado punto …jo. Desde 1954 está en uso como punto …jo el punto triple del agua, estado donde coexisten en equilibrio agua, hielo y vapor de agua.

y y = const. T pt = 273.16 K

x pt

x

Temperatura del punto triple del agua Convenimos en que la temperatura asignada a la isoterma del punto triple del agua sea 273:16 K a= xpt De esto modo logramos la escala termométrica T =(

273:16 K )x xpt

3

A utor Omar H. C. Silva Autor

1.5.1

Temperatura del gas ideal

Supongamos que deseamos medir la temperatura de un sistema particular a través de diferentes tipos de termómetros de gas (He; N2 y H2 ), calibrados a la temperatura del punto triple de agua. La función termométrica estaría dada por 273:16 K )P V = const: T = lim ( Ppt !0 Ppt 1.5.2

Escala centígrada

La escala de temperatura Centígrada c tiene como unidad un grado de igual magnitud que el grado de la escala Kelvin, pero dezplazado de tal forma que la temperatura del punto triple del agua es de 0:01 C c=T 1.5.3

273:15 K

Otras escalas c=

5 (f 9

r=

32)

(Fahrenheit)

9 T 5

(Rankine)

Tarea 1. Hacer la conversión de las siguientes temperaturas 1. El punto de fundición del oro es de 1064 C y el punto de ebullición es de 2660 C. (a) Exprese estas temperaturas en kelvins. (b) Calcule las diferencias de estas temperaturas en grados centígrados y en grados kelvin y compare los resultados. 2. El nitrógeno líquido tiene un punto de ebullición de atmosférica. Exprese esta temperatura en

195:81 C a la presión

(a) grados fahrenheit (b) grados rankine (c) kelvins. 3. La temperatura más alta registrada en la Tierra fue de 136 F , en Azizia, Libia, en 1922. La temperatura más baja fue 127 F en la estación Vostok, en el Ártico, en 1960. Exprese estas temperaturas extremas en grados centígrados. 4. El punto de fusión del plomo es de 327:3 C. Exprese éste en (a) grados fahrenheit 4

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(b) grados kelvin. 5. La temperatura de un estado del noreste varia de 105 F en el verano a 25 F en el invierno. Exprese este intervalo de temperaturas en grados centígrados. 6. El punto de ebullición del azufre es de 444:60 C. El punto de fusión es de 586:1 F por abajo del punto de ebullición. (a) Determine el punto de fusión en grados centígrados. (b) Encuentre los puntos de fusión y de ebullición en grados fahrenheit. 7. La temperatura normal del cuerpo humano es 98:6 F . Una persona con …ebre puede registrar 102 F . Exprese estas temperaturas en grados centígrados. 8. Se calienta una sustancia de temperatura en

12 F a 150 F . ¿Cuál es su cambio de

(a) la escala centígrados (b) la escala kelvin? 9. Un proceso enfría un cuerpo de 350 C a temperatura en

80 C. Exprese el cambio en la

(a) kelvins (b) grados Faluenheit. 10. ¿A qué temperaturas son iguales las lecturas en un termómetro fahrenheit y en un termómetro de escala centígrada? Exercise 1 Completa la siguiente tabla de conversiones

5

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1.6 1.6.1

Sistemas termodinámicos Sistemas hidrostáticos

Un sistema hidrostático es un sistema de masa constante que ejerce sobre su entorno una presión hidrostática constante en ausencia de efectos de super…cie, gravitatorios o electromagnéticos. Considremos la función de estado V = V (P; T ) con P; T independientes entre sí. La diferencial de volumen @V @V dP + dT @P @T

dV =

representa un cambio in…nitesimal del volumen en el límite macroscópico. (Aquí el cambio se supone entre dos estados de equilibrio muy próximos.) De igual modo puede calcularse las diferenciales exactas dP; dT obtenidas de funciones reales. Coe…ciente de dilatación cúbica =

@V @T

1 V

P

Compresibilidad isotérmica @V @P

1 V

=

T

Asumiendo la ecuación de estado f (P; V; T ) = 0 con P; T independientes, se puede demostrar fácilmente que @P @V @V @T @P @V

@P @T 1

= =

@V @P

por lo que @P = @T demodo que dP =

dT

1 dV V

a volumen constante dP =

dT

6

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Example 2 Se mantiene a volumen constante una masa de mercurio a la presión atmosférica normal a la temperatuta de 0 C. Si aumentamos la temperatura hasta 10 C. ¿Cuál será la presión …nal? Solución: Dentro del rango de 0 C a 10 C los coe…cientes = 181 10 6 K 1 y 11 1 = 3:82 10 P a son casi invariantes. Luego, integrando la ecuación anterior P

P0

=

(T

T0 )

P

=

1:013

=

468: 74 atm

105 +

181 3:82

10 10

6 11

(10) = 4: 748 3

107 P a

Example 3 La ecuación de estado aproximada para una gas real a presión moderada es B P V = RT (1 + ) V donde R es una constante y B sólo es función de la temperatura. Demostrar = = 1.6.2

V + B + T dB dT (V + 2B)T 1 BRT (1 + P V 2 )P

Sistemas tipo alambre estirado

A condiciones normales de presión (1 atm) y para cambios despreciables de volumen, la descripción termodinámica necesaria su…ciente de un sistema como un alambre estirado está dada por la ecuación de estado L = L(T; F ) donde L longitud, F tensión y T temperatura del alambre. En un cambio in…nitesimal de estado @L @L dL = dT + dF @T @F por otro lado podemos de…nir el coe…ciente de dilatación lineal =

1 @L L @T

que depende principalmente de T . El módulo de Young isotérmico Y =

L @F A @L

que depende también principalmente de T . A es el área transversal del alambre. 7

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1.7

Mangitudes intensivas y extensivas.

Al dividir un sistema termodinámico en equilibrio en dos partes, aquellas coordenadas termodinámicas que cambian su valor serán denominadas magnitudes extensivas, de otro modo serán llamadas magnitudes intensivas. Por ejemplo, masa, volumen, carga eléctrica, número de moles, energía interna son magnitudes extensivas, mientras que la presión, temperatura, densidad son magnitides intensivas. Tarea 2. 1. Demostrar a partir de la ecuaciòn de estado de un gas perfecto P V = RT , que (a)

=

(b)

=

1 T 1 P

2. Para un gas a presiones moderadas, P (V b) = RT , donde R y b son constantes, es una ecuación de estado aproximada que tiene en cuenta el tamaño …nito de las moléculas. Demostrar (a)

=

(b)

=

1 T bP 1+ RT 1 P bP 1+ RT

3. Un metal cuyo coe…ciente de dilatación cúbica es 5 10 5 K 1 y su compresibilidad isotérmica es 1:2 10 11 P a 1 está a una presión de 1 105 P a y a una temperatura de 20 C envuelto por una cubierta gruesa de invar (de dilatación cúbica y compresibilidad despresiables) muy ajustada a él. (a) ¿Cuál será la presión …nal al llevar la temperatura hasta 32 C? (b) Cuál es la mayor temperatura que puede alcarzar el sistema si la máxima presión que puede resistir la envoltura de invar es de 1:2 108 P a? 4. Un bloque del mismo metal que el del problema anterior, cuyo volumen es de 5 lt, a la presiòn de 1 atm y a la temperatura de 20 C, experimenta un aumento de temperatura de 12 grados y su volumen aumenta en 0:5 cm3 . Calcular la presión …nal. 5. En la tabla adjunta se muestra el coe…ciente de dilatación cúbica y la compresibilidad isotérmica de oxígeno líquido. Demostrar grá…camente que @P @T depende de la temperatura T (K) (10 3 K 1 ) k (10 9 P a 1 )

60 3:48 0:95

65 3:60 1:06

70 3:75 1:20

75 3:90 1:35

80 4:07 1:54

8

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85 4:33 1:78

90 4:60 2:06

6. Si un alambre experimenta un cambio in…nitesimal desde un estado inicial de equilibrio a otro …nal, también de equilibrio, demostrar que la variación de tensión es AY dF = AY dT + dL L 7. Un hilo metálico de 0:0085 cm2 de sección transversal está sometido a una tensión de 20 N , a la temperatura de 10 C, entre dos soportes rígidos separados 1:2 m. ¿Cuál es la tensión …nal, si la temperatura se reduce a 8 C? (Suponer que e Y tiene valores constantes e iguales a 1:5 10 3 K 1 y 2 109 N=m2 , respectivamente. 8. La frecuencia fundamental de vibración de un alambre de longitud L, masa m y tensión F es r FL 1 f= 2L m ¿Con qué frecuencia vibrará el hilo del problema anterior si la temperatura inicial es 20 C ? ¿Y si es 8 C? Considere la temperatura …nal a 8 C en ambos casos.(La densidad del alambre es 9 103 Kg=m3 ? 9. Si además de las condiciones mencionadas del problema 7 los soportes se acercan 0:012 cm, ¿cuál es la tensión …nal? 10. La ecuación de estado de un alambre elástico es F = KT (

L L0

L20 ) L2

siendo K una constante y L0 (el valor de L a tensión nula) sólo función de la temperatura. (a) Demostrar que el módulo de Young isotérmico viene dado por Y =

KT L 2L2 ( + 20 ) A L0 L

Demostrar que el módulo de Young isotérmico a tensión nula es Y0 =

1.8

3KT A

Trabajo

El trabajo in…nitesimal sobre (o por) un sistema termodinámico se de…ne dW = F dx si la fuerza externa F tiene la misma dirección que el desplazamiento dx, entonces dW > 0 y se realizará trabajo sobre el sistema. De otro modo, dW < 0 y se dirá que el trabajo fue realizado por el sistema. 9

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Proceso cuasiestático. Proceso ideal en el que se lleva a un sistema de un estado inicial a otro …nal mediante una fuerza resultante in…nitesimal, de modo que el sistema en todo momento se encuentra en un estado in…nitesimalmente próximo al equilibrio termodinámico. 1.8.1

Trabajo en un sistema hidrostático

Consideremos un cilindro con un pistón móvil por el cual interactúa con su entorno.

Sea A la sección transversal y P la presión dentro del cilindro. Una fuerza in…nitesimal externa produce un desplazamiento dx del pistón, de modo que dW =

P dV

es el trabajo in…nitesimal efectuado. El signo menos asegura que durante una expansión el trabajo sea negativo (trabajo producido por el sistema) y, de forma contraria, durante una compresión el trabajo sea positivo (trabajo realizado sobre el sistema). El trabajo realizado por la treyectoria c desde i hasta f Z f W = P dV i

1.8.2

Trabajo dependiente de la trayectoria

Exercise 4 En el siguiente diagrama P V (unidades de m3 para el volumen y P a para la presión) calcule: a) Wiabcf , b) Wiabcf i (ciclo), Wif cbai (ciclo inverso)

P i

a

17

b 14 13

c

n

m

12

o

10

f

4

5

6

7

9

10

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V

Remark 5 La diferencial dW es una diferencial inexacta, es decir, no es una diferencial de una función de coordenadas termodinámicas.

1.9

Expansión-compresión isotérmica de un gas ideal

Para un gas ideal con ecuación de estado P V = nRT , el trabajo durante una expansión-compresión isotérmica W =

nRT ln

V V0

donde n es el número de moles del gas, R = 8:31 J=mol K es la constante universal de los gases y T la temperatura en K. Example 6 Dos kmol de He a 1 C se comprime isotérmicamente de 3890 lt a 1435:5lt. ¿Cuál es el trabajo efectuado durante la compresión? W

1.10

=

( 2000 mol)(8:31J=mol K)(272:15 K) ln

=

4:509 1

1:4355 m3 3:890 m3

106 J

Compresión isotérmica de un sólido

Para un sólido sometido a una compresión isotérmica W = donde se ha utilizado dP = aproximadamente constantes.

V (P 2 2 1 V

P02 )

dV , además de considerar que ; V son

Example 7 Una masa de 50 kg de Cu es sometida a una compresión isotérmica de 1 a 800 atm. ¿Cuál es el trabajo efectuado durante el proceso? Considérese = 8930 kg=m3 ; = 7:16 10 12 P a 1 W

= = = =

1.11

V (P 2 P02 ) 2 m 2 (P P02 ) 2 (7:16 10 12 P a 1 )(50 kg) ((8 2(8930 kg=m3 ) 128:29 J

107 P a)2

(1

105 P a)2 )

Trabajo al variar la longitud de un alambre

Si se varía la longitud de un alambre cuando es sometido a una tensión F , el trabajo in…nitesimal realizado es dW = F dL donde F determina la ruta de integración entre dos estados. 11

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Tarea 3. 1. Calcular el trabajo realizado por un mol de gas durante una expansión isotérmica cuasiestática desde un volumen inicial V0 hasta un volumen …nal V si la ecuación de estado es (a) P (V

b) = RT

(b) P V = RT (1

B ) V

donde R; b son constantes y B = B(T ). 2. Durante una expansión adiabática cuasi-estática de un gas ideal, la presión en cualquier momento viene dada por PV a = b donde a y b son constantes. Demostrar que el trabajo realizado durante la expansión de (P0 ; V0 ) a (P; V ) es W =

P0 V0 a

PV 1

Si la presión y el volumen iniciales son 106 P a y 10 3 m3 , respectivamente, y los valores …nales son 2 105 P a y 3:16 10 3 m3 , ¿Cuál es el trabajo realizado para un gas cuya a = 1:4? 3. Se eleva de modo isotérmico y cuasiestáticamente la presión ejercida sobre 0:1 kg de metal desde 0 hasta 108 P a. Suponiendo que la densidad y la compresibilidad isotérmica se mantienen constantes en los valores 104 kg=m3 y 6:75 10 12 P a 1 , respectivamente, calcular el trabajo realizado. 4. La tensión de un alambre se aumenta isotermicamente y cuasiestáticamente desde F0 hasta F . Si la longitud, la sección transversal y el módulo de Young isotérmico se mantienen constantes, demostrar que el trabajo es W =

L (F 2 2AY

F02 )

Si la tensión en un alambre de 1 m de longitud y de 1 10 7 m2 de sección transversal, a 0 C, se aumenta de forma isotérmica y cuasiestática desde 10 a 100 N . ¿Cuál es el trabajo realizado? (El módulo de Young isotérmico a 0 C es 2:5 1011 N=m2 )

12

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5. La ecuación de estado de una sustancia elástica ideal es F = KT (

L L0

L20 ) L2

donde K es una constante y L0 (el valor de L a tensión nula) función solamente de la temperatura. Calcular el trabajo necesario para comprimir la sustancia desde L0 hasta L0 =2 cuasiestática e isotérmicamente.

13

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2

Unidad 2. Primera ley de la termodinámica

2.1

Concepto de calor

Calórico. Calor como substancia que se trasmite de un cuerpo caliente hacia otro cuerpo frio.

2.2

Trabajo adiabático

2.3

Trabajo adiabático independiente de la trayectoria

Primera ley de la termodinámica.Si un sistema es obligado a pasar de un estado inicial a otro …nal, utilizando solamente transformaciones adiabáticas, el trabajo realizado es el mismo para todas las trayectorias adiabáticas que unen a los dos estados. Implica la existencia de una función cordenadas termodinámicas cuya diferencia resulte el trabajo adiabático empleado para llevar al sistema, por cualquier ruta, de i a f . Tal función U se denomina energía interna.

2.4

Formulación matemática de la primera ley de la termodinámica

Experimento. Dos sistemas idénticos en estado i.

Sistema 1. Trabajo adiabático de i hasta f En el caso 1 U =W 14

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Figure 1: Sistema 1. Trabajo no adiabático de i hasta f

donde U = Uf En el caso 2

Ui :

U =Q+W

(Primera ley de la termodinamica)

Calor. Energía en tránsito en virtud de la diferencia de temperatura y no por medios mecánicos. Q > 0 entra al sistema Q < 0 sale del sistema La primera ley de la termodinámica adentra Ley de conservación de la energía Existencia de energía interna Concepto de calor Un sistema puede variar su estado mediante trabajo o calor únicamentre Remark 8 La diferencial de calor dQ es inexacta Forma diferencial de la primera ley dU = dQ + dW Example 9 Se comprime rápidamente un gas en un cilindro rodeado por una gruesa capa de …eltro aislante, elevándose la temperatura varios grados centígrados. ¿Ha habido transferencia de calor? ¿tiene validez la frase "se incrementó el calor del gas"? Example 10 Se introduce una resistencia eléctrica a un recipiente con agua experimentándose un aumento en la temperatura de éste. Considerándo como sistema la resistencia, ¿ha habido tranferencia de calor? ¿Se ha realizado trabajo sobre o por el sistema? ¿Cuál es el signo de U ?

15

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Example 11 Un líquido se agita irregularmente en un recipiente aislado notándose un aumento en su temperatura. ¿Ha habido tranferencia de calor? ¿Se ha realizado trabajo? ¿Cuál es el signo de U ? Example 12 Un gas está contenido en un sistema cilindro pistón aislado. En él hay una unión de dos metales distintos (una termounión) cuyos hilos conductores atraviesan las paredes del cilindro y llegan a un generador de voltaje. Debido al efecto Peltier, la termounión experimenta un calentamiento cuando la corriente circula en un sentido, y un enfriamento cuando circula en sentido opuesto. ¿Cuál es el resultado de permitir que el pistón se desplace hacia a fuera cuando no hay corriente? Manteniendo …jo el pistón, ¿cómo podría elevarse la temperatura del sistema? ¿Cuál es el signo de U ? Manteniendo …jo el pistón, ¿cómo podría disminuirse la temperatura del sistema? ¿Cuál es el signo de U ? ¿Cómo podría lograrse un proceso adiabático e isotérmico? Example 13 Cuando se realiza un trabajo de 100 kJ sobre un sistema, la energía total del sistema se incrementa 55 kJ. Calcule cuanto calor es adicionado o removido del sistema. Solución: W = 1 105 J U = 5:5 104 J Q = U W = 5:5 104 J = 45 kJ

1

105 J

Example 14 Por calentamiento un pistón sin fricción expande un gas contenido en un cilindro. A presión constante de 2 M P a el volumen va de 1 a 2:5 lts. Si en el proceso se trans…ere 2500 kJ de calor, determine el cambio de energía interna del gas. Solución: P = 2 106 P a V0 = 1 lt = 1 10 3 m3 V = 2:5 lt = 2:5 10 3 m3 Z f W = P dV = P (V V0 ) i

=

Q = 2:5

2

106 P a(2:5

10

3

m3

3

m3 ) =

3000 J = 2:497

106 J

1

10

106 J U

= Q+W = 2:5 106 J

16

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3000 J

Example 15 El gas contenido en un cilindro vertical sostiene un pistón de 1 kg que tiene un área transversal de 0:05 m2 . La masa del aire dentro del cilindro es de 10 gr y tiene un volumen inicial de 10 L. La presión atmosférica es de 1 atm y se tiene transferencia de calor desde el gas hacia los alrededores de 2 kJ mientras el volumen del gas disminuye a 0:005 m3 . Despreciando la fricción entre el pistón y la pared del cilindro, encuentre el cambio de la energía interna especí…ca del gas. Tarea 4. 1. Un aparato de pistón y cilindro contiene un gas que se encuentra inicialmente a 6 bar y 177 C y ocupa un volumen de 0:05 m3 . El gas experimenta un proceso cuasiestático, de acuerdo con la expresión P V 2 = k, donde k es una constante. La presión …nal es de 1:5 bar. Calcule (a) el trabajo realizado (b) el cambio en la energia interna, si el suministro de calor es de 5:0 kJ 2. Un cilindro cerrado cuyo eje está en posición vertical tiene ajustado un pistón en su extremo superior. El pistón soporta un cierto peso que mantiene una presión constante de 3 bar en los 0:8 kg de gas contenidos en el cilindro. El volumen del gas se reduce de 0:1 a 0:03 m3 , con lo que su energia interna especí…ca se reduce en 60kJ=kg. Si el proceso es cuasiestático, calcule (a) el trabajo desempeñado por o sobre el gas (b) la cantidad de calor suministrado o extraido (c) el cambio de entalpia

H

3. Se mantiene un aparato de pistón y cilindro que contiene 1:4 kg de gas a una presión constante de 7 bar. En el curso de un proceso el gas pierde 49 kJ de calor, en tanto que el volumen cambia de 0:15 a 0:09m3 . Determine el cambio en energia interna. 4. Un aparato vertical de pistón y cilindro contiene un gas que se encuentra comprimido por émbolo sin fricción, cuyo peso es de 3000 N . Un agitador mecánico contenido en el cilindro entrega al gas un trabajo equivalente a 6800 J, durante un cierto periodo. Si el gas pierde 8:7 kJ de calor y su energia interna experimenta un cambio igual a 1 kJ, calcule la distancia que el pistón tendria que moverse, en metros. El área de pistón es 50 cm2 y la presión de la atmósfera en el exterior del cilindro es 0:95 bar. 5. En el interior de un aparato vertical de pistón y cilindro se encuentra un gas contenido por un émbolo sin fricción, cuya masa es 150 kg. Durante un periodo de tres minutos, un resistor situado en el interior del cilindro recibe una corriente de 8 A de una batería externa a 6 V . Si el gas pierde 5:80 kJ de calor y la energia interna del gas cambia en +2040 kJ, 17

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determine la distancia que se mueve el pistón, en centímetros. El área del pistón es de 30:0 cm2 , la presión atmosférica en el exterior del cilindro es de 960 mbar y la aceleración local de la gravedad es 9:60 m=s2 : 6. Un gas se expande de I a F , como se aprecia en el diagrama. El calor que se agrega al gas es de 400 J cuando el gas va de I a F por la trayectoria diagonal. (a) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del gas? (b) ¿Cuánto calor se debería agregar al gas si se fuera por el camino indirecto IBF , para tener el mismo cambio en la energía interna?

7. Se comprime un gas a presión constante de 0:8 atm de un volumen de 9 L a un volumen de 2 L. En el proceso se escapan del gas 400 J de energía calorí…ca. (a) ¿Cuál es trabajo realizado por el gas? (b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del gas? 8. Un sistema termodinámico sigue un proceso en el cual su energía interna disminuye 500 J. Si al mismo tiempo se hacen 220 J de trabajo sobre el sistema, encuentre el calor trasferido por, o hacia, el sistema 9. Un gas se lleva a través del proceso cíclico descrito en el diagrama. (a) encuentre el calor neto trasferido al sistema durante un ciclo completo (b) Si el ciclo se invierte, esto es, el proceso va por el camino ABCA, ¿cuál es el calor neto trasferido por ciclo?

18

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10. Cinco moles de un gas ideal se expanden isotérmicamente a 127 C hasta cuatro veces su volumen inicial. Encuentre (a) el trabajo realizado por el gas (b) el ‡ujo total de calor hacia el sistema 11. Un mol de gas, inicialmente a una presión de 2 atm y a un volumen de 0:3 L, tiene una energía interna de 91 J. En su estado …nal, la presión es de 1:5 atm, el volumen de 0:8 L y la energía interna de 182 J. Para los tres caminos, IAF , IBF e IF del diagrama calcule (a) el trabajo realizado por el gas (b) el calor neto trasferido en el proceso

12. Se con…na un kilogramo de gas nitrógeno en un cilindro con un émbolo movible expuesto a presión atmosférica normal. Se agrega 25 000 cal de calor al gas en un proceso isobárico y su energía interna aumenta en 8 000 cal. (a) ¿Cuánto trabajo realizó el gas? (b) ¿Cuál es el cambio en el volumen? 13. Un gas ideal inicialmente a 300 K se expande en forma isobárica a una presión de 2:5 kP a. Si el volumen aumenta de 1 m3 a 3 m3 y se agregan 12 500 J de calor al sistema, encuentre 19

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(a) el cambio en la energía interna del gas (b) su temperatura …nal. 14. Dos moles de gas helio inicialmente a una temperatura de 300 K y a una presión de 0:4 atm se comprimen en forma isotérmica a una presión de 1:2 atm. Encuentre (a) el volumen …nal del gas (b) el trabajo realizado por el gas (c) el calor trasferido. Considere el helio como un gas ideal. 15. Un mol de un gas ideal monoatómico, a 400 K; se lleva por un proceso cuasiestático isotérmico al doble de su volumen original (a) ¿Cuánto trabajo, Wab , realizó el gas? (b) ¿Cuánto calor, Qab , se le suministró al gas? (c) ¿Cuál es la razón Pb =Pa de las presiones? (d) Suponga que se usa un proceso a volumen constante para reducir la presión inicial Pa a la misma presión …nal Pb . Determine los nuevos valores de Wab ; Qab ; U

Remark 16 1 bar = 1

105 P a

La entalpía se de…ne H = U + PV el cambio en la entalpía H=

2.5

U + PV

P0 V 0

Capacidad calorí…ca

Si un sistema experimenta un cambio de temperatura dT durante la transferencia de calor dQ de…nimos la capacidad calorí…ca C=

dQ dT

20

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mol. Cantidad de sustancia que contienen tantan unidades elementales (moléculas, átomos, iones,...) como átomos hay en 12 gr de carbono 12 (NA = 6:023 1023 ) Capacidad calori…ca molar c=

1 dQ n dT

n : número de moles En sistemas hidrostáticos. Capacidad calori…ca a presión constante CP =

dQ dT

P

en general función de V; T . Capacidad calori…ca a volumen constante CV =

dQ dT

V

en general función de P; T . Calentamiento Joule. El calor que ‡uye por una resistencia bajo una diferencia de potencial " y por la que ‡uye una corriente i en un tiempo dt está dada por dQ = i"dt Capacidad calorí…ca del agua caloría. Cantidad de calor necesaria para elevar de 14:5 C a 15:5 C un gramo de agua. 1 cal = 4:186 J

Remark 17 La variación máxima de la capacidad calorí…ca del agua entre 0 y 100 C es menos de 1% Ecuaciones para un sistema hidróstático Si la energía interna del sistema es función de T; V dU =

@U @U dV + dT @V @T 21

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Para un sistema hidróstático la primera ley de la termodinámica queda dQ = dU + P dV @U @U = + P dV + dT @V @T o bien

dQ = dT

@U +P @V

dV @U + dT @T

esta ecuación es válida para cualesqueira cambios de temperatura y volumen, por lo que 1. (a) Para volumen constante, dV = 0 dQ dT

= V

o bien CV =

@U @T

@U @T

V

V

(b) Para P constante, tenemos dQ = dT

@U +P @V

@V @U + @T @T

Cp =

@U +P @V

V + CV

@U Cp CV = @V V

P

o bien

es decir

Calor especí…co. Ce =

1 dQ m dT

donde m es la masa de la sustancia.

22

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25 C y presión atmosférica Example 18 ¿Cuántas calorías se requieren para elevar la temperatura de 3 kg de aluminio de 20 C a 30 C? Suponiendo Ce invariable durante el cambio de temperatura Ce = 900 J=kg K m = 3 kg T0 = 20 C T = 30 C Z

dQ = mCe

ZT

dT

T0

Q = mCe (T

T0 )

por lo tanto Q = (3 kg)(900 J=kg K)(10 K) = 2:7

104 J

mol. Cantidad de sustancia que contienen tantan unidades elementales (moléculas, átomos, iones,...) como átomos hay en 12 gr de carbono 12 (NA = 6:023 1023 ) 23

A utor Omar H. C. Silva Autor

2.5.1

Medida del calor especí…co

Una técnica para medir el calor especí…co de sólidos y líquidos consta en sumergir la sustancia de interés, con masa m y temperatura T conocidas, dentro de una porción de agua. Durante la tranferencia de calor, suponiendo invariancia de Ce y el sistema conjunto aislado, resulta por la conservación de la energía (térmica) mCe (

T) =

ma Ca (

Ta )

donde la masa ma , temperatura Ta y calor especí…co Ca están determinados para el agua. Despejando Ce Ce =

ma Ca ( m(

Ta ) T)

obtenemos el calor especí…co desconocido. Aquí equilibrio térmico.

es la temperatura de

Example 19 Un trozo de metal de 0:05 kg se calienta a 200 C, después se coloca en un recipiente que contiene 0:4 kg de agua inicialmente a 20 C. Si la temperatura …nal de equilibrio del sistema mezclado es de 22:4 C, encuentre el calor especí…co del metal. ma = Ca = 4186 Ta = mCe ( T) = Tarea 5. 1. Se utilizan 2 kcal para calentar 600 g de una sustancia desconocida de 15 C a 40 C. ¿Cuál es el calor especí…co de la sustancia? ¿A qué sustancia corresponde el calor especí…co? 2. Una pieza de cadmio de 50 g está a 20 C . Si se agregan 400 cal al cadmio, ¿cuál será su temperatura …nal? 3. ¿Cuál es la temperatura …nal de equilibrio cuando 10 g de leche a 10 C se agregan a 160 g de café a 90 C? (Suponga que las capacidades calorí…cas de los dos líquidos son iguales a la del agua, y desprecie la capacidad calorí…ca del recipiente.) 4. Se calientan balines de cobre, cada uno con una masa de 1 g, a una temperatura de 100 C. ¿Cuántos balines se deben agregar a 500 g de agua inicialmente a 20 C para que la temperatura …nal de equilibrio sea de 25 C? (Desprecie la capacidad calorí…ca del contenedor.) 5. Una herradura de hierro de 1:5 kg inicialmente a 600 C se deja caer en un cubo que contiene 20 kg de agua a 25 C. ¿Cuál es la temperatura …nal? (Desprecie la capacidad calorí…ca del recipiente.) 24

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6. Un recipiente de 300 g de aluminio contiene 200 g de agua a 10 C si se agregan 100 g de agua a 100 C, ¿cuál es la temperatura …nal de equilibrio del sistema? 7. Un trozo de 300 g de cobre se calienta en un horno y en seguida se deja caer en un calorímetro de 500 g de aluminio que contiene 300 g de agua. Si la temperatura del agua se eleva de 15 C a 30 C, ¿cuál era la temperatura inicial del cobre? (Suponga que el calor liberado por el cobre es absorbido completamente por el sistema agua-alumnio inicialmente en equilibrio térmico ( Ta = TAL ), esto es mCe (

T) =

ma Ca (

Ta )

mAL CAL (

TAL )

8. Un calorímetro de aluminio con una masa de 100 g contiene 250 g de agua. Están en equilibrio térmico a 10 C. Se colocan dos bloques de metal en el agua. Uno es una pieza de 50 g de cobre a 80 C. La otra muestra tiene una masa de 70 g a una temperatura de 100 C. Todo el sistema se estabiliza a una temperatura …nal de 20 C. (Haga una consideración análoga a la del problema anterior) (a) Determine el calor especí…co de la muestra desconocida. (b) Determine qué material puede ser. 9. Un recipiente de espuma de estireno contiene 200 g de mercurio a 0 C. A esto se le agregan 50 g de alcohol etílico a 50 C y 100 g de agua a 100 C. (a) ¿Cuál es la temperatura …nal de la mezcla? (b) ¿Cuánto calor fue ganado o perdido por el mercurio, el alcohol y el agua? (El calor especí…co del mercurio es 0:033 cal=grK., el de alcohol etílico, 0:58 cal=grK. Se desprecia la capacidad térmica de la espuma de estireno.)

25

A utor Omar H. C. Silva Autor

2.6

Experimento "Calor especí…co de líquidos"

Introducción. Investigar: ¿Qué es un calorímetro?, ¿cómo funciona y qué determina? Objetivo. Determinar el calor especí…co del alcohol etílico y aceite comestible mediante el diseño y uso de un calorímetro. Materiales. 1. Vaso unicel de 1 Lt con tapa del mismo material. 2. Termómetro (rango 0

100 C)

3. Agua 4. 500 ml de alcohol etílico 5. 500 ml de aceite comestible 6. Probeta o recipiente con escala mínima de 50 ml 7. Bitácora Diseño experimental. Con la información de la introducción (¿qué es un calorímetro?), se diseña un dispositivo análogo explicando sus componentes y funcionamento. Se anexan dos fotografías del diseño. Procedimiento experimental. Ante todo se calcula la masa de las sustancias involucradas mediante m= V donde

es la densidad y V es el volumen.

Se vierte 500 ml de agua caliente (aprox. 70 C) en el calorímetro. La temperatura inicial del sistema calorímetro-agua se registra. 50 ml de alcohol (a temperatura ambiente) se introduce al calorímetro y posteriormente, ya con tapa, se agita suavemente unos 15 seg hasta alcanzar el equilibrio térmico. Se registra la temperatura de equilibrio en la bitácora. El experimento se repite (renovando el agua del calorímetro cada vez) para 100 ml, 150 ml y 200 ml. Una vez terminado con el alcohol se prosigue de la misma forma con el aceite, con un agitado más riguroso para lograr el equilibrio térmico. Análisis de resultados.

26

A utor Omar H. C. Silva Autor

Con la tabla de resultados 50 ml

100 ml

150 ml

200 ml

alcohol aceite

se calcula el calor especí…co para cada cantidad de alcohol y de aceite Ce =

ma Ca ( m(

Ta ) T)

Con el uso de un gra…cador origin se plotean los resultados experimentales, calor especí…co versus mililitros, para cada sustancia (alcohol y aceite) con escalas adecuadas y con etiquetas en la base y costado de la gra…ca. Conclusiones. ¿La cantidad de sustancia depende en la determinación su calor especí…co? Investiga el calor especí…co del unicel y determina si es necesario incluirlo en el cálculo del calor especí…co de la sustancia. Si el recipiente hubiera sido de latón o cobre, ¿qué modi…caciones se haría al experimento? El reporte del anterior experimento debe por lo menos contener: 1. Página de presentación (nombre del experimento, asignatura, equipo, etc) 2. Introducción (breve descripción de la ley de Newton) 3. Objetivo (…nalidad del experimento) 4. Diseño experimental (materiales, breve descripción del diseño) 5. Registro de datos (tabla de registros experimentales, con unidades) 6. Análisis de resultados (grá…cas de resultados más gra…ca del modelo, sobrepuestas para hacer el cotejo) 7. Conclusiones 8. Bibliografía

27

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3

Unidad 3. Sustancias puras

Sustancia pura. Misma composición química en toda la sustancia: Agua, nitrógeno, helio, dioxido de carbono, Mezcla de sustancias puras. Combinación de distintos componentes químicos: aire, refrigerante 134a

3.1

Fases de una sustancia pura

Solido. moléculas forman patron tridimencional (red) debido a la fuerte atracción entre ellas. Líquido. moléculas no están en posiciones …jas, sino en grupos. Pueden trasladarse y rotarse, debido a la debilidad de sus interacciones. Gas. No hay orden molecular, la interacción es solo por colision entre moléculas. Completa libertad para desplazarse al azar.

3.2

Proceso de cambio de fase

Considere agua a 1 atm Líquido comprimido, líquido saturado

Mezcla líquido saturado-vapor saturado 28

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Vapor saturado

Vapor sobrecalentado

Diagrama T v de las fases del agua

29

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3.3

Presión de saturación y temperatura de saturación

A una presión determinada P una sustancia se evapora a la temperatura Tsat denominada temperatura de saturación. Recíprocamente, a determinada temperatura T una sustancia pura se evapora a la presión Psat denominada presión de saturación. Example 20 Agua a 1 atm tiene Tsat = 100 C Agua a 100 C tiene Psat = 1 atm

30

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3.4

Presión atmosférica en función de la altura

Ecuación que relaciona la presión atmosférica con la altura P V = nRT considerando la densidad

= m=V y la masa molar M = m=n P(

m

)=(

o bien = ahora de la ecuación P =

m )RT M

PM RT

gh dP

=

gdh PM gdh RT

=

sabiendo que la temperatura disminuye con la altura T = T0 ZP

dP P

ln

P P0

Mg R

=

Zh 0

P0

= =

h

dh T0

h

Mg 1 ( ln(T0 R Mg T0 h ln( ) R T0

o bien

h M g= ) T0

P = P0 (1

h) +

1

ln T0 )

R

donde

P0 M R T0 g

= = = = = =

0:0065 K=m 101:325 kP a 28:97 10 3 Kg=mol 8:31447 J=mol 288:15 K 9:80665 m=s2

1. ¿Cual es la presión atmosférica en la ciudad de México a 2235 m:s:n:m? P

= 101:325(1 2: 255 8 10 = 77: 199 kP a = 0:76 atm

5

2235)5: 256 8

31

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(a) ¿A qué temperatura se evapora el agua? buscando en las tablas A5 obtenemos P (kP a) 75 100

Tsat (C) 91:76 99:61

interpolando T

=

91:76 + (

=

92:45 C

77:199 75 )(99:61 100 75

91:76)

2. Usted se encuentra en una región apartada en la coordillera de los Andes, donde la temperatura de ebullición del agua es de 88 C. ¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra usted? buscando en las tablas A4 obtenemos T (C) 85 90

Psat (kP a) 57:868 70:183

interpolando Psat = 57:868 + (

88 90

85 )(70:183 85

57:868) = 65: 257 kP a

despejando h P P0 P P0

=

(1

=

1

R=M g

o bien P P0

1 h=

h M g= ) T0

R

h T0 R=M g

=T0

sustituyendo h

= =

1

65:257 0:0065 8:31447=(28:97 10 101:325

0:0065=288:15 3559: 5 m

32

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3

9:80665)

3.5

Diagramas T-v

Considere un sistema cilindro-pistón con pesas conteniendo agua.

3.6

Diagrama P-v

Considere un sistema cilindro-pistón con agua, inmerso en un baño térmico donde la temperatura es constantre.

33

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34

A utor Omar H. C. Silva Autor

3.7

Diagrama P-T (diagrama de fase)

35

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3.8

Super…cie P-v-T

1. Un tanque contiene 50 kg de agua saturada a 90 C. Determine el volumen del tanque y la presión dentro de él m = 50 kg T = 90 C Psat = 70:183 kP a 3

v = 0:001036 m =kg V

= mv = (50 kg)(0:001036 m3 =kg) = 0:0518 m3 = 51 lts

36

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2. Un dispositivo pistón cilindro contiene 2 f t3 de vapor de agua saturado a 50 psia de presión. Determine la temperatura, la masa y el número de moles del vapor dentro del cilindro. (1f t3 = 2: 831 7 10 2 m3 ; 1psi = 6894:75 P a) V = 2 f t3 = 5: 663 4

10

2

m3

P = 50 psia = 344:7 4 kP a buscando en las tablas A5 obtenemos P (kP a) 325 350

Tsat

=

136:27 + (

=

138:32 C

Tsat (C) 136:27 138:86

344:7 4 325 )(138:86 350 325

136:27)

en las tablas A5 obtenemos P (kP a) 325 350

vg

= =

vg (m3 =kg) 0:56199 0:52422

344:7 4 325 )(0:52422 350 325 0:532 17 m3 =kg 0:56199 + (

0:56199)

la masa V v 5: 663 4 10 2 m3 = 0:106 42 kg 0:532 17 m3 =kg

m = = número de moles n

=

m M

=

0:106 42 kg = 5: 907 3 mol 18:015 10 3 kg=mol

37

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3. Una masa de 200 gr de agua saturada es completamente vaporizada a una presion constante de 100 kP a. Determinar (a) el cambio de volumen m = 200 gr P = 100 kP a Tsat = 99:61 C en las tablas A5 obtenemos P (kP a) 100

vf (m3 =kg) 0:001043

vg (m3 =kg) 1:6941

hf g (kJ=kg) 2257:5

vf = 0:001043 m3 =kg vg = 1:6941 m3 =kg vf g

= vg vf = 1:6941 m3 =kg 0:001043 m3 =kg = 1: 693 1 m3 =kg

(b) la cantidad de energía requerida durante el proceso U

3.9

= mhf g = (0:2 kg)(2257:5 kJ=kg) = 451:5 kJ

Mezcla saturada líquido-vapor. Calidad

En una mezcla homogénea líquido-vapor de…nimos a la calidad como x=

mg m

38

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donde mg es la masa del vapor y m es la masa total de la mezcla. Por otra parte V mv

= Vf + Vg = mf vf + mg vg = (m mg )vf + mg vg

o bien v

vf vf g = vf + xvf g

x = v

El mismo análisis puede realizarse para la energía y la entalpía u h

= uf + xuf g = hf + xhf g

1. Un recipiente contiene 10 kg de agua a 90 C. Si 8 kg del agua están en forma líquida y el resto como vapor, determine (a) la presion en el recipiente T = 90 C Psat = 70:183 kP a (b) el volumen del recipiente m = 10 kg mf = 8 kg x=

2 kg = 0:2 10 kg

en las tablas A4 obtenemos T (C) 90

vf (m3 =kg) 0:001036

vg (m3 =kg) 2:3593

39

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por lo que v

= vf + xvf g = 0:001036 + 0:2 (2:3593 = 0:472 69 m3 =kg

0:001036)

así V

= mv = (10 kg)(0:472 69 m3 =kg) = 4:7269 m3

2. Un recipiente de 80 lts contiene 4 kg de refrigerante 134a a una presión de 160 kP a. Determine (a) la temperatura de la mezcla m = 4 kg P = 160 kP a buscando en las tablas A5 obtenemos P (kP a) 160 Tsat =

Tsat (C) 15:60

vf (m3 =kg) 0:0007437

vg (m3 =kg) 0:12348

hf (kJ=kg) 31:21

15:6 C

(b) calidad V = 80 lts = 80 10 3 m3 3 V m3 = 80 10 = 20 10 v=m 4 kg x = = =

v

3

m3 =kg

vf vf g

20 10 3 m3 =kg 0:0007437 m3 =kg 0:12348 m3 =kg 0:0007437 m3 =kg 0:156 89 40

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hg (kJ=kg) 241:11

(c) entalpía del refrigerante h

= hf + xhf g = 31:21 kJ=kg + (0:156 89)(241:11 kJ=kg = 64: 141 kJ=kg

31:21 kJ=kg)

(d) el volumen que ocupa la fase vapor Vg

Tarea 6.

= mg vg = xmvg = (0:156 89)(4 kg)(0:12348 m3 =kg) = 7: 749 1 10 2 = 77: 491 lts

1. Un recipiente rígido de 1:8 m3 contiene agua a 220 C. Un tercio del volumen está en la fase líquida y el resto en forma de vapor. Determine (a) la presión del vapor (b) la calidad mezcla saturada (c) la densidad de la mezcla

2. Un dispositivo de cilindro-émbolo contiene 0:85 kg de refrigerante 134a a 10 C. El émbolo, que posee libertad de movimiento, tiene una masa de 12 kg y un diámetro de 25 cm. La presión atmosférica local es de 88 kP a. Si se trans…ere calor al refrigerante 134a hasta que la temperatura sea de 15 C, determine. (a) la presión …nal (b) el cambio en el volumen del cilindro (c) el cambio en la entalpía del refrigerante 134a. 3. La presión atmosférica promedio en Denver (altura = 1610 m) es 83:4 kP a. Determine la temperatura a la que hierve el agua, en esa ciudad, dentro de una vasija descubierta. 4. Una olla cuyo diámetro interno es de 20 cm está llena de agua y cubierta con una tapa de 4 kg. Si la presión atmosférica local es 101 kP a, determine la temperatura a la que comenzará a hervir el agua una vez que se calienta. 5. En un dispositivo vertical de cilindro-émbolo se calienta agua. El émbolo tiene una masa de 20 kg y un área en su sección transversal de 100 cm2 . Si la presión atmosférica local es 100 kP a, determine la temperatura a la que el agua comienza a hervir. 6. Un recipiente de 0:5 m3 contiene 10 kg de refrigerante 134a a Determine (a) la presión (b) el volumen que ocupa la fase líquida.

41

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20 C.

7. Un dispositivo de cilindro-émbolo contiene 0:1 m3 de agua líquida y 0:9 m3 de vapor de agua en equilibrio a 800 kP a. Se trans…ere calor a presión constante hasta que la temperatura alcanza 350 C. (a) (b) (c) (d)

¿Cuál es la temperatura inicial del agua? Determine la masa total del agua. Calcule el volumen …nal. Muestre el proceso en un diagrama P v con respecto a las líneas de saturación

8. Un dispositivo de cilindro-émbolo contiene 50 L de agua líquida a 40 C y 200 kP a. Se trans…ere calor al agua a presión constante hasta que se evapora toda. (a) (b) (c) (d)

¿Cuál es la masa del agua? ¿Cuál es la temperatura …nal? Determine el cambio de entalpía total Muestre el proceso en un diagrama T v con respecto a las líneas de saturación

42

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4

Unidad 4. Ecuaciones de estado para gases

4.1

Gas ideal

Desarrollo del virial

B C + 2 + :::) v v para gases diluídos, es decir, v ! 1 P v = A(1 +

P V = nRT

(Gas ideal)

donde R = 8:31 J=mol K es la constante universal de los gases. Tarea 7. 1. Se mantiene un gas ideal en un recipiente a volumen constante. Inicialmente, su temperatura es 10 C y su presión es 2:5 atm. ¿Cuál será la presión cuando la temperatura sea de 80 C? 2. Un cilindro con un émbolo móvil contiene un gas a una temperatura de 127 C, una presión de 30 kP a y un volumen de 4 m3 . (a) ¿Cuál será su temperatura …nal si el gas se comprime a 2:5 m3 y la presión aumenta a 90 kP a? 3. Se encuentra contenido un gas en una vasija de 8 L, a una temperatura de 20 C y a una presión de 9 atm. (a) Determine el número de moles en la vasija (b) ¿Cuántas moléculas hay en la vasija? 4. Se encuentra con…nado un gas en un tanque a una presión de 10 atm y a una temperatura de 15 C. Si se saca la mitad del gas y se aumenta la temperatura a 65 C. ¿Cuál es la nueva presión en el tanque? 5. Se calienta un gas de 27 C a 127 C mientras se mantiene a presión constante en un recipiente cuyo volumen aumenta. ¿En qué factor cambia el volumen? 6. Un cilindro con un volumen de 12 litros contiene un gas de helio a una presión de 136 atm. ¿Cuántos globos se pueden llenar con este cilindro a presión atmosférica si el volumen de cada globo es de 1 litro? 7. Un tanque con un volumen de 0:1 m3 contiene gas de helio a una presión de 150 atm. ¿Cuántos globos se pueden in‡ar si cada globo lleno es una esfera de 30 cm de diámetro y a una presión absoluta de 1:2 atm? 8. Un mol de gas oxígeno está a una presión de 6 atm y a una temperatura de 27 C. 43

A utor Omar H. C. Silva Autor

(a) Si el gas se calienta a volumen constante hasta que la presión se triplica, ¿cuál es la temperatura …nal? (b) Si el gas se calienta de tal manera que tanto la presión como el volumen se duplican, ¿cuál es la temperatura …nal? 9. Se in‡a la llanta de un automóvil con aire inicialmente a 10 C y a presión atmosférica normal. Durante el proceso, el aire se comprime a 28% de su volumen inicial y su temperatura aumenta a 40 C. ¿Cuál es la presión del aire? Después de manejar el automóvil a altas velocidades, la temperatura del aire de las ruedas aumenta a 85 C y el volumen interior de la rueda aumenta 2%. ¿Cuál es la nueva presión en la rueda? Exprese su respuesta en P a (absoluta) y en Ib=in2 (manométrica). (1 atm = 14:70 Ib=in2 ) 10. Un globo poroso tiene un volumen de 2 m3 a una temperatura de 10 C y a una presión de 1:1 atm: Cuando se calienta a 150 C el volumen se expande a 2:3 m3 y se observa que se escapa el 5% del gas. (a) ¿Cuánto gas había en el globo a 10 C? (b) ¿Cuál es la presión en el globo a 150 C? 11. En los sistemas modernos de vacío, se han logrado presiones tan bajas como 10:11 mmHg. Calcule el número de moléculas en un recipiente de 1 m3 a esta presión si la temperatura es de 27 C. (1 atm = 760mmHg) 12. La rueda de una bicicleta se llena con aire a una presión manométrica de 550 kP a (80 Ib=in2 ) a 20 C. ¿Cuál es la presión manométrica en la rueda después de manejarla en un día soleado cuando la temperatura del aire es de 40 C? (Suponga quEl factore el volumen no cambia y recuerde que la presión manométrica signi…ca la presión absoluta en la rueda menos la presión atmosférica. Además, suponga que la presión atmosférica permanece constante e igual a 101 kP a.) 13. Demuestre que un mol de cualquier gas a presión atmosférica (1:01 105 N=m2 ) y a temperatura estándar (273K) ocupa un volumen de 22:4 L. 14. Una campana de buzo cilíndrica de 3 m de diámetro y 4 m de altura con el fondo abierto se sumerge a una profundidad de 220 m en el océano. La temperatura en la super…cie es de 25 C y en el fondo, a los 220 m, es de 5 C: La densidad del agua de mar es de 1025 kglm3 . ¿Cuánto subirá el nivel del agua adentro de la campana cuando se sumerge? 15. Una campana de buzo en forma de cilindro con una altura de 2:50 m está cerrada en la parte superior y abierta en la parte inferior. La campana se baja desde el aire al agua de mar ( = 1:025 gr=cm3 ). El aire en la campana inicialmente está a 20 C. La campana se baja a una profundidad (medida desde el fondo de la campana) de 82:3 m. A esta profundidad la temperatura del agua es de 4 C, y la campana está en equilibrio térmico con el agua. 44

A utor Omar H. C. Silva Autor

(a) ¿Cuánto subirá el nivel del agua dentro de la campana? (b) ¿A qué presión mínima se debe subir la presión del aire dentro de la campana para sacar el agua que entró? 16. Sube una burbuja de gas desde el fondo en un lago con agua limpia a una profunwdad de 4:2 m y a una temperatura de 5 C hasta la super…cie donde la temperatura del agua es de 12 C. ¿Cuál es el cociente de los diámetros de la burbuja en los dos puntos? (Suponga que la burbuja de gas está en equilibrio térmico con el agua en los dos puntos.) 17. Un cilindro tiene un émbolo movible conectado a un resorte con una constante de 2 103 N=m (vea la …gura)

El cilindro se llena con 5 L de gas con el resorte en su posición normal a una presión de 1 atm y a una temperatura de 20 C. (a) Si la tapa tiene una sección trasversal de área de 0:01 m2 y de masa despreciable, ¿cuánto subirá la tapa cuando la temperatura aumenta a 250 C? (b) ¿Cuál es la presión del gas a 250 C?

4.2

Factor de compresibilidad. Gases reales

La ecuación de estado del gas ideal puede reescribirse Pv =

n RT m

o bien P v = rT

(gas ideal)

donde r = R=M es la constante del gas y M = m=n es la masa molar. Example 21 Calcular la masa de helio contenida en un recipiente de 20 lts en condiciones normales de temperatura y presión. solución: V = 20 lts = 20 10 3 m3 45

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P = 1 atm = 1:013 105 P a T = 20 C = 293:15 K rHe = 2076:9 J=kg K v=

(2076:9 J=kg K)(293:15 K) = 6:01 03 m3 =kg (1:013 105 P a)

masa m = =

V v 20 10 3 m3 = 3:3276 6:01 03 m3 =kg

10

3

kg = 3:32 gr

El parámetro que indica la desviación de un gas real al considerarlo como un gas ideal se denomina factor de compresibilidad Z=

v videal

(factor de compresibilidad)

o bien

Pv rT evidentemente para un gas ideal Z = 1. Z=

Error % del vapor de agua al considerarlo gas ideal 46

A utor Omar H. C. Silva Autor

El error porcentual para la gra…ca anterior se calcula "=

v

videal v

100

Regiones para el gas ideal Para PR 2 (excepto para PR >> 1) Nunca en la vecindad del punto crítico El hecho de que el factor de compresión sea el mismo para todos los gases (para una misma presión y temperatura reducidas) se denomina principio de estados correspondientes

Grá…ca de compresibilidad (principio de estados correspondientes) donde PR =

P Pcr

(presion reducida)

T (temperatura reducida) Tcr donde Pcr ; Tcr son presión y temperatura correspondientes al punto crítico. Cuando no es determinado P o T , el factor de compresión puede determinarse mediante el volumen especí…co seudo reducido TR =

vR =

vPcr rTcr

47

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Example 22 Determine el volumen especí…co de vapor sobrecalentado de agua a 10 M P a y 400 C usando: a) tablas P = 10 M P a T = 400 C volumen especí…co real v = 0:026436 m3 =kg b) ecuación del gas ideal ragua = 461:5 J=kg K videal

rT P (461:5 J=kg K)(673:15 K) = 0:031066 m3 =kg 1 107 P a

= =

error "

v

videal 100 v 0:026436 m3 =kg 0:031066 m3 =kg 0:026436 m3 =kg

= =

100 = 17:51%

c) grá…ca de compresibilidad Pcr = 22:06 M P a Tcr = 647:1 K presión y temperatura críticas PR

=

TR

=

P 10 M P a = 0:453 31 = Pcr 22:06 M P a T 673:15 K = 1:040 3 = Tcr 647:1 K

factor de compresibilidad Z = 0:86 volumen especí…co v

= Zvideal = (0:86)(0:031066 m3 =kg) = 0:026717 m3 =kg

error "

= =

v

vZ

100 v 0:026436 m3 =kg 0:026717 m3 =kg 0:026436 m3 =kg

100 = 1:06%

48

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Example 23 Determine el volumen especí…co a 0:9M P a y 70 C del refrigerante 134-a mediante: a) tablas P = 0:9M P a T = 70 C volumen especí…co real v = 0:027413 m3 =kg b) ecuación del gas ideal r134 a = 81:49 J=kg K videal =

(81:49 J=kg K)(343:15 K) = 0:031 07 m3 =kg 9 105 P a

error "=

0:027413 m3 =kg 0:031 07 m3 =kg 0:027413 m3 =kg

100 = 13:34%

c) grá…ca de compresibilidad Pcr = 4:059 M P a Tcr = 374:2 K presión y temperatura críticas PR

=

TR

=

0:9M P a = 0:221 73 4:059 M P a 343:15 K = 0:917 02 374:2 K

factor de compresibilidad Z = 0:9 volumen especí…co v = (0:9)(0:031 07 m3 =kg) = 0:027963 m3 =kg error "=

4.3

0:027413 m3 =kg 0:027963 m3 =kg 0:027413 m3 =kg

100 = 2%

Ecuación de van der Waals

Una ecuación de estado para gases que considera el tamaño de las moléculas y la interacción entre estas a (P + 2 )(u b) = RT (van der Waals) u donde u = V =n volumen molar y a; b parámetros característicos de la sustancia. Considerando la isoterma crítica 49

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el punto crítico (punto de in‡exión o punto de silla) cumple @P @u cr @2P @u2 cr

= =

RTcr 2a + 3 =0 2 (ucr b) ucr 2RTcr 6a =0 (ucr b)3 u4cr

resolviendo ucr Pcr Tcr

=

3b a = 27b2 8a = 27bR

o bien 2 27R2 Tcr 64Pcr RTcr b = 8Pcr Example 24 Calcular los parametros a; b de la ecuación de van der Waals para a) agua Pcr = 22:06 M P a Tcr = 647:1 K

a =

a = b

=

27(8:31447 J=mol K)2 (647:1 K)2 = 0:553 59 P a m6 =mol2 64(2:206 107 P a) (8:31447 J=mol K)(647:1 K) = 3: 048 7 10 5 m3 =mol 8(2:206 107 P a)

b) refrigerante 134-a Pcr = 4:059 M P a Tcr = 374:2 K a = b

=

27(8:31447 J=mol K)2 (374:2 K)2 = 1: 006 1 P a m6 =mol2 64(4:059 106 P a) (8:31447 J=mol K)(374:2 K) = 9: 581 4 10 5 m3 =mol 8(4:059 106 P a) 50

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Example 25 Determinar el volumen especí…co de vapor sobrecalentado de agua a 10 M P a y 400 C usando la ecuacion de van der Waals solución: a (P + 2 )(u b) = RT u 0:553 59 7 )(u 3:048 7 10 5 ) = (8:31447)(673:15) (1 10 + u2 resolviendo numéricamente u = 4: 827 4

10

4

m3 =mol

pero v

= =

u M 4: 827 4 18:015

10 10

4 3

m3 =mol = 2: 679 7 kg=mol

10

2

m3 =kg

error "

= =

v

vwaals 100 v 0:026436 m3 =kg 2: 679 7 10 0:026436 m3 =kg

2

m3 =kg

100 = 1:36%

Example 26 Determine el volumen especí…co a 0:9M P a y 70 C del refrigerante 134-a usando la ecuacion de van der Waals solución: a (P + 2 )(u b) = RT u 1: 006 1 5 (9 10 + )(u 9: 581 4 10 5 ) = (8:31447)(343:15) u2 resolviendo numéricamente u = 2: 892 2

10

3

m3 =mol

pero v

= =

u M 2: 892 2 102:03

10 10

3 3

m3 =mol = 2: 834 7 kg=mol

10

2

m3 =kg

error "

= =

v

vwaals 100 v 0:027413 m3 =kg 2: 834 7 10 0:027413 m3 =kg

2

m3 =kg

51

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100 = 3:4%

4.4

Ecuación de Beattie-Bridgeman

Ecuación de estado para gases con cinco constantes determinadas experimentalmente P =

4.5

RT (1 u2

c )(u + B0 (1 uT 3

b )) u

A0 (1 u2

a u)

(Beattie-Bridgeman)

Ecuación de Benedict-Webb-Rubin P

=

RT C0 1 ) + (B0 RT A0 u T 2 u2 bRT a a c + + 6 + 3 2 (1 + 2 )e u3 u u T u

(BWR) u2

(1)

Example 27 Un tanque con capacidad 3:27 m3 contiene 100 kg de nitrógeno a 175 K. Determine la presión en el tanque y compare con el valor experimental de 1505 kP a usando a) gas ideal v = 3:27 m3 =100 kg = 0:032 7kg=m3 rN2 = 296:8 J=kg K

52

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P

error "=

=

(296:8 J=kg K)(175 K) 0:032 7kg=m3

=

1: 588 4

106 P a

1:505 M P a 1:5884 M P a 1:505 M P a

100 = 5:54 %

b) van der Waals MN2 = 28:013 10 3 kg=mol u = M v = (28:013 10 3 kg=mol)(0:032 7m3 =kg) = 9:16 03 Pcr = 3:39 M pa Tcr = 126:2 K constantes a = b

=

10

4

m3 =mol

27(8:31447 J=mol K)2 (126:2 K)2 = 0:137 02 P a m6 =mol2 64(3:39 106 P a) (8:31447 J=mol K)(126:2 K) = 3:869 10 5 m3 =mol 8(3:39 106 P a)

presión P

= =

9:16 03

(8:31447 J=molK)(175 K) 10 4 m3 =mol 3:869 10 5 m3 =mol

1: 495 2

106 P a

error "=

1:505 M P a 1: 495 2 M P a 1:505 M P a

0:137 02 P a m6 =mol2 (9:16 03 10 4 m3 =mol)2

100 = 0:65%

c) Beattie-Bridgeman A0 = 136:2315 kP a m6 =kmol2 a = 0:02617 m3 =kmol B0 = 0:05046 m3 =kmol b = 0:00691 m3 =kmol c = 4:2 104 K 3 m3 =kmol u = 0:916 03 m3 =kmol P

= =

=

A0 (1 ua ) RT c b (1 )(u + B (1 )) 0 u2 uT 3 u u2 4 (8:31447)(175) 4:2 10 (1 )(0:916 03 + 0:05046(1 0:916 032 0:916 03 1753 0:02617 136:2315(1 0:916 03 ) 2 0:916 03 1504: 5 kP a

53

A utor Omar H. C. Silva Autor

0:00691 )) 0:916 03

error "=

1:505 M P a 1:5045 M P a 1:505 M P a

100 = 0:033 %

d) Benedict-Webb-Rubin a = 2:54 kP a m9 =kmol3 A0 = 106:73 kP a m6 =kmol2 b = 0:002328 kP a m9 =kmol2 kJ B0 = 0:04074 kP a m6 =kmol kJ c = 7:379 104 kP a K 2 m9 =kmol3 C0 = 8:164 105 kP a K 2 m6 =kmol2 = 1:272 10 4 m9 =kmol3 = 0:0053 m6 =kmol2 u = 0:916 03 m3 =kmol P

8:164 105 1 (8:31447)(175) + ((0:04074)(8:31447)(175) 106:73 ) 2 0:916 03 175 0:916 032 4 (0:002328)(8:31447)(175) 2:54 (2:54)(1:272 10 ) + + 0:916 033 0:916 036 4 0:0053 0:0053 7:379 10 (1 + )e 0:916 032 + 3 2 2 0:916 03 175 0:916 03 = 1504: 3 kP a

=

error "=

1:505 M P a 1:5043 M P a 1:505 M P a

100 = 0:046%

54

A utor Omar H. C. Silva Autor

5

Unidad 5. Segunda ley de la termodinámica. Ciclos termodinámicos

5.1

Rendimiento y motor térmico

Example 28 Sistema lago-resistencia electrica. El segundo, fuente térmica. Después de un lapso no hay cambios en las coordenadas termodinámicas del sistema (temperatura, presión, cable de la resistencia ...) lo que implica que U = 0. Por la primera ley W = Q esto es, transformación de trabajo!calor (100%) Ciclo. Proceso termodinámico cerrado, esto es, proceso donde el inicio y …nal corresponden a las mismas cordenadas termodinámicas del sistema. Nomenclatura. Qa Qc W

: : :

calor absorbido por el sistema calor cedido por el sistema trabajo realizado por (o sobre) el sistema

además, Qa ; Qc ; W > 0. Motor térmico. Dispositivo termodinámico cíclico que convierte el calor en trabajo, donde Qa

>

Qc W por el sistema

el objeto del motor térmico es suministrar continuamente trabajo al exterior mediante ciclos termodinámicos. Rendimimiento térmico o e…ciencia. Trabajo realizado por el motor entre el calor absorbido durante un ciclo = por la primera ley W = Qa

W Qa

Qc , por lo que =1

Qc Qa

Remark 29 Observe que el rendimiento máximo (100%) sucede cuando Qc = 0, esto es cuando el "calor cedido sea nulo" o bien cuando "el calor absorbido sea igual al trabajo realizado por el motor". Como se verá, esto nunca sucede y constituye la segunda ley de la termodinámica. Motores: 1. Motores de combustión externa (motor de stirling y máquina de vapor) 55

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2. Motor de combustión interna (motor a gasolina o diesel) En ambos tipos, un gas o mezcla de gases contenidos en un cilindro experienta un ciclo, comunicando el trabajo realizado a una leva. En los primeros motores el calor absorbido es mediante una caldera externa, mientras que en los motores de combustión interna el calor absorbido es debido a la ignición de una mezcla de gases a alta presión. 5.1.1

Motor Stirling

El motor de Stirling consiste de dos pistones conectados a una leva donde la absorción de calor Qa de una fuente caliente y la cesión de calor Qc a una fuente fría, contribuyen al trabajo realizado por un gas contenido dentro del sistema.

El ciclo Stirling consta de cuatro pasos: 1-2. Compresión isotérmica del gas con calor cedido a la fuente fría. 2-3. Aumento de temperatura a volumen constante. 3-4. Expansión isotérmica del gas con calor absorbido de la fuente caliente. 4-1. Descenso de la temperatura a volumen constante.

Ciclo Stirling 56

A utor Omar H. C. Silva Autor

Observe que Qc 6= 0 Remark 30 El gas absorbe y cede la misma cantidad de calor en su paso a través del regenerador. 5.1.2

Maquina de vapor o central térmica (ciclo Rankine)

Una central térmica es un dispositivo termodinámico cíclico que consta de condensador, caldera y pistón (o álabes de turbinas). El trabajo realizado por el sistema es debido a la contribución del calor absorbido Qa de una fuente caliente y al calor Qc cedido hacia una fuente fría por una masa de agua constante en el sistema.

Ciclo Rankine El ciclo Rankine de una central térmica consta de seis pasos: 1-2. Aumento de presión y temperatura de agua, mediante una bomba, del condensador hacia la caldera. 2-3. Calentamiento a presión constante hasta la saturación del agua. 3-4. Calentamiento isobárico e isotérmico del agua hasta vapor saturado. 4-5. Recalentamiento del vapor. 5-6. Expansión adiabática del vapor, disminuyedo temperatura y presión. 6-1. Condensación isobárica e isotérmica del vapor a agua saturada nuevamente. Observe que Qc 6= 0

5.2 5.2.1

Motores de combustión interna Motor de gasolina (ciclo Otto)

Seis procesos, cuatro son movimientos de piston denominados carreras. En el ciclo ideal Otto, la mezcla de gasolina-aire es reemplazada por un gas ideal con capacidad calori…ca constante para el rango de temperaturas comprendido, además todos los procesos son cuasiestáticos. 57

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Ciclo Otto 5-1 Carrera de admisión. Admisión isobárica (presión admósférica) del gas. Volumen desde cero hasta V1 . 1-2 Carrera de compresión. Compresión adiabática. La temperatura y volumen T1 V1 1 = T2 V2 1 2-3 Ignición. Aumento isocórico de temperatura y presión debido a la absorcion de calor Qa mediante una serie de fuentes de T2 a T3 . (Aproximación al proceso de explosión de la mezcla gasolina-aire) Z T3 Qa = CV dT = CV (T3 T2 ) T2

3-4 Carrera de expansión. Expansión adiabática (trabajo por el pistón) con descenso de temperatura y presión T3 V2

1

= T4 V1

1

4-1 Apertura de la válvula de escape. Descenso isocórico de la temperatura y presión producidos por la sesión de calor Qc a una serie de fuentes de T4 a T1 . (Aproximación al proceso de apertura de la válvula de escape) 1-5 Carrera de escape. El volumen varía isobáricamente de V1 a cero al evacuar el cilindro Z T1

Qc =

CV dT = CV (T4

T1 )

T4

Rendimiento térmico =

1

=

1

Qc =1 Qa 1 (V1 =V2 )

T4 T3

T1 T2

1

58

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En un motor de gasolina real la relación de compresión V1 =V2 = 9 para evitar una preignición, además = 1:5. Por lo que = 0:67 = 67% Observe que Qc 6= 0 5.2.2

Motor diesel (ciclo Diesel)

El ciclo ideal Diesel es análogo al ciclo Otto excepto en el proceso 2-3. En la compresión, el aceite diesel pulverizado es in‡amado dentro del cilindro para lograr una expansión isobárica.

Ciclo Diesel 5-1 Carrera de admisión. Admisión isobárica (presión admósférica) del gas. Volumen desde cero hasta V1 . 1-2 Carrera de compresión. Compresión adiabática. La temperatura y volumen T1 V1 1 = T2 V2 1 2-3 In‡amación. Aumento isobárico de temperatura y volumen debido a la absorcion de calor Qa mediante una serie de fuentes de T2 a T3 . (Aproximación al proceso de in‡amación del diesel) Qa =

Z

T3

CV dT = CP (T3

T2 )

T2

3-4 Carrera de expansión. Expansión adiabática T3 V3

1

= T4 V1

1

59

A utor Omar H. C. Silva Autor

4-1 Apertura de la válvula de escape. Descenso isocórico de la temperatura y presión producidos por la sesión de calor Qc a una serie de fuentes de T4 a T1 . (Aproximación al proceso de apertura de la válvula de escape) 1-5 Carrera de escape. El volumen varía isotérmicamente de V1 a cero al evacuar el cilindro. Z T1 Qc = CV dT = CV (T4 T1 ) T4

Rendimiento térmico 1

=1

1 ( rx ) 1 rx

1 ( re ) 1 re

donde rx

=

re

=

V1 relación de expansión V3 V1 relación de compresión V2

Observe que Qc 6= 0. En la práctica la relación de compresión de un motor de diesel puede ser mucho mayor que la de un motor de gasolina por que no hay posibilidad de preignición, ya que sólo se comprime aire. Con valores caracteristicos, re = 15; rx = 5; = 1:5 = 64% 5.2.3

Ciclo Carnot

Ciclo Carnot

60

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e…ciencia =1

T2 T1

T2 ; T1 son las temperaturas de la fuente caliente y fría, respectivamente.

5.3

Frigorí…co

Frigorí…co o refrigerador. Dispositivo termodinámico cíclico cuyo propósito es extraer calor Qa de una fuente fría y ceder una cantidad mayor de calor Qc a otra fuente caliente mediante trabajo W realizado sobre el sistema. Qc

>

Qa W sobre el sistema

A la sustancia que permite el ‡ujo de calor se le denomina refrigerante (amoniaco, freón, regrigerante a134). 5.3.1

Ciclo Stirling de refrigeración

El ciclo Stirling puede invertirse para el funcionamiento de un frigorí…co.

El ciclo Stirling de refrigeranción consta de cuatro pasos: 1-2. Compresión isotérmica del gas con calor cedido a la fuente caliente. 2-3. Descenso de temperatura a volumen constante. 3-4. Expansión isotérmica del gas con calor absorbido de la fuente fría. 4-1. Aumento de la temperatura a volumen constante. Observe que W 6= 0

61

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5.3.2

Central frigorí…ca

La central frigorí…ca es un dispositivo empleado en la mayor parte de los refrigeradores industriales y domésticos.

El ciclo una central frigorí…ca consta de seis pasos: 1-2. En estado líquido saturado el refrigerante (amoniaco o freón) a presión alta atraviesa la válvula de estrangulación a una región de menor presión. El extrangulamiento provoca enfriamiento y vaporización parcial. Durante este proceso no es posible describir al sistema mediante coordenadas termodinámicas (línea a trazos). 2-3. Se extrae calor Qa de la fuente fría para evaporar el refrigerante (Evaporador.) 3-4. Compresión adiabática del refrigerante aumentando su temperatura (Compresor.) 4-1. Se enfria isobáricamente el refrigentante hasta licuarse cediendo calor Qc a la fuente caliente (Condensador.) Observe que W 6= 0. La medida del rendimiento de un refrigerador se denomina coe…ciente de operación !

= =

Qa W Qa Qc Qa

Observamos que ! > 1. 62

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Example 31 Considere un frigorí…co con coe…ciente de operación ! = 5. Calcular la proporción Qc =W Qa Qc Qa

=

5

Qa

=

5 Qc 6

por lo tanto Qc =6 W el calor cedido a la fuente caliente es seis veces mayor que el trabajo empleado. Esto es, resultaría más económico calentar un compartimento enfriando su exterior! El dispositivo que utiliza este proceso optimizador se le denomina bomba de calor.

5.4

Segunda ley de la termodinámica

Enunciado Kelvin-Planck (K) "No es posible un proceso cuyo único resultado sea la absorción de calor de una fuente y la conversión de este en trabajo" Enunciado Clasius (C) "No es posible un proceso cuyo único resultado sea la transferencia de calor desde un cuerpo frio a otro más caliente"

Estos enunciados son equivalentes y establecen la segunda ley de la termodinámica. Para demostrar su equivalencia demostraremos C K

) )

K C

Supongamos C, representado por frigorí…co que trans…ere una cantidad Q2 de una fuente fría a otra caliente con trabajo nulo. Paralelamente trabaja un motor entre las mismas fuentes donde se extre Q1 y se cede Q2 unidades de calor.

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Conjuntamente, motor y frigorí…co, representan una máquina térmica que extrae Q1 Q2 unidades de calor para convertirlas integramente en trabajo, esto claramente constituye K. Por otro lado supongamos K, un motor que absorbe Q1 unidades de calor que transforma integramente en trabajo, esto es, no cede calor a la fuente fría. Simultáneamente, con el trabajo Q1 proporcionado por el motor, actúa un frigorí…co extrayendo Q2 unidades de calor de la fuente fría y cediendo Q1 + Q2 unidades de calor.

En conjunto, motor y frigorí…co, representan una máquina térmica que extrae y cede Q2 unidades de calor de la fuente fría a la fuente caliente sin requerir trababajo, esto claramente constituye C. Finalmente, observamos que los enunciados Kelvin-Planck y Clasius son equivalentes. K C Tarea 8. 1. Una máquina térmica absorbe 360 J de calor y realiza un trabajo de 25 J en cada ciclo. Encuentre: a) la e…ciencia de la máquina y b) el calor liberado en cada ciclo. 2. Una máquina térmica realiza 200J de trabajo en cada ciclo y tiene una e…ciencia de 30%. Para cada ciclo de operación, a) ¿cuánto calor se absorbe?, y b) ¿cuánto calor se libera? 64

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3. Un refrigerador tiene un coe…ciente de operación igual a 5. Si el refrigerador absorbe 120 J de calor de una fuente fría en cada ciclo, encuentre: a) el trabajo hecho en cada ciclo y b) el calor liberado hacia la fuente caliente. 4. Cierta máquina tiene una potencia de salida de 5 kW y una e…ciencia de 25 %. Si la máquina libera 8000 J de calor en cada ciclo, encuentre: a) el calor absorbido en cada ciclo y b) el tiempo para cada ciclo. 5. El calor absorbido por una máquina es el triple del trabajo que realiza. a) ¿Cuál es su e…ciencia térmica? b) ¿Qué fracción del calor absorbido se libera a la fuente fría? 6. En cada ciclo de su operación cierto refrigerador absorbe 100 J de la fuente fría y libera 130 J. a) ¿Cuál es la potencia requerida para operar el refrigerador si trabaja a 60 ciclos=s? b) ¿Cuál es el coe…ciente de operación del refrigerador? 7. Una máquina absorbe 1600 J de una fuente caliente y libera 1000 J a la fuente fría en cada ciclo. a) ¿Cuál es la e…ciencia de la máquina? b) ¿Cuánto trabajo se hace en cada ciclo? c) ¿Cuál es la potencia de salida de la máquina si cada ciclo dura 0:3 s? 8. Un motor de gasolina tiene una razón de compresión de 6 y utiliza gas con = 1:4. a) ¿Cuál es la e…ciencia de la máquina si opera en un ciclo Otto idealizado? b) Si la e…ciencia actual es de 15%, ¿qué fracción del combustible se desperdicia como resultado de la fricción y pérdidas de calor no deseadas? (Suponga que la mezcla aire-combustible se quema completamente.) 9. Un motor de gasolina que usa un gas ideal diatómico ( = 1:4) opera entre las temperaturas extremas de 300K Y 1500K. Determine su razón de compresión si tiene una e…ciencia de 20%. Compare esta e…ciencia con la de una máquina de Carnot que opera entre las mismas temperaturas. 10. En un cilindro de un motor de un automóvil, justo después de la combustión, el gas está con…nado a un volumen de 50cm3 y tiene una presión inicial de 3 106 N=m2 . El pistón se mueve hacia arriba hasta un volumen …nal de 300 cm3 y el gas se expande sin perder calor (adiabáticamente). Si = 1:4 para el gas, ¿cuál es la presión …nal? 11. ¿Cuánto trabajo realiza el gas del problema anterior al expandirse de Vi = 50cm3 hasta Vf = 300 cm3 ? 12. ¿Cuál es el coe…ciente de operación de un refrigerador que opera con una e…ciencia de Carnot entre las temperaturas 3 C y 27 C? 13. ¿Cuál es el coe…ciente de operación de una bomba de calor que lleva calor del exterior a 3 C hacia el interior de una casa a 22 C? (Sugerencia: la 65

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bomba de calor realiza un trabajo W , que también está disponible para calentar la casa.) 14. ¿Cuánto trabajo se requiere, usando un refrigerador ideal de Carnot, para remover 1 J de energía calorí…ca de un gas de helio a 4 K y liberada al medio ambiente de una habitación (293 K)?

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