ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA MATEMATICAS 10. ESPACIOS EUCLÍDEOS

10. 1 Definición de espacio euclídeo. Producto escalar en un espacio vectorial. Dado un espacio vectorial E sobre R, consideremos la aplicación:

Es decir, a cada par representar en la forma:

le asigna un escalar de R, al cual se le suele

. Diremos que es un producto escalar (también llamado “producto interno”) si cumple las tres siguientes propiedades:

Es decir, un producto escalar es cualquier aplicación f: ExE ---> R que sea bilineal, simétrica y definida positiva.

CONSECUENCIAS:

Espacio vectorial euclídeo: Un espacio vectorial E, de dimensión n, se llama espacio vectorial euclídeo ndimensional si en E se halla definido un producto escalar.

Ejemplo: Para el espacio vectorial n-dimensional Rn se puede definir:

Que como fácilmente se comprueba se trata de un producto escalar, llamado producto escalar canónico.

10. 2 Expresión matricial de un producto escalar. Sea E un espacio vectorial de dimensión n, y sea una base de este espacio . Una vez conocidos los n productos escalares, , con i, j = 1, ..., n , podemos dar una expresión del producto escalar:

Considerando los dos vectores: Entonces su producto escalar vendrá expresado por:

lo cual en notación matricial queda expresado: siendo G = (gij)

i,j = 1,...,n

La matriz G se llama matriz métrica del producto escalar en la base B. Se trata de una matriz simétrica definida positiva. Atención: La matriz G asociada al producto escalar canónico de Rn es la matriz identidad de orden n.

10. 3 Norma de un vector. Se llama norma de un vector producto escalar :

, representada como

, a la raíz cuadrada del

Como puede apreciarse la norma de un vector es un número real. (Nota: Hay varias formas de definir la norma de un vector, aquí nosotros utilizamos la más útil para la geometría).

Propiedades de la norma:

* Vector unitario. Se dice que un vector es unitario o normalizado si es 1.

, es decir, su norma

Consecuencia: Para un vector cualquiera, , supongamos que no sea unitario, siempre podemos extraer un vector unitario de la siguiente manera:

Ejemplo: Sea Rn con el producto escalar canónico. Para un vector cualquiera podemos expresar:

,

A partir de él podemos extraer el vector unitario:

10. 4 Coseno del ángulo formado por dos vectores. . Sean dos vectores (no nulos) de un espacio euclídeo E. El ángulo que forman estos dos vectores, , queda caracterizado por su coseno, que por definición es:

* Cosenos directores. Se llaman cosenos directores de un vector , en la base los cosenos de los ángulos: para i = 1, 2, ..., n.

a

10. 5 Vectores ortogonales y ortonormales. Dado un espacio vectorial euclídeo E, se llaman vectores ortogonales aquellos cuyo producto escalar sea nulo:

Cuando todos los vectores de un sistema son ortogonales dos a dos, se dice que es un sistema ortogonal. Si además los vectores del sistema son unitarios, se dice que es un sistema ortonormal. Un sistema ortonormal cumple:

Ejemplo: En Rn con el producto escalar canónico, la base canónica es un sistema ortonormal. PROPOSICIÓN: Todo sistema ortonormal es libre. Demostración: Sea S = , un sistema ortonormal. Si S no es libre todos nulos tal que Si ahora multiplicamos escalarmente a esta expresión por ei :

* Cuando el número de vectores de un sistema ortonormal coincide con la dimensión de E, dicho sistema es una base ortonormal de E.

no

10. 6 Método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Sea una base cualquiera , se trata de determinar a partir de ella otra base que sea ortogonal. Se procede de la siguiente manera:

Donde los coeficientes se determinan de tal forma que cada vector v sea ortogonal al resto de vectores. De esta manera:

De manera análoga para hallar

se toman las dos condiciones siguientes:

,

y por tanto:

De una manera genérica se llega a la expresión:

Con esto se consigue una base de vectores ortogonales. Si ahora dividimos a cada uno de ellos por su norma habremos obtenido una base de vectores ortonormales.

(para i = 1, ..., n)

EJEMPLO: Sea R3 con el producto escalar euclídeo, y sea la base B = { (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0) }. A partir de esta base hallemos una base ortonormal por el método de Gram-Schmidt. Solución: Simplemente seguimos los pasos arriba indicados:

A continuación se normalizan estos tres vectores:

que nos dan los tres vectores de la base ortonormal.

10. 7 Subespacio ortogonal. Sea E un espacio vectorial euclídeo, se dice que dos subespacios de E, digamos U y V, son ortogonales si cualquier vector de uno de ellos es ortogonal a todos los vectores del otro. Dado un subespacio

el conjunto:

Se llama subespacio ortogonal de U. Para estos subespacios se cumple que:

Si además la dimensión de E es finita se verifica también:

.

10. 8 Producto mixto. Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3 (por ejemplo R3), y sean cuyas coordenadas sean respectivamente:

expresados en cierta base ortonormal B. Se llama producto mixto al número:

Propiedades: 1. El producto mixto es una forma lineal respecto de cada una de sus tres componentes (forma trilineal), es decir, se cumple:

2. El producto mixto es una forma antisimétrica, es decir

3.

La condición

implica que el sistema

es ligado.

10. 8 Producto vectorial. Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3 (por ejemplo R3), y sean dos vectores de E, cuyas coordenadas en una base ortonormal sean:

Se define el producto vectorial,

Propiedades:

, como el vector: