10 problemas Sangaku con triángulos

Ricard Peiró i Estruch Enero 2009

Introducción Los Sangaku son unas tablas de madera con enunciados de problemas de geometría euclídea creados en Japón en el período Edo 1603-1867. En este período Japón estaba aislado de occidente. Estas tablas estaban expuestas en los templos budistas.

Los 10 problemas escogidos pertenecen a tablas de la prefectura de Nagano y su temática principal son triángulos. Los problemas son de distinto grado de complejidad y de una gran belleza de colores y formas.

Enunciados Problema 1 La siguiente figura está formada por 1 triángulo equilátero y 3 cuadrados iguales. El lado del triángulo equilátero es a. Calcular el lado del cuadrado.

Problema 2 ∆

Sea el triángulo isósceles ABC , AB = AC . Sea la circunferencia inscrita de centro O 1 y radio r1 . Sean D, E los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita y los lados AB, AC del triángulo. Sea la ∆

circunferencia inscrita al triángulo ADE de centro O 2 y radio r2 . Consideremos la circunferencia de centro O 3 y radio r3 . Determinar el valor de r2 en términos de r3 .

Problema 3 ∆

En el triángulo rectángulo ABC , B = 90 º , se han inscrito los cuadrados P, Q, R, S, T (ver figura). Si los lados de los cuadrados S, T son a, b, respectivamente, calcular el lado del cuadrado P.

A T R

P Q B

Problema 4 ∆

El rombo BDEF está inscrito en el triángulo ABC sea r el radio de la ∆

circunferencia inscrita al triángulo AFE y s el radio de la circunferencia ∆

inscrita al triángulo DCE . Determinar r en función de s y de los lados a, c. Problema 5 ∆

En el triángulo rectángulo ABC , C = 90 º , sea CD la altura sobre la hipotenusa. Sean conocidos los catetos del triángulo. Determinar los radios de las ∆

∆

circunferencias inscritas a los triángulos rectángulos ADC , BCD .

S C

Problema 6 ∆

Sea el triángulo rectángulo ABC , B = 90 º . Sea D un punto de la hipotenusa AC . Sea r1 el radio de la circunferencia inscrita al ∆

triángulo ABD y r2 el radio de la circunferencia inscrita al triángulo ∆

BCD . Determinar el radio r1 en función de r2 y de los catetos a = BC y c = AB .

Problema 7 ∆

Dado el triángulo rectángulo ABC , A = 90 º , tal que los ∆

∆

triángulos ADE , DAF , y el rectángulo HCGI tienen la misma área. Si x = FH = GE , determinar x en función de los catetos ∆

del triángulo rectángulo ABC .

Problema 8 En la siguiente figura el triángulo es isósceles y está inscrito en una circunferencia de radio R. Hay 4 circunferencias iguales de radio r y una circunferencia más pequeña de radio s. Calcular los radios de las circunferencias r y s en función de R radio de la circunferencia mayor.

Problema 9 ∆

Sea el triángulo isósceles ABC , AB = AC = a constante. Sea la circunferencia inscrita de centro O 1 y radio r1 . Una circunferencia de centro O 2 y radio r2 es tangente a los lados del triángulo AB, AC y tangente exterior al la circunferencia anterior. As í se construyen n circunferencias. Si n es constante y x = BC variable. Para que valor de x el radio rn es m áximo.

Problema 10 ∆

Sea el triángulo ABC cualquiera y r el radio de la circunferencia inscrita y h a .la altura sobre el lado BC . ∆

A

∆

Las circunferencias inscritas a los triángulos ABD , ADC tienen el mismo radio r1 . Determinar r1 en términos de r y h a . B

D

C

Soluciones Problema 1

La siguiente figura está formada por 1 triángulo equilátero y 3 cuadrados iguales. El lado del triángulo equilátero es a. Calcular el lado del cuadrado. Solución: ∆

Sea el triángulo equilátero ABC de lado a. Sea x = DE = BD lado del cuadrado. ∠EDF = 30º . Entonces, DF = 3 x .

( ) Entonces, x = (2 − 3 )a .

a = 2x + 3 x = 2 + 3 x .

Problema 2

∆

Sea el triángulo isósceles ABC , AB = AC . Sea la circunferencia inscrita de centro O 1 y radio r1 . Sean D, E los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita y los lados AB, AC del ∆

triángulo. Sea la circunferencia inscrita al triángulo ADE de centro O 2 y radio r2 . Consideremos la circunferencia de centro O 3 y radio r3 . Determinar el valor de r2 en términos de r3 . Solución: Sea H el punto medio del lado BC . Sea M el punto medio del segmento DE . Sea α = ∠DAM = ∠ MDO 1 Aplicando razones trigonométricas al triángulo rectángulo ∆

MDO1 : DM = r1 cos α . Por tanto, DE = 2r1 cos α . MO 1 = r1 sin α Aplicando razones trigonométricas al triángulo rectángulo ∆

ADO1 : r1 r , AD = 1 . sin α tgα Entonces, r AM = AO1 − MO 1 = 1 − r1 sin α . sin α AO1 =

∆

Calculando el área del triángulo ADE : 1 1  r   cos α  S ADE = DE ⋅ AM = 2r1 cos α ⋅  1 − r1 sin α  = r12  − sin α cos α  . 2 2 sin α sin α    

(

)

  1  1 1  2r 2AD + DE r2 =  1 + 2r1 cos α r2 = r1r2  + cos α  . 2 2  tg α   tgα  Igualando las áreas:  1   2  cos α r1  − sin α cos α  = r1r2  + cos α  . Simplificando:  sin α   tgα  S ADE =

 cos α   cos α  r1  − sin α cos α  = r2  + cos α  .  sin α   sin α  Despejando r2 :

cos α − sin2 α cos α 1 − sin 2 α r1 = r1 = (1 − sin α )r1 . cos α + sin α cos α 1 + sin α Entonces, r2 = (1 − sin α )r1 = r1 − MO 1 . r2 =

∆

Entonces, el centro de la circunferencia inscrita al triángulo ADE pertenece a la ∆

circunferencia inscrita al triángulo ABC . Entonces, r2 = 2r3 .

Problema 3

A T R ∆

En el triángulo rectángulo ABC , B = 90 º , se han inscrito los cuadrados P, Q, R, S, T (ver figura). Si los lados de los cuadrados S, T son a, b, respectivamente, calcular el lado del cuadrado P.

P Q

S C

B

Solución: Sea x el lado del cuadrado P. Sea y el lado del cuadrado Q. Sea z el lado del cuadrado R.

A L J

∆

∆

K

Los triángulos rectángulos DEF , FGH son semejantes. Aplicando el teorema de Tales: a y = . Entonces, y 2 = ax (1) y−a x− y ∆

F

G

∆

Los triángulos rectángulos FGH , HIJ son semejantes. Aplicando el teorema de Tales: y x−z = . Entonces, z = x − y (2) x−y z ∆

H I

D E B

∆

Los triángulos rectángulos JKL , HIJ son semejantes. Aplicando el teorema de Tales: x − z z −b = . Entonces, b(x − z) = z( z − b ) (3) z b Sustituyendo la expresión (2) en la expresión (3): b(x − x − y ) = (x − y )(x − y − b ) . y 2 − 2 xy + x 2 − bx = 0 . Resolviendo la ecuación en la incógnita y: y = x − bx Igualando las expresiones (1) y (4):

(

)

2

(4)

ax = x − bx . Resolviendo la ecuación en la incógnita x: x = a + b + 2 ab .

C

Problema 4

∆

El rombo BDEF está inscrito en el triángulo ABC sea r el radio de ∆

la circunferencia inscrita al triángulo AFE y s el radio de la ∆

circunferencia inscrita al triángulo DCE . Determinar r en función de s y de los lados a, c. Solución: Sea x = BD = BF el lado del rombo. ∆

∆

Los triángulos AFE , DCE son semejantes aplicando el teorema de Tales: r x x = , entonces, r = s (1) s a−x a− x ∆

∆

Los triángulos AFE , ABC son semejantes aplicando el teorema de Tales: x c ac = , entonces, x = (2) a c−x a+ c Sustituyendo la expresión (2) en la expresión (1) y simplificando: cs r= . a

Problema 5

∆

En el triángulo rectángulo ABC , C = 90 º , sea CD la altura sobre la hipotenusa. Sean conocidos los catetos del triángulo. Determinar los radios de las ∆

∆

circunferencias inscritas a los triángulos rectángulos ADC , BCD . Solución: Sean los catetos a = BC , b = AC ∆

Sean r, s los radios de les circunferencias inscritas a los triángulos rectángulos ADC , ∆

BCD , respectivamente. ∆

Aplicando el teorema del cateto al triángulo rectángulo ABC : b2 a2 b 2 = AH ⋅ c , entonces, AH = . a 2 = BH ⋅ c , entonces, BH = . a2 + b2 a2 + b2 El radio de la circunferencia inscrita a un triángulo rectángulo es igual al semiperímetro menos la hipotenusa, entonces: b2 ab b+ + − b a 2 + b 2 + b 2 + ab AC + AD + CD a 2 + b2 a2 + b 2 r= − AC , r = −b = . 2 2 2 a2 + b2 Análogamente, s =

− a a 2 + b 2 + a 2 + ab 2 a 2 + b2

.

Problema 6

∆

Sea el triángulo rectángulo ABC , B = 90 º . Sea D un punto de la hipotenusa AC . Sea r1 el radio de la circunferencia inscrita al ∆

triángulo ABD y r2 el radio de la circunferencia inscrita al triángulo ∆

BCD . Determinar el radio r1 en función de r2 y de los catetos a = BC y c = AB .

Solución: Sea O 1 el centro de la circunferencia inscrita ∆

al triángulo ABD de radio r1 . Sea O 2 el centro de la circunferencia inscrita ∆

al triángulo BCD de radio r2 . Consideremos la circunferencia inscrita al ∆

triángulo ABC de centro I y radio r. Sea D, E los puntos de tangencia de la ∆

circunferencia inscrita al triángulo ABC y los lados a, c respectivamente. Sea M el punto de tangencia de la ∆

circunferencia inscrita al triángulo ABD y el lado c. ∆

Sea N el punto de tangencia de la circunferencia inscrita al triángulo BCD y el lado a. ∆

∆

Los triángulos AMO 1 , AEI son semejantes, aplicando el teorema de Tales: r (c − r ) r (c − r ) AM r1 = . Entonces, AM = 1 . BM = c − 1 c−r r r r ∆

(1)

∆

Los triángulos CNO 2 , CDI son semejantes, aplicando el teorema de Tales: r (a − r ) r (a − r ) CN r2 = . Entonces, CN = 2 . BN = a − 2 a −r r r r

(2)

∆

Consideremos el triángulo rectángulo BLK , L = 90 º tal que la circunferencia de centro O 2 y radio r2 es inscrita al triángulo. Sea J el punto de tangencia del lado KL y la circunferencia. BK = BN + KJ . ∆

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo BLK :

(BN + KJ) = (BN + r ) + (KJ + r ) . Despejando KJ . (BN + r )r KJ = 2

2

2

2

2

2

2

BN − r2 Sustituyendo la expresión (1) en la expresión (3): r (ar − ar2 + 2r2 r ) KJ = 2 a(r − r2 ) ∆

(3)

(4)

∆

Los triángulos BMO 1 , KJO 2 son semejantes aplicando el teorema de Tales: BM KJ = r1 r2

(5)

Sustituyendo las expresiones (1) (4) en la expresión (5): cr − r1(c − r ) r2 (ar − ar2 + 2r2 r ) a(r − r2 ) r = . r1 r2 Simplificando: ac r 2 − rr1 − rr2 + r2 r1 = 2r 2 r2 r1 (6) Despejando r1

(

r1 =

)

(

ac r 2 − rr2

)

(7) 2r r2 + ac (r − r2 ) El radio de la circunferencia inscrita del triángulo rectángulo es igual al semiperímetro menos la hipotenusa: 2

a + c + a2 + c 2 a + c − a2 + c 2 − a2 + c2 = (8) 2 2 Sustituyendo la expresión (8) en la expresión (7) y simplificando: ac a + c − 2r2 − a 2 + c 2  . r1 =  2 ac − 2r2 a 2 + c 2    r=

Problema 7

∆

Dado el triángulo rectángulo ABC , A = 90 º , tal que los ∆

∆

triángulos ADE , DAF , y el rectángulo HCGI tienen la misma área. Si x = FH = GE , determinar x en función de los catetos ∆

del triángulo rectángulo ABC . Solución: Sea a = BC , b = AC . ∆

∆

Si los triángulos ADE , DAF tienen la misma área, entonces, BF = ∆

El área del triángulo ADE es S ADE =

ab . 8

a b − x , CG = − x . 2 2 El área del rectángulo HCGI es: a  b  SHXGI =  − x  − x  , S HXGI = S ADE . Entonces: 2  2  a  b  ab . Resolviendo la ecuación en la incógnita x:  − x  − x  = 2  2  8 HC =

x=

a + b − a 2 + b2 . 4

1 1 a , AE = b . 2 2

Problema 8

En la siguiente figura el triángulo es isósceles y está inscrito en una circunferencia de radio R. Hay 4 circunferencias iguales de radio r y una circunferencia más pequeña de radio s. Calcular los radios de las circunferencias r y s en función de R radio de la circunferencia mayor. Solución: ∆

Sea el triángulo isósceles ABC a = BC , b = AB = AC . Sea h = AD altura del triángulo. Sea OE = R − 2r . ∆

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo AEO :  b R − 2r = R −    2

2

2

∆

(1) ∆

Los triángulos AGC i ABD son semejantes, aplicando el b h b2 teorema de Tales: = , entonces, h = 2R b 2R (2) a 2 2 2 = (2R ) − b , entonces, a = b ( 2R) 2 − b 2 (3) b 2R R ∆

Consideremos el triángulo rectángulo ACD y la circunferencia inscrita de radio r. a h + −b 2 Entonces, r = (4) 2 Sustituyendo las expresiones (2), (3) en la expresión (4): b2 b 2r = + (2R )2 − b 2 − b (5) 2R 2R Sustituyendo la expresión (5) en la expresión (1): 2  b2  b b 2 2 2   R− + (2R) − b − b  = R −   (6)  2  2R 2R  Elevando al cuadrado y simplificando: 2b 2 − 2Rb − 3R 2 = 0 . Resolviendo la ecuación en la incógnita b:

1+ 7 R 2 Sustituyendo la expresión (7) en la expresión (1) b=

(7)

 1+ 7  R − 2r = R −  R  4   

2

2

Entonces, 2r = R − R

8 −2 7 5− 7 , r= R. 16 8 2

 1+ 7   R 2   2 b  = 4 − 7 R, h + 2s = 2R . Entonces, 2s = 2R − h = 2R − = 2R −  2R 2R 4 4− 7 entonces, s = R. 8

Problema 9

∆

Sea el triángulo isósceles ABC , AB = AC = a constante. Sea la circunferencia inscrita de centro O 1 y radio r1 . Una circunferencia de centro O 2 y radio r2 es tangente a los lados del triángulo AB, AC y tangente exterior al la circunferencia anterior. As í se construyen n circunferencias. Si n es constante y x = BC variable. Para que valor de x el radio rn es m áximo. Solución: Sea H el punto medio del lado BC . ∆

Sea D el punto de tangencia de la circunferencia inscrita al triángulo ABC y el lado AC . Sean E, F les tangentes de las otras circunferencias. Consideremos la recta tangente a las dos primeras circunferencias que cortan el lado AB en el punto K. Sea J la proyección de K sobre el lado BC . 2a + x x AD = , CH = CD = 2 2 2

x AH = a −   .  2 Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo 2

∆

AO1D : 2

2 2    a 2 −  x  − r  = r 2 +  2a + x  .     1 1   2  2   

Entonces, r1 =

x 2a − x

(1)

2 2a + x

KL = DE BC − KL x − DE DE x + DE BJ = = , LC = KB = CD + = . 2 2 2 2 ∆

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo KJB : 2

2

 x − DE   x + DE  2      2  + (2r1 ) =  2  .    

4r12 (2) x Sea h la altura sobre el lado BC del triángulo r2 AE AD − DE . = = r1 AD AD r2 h − 2r1 h − 2r1 − 2r2 r3 = = = r1 h h − 2r1 r2 Entonces: r2 r3 r4 r AD − DE (3) = = = .... = n = r1 r2 r3 rn−1 AD

Entonces, DE =

2a − x AD − DE x (2a − x ) x(2a − x ) 2a − x 2 = = = = 2 2 2 2a + x AD 2a − x 4r1 x( 2a − x ) − 8r1  x(2a − x )  −  x(2a − x ) − 8 2 x  2(2a + x ) 

Multiplicando las n-1 primeras igualdades de (3): rn  2a − x  =  r1  2a + x 

n −1

n−1

n−1

n−

1

x 2a − x  2a − x  x  2a − x  2  2a − x  rn = r1   =   =   . 2  2a + x   2a + x  2 2a + x  2a + x  Calculemos la derivada de rn respecto de la variable x:

d(rn ) 1  2a − x  =   dx 2  2a + x 

n−

1 2

+

x 1  2a − x  n −   2 2  2a + x 

d(rn ) 1  = 0 , si − x 2 − 4an − x + 4a 2 = 0 dx 2  Resolviendo la ecuación: x =  (2n − 1) 2 + 4 − (2n − 1)a .  

n−

3 2



− 4a 1  2a − x  =   2 2  2a + x  (2a + x )

1  x 2 − 4a n − x + 4a 2 2    (2a − x )(2a + x )  

n −1  −

     

Problema 10

A ∆

Sea el triángulo ABC cualquiera y r el radio de la circunferencia inscrita y h a .la altura sobre el lado BC . ∆

∆

Las circunferencias inscritas a los triángulos ABD , ADC tienen el mismo radio r1 . B Determinar r1 en términos de r y h a .

C

D

Solución: Veamos primero la relación entre el radio de una circunferencia inscrita a un triángulo y la altura. A Sea p el semiperímetro. Igualando les fórmulas de las áreas: ah pr = p(p − a )(p − b )(p − c ) , = p(p − a)(p − b)(p − c ) . 2 I 2 p(p − a )(p − b )(p − c ) (p − a)(p − b)(p − c ) Entonces, r = , ha = . p a Sea T el punto de tangencia de la circunferencia inscrita y el lado B H T BC . B r C r BT = p − b , CT = p − c ,. tg = , tg = . 2 p −b 2 p −c 2

(p − a)(p − b)(p − c ) p

B C r p−a a 2r a ⋅ tg = = = 1− . 1− = 1+ = 1− . 2 2 (p − a)(p − b) p p ha p 2 p(p − a)(p − b)(p − c ) a 2r B C Entonces, 1 − = tg ⋅ tg (1) ha 2 2 2

tg

∆

Aplicando la propiedad anterior al triángulo ABD 2r B ∠ BDA 1 − 1 = tg tg (2) ha 2 2

C

∆

Aplicando la propiedad anterior al triángulo ADC 2r C ∠ ADC 1 − 1 = tg tg (3) ha 2 2 Sustituyendo las expresiones (2) (3) en la expresión (1): 2r 2r 1− 1 1− 1 2r ha ha 1− = ⋅ ∠BDA ∠ADC ha tg tg 2 2 BDA ADC Como que tg ∠ ⋅ tg ∠ = 1, 2 2 2

2r  2r  1− = 1 − 1  . Despejando la incógnita r1 : ha  ha  h a − h a − 2rh a 2

r1 =

2

.

Bibliografía. García Capitán, F. (2003) Problemas San Gaku. 2003. Se puede descargar en: http://garciacapitan.auna.com/problemas/sangaku1/libro.pdf Eiichi Ito y otros. Japanese Temple Mathematical problems, in Nagano Pref. Japan. 2003.

Direcciones: http://www.wasan.jp/english/ Página japonesa sobre Sangaku. http://mathworld.wolfram.com/SangakuProblem.html Enciclopedia Mathworld. Entrada SangakuProblem http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml Applets con problemas Sangaku. http://www.mfdabbs.pwp.blueyonder.co.uk/Maths_Pages/SketchPad_Files/Japanese_ Temple_Geometry_Problems/Japanese_Temple_Geometry.html Applets con problemas Sangaku. http://www.arrakis.es/~mcj/sangaku.htm

Páginas de la Gacetilla matemática. Se pueden encontrar las demostraciones de algunos teoremas Sangaku. http://agutie.homestead.com/files/sangaku2.html Página d’Antonio Gutiérrez. Problemas de Geometría.