11. ANÁLISIS CINEMÁTICO POR MÉTODOS NUMÉRICOS

11.1. Introducción En los capítulos anteriores se han estudiado los métodos tradicionales para el estudio cinemático y dinámico de mecanismos, basados en la aplicación directa de los principios y teoremas de la mecánica clásica. Aunque dichos métodos permiten abordar pequeños problemas de cinemática y dinámica, la complejidad de las ecuaciones involucradas limita seriamente su campo de aplicación. Una reflexión sobre los métodos de cálculo de mecanismos vistos hasta el momento indica que las herramientas de que se disponen son, fundamentalmente, las relaciones trigonométricas básicas, algunas consideraciones geométricas, las leyes de Newton, la cinemática del sólido rígido y la resolución analítica de ecuaciones diferenciales. Con estos medios y poco más se está en condiciones de abordar la mayor parte de los problemas que aparecen en el estudio clásico de la teoría de máquinas. Aunque el planteamiento de los problemas por los métodos analíticos tradicionales es relativamente directo, la resolución puede volverse tremendamente compleja. Por ejemplo, la deducción de la ecuación del movimiento de un mecanismo biela-manivela se lleva a cabo en un tiempo breve, pero la posterior resolución de la ecuación diferencial no lineal de segundo orden a la que se llega es tremendamente complicada y, de ordinario, debe resolverse mediante un método numérico. También los métodos gráficos de análisis cinemático vistos tienen serias limitaciones, más allá de la mera complejidad de la resolución de las ecuaciones resultantes. Por ejemplo, en el mecanismo de un grado de libertad de la Figura 11.1, la aplicación sistemática del campo de velocidades del sólido rígido es incapaz de resolver el problema de velocidades. El lector puede demostrar fácilmente por su cuenta que en este ejemplo es imposible obtener la velocidad angular de las barras, por ejemplo de FG, mediante los cinemas de velocidades. Este problema, en particular, puede soslayarse mediante métodos alternativos como el método del punto auxiliar o el método de Goodman, pero también estos, a su vez, tienen limitaciones.

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Figura 11.1. Mecanismo de un grado de libertad.

Los métodos analíticos, en general, son los preferidos cuando los problemas son abordables, por su comodidad y por la facilidad con la que se interpretan los resultados. Sin embargo, hoy en día, la potencia de los computadores modernos hace que la teoría de máquinas deba ser actualizada para dar cabida a otros métodos de resolución más potentes. La existencia de programas de computador con capacidades completas de análisis cinemático y dinámico puede crear la tentación de centrarse en su utilización y prescindir de los planteamientos teóricos. Esta forma de pensar es errónea, pues un cierto conocimiento de las bases teóricas da al ingeniero la necesaria capacidad para interpretar los resultados y para intuir la causa de posibles errores. Para desarrollar un modelo matemático programable en un computador es necesario, en primer lugar, crear un modelo matemático simple y eficiente del mecanismo. Ello implica transformar los conceptos de elemento, par cinemático, velocidad, etc., en un conjunto de datos numéricos dispuestos en forma de matriz o vector: es el proceso de modelización. En este capítulo nos centraremos en la modelización de mecanismos mediante coordenadas naturales, aunque también se verán brevemente otros tipos de coordenadas utilizadas en la práctica.

11.2. Coordenadas independientes Al modelizar un mecanismo en coordenadas independientes, se emplean tantas coordenadas como grados de libertad posea el mecanismo, es decir, se emplea el número mínimo de coordenadas posible. Como ejemplo, veamos el cuadrilátero articulado de un grado de libertad de la Figura 11.2. Para su modelización precisamos una única coordenada que puede ser, por ejemplo, el ángulo α que forma una de las barras con la horizontal. Otro ejemplo: para modelizar el robot plano de tres grados de libertad de la Figura 11.3 necesitamos tres coordenadas, por ejemplo los ángulos relativos ψ1, ψ2 y ψ3 entre elementos sucesivos.

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Figura 11.2. Coordenadas independientes

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Figura 11.3. Robot plano de 3 grados de libertad

La ventaja de las coordenadas independientes radica en su reducido número –el mínimo posible–, ya que el número de coordenadas determina el tamaño final del problema. Son muy adecuadas cuando se trata de resolver mecanismos de cadena abierta, pues en este caso las coordenadas independientes relativas proporcionan con facilidad la posición de cualquier elemento del mecanismo. En el robot de la Figura 11.3 resulta evidente que, conocidos los valores de los tres ángulos indicados, la posición u orientación de cualquiera de los elementos del robot se determinan con facilidad. En el caso de cadenas cinemáticas cerradas, el uso de coordenadas independientes es menos ventajoso pues exige la resolución del problema cinemático de posición para determinar la posición y orientación de cualquier cuerpo que no sea el de entrada. El problema de posición es no lineal, por lo que debe resolverse de forma iterativa, y además tiene múltiples soluciones. Puesto que cualquiera de las múltiples soluciones es Figura 11.4. Soluciones múltiples. posible, las coordenadas independientes no especifican de forma unívoca la posición del mecanismo, lo que da origen a ambigüedades. Por ejemplo, en el cuadrilátero articulado de la Figura 11.4, dado un valor del ángulo α el cuadrilátero puede adoptar tanto la configuración de codo hacia arriba como la de codo hacia abajo. Por ello, este tipo de coordenadas no son adecuadas para un método general y, de hecho, se utilizan poco en los programas de computador.

11.3. Coordenadas dependientes. Ecuaciones de restricción Las coordenadas que modelizan un sistema mecánico se llaman dependientes cuando su número es mayor que el número de grados de libertad. Es obvio que entre las coordenadas dependientes deben existir ciertas relaciones algebraicas, precisamente porque una vez especificadas tantas de ellas como grados de libertad, el resto pueden ser calculadas en virtud de dichas relaciones, que denominamos ecuaciones de restricción o simplemente restricciones. Llamando n al número de coordenadas dependientes, g al

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número de grados de libertad, y m al número de restricciones, ha de cumplirse la relación,

g =n−m

(11.1)

Lo característico de las coordenadas dependientes es que definen unívocamente la posición de cada elemento del mecanismo. Esto puede lograrse seleccionado diferentes tipos de coordenadas: relativas, de punto de referencia y naturales.

11.3.1. Coordenadas relativas Cronológicamente, estas coordenadas s C fueron las primeras en ser utilizadas, y todavía siguen siendo utilizadas en el B área de robótica y en algunos programas generales de mecanismos. Su empleo es L3 2 L1 particularmente ventajoso en cadenas cinemáticas abiertas. Las coordenadas 1 3 A relativas se definen en cada par cinemáD tico, y cada una de ellas mide la posición de un elemento con respecto al anterior Figura 11.5. Coordenadas relativas. en la cadena cinemática. En cada par es preciso introducir tantas coordenadas como grados de libertad permite el par. Ya se vio un primer ejemplo de coordenadas relativas en la Figura 11.3. Otro ejemplo, esta vez de cadena cerrada, se muestra en la Figura 11.5, donde las coordenadas ψ1, ψ2, ψ3 y s definen unívocamente la posición del cuadrilátero. Con las coordenadas relativas las ecuaciones de restricción proceden fundamentalmente de la(s) condición(es) de cierre de lazo. Continuando con el ejemplo anterior, tenemos cuatro coordenadas (n=4) y un solo grado de libertad (g=1), por lo que deben existir m=n-g=3 ecuaciones. Obtenemos fácilmente dos ecuaciones expresando vectorialmente el cierre del único lazo. →

→

→

→

→

AB + BC + CD + DA = 0

(11.2)

que se puede escribir en forma escalar como

L1 cos ψ1 + s cos( ψ1 + ψ 2 − π) + L3 cos ψ3 − L4 = 0

(11.3)

L1 sen ψ1 + s sen( ψ1 + ψ 2 − π) − L3 sen ψ3 = 0

(11.4)

A estas dos ecuaciones podemos añadir una tercera procedente de relacionar los tres ángulos ψ1, ψ2, ψ3:

π ( ψ1 + ψ2 − π) − ( − ψ3 ) = 0 2

(11.5)

Una ventaja de las coordenadas relativas estriba en su reducido número, que conduce a una formulación compacta y eficiente. Además, las coordenadas relativas facilitan la consideración de fuerzas y momentos aplicados en los pares cinemáticos, pues

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están directamente relacionadas con el movimiento de los pares, donde normalmente están situados los motores y actuadores. Ya se ha mencionado que en los mecanismos de cadena abierta las coordenadas relativas son independientes, es decir, su número coincide con el número de grados de libertad del mecanismo. Consecuentemente, no hay ecuaciones de restricción. El principal inconveniente de las coordenadas relativas radica en la dificultad de determinar de forma sistemática el número de cadenas cinemáticas cerradas y cuáles de ellas son independientes.

11.3.2. Coordenadas de punto de referencia Las coordenadas de punto de referencia sitúan la posición y orientación de cada elemento del mecanismo de forma absoluta. Existen varias elecciones posibles. La más directa consiste en definir un sistema de referencia rígidamente unido al elemento y tomar, por una parte, las coordenadas de su origen para definir la traslación y, por otra, los ángulos de Euler (u otra forma de parametrizar las rotaciones) para definir su orientación. En el caso tridimensional son precisas seis coordenadas para definir la posición de un cuerpo. En el caso plano bastan tres coordenadas. Las ecuaciones de restricción surgen al examinar cada par y escribir matemáticamente las limitaciones al movimiento que el propio par impone a los dos elementos unidos por él. Veamos el ejemplo plano de la Figura 11.6. En este caso, las coordenadas de punto de referencia son x1, y1, ψ1, x2, y2, ψ2, x3, y3, ψ3. Puesto que hay nueve coordenadas (n=9) y un solo grado de libertad (g=1), deben existir m=n-g=8 ecuaciones de restricción.

Figura 11.6. Coordenadas de punto de referencia

Para obtener las restricciones veamos la Figura 11.7, donde se representa el par A que une los elementos 1 y 0. Dicho par obliga al punto A a permanecer fijo, lo que matemáticamente se puede expresar igualando la suma r1 + u1 al vector rA:

L1    x1 − 2 cos ψ1 − x A  0  r1 + u1 − rA =  =   y − L1 sen ψ − y  0  1 1 A 2  

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(11.6)

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C B 1

x1 , y1

D

ul r1

A

rA

A

Figura 11.7.

Análogamente podemos proceder con el par B, que une los elementos 1 y 2. En este caso, el par cinemático obliga a coincidir en el punto B a las dos partículas materiales situadas en los extremos de los elementos 1 y 2, como se muestra en la Figura 11.8. Matemáticamente, L L   x + 1 cos ψ1 − x2 − 2 cos ψ 2  0   1 2  2 r1 + v1 − r2 − v2 =  =   y + L1 sen ψ − y − L2 sen ψ  0  1 1 2 2 2 2  

(11.7)

Figura 11.8.

Con el par D procedemos igual que con el A, obteniendo L3    x3 − 2 cos ψ3 − x D  0  r3 + u3 − rC =  =   y − L3 sen ψ − y  0  3 D  3 2 

(11.8)

Finalmente, dibujamos el par C en la Figura 11.9. Se trata de una deslizadera rígida que obliga a los elementos 2 y 3 a permanecer siempre perpendiculares, permitiendo que el elemento 3 se traslade a lo largo del elemento 2. Matemáticamente, estas dos condiciones se expresan mediante otras dos sencillas ecuaciones. La condición de perpendicularidad se expresa diciendo que los ángulos ψ2 y ψ3 difieren por un ángulo

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de 90º. La condición de traslación a lo largo del elemento 2 se expresa obligando a que la proyección del vector r23 sobre w3 permanezca siempre constante. Matemáticamente: ψ3 − ψ 2 −

π =0 2

(11.9) T

T r23 w3 = ( r3 − r2 ) w3 =

L3 L ( x3 − x2 ) cos ψ3 + 3 ( y3 − y2 ) sen ψ3 − k = 0 2 2

x2 , y2 B

(11.10)

w2 2

w3

C 3

x3 , y3 A D Figura 11.9.

Las expresiones (11.7), (11.8), (11.9) y (11.10) contienen las ocho ecuaciones de restricción que relacionan las coordenadas x1, y1, ψ1, x2, y2, ψ2, x3, y3, ψ3 entre sí. La principal ventaja de las coordenadas de punto de referencia radica en lo sistemático de su aplicación. Tanto la modelización del mecanismo como la generación de las ecuaciones de restricción se pueden automatizar, lo que las hace particularmente atractivas para desarrollar con ellas programas de computador.

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