1.1. Los números reales El conjunto de los números reales está compuesto por todos los números racionales (ℚ) y todos los irracionales (𝕀). Sin olvidar que los números racionales incluyen a los naturales (ℕ) y a los enteros (ℤ). La siguiente figura ilustra lo anterior.

1.1.1. Conjunto de números naturales Son aquellos que utilizamos para contar o enumerar objetos. Normalmente se le representa con la letra estilizada ℕ y se escribe como sigue: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … } Sus principales características son las siguientes:  Son infinitos. Tienen un principio (el 1), pero no tienen fin (+∞).  Son ordenados. El 1 siempre es menor que el 2, el 2 siempre es menor que el 3, el 3 es menor que el 4 y así sucesivamente.  Es cerrado bajo la suma y multiplicación. Esto quiere decir que cualesquiera dos números naturales que se sumen o multipliquen siempre darán como resultado otro número natural. Por ejemplo, si consideramos dos números naturales, digamos el 2 y el 37, el resultado de la suma 2 + 37 es otro número natural (2 + 37 = 39, el 39 es claramente pertenece a los números naturales). 1.1.2. Conjunto de números enteros Este conjunto puede entenderse como una extensión de los números naturales ya que, además de considerar a éstos, incluye a sus simétricos negativos y al cero. Se le representa con la letra estilizada ℤ y una forma de escribirlo es como sigue: ℤ = {… , −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … }

Las características de este conjunto de números son las siguientes:  Son infinitos, pero a diferencia de los números naturales, no tienen un principio (−∞) y tampoco tienen fin (+∞).  Son ordenados. Esto quiere decir que −2 siempre es menor que −1, que −1 siempre es menor que 0, 0 siempre es menor que 1 y así sucesivamente. Como puede verse, los números negativos se ordenan por debajo de un número de referencia: el cero.  Es cerrado bajo la suma, resta y multiplicación. Esto quiere decir que cualesquiera dos números enteros que se sumen, resten o multipliquen siempre darán como resultado otro número entero. Por ejemplo, consideremos dos números enteros, digamos el 4 y el −3. Al realizar la multiplicación de estos números obtenemos otro número entero, (4) × (−3) = −12. Es importante darse cuenta que los números enteros incluyen a los naturales, es decir, el conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números enteros. 1.1.3. Conjunto de número racionales Se define como aquel conjunto de números cuyos elementos pueden escribirse de la 𝑝 forma , con 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ y 𝑞 ≠ 0. En palabras más “suaves”, los números racionales es el 𝑞

conjunto de todos los números que pueden escribirse como una fracción, en donde el numerador (𝑝) y denominador (𝑞) solo pueden ser números enteros y a su vez el denominador no puede ser cero (¿recuerdas que no hay divisiones entre cero?). Ejemplos de números racionales son: Número 1.5

Equivalente en fracción 3 2

5

15 3

0.333…

1 3

1.769230…

23 13

Algunas de las características de los números racionales son las siguientes:  





Este conjunto se denota con la letra estilizada ℚ. Es infinito. Siempre es posible agregar un número más, es decir, no existe un número que sea el mayor o el menor de todos. Es ordenado. Siempre sucede que al elegir un número cualquiera de este conjunto, el inmediato anterior siempre es menor que éste. Es cerrado bajo la suma, resta, multiplicación y división (¡por fin aparece la división!). Esto quiere decir que dados dos números racionales que se sumen, resten, multipliquen o dividen siempre darán como resultado otro número racional.

Los números racionales incluyen a los naturales (ℕ), a los enteros (ℤ) y a los números fraccionarios. De decimal a fracción Nos detendremos en esta apartado para hacernos una pregunta muy importante: ¿Cómo saber si un número puede o no escribirse como fracción? La respuesta no es complicada. Supongamos que se nos presenta los siguientes dos números: 1.2342342342342342 … 1.4142135623737309 … ¿Cuál de ellos es racional? Es racional todo aquel número que cuente con decimales finitos o infinitos periódicos 1. En este sentido, el primer número resulta ser racional ya que sus decimales son infinitos y “llevan un patrón” (tienen un periodo); el segundo resulta ser entonces irracional (éste último conjunto lo veremos en la siguiente sección). Ahora bien, si el número 1.2342342342342342 … es racional entonces debería poder escribirse como una fracción. Pero ¿cuál es esta fracción? ¿Cómo encontrarla? Veamos los procedimientos para hacerlo. 

Para decimales finitos. Si queremos convertir el número racional con decimales finitos 3.472 a una fracción hacemos 𝑥 = 3.472 Luego, se multiplica ambos lados de la igualdad por un múltiplo de 10 con tantos ceros como decimales tenga el número que se desea convertir.

1

Que un número tenga decimales infinitos periódicos significa que sus decimales “llevan un patrón”.

1000𝑥 = (1000)(3.472) 1000𝑥 = 3472 Finalmente se despeja la incógnita 𝑥 y se simplifica el resultado. 𝑥=

3472 184 = 1000 125

Entonces, 3.472 = 

184 125

Para decimales infinitos periódicos. Si queremos convertir el número racional con decimales infinitos periódicos 4.123412341234… a una fracción, hacemos 𝑥 = 4.123412341234… Luego, se multiplica ambos lados de la igualdad por un múltiplo de 10 con tantos ceros como decimales tenga el periodo del número que se desea convertir. En este caso, los decimales 1234 se repiten infinitamente, por lo tanto el periodo tiene 4 cifras. Así 10000𝑥 = (10000)(4.123412341234 … ) 10000𝑥 = 41234.12341234… A esta última igualdad se le resta la primera, tal como sigue

10000𝑥 = 41234.12341234 … 𝑥 = 4.123412341234 … 9999𝑥 = 41230 Finalmente se despeja la incógnita 𝑥 y se simplifica, de ser posible, el resultado

𝑥=

41230 9999

Entonces 4.123412341234 … =

41230 9999

1.1.4. Conjunto de números irracionales 𝑝

Son aquellos que NO pueden ser expresados de la forma 𝑞, con 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ y 𝑞 ≠ 0. Por ejemplo, el número √ 2 = 1.4142135623 … no es posible escribirlo como una fracción 𝑝 de números enteros, ¿o acaso haz visto dos números enteros 𝑝 y 𝑞 tales que 𝑞 = √ 2? Otros ejemplos de números irracionales pueden ser los siguientes:  

𝜋 = 3.1415926535897932… 𝑒 = 2.718281828459045235…



Φ=



√ 3, √ 55, √ 122, log(2) , √ 53, √27, 𝑒 , … De hecho, la mayoría de las raíces son números irracionales, excepto aquellos que tienen raíces exactas.

1+√5 2

≈ 1.618033988749 … 3

8

𝜋

Los números irracionales no incluyen a los naturales, ni a los enteros, y mucho menos a los números fraccionarios. Algunas de las características de los números irracionales son las siguientes:     

Este conjunto se denota con la letra estilizada 𝕀. Todos los números irracionales cuentan con decimales infinitos no periódicos. Es infinito. No existe un número irracional que sea el mayor o el menor de todos. Es ordenado. Siempre sucede que al elegir un número cualquiera de este conjunto, el inmediato anterior siempre es menor que éste. Es cerrado bajo la suma, resta, multiplicación y división. Esto quiere decir que dados dos números irracionales que se sumen, resten, multipliquen o dividen siempre darán como resultado otro número irracional.

Todos los conjuntos de números antes descritos forman un conjunto mucho más grande denominado conjunto de los números reales (ℝ). Es natural que éste conjunto herede todas las características y propiedades de los anteriores ya que los contiene y se ve definido por ellos.

Problemas resueltos 1. Determinar a qué conjunto de números pertenece el resultado de las siguientes operaciones. No utilices la calculadora. a) (√ 𝟕 + √ 𝟓) Solución: La √ 7 es un número irracional ya que no tiene raíz exacta. Lo mismo sucede con √ 5. Recordemos también que los números irracionales son un conjunto cerrado, es decir, si sumamos dos números irracionales el resultado es otro número de este conjunto. Entonces (√ 7 + √ 5) ∈ 𝕀 (el símbolo ∈ significa “pertenece a”) b) (𝟒 + √𝟑) Solución: La √ 3 es un número irracional ya que no tiene raíz exacta y por lo tanto cuenta con decimales infinitos no periódicos (sus decimales no siguen un patrón). Si a este número irracional le sumamos un número entero, el número resultante conservará los decimales del primero, es decir, (√ 3 + 4) = (1.7320508075 … + 4) = 5.7320508075. Por lo tanto (4 + √ 3) ∈ 𝕀 𝟓

c) (𝟑 + √𝟗) Solución: El número

5 3

es un número racional, ya que es una fracción y tanto numerador como

denominador son números enteros. Por su parte √9 = 3, por lo tanto se trata de un número racional (aunque al mismo tiempo es natural y entero). Ahora bien, como los 5

números racionales son cerrados, si sumamos dos números racionales (3 y √9) el resultado es otro número racional. 5

Por lo tanto, (3 + √ 9) ∈ ℚ