1.2 Funciones y grafícas Presentación 2 MATE 3002

Correspondencias entre conjuntos 

Una ecuación y un gráfica expresa la idea de una correspondencia entre dos conjuntos.

Ejemplo: Si vemos un relámpago y determinamos el tiempo (en segundos) que transcurre en lo que se oye el trueno, podemos determinar a qué distancia (en millas) se encuentra el relámpago de nosotros si 1 multiplicamos el tiempo transcurrido por . 5



1 5

Esto es, y = x , donde y se mide en millas y x en

segundos.

Correspondencias entre conjuntos (cont.) 

1 5

y = x , donde y se mide en millas y x en segundos.

Correspondencias entre conjuntos 



Ejemplos de correspondencias: 

Cada libro en la biblioteca le corresponde un número de páginas



A cada estudiante le corresponde un número de identificación

Cada correspondencia es entre dos conjuntos, D y R… 

Ej. D = título del libro R = número de páginas



Ej. D = estudiante registrado R = número de identificación

Correspondencias entre conjuntos (cont.) 

En cada correspondencia, el primer conjunto se denomina el dominio y el segundo conjunto se conoce como el rango, campo de valores, imagen, o alcance.



Para cada miembro, o elemento, en el dominio, hay un miembro del rango que le corresponde.



Por ejemplo, cada estudiante registrado tiene un número de identificación, cada libro tiene cierta cantidad de páginas.



Cuando en una correspondencia, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del rango , esa correspondencia se llama una función.

Otro ejemplo de una correspondencia que NO es una función 

Ejemplo: Dueños de automóviles:  

Conjunto D: personas Conjunto R: tipos de carro



Dominio: el conjunto de todas las personas que son dueños de al menos un carro.



Rango: Conjunto de todo tipo de automóvil que le pertenece a alguna persona.



Regla de correspondencia:  d D «es dueño de un auto de marca» r  R

Otro ejemplo de una correspondencia que ES una función 

Ejemplo: Años en los que ha habido elecciones presidenciales en Estados Unidos:



Dominio: el conjunto de todos los años eleccionarios.



Rango: conjunto de todos los presidentes electos en Estados Unidos.



Regla de correspondencia:  año D «se eligió» presidente  R

Función 

Se define una función, f , desde D a R como una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de D exactamente un elemento, y, de R : x1 x2 x3 y2 y1



Es importante recordar que NO cualquier correspondencia entre dos conjuntos es una función .

Ejemplo Determine si la siguiente correspondencia es una función. a. Helen Mirren Jennifer Hudson Leonardo DiCaprio Jamie Foxx Solución:

The Queen Blood Diamond Dreamgirls The Departed

Ejemplo Determine si la correspondencia representada en la siguiente tabla representa una función. b. 6 6 3 3 0

. 36 9 0

Ejemplo Determine si la siguiente correspondencia es una función. c) {(9, 5), (9, 5), (2, 4)}

Ejemplo (continuación) Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores. d. {(–2, 5), (5, 7), (0, 1), (4, –2)}

Ejemplo (continuación) Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores. e. {(–5, 3), (0, 3), (6, 3)}

Ejemplo gráfico de una correspondencia    

Nombre los pares ordenados de la grafica. Enumere los miembros del dominio Enumere los miembros del rango. ¿Representa una función?

Ejemplo matemático de una función 

 

Las ecuaciones se pueden utilizar para describir funciones. Ej. y = ½ x + 1 Algunos pares ordenados que representan soluciones de la ecuación son: x -4

y -1

-2 0 2

0 1

¿ y = ½ x + 1 es una función ?

Notación de funciones Los valores de entrada (miembros del dominio) se sustituyen por x en la ecuación. Los valores de salida (miembros del rango) son los valores resultantes. Cuando una ecuación representa una función usamos una notación especial.

f (x) se lee “f de x,” o “f en x,” o “el valor de f en x.” Por ejemplo: f(x) = ½ x + 1; Cuando evaluamos una función: f(4) = ½(4) + 1 = 3

Ejemplo Para f(x) = 2x2  x + 3, determinar cada uno de los siguientes valores. a. f (0) b. f (–7)

Gráficas de funciones Trazamos las gráficas de funciones igual que trazamos las gráficas de ecuaciones . 1. 2. 3.

Hallamos los pares ordenados (x, y), o (x, f (x)) Localizamos los puntos Completamos la gráfica uniendo los puntos con una curva que sigue el mismo patrón.

Ejemplo Trazar la gráfica de f (x) = x2 – 5 . x

3 2 –1 0 1 2 3

f (x)

(x, f (x))

Ejemplo Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función a. f (4) b. f (–1)

Ejemplo Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función b. f (–1)

Prueba de la línea vertical Si es posible dibujar una línea vertical que cruce una gráfica más de una vez, entonces la gráfica NO representa una función.

Ejemplo Indique cuáles de la siguientes gráficas (a) - (c) (en rojo) son gráficas de funciones?

Ejemplo (cont.) Indique cuáles de la siguientes gráficas (d) - (f) (en rojo) son gráficas de funciones?

Hallar el dominio de una función Si las entradas y salidas de una función, f , son números reales y la regla de correspondencia se da con una fórmula, entonces • el dominio es el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida (produce un número real) • si al sustituir un valor en la expresión, NO se produce un número real, decimos que la expresión NO está definida para ese valor, y el valor NO pertenece al dominio de la función.

Ejemplo Evaluar la función en los valores dados y determinar si los valores dados pertenecen al dominio de la función. a. f (1) b. f (3)

1 f (x)  x3

Ejemplo Evaluar la función en los valores dados y determinar si pertenecen al dominio de la función o no.

3𝑥 2 − 𝑥 + 7 ℎ 𝑥 = 𝑥−2

Ejemplo

3𝑥 2 − 𝑥 + 7 Describir el dominio de: ℎ 𝑥 = 𝑥−2

Ejemplo Trace la gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 1 Identifique el dominio y rango. Determine si es la gráfica de una función. x 3 1 0 1 2 5 10

y

(x, y)

Ejemplo Trace la gráfica de f ( x)  x  4 Identifique el dominio y rango. Determine si es la gráfica de una función. . x

6 4 -3 0 5

y

(x, y)