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Definición de Funciones MATE 3171
Función
Una función, f , es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, que asigna a cada elemento x de D exactamente un elemento de E : x1 x x3 2 y2 y1
Terminología
Una funcion se nombra con una letra del alfabeto; ejemplo f(x), que se lee “ f de x”
El elemento x, es el argumento de la función
El conjunto D , es el dominio de la función.
El dominio de una función contiene los valores a los cuales le podemos aplicar la regla f para calcular un valor de salida.
Terminología El elemento f(x)=y es un elemento del campo de valores el valor de f en x la imagen de x bajo f Existe un subconjunto R de E que contiene todas las imágenes , f(x), y que se llama campo de valores alcance, rango co-dominio de f.
Ejemplo de una función Una función se puede definir con una lista, una tabla, una gráfica o una ecuación. Ejemplo:
6 6 3 3 0
36
9 0
Ejemplo La siguiente correspondencia NO es una función: {(9, 5), (9, 5), (2, 4)} El dominio es el conjunto formado por la primera coordenada de cada punto: {9, 2}. El campo de valores es el conjunto formado por la segunda coordenada de cada punto : {–5, 5, 4}.
Ejemplo
Nombre los pares ordenados de la grafica.
Enumere los miembros del dominio
Enumere los miembros del campo de valores.
¿Representa una función?
Notación
f(-3) es notación que significa evaluar
f para el valor x= -3 el valor de y cuando x = -3
g(2) = 7 implica que
si la regla de correspondencia, g, recibe 2 como entrada, produce 7 como salida. que el par ordenado (2, 7) satisface la función g
Ejemplo Sea f una función cuyo dominio es el conjunto de los reales tal que f(x) = 𝒙𝟐 . Determinar: 𝑓 −6
𝑓( 3)
𝑓 3𝑎 − 𝑏
𝑓 3𝑎 − 𝑓(𝑏)
Hallar el dominio de una función Si
la regla de correspondencia de una función, f , se da con una expresión algebraica, entonces • el dominio es el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida (produce un número real) • si al sustituir un valor en la expresión, NO se produce un número real, decimos que • la expresión NO está definida para ese valor • el valor NO pertenece al dominio de la función.
Ejemplo Evaluar f en los valores dados y determinar si los valores dados pertenecen al dominio de la función. 1 f (x) a. f (1) b. f (3) x3
Ejemplo Determinar
el dominio de la función. 1 f (x) x3
Determinar el campo de valores o alcance de una función gráficamente Si
la regla de correspondencia, f, se da con una gráfica, entonces • el campo de valores (alcance, rango, conjunto de imágenes) de f, es el conjunto de todos los números reales que forman una correspondencia con algún elemento del dominio de la función
Determinar el campo de valores
Determinar el campo de valores
Ejemplo
Prueba de la línea vertical
La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y = f(x) para cada x en el dominio de f.
La prueba de la línea vertical.
Si cada línea vertical que interseca una gráfica, toca la gráfica en, a lo más, un punto entonces la gráfica representa una función.
Ejemplo Trace la gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 1 Determine si es la gráfica de una función. Identifique el dominio y rango. x 3 1 0 1 2 5 10
y
(x, y)
Funciones Crecientes
Una función creciente es una función cuya gráfica sube:
Funciones decrecientes
Una función decreciente es una función cuya gráfica baja:
Funciones Constantes
Una función constante es una función cuya gráfica es una línea horizontal:
Indique en cual(es) intervalos la función cuya gráfica se presenta es creciente, decreciente o constante.
Ejemplo
3
1
2
4
Notación Funcional • Una función lineal se representa:
𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃 • Si un punto (h,k) satisface la ecuación y = mx + b, entonces • f(h) = k (f evaluada en h es k.) • f(x) = k cuando x = h. • Si f(x) = mx + b es una función lineal, entonces el intercepto en y es f(0) y el intercepto en x es el valor de x cuando f(x) = 0. • Si f(x) = c, para algún valor real c, entonces f(x) es una función constante.
Ejemplo Determinar la función lineal que satisface las siguientes condiciones: (a) f(-7) = 1 y f(3) = -4
Cociente de Diferencias • Sea f una función cuya gráfica se muestra a continuación. a) A y B son puntos en el gráfico de f. b) Una línea que pasa a través de los dos puntos A (x, f (x)) y B (x + h, f (x + h)) se llama una línea secante. c) La pendiente m de la recta secante se puede calcular como sigue:
Cociente de Diferencias – cont. • Esta pendiente es muy importante en el estudio de Cálculo. • Se llama el cociente de diferencias. • Un ejercicio típico es calcular y simplificar el cociente de diferencias de una función.
Ejemplo Determinar el cociente de diferencias para f(x) = 2x + 5
Ejemplo
EJEMPLOS ADICIONALES
¿Representa una función?
¿Representa una función? La gráfica NO pasa la prueba de la línea vertical. La ecuación no representa una función.
Ejemplo La gráfica pasa la prueba de la línea vertical: es función.
Ejemplo b. Encuentre el dominio y el campo de valores. c. Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente. • Como la gráfica sube a medida que x aumenta de -3 a 0, decimos que f es creciente en el intervalo [-3,0]. • Como la gráfica baja a medida que x aumenta de 0 a 3, decimos que f es decreciente en el intervalo [0,3].