Sesi´ on 1 Demostraciones Demostraci´ on directa 1.1 Si n es un n´ umero entero impar, entonces n2 es impar. 1.2 Si a y b son enteros impares, entonces a + b es par.

Demostraci´ on indirecta 1.3 Si n2 es par, entonces n es par. 1.4 Si el producto de enteros a y b es par, entonces alguno de ellos es par. 1.5 Si m y n son enteros positivos tales que mn = 100, entonces m ≤ 10 ´o n ≤ 10

Contradicci´ on 1.6 Probar que

√

2 no es racional.

1.7 Si se colocan los n´ umeros 1, 2, 3 . . . 10 alrededor de un c´ırculo, entonces hay tres n´ umeros en posiciones consecutivas cuya suma es al menos 17. 1.8 Sean x e y enteros. Entonces xy es par si, y s´olo si, ambos son pares.

1

Proposici´ on bicondicional Inducci´ on matem´ atica 1.9 Probar que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n2 . 1.10 Probar que el n´ umero 2n+2 + 32n+1 es m´ ultiplo de 7 para todo entero positivo n. 

n(n + 1) 1.11 Probar que 1 + 2 + 3 + · · · n = 2 3

3

3

3

2 .

1.12 Encu´entrese el fallo de la siguiente demostraci´on de que todos los ordenadores tienen el mismo precio. Proposici´ on: Dado un conjunto de n ordenadores, todos tienen el mismo precio. Demostraci´ on: La proposici´on es verdadera para n = 1. Supongamos que lo es para n = k; dados k + 1 ordenadores que llamaremos O1 , O2 . . . Ok , Ok+1 y, tomando los k primeros O1 , O2 . . . Ok por hip´otesis de inducci´on, todos tienen el mismo precio. Tomando ahora los ku ´ltimos O2 , O3 . . . Ok+1 por hip´otesis de inducci´on, todos tienen el mismo precio. Por tanto el u ´ltimo vale igual que el segundo, que vale igual que el primero; en definitiva, todos valen igual (pero sabemos que no es verdad).

2

Sesi´ on 2 Conjuntos 1. Conjuntos y subconjuntos. 2. Diagramas de Venn. 3. Operaciones y propiedades. Idempotentes (a) A ∪ A = A (b) A ∩ A = A Conmutativas (c) A ∪ B = B ∪ A (d) A ∩ B = B ∩ A Asociativas (e) (A ∪ B) ∪ C = a ∪ (B ∪ C) (f) (A ∩ B) ∩ C = a ∩ (B ∩ C) Distributivas (g) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (h) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) De absorci´on (i) A ∪ (A ∩ B) = A (j) A ∩ (A ∪ B) = A Involutiva 3

(k) (Ac )c = A Propiedades de De Morgan (l) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (m) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c De identidad (n) A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ (˜ n) A ∪ U = U y A ∩ U = A Complementariedad (o) A ∪ Ac = U y A ∩ Ac = ∅ (p) U c = ∅ y ∅c = U 4. Producto cartesiano.

Ejercicios 2.1 Escribir por extensi´on los siguientes conjuntos (cuando sea un conjunto infinito usar la notaci´on . . .): 1. {x : x ∈ Z, −3 < x < 4} ˙ 2. {x : x ∈ Z, x > 0, x = 3} 3. {x : x ∈ Z, x2 ∈ Z} 4. {x : x ∈ Z, (3x − 1)(x + 2) = 0} 5. {x : x ∈ Q, (3x − 1)(x + 2) = 0} 2.2 Sea X = {0, 1, 2}. Escribir por extensi´on los siguientes conjuntos: 1. {z : z = 2x, x ∈ X} 2. {z : z = x + y, x, y ∈ X} 3. {z : x = z + y, x, y ∈ X} 4. {z : z ∈ R, z 2 ∈ X} 5. {z : z ∈ Z, z 2 ∈ X}. 4

2.3 En cada caso determ´ınese si x ∈ A, ´o x ⊆ A, ambas o ninguna: 1. x = {1};

A = {1, 2, 3}

2. x = {1};

A = {{1}, {2}, {3}}

3. x = {1};

A = {1, 2, {1, 2}}

4. x = {1, 2}; A = {1, 2, {1, 2}} 5. x = {1};

A = {{1, 2, 3}}

6. x = 1;

A = {{1}, {2}, {3}}.

2.4 Sea E = {x : x ∈ Z, 2 ≤ x ≤ 10}. Siendo A y B subconjuntos de E, determ´ınese en cada caso si A ⊆ B, B ⊆ A, ambas o ninguna: ˙ 1. A = {x : x es impar } B = {x : x = 3} 2. A = {x : x es par } B = {x : x2 es par } 3. A = {x : x es par } B = {x : x es potencia de 2} 4. A = {x : 2x + 1 > 7} B = {x : x2 > 20} √ 5. A = {x : x ∈ Z} B = {x : es potencia de 2 o de 3} √ 6. A = {x : x ≤ 2} B = {x : es cuadrado perfecto } 7. A = {x : x2 − 3x + 2 = 0} B = {x : x + 7 es cuadrado perfecto}. 2.5 Repres´entese mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos: 1. (A ∩ B) \ C 2. A \ (B ∩ C) 3. (A ∪ B) \ C 4. A \ (B ∪ C).

5

2.6 Dado el conjunto E = {1, 2, 3, . . . , 12} y los subconjuntos de E A = {n : n divide a 12} B = {n : n es primo} C = {n : n es impar}. Escribir los conjuntos 1. A ∪ B 2. A ∩ B ∩ C 3. B ∩ C 4. (A ∪ C)c 5. C \ A 6. (A ∩ B)c . 2.7 Pru´ebense las siguientes identidades: 1. A \ B = A \ (A ∩ B) 2. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C 3. (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C) 4. A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (Ac ∩ C). 2.8 Para cada uno de los siguientes casos, d´ese un ejemplo de conjuntos A, B, C con B 6= C tales que: 1. A \ B = A \ C 2. A ∪ B = A ∪ C 3. A ∩ B = A ∩ C. 2.9 Demu´estrese que si A ⊆ B, C ⊆ D, entonces A∩C ⊆B∩D

y A∪C ⊆B∪D

. 6

2.10 Demu´estrese la equivalencia de las siguientes condiciones. 1. A ⊆ C. 2. A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ C. 2.11 Demu´estrense las siguientes identidades: 1. A × (X ∪ Y ) = (A × X) ∪ (A × Y ). 2. A × (X ∩ Y ) = (A × X) ∩ (A × Y ). 3. (X ∪ Y ) × A = (X × A) ∪ (Y × A). 4. (X ∩ Y ) × A = (X × A) ∩ (Y × A). 5. A × (X \ Y ) = (A × X) \ (A × Y ). 2.12

1. Pru´ebese la igualdad de los conjuntos (a) F = (A ∩ B) × (X ∩ Y ). (b) G = (A × X) ∩ (B × Y ). (c) H = (A × Y ) ∩ (B × X).

2. (a) Pru´ebese que (A ∪ B) × (X ∪ Y ) ⊇ (A × X) ∪ (B × Y ). (b) B´ usquese conjuntos A, B, X, Y tales que (A ∪ B) × (X ∪ Y ) 6= (A × X) ∪ (B × Y ).

7

Sesi´ on 3 Relaciones y aplicaciones Relaciones 1. Relaci´on (o correspondencia) entre dos conjuntos. Dominio y codominio. 2. Representaci´on cartesiana. 3. Relaci´on de igualdad o identidad en un conjunto ∆A . 4. Conjunto imagen. 5. Relaci´on inversa. Conjunto antiimagen. 6. Diagramas sagitales, grafos dirigidos y representaci´on matricial. 7. Tipos de relaciones. Relaciones de equivalencia. 8. Aplicaciones entre conjuntos. 9. Tipos de aplicaciones, composici´on y aplicaci´on inversa. 3.1 En el conjunto A = {1, 2, 3, . . . , 20} se define la relaci´on a R b ↔ a + b = 20. Est´ udiense las propiedades que satisface R.

8

3.2 En el conjunto A = {1, 2, 3, . . . , 20} se define la relaci´on a R b ↔ a + b es par. Est´ udiense las propiedades que satisface R ¿Es de equivalencia? 3.3 En el conjunto de los meses del a˜ no { enero,febrero, . . . ,diciembre } se define la relaci´on “tener el mismo n´ umero de letras”. Pru´ebese que es de equivalencia, hallando el conjunto cociente. 3.4 En N se define la relaci´on “sumar par ”; es decir m R n ↔ m + n = 2˙ Pru´ebese que es de equivalencia y h´allese el conjunto cociente N/R. 3.5 En el conjunto Z × Z∗ se define la relaci´on (m, n) R (p, q) ↔ mq = np. Pru´ebese que es de equivalencia. H´allense las clases asociadas a los elementos (0, 1) y (1, 1).

Aplicaciones 3.6 ¿Cu´ales de las siguientes relaciones de Z × Z son aplicaciones? 1. {(n, 2n) : n ∈ Z} 2. {(2n, n) : n ∈ Z} 3. {(n, n3 ) : n ∈ Z} 4. {(n3 , n) : n ∈ Z} 5. {(n + 4, n) : n ∈ Z} 6. {(n, 2n ) : n ∈ Z} 7. {(n, m) : n ∈ Z, m = an para alg´ un a ∈ Z}. 3.7 ¿Cu´ales de las siguientes relaciones de R en R son aplicaciones? 9

1. G = {(x, y) : 2x + 4y = 7} 2. H = {(x, y) : x = 2} 3. I = {(x, y) : y 2 = x} 4. J = {(x, y) : 2x2 = 7y}   x+1 5. K = (x, y) : y = x−1 6. L = {(x, y) : y = 3x }   3 . 7. M = (x, y) : y = 1 + x4 3.8 Calc´ ulese la imagen de las siguientes aplicaciones 1. f : R → R, f (x) = x4 2. f : R → R, f (x) = x2 + 2 3. f : R → R, f (x) = 3x/(x2 + 1) 4. f : R → R, f (x) = 1/(x2 + 2) 5. f : R → R, f (x) = (x + 2)/(x2 + 5) √ 6. f : R → R, f (x) = x2 + 1. 3.9 ¿Cu´ales de las siguientes aplicaciones son inyectivas? 1. f : R \ {1} → R definida por f (x) =

1 1−x

2. f : R → R definida por f (x) = x4 + 1 √ 3. f : R+ → R definida por f (x) = x. 3.10 Clasif´ıquense las siguientes aplicaciones de R en R 1. f (x) = 2x + 7 2. g(x) = x2 10

3. h(x) = x3 4. j(x) = |x| 5. k(x) =

x2

1 +1

6. l(x) = x2 + x 7. m(x) = ex . 3.11 Las aplicaciones f y h del problema 3.10 son biyectivas. H´allense las inversas. 3.12 Dada la funcion f : R → R, f (x) = 2x + 1. Se define f (1) = f,

f (n) = f (n−1) ◦ f

para n > 1.

Pru´ebese que f (n) (x) = 2n x + (2n − 1). (Sugerencia: u´sese inducci´on). 3.13 Se considera la funci´on f : Z+ → Z+ , f (x) = x + 2 y la identidad I(x) = x. 1. Pru´ebese que existen infinitas funciones g : Z+ → Z+ tales que g ◦ f = IZ+ 2. Pru´ebese que no existe ninguna funci´on h : Z+ → Z+ tal que f ◦h = IZ+ 3. D´ese una expresi´on de f (n) . 3.14 Pru´ebese que las siguientes funciones son biyectivas y h´allense las inversas 1. f : R \ {−1} → R \ {3}, f (x) = 3x/(x + 1). 2. f : R → R, f (x) = (2x + 3)3 .  n si n es par + 2 3. f : Z → Z, f (n) = 1−n si n es impar. 2  n − 1 si m = 0 + 4. f : Z × {0, 1} → Z, f (n, m) = −n si m = 1. 3.15 Def´ınase una biyecci´on entre dos intervalos cerrados cualesquiera.

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Sesi´ on 4 Producto escalar y vectorial 1. El conjunto de vectores Rn . 2. Operaciones. 3. Combinaciones lineales. 4. Producto escalar. 5. Norma de un vector. 6. Desigualdades de Cauchy-Schwarz y triangular. ´ 7. Angulo entre dos vectores. Vectores ortogonales. 8. Teorema de Pit´agoras. 9. Producto vectorial en R3 . 10. Propiedades del producto vectorial. 11. Producto mixto. ´ 12. Area del tri´angulo y paralelogramo. 13. Volumen del paralelep´ıpedo

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Problemas 4.1 Probar que si kuk = kvk, entonces u + v y u − v son ortogonales. 4.2 Calcular k2u + vk sabiendo que u y v son unitarios y forman 60o

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