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El Plano Cartesiano El plano cartesiano o sistema de ejes coordenados debe su nombre al matemático francés Rene Descartes, es utilizado principalmente en la Geometría Analítica El plano cartesiano consta de dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en el 0 de ambas, a este punto se le conoce como origen, la recta horizontal se conoce como eje de las abscisas o eje de las x y a la recta vertical como eje de las ordenadas o eje de las y, se divide en cuatro cuadrantes, los cuales son:

Determinación de un punto por sus coordenadas Los ejes coordenados nos sirven para determinar cada punto del plano, es decir, cualquier parte del plano que yo escoja ya tiene un nombre si es que en ese plano tengo dibujado un sistema de ejes perpendiculares. El nombre que le es asignado a cada punto viene dado por sus proyecciones sobre los ejes, ambas llamadas coordenadas. Las proyecciones son la imagen del punto sobre los ejes, y estas las encontramos trazando una línea perpendicular al eje y que a traviese al punto en cuestión, el lugar donde esta recta se intersecta con el eje será la coordenada del punto respecto al eje que se proyectó. La manera de escribir los nombres de los puntos del plano es formando un conjunto llamado par ordenado, este conjunto esta formado por dos elementos que tienen una posición prefijada, es decir, su posición es única e inalterable, se denota de la forma (a, b) donde la primera componente será la coordenada del punto en cuestión sobre el eje de las abscisas y la segunda componente será la coordenada sobre el eje de las ordenadas. Dos pares ordenados seran iguales si cada una de sus componentes son respectivamente iguales, es decir: (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c y b = d Ubicación del punto (4,3) en el plano cartesiano

Observa

que. . .

† Las coordenadas del origen son (0, 0). † La abscisa de cualquier punto situado en el eje de las y es 0. † La ordenada de cualquier punto situado en el eje de las x es 0. † Los signos de las coordenadas de un punto dependen del cuadrante en el que se posicione.

Si está en el 4

to

+ − −

Signo de la ordenada + + −

+

−

Signo de la abscisa

er

Si está en el 1 cuadrante do Si está en el 2 cuadrante er Si está en el 3 cuadrante cuadrante

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Representación gráfica de las funciones Las funciones que estudiaremos son únicamente funciones donde su dominio y su codominio son el conjunto de los números reales, o simplemente R, y en un sistema de ejes coordenados se hace presente este conjunto en ambas rectas que lo componen, es por esto que se utilizan sus ejes como el dominio y el codominio de las funciones ya que de esta manera apreciamos una buena representación de ellas. El eje de las abscisas se utiliza para representar a las preimágenes (por lo tanto el eje de las x sería el dominio de la función), y el eje de las ordenadas se utiliza para representar a las imágenes (por lo tanto el eje de las y sería el codominio de la función). Las “reglas” que discriminan lo que hacen las funciones que estudiaremos seran dadas siempre por ecuaciones de dos incógnitas donde la incógnita x será la preimagen y que ahora llamaremos variable independiente y la incógnita y será la imagen y que llamaremos variable dependiente pues depende del valor de x. De esta manera podemos decir que f(x) = y.

Distancia Entre dos Puntos Para encontrar la distancia entre dos puntos utilizamos sus coordenadas cartesianas para formar un triangulo rectángulo, donde la hipotenusa representa la distancia entre los puntos y sus catetos los encontramos con la diferencia entre las coordenadas x y las y de los puntos en cuestión, como lo indica la figura:

De manera que la distancia (d) entre A y B será determinada por el teorema de Pitágoras de la forma: 2

2

d = (yB − yA) + (xB − xA)

2

♠ Ejemplo: Determinar la distancia entre los puntos (4,2) y (1,6): Respuesta:

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Punto Medio Sean dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en el plano, entonces el punto medio del segmento que une a dichos puntos queda determinado por:

Punto medio =(x1

+ x2 , 2

y1 + y2) 2

I. Grafica los siguientes puntos: 1. A (-6, 4) 2. B (-4, -3) 3. C (0, 2) 4. D (6, -1) 5. E (3, 3) 6. F (-2, -3) 7. G (5, -4) 8. H (-4, 0)

II. ¿En qué cuadrante se encuentran los siguientes puntos? (no graficar) 1. (18, -5) 2. (6, 111) 3. (-43, 61) 4. (-99, -55) 5. (-10, -66) 6. (14, -92) 7. (-17, -76) 8. (-19, 45) III. Determina el perímetro y el área de los triángulos cuyos vértices son 1. (3, 7), (5, 4), (8, 6) 2. (4, 0), (9, 3), (-2, 10) 3. (5, -1), (2, 5), (-1, -4) 4. (0, 7), (-6, 2), (-1, -4)

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Algunas Funciones Importantes Existe una infinita cantidad de funciones distintas, pero algunas de ellas, las mas frecuentes:

1.

Función Lineal

Las funciones lineales son todas aquellas que están determinadas por una ecuación de primer grado de la forma: y = f(x) = mx con m constante Se conoce a m como constante de de proporcionalidad debido a que la función lineal relaciona a x y a y de manera proporcional, pero principalmente desde el punto de vista de funciones llamaremos a m pendiente, pues al ver representada gráficamente la función lineal, m será la que determine la inclinación de la gráfica. ♠ Grafiquemos la función y = x donde m = 1; para hacerlo debemos dar valores a x, para obtener valores para y, luego ubicaremos estos puntos en el plano cartesiano y los uniremos:

x -3 -1

y -3 -1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

.. .

.. .

♠ Grafiquemos la función y = 2x donde m = 2; para hacerlo debemos dar valores a x, para obtener valores para y, luego ubicaremos estos puntos en el plano cartesiano y los uniremos:

x -2 -4 -1

y

♠ Grafiquemos la función y = −(1/2)x donde m = −1/2; De la misma manera anterior le daremos valores a x, para obtener valores para y:

x -4 -2 0 1 2 4 5 6

..

y 2 1 0 -0,5 -1 -2 -2,5 -3

..

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Como puedes darte cuenta en las diferencias entre los gráficos anteriores, lo único que cambia es la pendiente m, lo que significa que ésta determina por completo la forma del gráfico. Por lo tanto nos lleva a concluir:

m=

er

er

† Si m es positivo entonces el gráfico de la función pasara entre el 3 y el 1 cuadrante, es decir, será un función creciente. do

† Si m es negativo entonces el gráfico de la función pasara entre el 2 será una función decreciente.

to

y el 4 cuadrante, es decir,

† Si m1 es mayor que m2 entonces el gráfico de la función y = m1x será “mas inclinado” que el gráfico de la función y = m2x, en este caso se dice que la primera función tiene una mayor pendiente. 1.- Representa las funciones y=x, y=2x, y=3x, y=0,5x y describe el comportamiento de la función para los distintos valores de m 2.- Dibuja en tu cuaderno las gráficas de y=-x, y=-2x, y=-3x, y=-0,5x. 3.- ¿Qué diferencias encuentras cuando m es positivo y cuando m es negativo? ¿Qué característica común tienen todas estas funciones? Cuando la inclinación de la recta (m) es positivo la recta es creciente, sin embargo, para valores de m negativos la recta es decreciente.

2. LA FUNCIÓN AFÍN Existen básicamente dos formas de presentar la función afín † La forma Principal:

y = mx + n Donde m representa la pendiente y n el coeficiente de posición, punto en el cual la grafica intersecta el eje vertical, es decir, cuando x = 0

† La forma General:

ax + by + c = 0 (a partir de la cual debe despejar y)

La representación gráfica de una función afín es una recta, si un punto del plano (x, y) pertenece a la recta, entonces ese punto satisface la ecuación de la recta. La diferencia principal que existe con la ecuación de una función lineal es que aparece el coeficiente n, conocido como coeficiente de posición o simplemente intercepto, su nombre es debido a que nos indica la posición de la recta en el plano a través del lugar que corta el eje de las ordenadas (Esto es debido a que si remplazamos x = 0 en la ecuación y = mx + n, nos da por resultado y = n lo que implica que el punto (0, n) pertenece a la recta), mientras que la pendiente m nos dice la inclinación de la recta. Así, de la ecuación y = x + 5 podemos deducir que y cortara el eje y en el punto (0, 5) y que estará ◦ -1 inclinada en 45 , pues m = 1, en tu calculadora podrás encontrar tan (1) = 45.

Determinación de la ecuación de la Recta Para determinar la ecuación de una recta basta conocer dos puntos que pertenezcan a ella. Supongamos que conocemos 2 puntos (x1, y1) y (x2, y2) que pertenecen a la recta L : y = mx + n, entonces ambos puntos, por el hecho de pertenecer a la recta, deben satisfacer su ecuación, así obtenemos m , luego, para encontrar el intercepto reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema y de esta manera determinamos la ecuación de una recta.

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La representación gráfica de una función afín en un sistema de referencia cartesiano siempre es una recta que no tiene que pasar obligatoriamente por el origen de coordenadas. 1. EJEMPLO. Mi compañía de teléfono móvil cobra cada llamada del siguiente modo: 12 centésimos por el establecimiento de llamada y 3 centésimos el minuto. Completa la siguiente tabla que nos irá dando el coste de cada llamada según la duración de la misma. Duración Costo

0 12

1 15

2

3

1,5

0,5

2,5

3,5

3,1

4

1.- Representando estos datos en el plano, si introduces la duración de la llamada donde pone x ¿cuales serán los valores para el costo? ¿Qué describen estos puntos?. ¿Puedes intentar dar una fórmula que relacione la duración de la llamada y su costo? ¿Encuentras alguna diferencia con lo que hemos hecho antes? 2.- En una heladería venden el helado a $5 el litro y cobran $1 por el envase sea del tamaño que sea. Elabora una tabla similar a la anterior que relacione los litros de helado y el precio. Busca una fórmula que relacione ambas variables. En la escena que tienes a la izquierda introduce el valor de m y de n y después puedes ir variando los puntos ¿qué describen los puntos? ¿Qué diferencias hay con las rectas que representábamos en la hoja anterior? 3.- Un taller de lavado te ofrece la siguiente modalidad de pago $12 por hacerte socio y $ 6,5 por cada lavado ¿cuánto pagaríamos si lavamos el coche 6, 12 o 15 veces al año?

2. LA ORDENADA EN EL ORIGEN 4.- Representa en los mismos ejes coordenados las rectas y=2x+2, y=x+2, y=-3x+2, y=0,5x+2, y=2 ¿qué tienen en común estas rectas? , Todas las rectas que has representado tienen un punto común. ¿Cuál es? 3. LA PENDIENTE DE LA RECTA Todas las rectas y = m x+n que has representado tienen algo común ¿qué es? 5.- Representa en los mismos ejes coordenados las rectas y=2x+2, y=2x, y=2x-3,y=2x+1. 6.-Repite el ejercicio con las funciones y=-x, y=-x+1,y=-x+2, y=-x-1,y=-x-2

III. Determina la ecuación de la recta y la distancia entre los puntos dados 1. (6, 4) y (-8, 2) 2. (8, -5) y (4, 3) 3. (9, 4) y (-3, 8) 4. (5, 7) y (7, -5) 5. (3, 7) y (8, -5) 6. (-4, -8) y (-12, 7) 7. (6, -2) y (-1, 22) 8. (10, 0) y (-10, -21) 10. (-11, -3) y (-5, 2) 10. (5, 5) y (8,-2) 11. (-9, 4) y (4, 6)

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TIPOS DE EJERCICIOS CON LAS FUNCIONES LINEALES 1. BUSCAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Hay que determinar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta. y = m x + k

2. BUSCAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDA LA PENDIENTE Y UN PUNTO Como se conoce la pendiente sólo hay que determinar la ordenada en el origen de la recta. y = m x + k,

3. PUNTO DE CORTE DE DOS RECTAS Resuelve los siguientes problemas Un taller de lavado de coches ofrece las siguientes modalidades de pago: • •

$ 12 por hacerse socio y $ 6,5 por cada lavado. Sin hacerse socio $ 8 por cada lavado

Investiga en qué caso nos conviene cada modalidad En una heladería A venden el helado a $ 5 el litro y cobran $ 1 por un envase, sea del tamaño que sea. En otra heladería B cobran $ 0,5 por un envase y $ 6 por cada litro de helado. Analiza cuál de las dos ofertas es más ventajosa según la cantidad de helado que compremos. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente. Por el arriendo de un auto cobran US$ 50 diarios más US$ 0.30 por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el valor diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha recorrido un total de 300 km, ¿Cuánto debemos pagar?

Hay almacenadas 50 películas en tu disco duro, y este número está creciendo 2 películas por semana. Modelar el tamaño de tu colección como una función de tiempo.

Tres kilos de peras nos han costado $ 1000 ; y, por siete kilos se paga $ 1800. Encuentra la ecuación de la recta que nos da el precio total, y, en función de los kilos que compremos, x. Represéntala gráficamente. ¿Cuánto costarían 5 kg de peras

Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra 25 por la visita, más 20 por cada hora de trabajo. Escribe la ecuación de la recta que nos da el dinero que debemos pagar en total, y, en función del tiempo que esté trabajando, x. Represéntala gráficamente. ¿Cuánto tendríamos que pagar si hubiera estado 3 horas?

Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (2, 3) y B = (3, 4): y = x + 1 Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (−1, 5) y B = (3, 1): y = −x + 4 I. Representa gráficamente las siguientes funciones 1. y = −2x

5.

y = 3x + 3

9.

2. y = x + 2 3. y − x − 3 4. y = x + 3

6. 7. 8.

y = 2x − 4 y = −2x + 4 y = 5x−4 2

10. 11. 12.

y = 5x 4 3y + 9x − 3 = 0 y = 2x + 5 y = 8 − 3x

13.

x+y=0

14. 15. 16.

5x − y = 2 3y = 4x + 5 x = 6y − 1

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II. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos: 1. (1, 2) y (3, 4) 2. (0, 0) y (1, 1) 3. (1, −8) y (5, 3)

5. (a, 2a) y (3a, a) 6. (3/2, 5) y (1, 2) 7. (9, 8) y (−9, 6)

4. (0, 5) y (3, 4)

8. (−5, 3) y (2, 0)

9. (0, 5) y (0, 16) 10. (5, 9) y (9, 9) 11. (6, 6) y (−5, 5)

ECUACIÓN DE LA RECTA 1) A partir de las diferentes gráficas y su respectiva ecuación en la forma y = mx+n, saca algunas conclusiones: 1)

2)

3)

2

-1

y = 2x + 2

y=x

4)

y=x–1

5)

6)

3

2

y = 2x + 3

y = -x + 2

3

7)

y = -x

8)

y = -3x + 3

-4

y = -2x-4

2) A partir de algunas gráficas y su respectiva ecuación despejar la variable y, sacando algunas conclusiones en relación con el ejercicio 1.

1)

2)

3)

2

-1

-2x + y – 2 = 0 y=

x–y=0 y=

-x + y + 1 = 0 y=

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4)

5)

3

6) 2

-2x + y – 3 = 0 y=

x+y–2=0 y=

7)

-x – y = 0 y=

8) 3

-4

3x + y – 3 = 0 y=

2x + y + 4 = 0 y=

3) A partir de algunas gráficas especiales de rectas analizan su ecuación, su m y n. 1)

2) 2

-2

y = mx + n y=2 m = ______ n = ______

y = mx + n y = -2 m = _____ n = _____

3)

4)

3

x=3 m = ______ n = ______

-3

x = -3 m = _____ n = _____

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Relación entre rectas 1. Rectas Paralelas Dos rectas se dicen paralelas si ambas tienen igual pendiente, pero distinto coeficiente de posición, es decir; sean L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2, entonces L1//L2 si y solo si m1 = m2 y n1 6= n2.

2. Rectas Coincidentes Dos rectas se dicen coincidentes si ambas tienen igual pendiente, e igual coeficiente de posición, es decir; sean L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2, entonces L1 es coinciden- te con L2 si y solo si m1 = m2 y n1 = n2.

3. Rectas Perpendiculares Dos rectas se dicen perpendiculares si el producto entre las pendientes de ambas es −1, es decir; sean L1 : y = m1x+n1

y

L2 : y = m2x+n2, entonces L1 ┴ L2 si y

solo si m1 . m2 = −1.

4. Rectas Secantes Dos rectas son secantes si entre ellas no son paralelas, perpendiculares ni coincidentes, solo se cruzan.

Determina si las siguientes rectas son paralelas, coincidentes, perpendiculares o secantes: 1. L1 : y = x y L2 : y = 2x + 1 2. L1: y = x + 1 y L2 : y = x + 2 1 3. L1: y = 2x + 5 y L2 : y = − 2x 4. L1: y = −x y L2 : y = x. 5. L1: 2y = 10x + 4 y L2 : y = 5x + 2 6. L1 : y = −5x + 6 y L2 : y = 3x + 2 1 7. L1: y = 3 x + 2 y L2 : y = 3x − 2 8. L1: y = 6x + 1 y L2 : y = −6x + 1 2 9. L1: 9y = 6x + 1 y L2 : y = 3 − 2 10. L1: y = −3x − 8 y L2 : y = +5x − 8

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 1. Dados los puntos A ( -3, 4 ), B ( 0,2 ) y C ( -3,2 ) vértices del ∆ ABC: a) b) c) d)

Determinar las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados del ∆ ABC. Verificar que el ∆ ABC es un triángulo rectángulo. Determinar la ecuación de la recta paralela del lado AB por el vértice C. Calcular el valor de la altura correspondiente al lado AB. y

2. Dado el siguiente gráfico, determinar las ecuaciones de las rectas M, N y T sabiendo que T es perpendicular a M y T es paralela a N.

M

P = ( 0, 3 )

0

3. Dados los puntos A ( 3,5), B ( 7, -1), C (- 4, 4) y D ( 0, -2)

¿Es AB // CD?

4. Sean los puntos A ( 3,5 ), B ( 7, -1), C ( 0,0 ) y D (12, 8 ). ¿Es AB // CD?

N

Q = ( 6,0 )

T