Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

OLIMPIADA MATEMÁTICA DE PUERTO RICO 2010-2011 PRIMERA FASE

HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL SUPERIOR(10mo ,

11mo y 12mo grado)

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Pública

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Envíe sus respuestas electrónicamente a través de la página www.ompr.comoj.com en o antes del 6 de diciembre de 2010. Si le es imposible enviarlas electrónicamente puede enviarlas por correo postal a la dirección: Dr. Luis F. Cáceres Departamento de Ciencias Matemáticas Call Box 9000 Mayagüez, PR 00681-9000

Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matematicas

Olimpiada Matemática

Universidad de Puerto Rico

de Puerto Rico PRIMERA FASE 2010-2011

NIVEL SUPERIOR

(10mo ,

11mo

y

12mo

grado)

1. Si una jarra sirve un total de 1.5 vasos de jugo y cada china llena 1/5 de la jarra. ¾Cuántas chinas se necesitan para servir 12 vasos de jugo exactamente? a ) 18 b ) 19 c ) 20 d ) 40 e ) 80 2. Tenemos un cubo como el de la gura, al que le sacamos las las y las columnas que se muestran. Si el cubo lo metemos en un pote de pintura verde y después lo dividimos en cubitos de 1 × 1 × 1. ¾Cuántos de estos cubitos tienen cuatro caras pintadas?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 3. Juan se inventó una operación matemática con números enteros para la cual usó el símbolo ∗. Funciona de la siguiente manera: a ∗ b = (a + 1) × (b − 1). Por ejemplo 3 ∗ 5 = (3 + 1) × (5 − 1) = 16. ¾Si a y b son enteros positivos tales que a ∗ b = 24 y b ∗ a = 30, cuánto vale a + b? a ) 11 b ) 12 c ) 13 d ) 17 e ) 31 4. La gura muestra cinco triángulos equiláteros. ¾A qué fracción del área de la gura corresponde el área sombreada?

a ) 1/3 b ) 2/5 c ) 1/2 d ) 3/5 e ) 5/8

5. Con exactamente dos segmentos de recta podemos hacer guras diferentes uniendo los vértices de un pentágono. A continuación mostramos cinco de esas guras:

6.

7.

8.

9.

Incluyendo estas cinco, ¾cuántas guras diferentes se pueden hacer de este modo? a ) 20 b ) 30 c ) 35 d ) 40 e ) 45 Hace 18 años se casaron Juan y María. Para ese entonces la edad de Juan era el triple de la de María. Ahora la edad de Juan es el doble de la de María. ¾A qué edad se casó María? a ) 17 b ) 18 c ) 20 d ) 21 e ) 25 Un saco tiene canicas de tres colores diferentes. ¾Cuál es el número mínimo de canicas que hay que sacar para estar seguros que tendremos al menos 3 canicas del mismo color? a) 3 b) 6 c) 7 d) 9 e ) ninguna de las anteriores Igor pide que le cambien un billete de 25 rublos. Le entregan cambio exacto usando 10 billetes de 1, 3 y 5 rublos. ¾Cuántos billetes de 1 rublo le entregaron? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e ) ninguna de las anteriores Tiramos un dado tres veces. ¾De cuántas formas distintas puede uno tirarlo de tal forma que la suma de las tres tiradas sea 10? a ) 15 b ) 20 c ) 25 d ) 27 e ) 30

10. ¾Cuántos números entre 1 y 100, sin incluir el 1 y ni el 100, satisfacen que la suma de los cuadrados de sus dígitos divide al número? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e ) 10 11. Si el radio de un círculo inscrito en un triángulo equilátero es 2. ¾Cuánto mide el radio del círculo circunscrito? a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 12. La carretera que conecta dos pueblos va sólo de subida o de bajada. Un autobús viaja siempre a 15km/h de subida y a 30km/h de bajada. Encuentre la distancia entre los pueblos si toma exactamente 4 horas hacer un viaje de ida y vuelta. a ) 40km b ) 50km c ) 60km d ) 70km e ) 80km 13. Dos equipos compiten en un decatlón. En cada evento, el equipo ganador recibe 4 puntos y el perdedor 1 punto, y cada equipo recibe 2 puntos si empatan. Después de 10 eventos ambos equipos tienen 46 puntos en total. ¾Cuántos empates hubo? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e ) ninguna de las anteriores 14. Calculamos la suma de los dígitos del número 19100 . Luego encontramos la suma de los dígitos del resultado y así sucesivamente hasta encontrar un solo dígito. ¾Qué dígito es ese? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9

15. En una clase cada niño es amigo de exactamente 3 niñas, y cada niña es amiga de exactamente 2 niños. Se sabe que hay exactamente 19 mesas. Cada una acomoda a lo más dos estudiantes. Sabemos también que 31 estudiantes estudian francés. ¾Cuántos estudiantes hay en la clase? a ) 31 b ) 33 c ) 35 d ) 38 e ) ninguna de las anteriores 16. Si todos los niños en una clase compran un mun y todas las niñas compran un sandwich, gastarán un centavo menos que si todos los niños compran un sandwich y todas las niñas compran un mun. Sabemos que en la clase hay mas niños que niñas. ¾Cuál es la diferencia entre el número de niños y el número de niñas en la clase? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e ) ninguna de las anteriores 17. ¾Cuál es la suma de los ángulos internos de las puntas de una estrella de 5 puntas? a ) 150◦ b ) 180◦ c ) 210◦ d ) 240◦ e ) ninguna de las anteriores 18. Listas de problemas para las olimpiadas se redactan por un comité para los grados 6-11, de tal forma que cada lista tiene 8 problemas y hay exactamente 3 preguntas en cada cuestionario que no se usan en los cuestionarios de otros grados. ¾Cuál es el máximo número posible de preguntas redactadas por el comité? a ) 23 b ) 28 c ) 33 d ) 48 e ) ninguna de las anteriores 19. ¾Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación x4 + x3 + x2 + x − 4 = 0? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e ) ninguna de las anteriores

20. El cuadrado ABCD está dado. Un círculo con radio AB y centro en A se dibuja. El círculo intersecta el bisector perpendicular de BC en dos puntos, de los cuales O es el más cercano a C . Encuentre el valor de ángulo AOC . a ) 120◦ b ) 135◦ c ) 145◦ d ) 150◦ e ) ninguna de las anteriores

Envíe sus respuestas electrónicamente a través de la página www.ompr.comoj.com en o antes del 6 de diciembre de 2010. Si le es imposible enviarlas electrónicamente puede enviarlas por correo postal a la dirección: Dr. Luis F. Cáceres Departamento de Ciencias Matemáticas Call Box 9000 Mayagüez, PR 00681-9000