Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE PUERTO RICO 2016 − 2017 PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: TERCER NIVEL (9no , 10mo y 11mo grado) Información del Estudiante: Apellidos:

Nombre:

Marque el Grado: Teléfono: (

9no ,

)

-

10mo ,

11mo

Sexo:

F

M

E-mail del estudiante o encargado:

Nombre de la Escuela: Pueblo de la Escuela: Escuela:

Privada

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

E-mail del Maestro: Pública

Instrucciones: Marque con una x sus respuestas b c d e a b c 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

d

Envíe sus respuestas electrónicamente a través de la página www.ompr.pr en o antes del 30 de abril del 2016. Otra alternativa es enviar esta hoja por correo postal a la dirección: Dr. Luis F. Cáceres-Duque Departamento de Ciencias Matemáticas Call Box 9000 Mayagüez, PR 00681 − 9000

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Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas

Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico PRIMERA FASE 2016 − 2017 TERCER NIVEL (9no , 10mo y 11mo grado)

Universidad de Puerto Rico

1. El promedio de cuatro números es 9. ¿Cúal es el cuarto número si tres de los números son 5, 9 y 12? The average of four numbers is 9. What is the fourth number if three of the numbers are 5, 9 and 12? (a) 6 (b) 8

(c) 9 (d) 10

(e) 36

2. En un sistema de coordenadas cuatro de los siguientes puntos son los vértices de un cuadrado. ¿Qué punto no es un vértice de este cuadrado? In a coordinate system four of the following points are the vertices of a square. Which point is not a vertex of this square? (a) (−1, 3) (b) (0, −4)

(c) (−2, −1) (d) (1, 1)

(e) (3, −2)

3. Algunos enteros positivos diferentes se escriben en una pizarra. El producto de los dos números más pequeños es 16. El producto de los dos números más grandes es 225. ¿Cuál es la suma de todos estos enteros? Several different positive integers are written on a blackboard. The product of the smallest two is 16. The product of the largest two is 225. What is the sum of all these integers? (a) 44 (b) 47

(c) 49 (d) 50

(e) 51

4. Un tren tiene cinco vagones, cada uno contiene al menos un pasajero. Dos pasajeros se dice que son “vecinos” si están en el mismo vagón o si están en dos vagones adyacentes. Cada pasajero tiene exactamente cinco o exactamente diez “vecinos”. ¿Cuántos pasajeros hay en el tren? A train has five carriages, each containing at least one passenger. Two passengers are said to be “neighbours” if either they are in the same carriage or they are in two adjacent carriages. Each passenger has either exactly five or exactly ten “neighbours”. How many passengers are there in the train? (a) 15 (b) 16

(c) 17 (d) 18

(e) 19

5. Un cubo 3 × 3 × 3 se construye a partir de 15 cubos negros y 12 cubos blancos. Se muestran cinco caras del cubo. A 3 × 3 × 3 cube is built from 15 black cubes and 12 white cubes. Five faces of the cube are shown.

¿Cuál de las siguientes es la sexta cara del cubo?. Which of the following is the sixth face of the cube?

(a)

(b)

(c)

(d)

2

(e)

6. En una prueba que consta de 30 preguntas, Ruth tenía 50% más respuestas correctas que respuestas incorrectas. Cada respuesta era correcta o incorrecta. ¿Cuántas respuestas correctas obtuvo Ruth, asumiendo que ella respondió todas las preguntas? On a test consisting of 30 questions, Ruth had 50% more right answers than she had wrong answers. Each answer was either right or wrong. How many correct answers did Ruth have, assuming she answered all questions? (a) 10 (b) 12

(c) 15 (d) 18

(e) 20

7. Cuando el entero positivo x es dividido por 6, el residuo es 3. ¿Cuál es el residuo cuando 3x se divide por 6? When the positive integer x is divided by 6, the remainder is 3. What is the remainder when 3x is divided by 6? (a) 4 (b) 3

(c) 2 (d) 1

(e) 0

8. Tengo algunos dados extraños: las caras muestran los números del 1 al 6 como de costumbre, excepto que los números impares son negativos (-1, -3, -5 en lugar de 1, 3, 5). Si lanzo dos de estos dados, ¿cuál de estos totales no se puede lograr? I have some strange dice: the faces show the numbers 1 to 6 as usual, except that the odd numbers are negative (-1, -3, -5 in place of 1, 3, 5). If I throw two such dice, which of these totals cannot be achieved? (a) 3 (b) 4

(c) 5 (d) 7

(e) 8

9. ¿Cúal es el número mínimo de veces que dos letras adyacentes deben ser intercambiadas con el fin de cambiar la palabra VELO paso a paso por la palabra LOVE? What is the minimum number of times that two adjacent letters have to be exchanged in order to change the word VELO step by step into the word LOVE? (a) 3 (b) 4

(c) 5 (d) 6

(e) 7

10. Steven escribió cinco enteros positivos diferentes de un dígito en una pizarra. Él descubrió que ninguna suma de dos números es igual a 10. ¿Cuál de los siguientes números definitivamente escribió Steven en la pizarra? Steven wrote five different one-digit positive integers on a blackboard. He discovered that no sum of any two numbers is equal to 10. Which of the following numbers did Steven definitely write on the blackboard? (a) 1 (b) 2

(c) 3 (d) 4

(e) 5

11. Sea a + 5 = b2 − 1 = c2 + 3 = d − 4. ¿Cuál de los números a, b, c, d es el más grande? Let a + 5 = b2 − 1 = c2 + 3 = d − 4. Which one of the numbers a, b, c, d is the largest? (a) a (b) b

(c) c (d) d

(e) imposible de determinar impossible to determine

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12. La tabla 3 × 3 es dividida en 9 cuadrados unitarios, y dos círculos se inscriben en dos de ellos (ver figura). ¿Cuál es la distancia entre los dos círculos? The 3 × 3 table is divided into 9 unit squares, and two circles are inscribed in two of them (see picture). What is the distance between the two circles? √ (a) 2 2 − 1 √ (b) 2 + 1 √ (c) 2 2 (d) 2 (e) 3 13. ¿Qué porcentaje del área del triángulo en la figura está sombreada? What percentage of the area of the triangle in the figure is shaded? (a) 80% (b) 85% (c) 88% (d) 90% (e) imposible de determinar impossible to determine 14. Ana está haciendo un cuadrado mágico de multiplicación usando los números 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100. Los productos de los números en cada fila, en cada columna y en las dos diagonales deben ser el mismo. En la figura se puede ver cómo ha comenzado. ¿Qué número debe colocar Ana en la celda con el signo de interrogación? Ana is making a magic multiplication square using the numbers 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 and 100. The products of the numbers in each row, in each column and in the two diagonals must all be the same. In the figure you can see how she has started. Which number should Ana place in the cell with the question mark? (a) 2 (b) 4 (c) 5 (d) 10 (e) 25 15. Eva elige al azar algunos de los siguientes números: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Alie toma el resto. Ambas suman sus números. La suma de los números de Eva es 31 más que la de Alie. ¿Cuántos números eligió Eva? Eva chooses some of the following numbers: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Alie takes the rest. Both sum up their numbers. Eva’s sum is 31 more than Alie’s. How many numbers did Eva choose? (a) 2 (b) 3

(c) 4 (d) 5

(e) 6

4

16. Peter quiere colorear las celdas de un cuadrado 3 × 3 de tal manera que cada una de las filas, las columnas y las dos diagonales tengan tres celdas de tres colores diferentes. ¿Cuál es el menor número de colores que podría usar Peter? Peter wants to color the cells of a 3 × 3 square in such a way that each of the rows, the columns and both diagonals have three cells of three different colors. What is the least number of colors Peter could use? (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7 17. La imagen muestra un cubo con cuatro ángulos marcados. ¿Cuál es la suma de estos ángulos? The picture shows a cube with four marked angles. What is the sum of these angles? (a) 315◦ (b) 330◦ (c) 345◦ (d) 360◦ (e) 375◦ 18. ¿Cuál es el mayor residuo posible que se puede obtener cuando un número de dos dígitos se divide por la suma de sus dígitos? What is the largest possible remainder that can be obtained when a two-digit number is divided by the sum of its digits? (a) 13 (b) 14

(c) 15 (d) 16

(e) 17

19. Dos de las alturas de un triángulo son 10 cm y 11 cm. ¿Cuál de las siguientes no puede ser la longitud de la tercera altura? Two of the altitudes of a triangle are 10 cm and 11 cm. Which of the following cannot be the length of the third altitude? (a) 5 cm (b) 6 cm

(c) 7 cm (d) 10 cm

(e) 100 cm

20. Un esquiador, un patinador, un jugador de hockey y un jugador de fútbol cenaron en una mesa redonda. El esquiador se sentó a la mano izquierda de Andrea. El patinador se sentó junto a Ben. Eva y Felipe se sentaron uno al lado del otro. Una mujer se sentó a mano izquierda del jugador de hockey. ¿Qué deporte practica Eva? A skier, a skater, a hockey player and a football player had dinner at a round table. The skier sat at Andrea’s left hand. The skater sat next to Ben. Eva and Felipe sat next to each other. A woman sat at the hockey player‘s left hand. Which sport does Eva practice? (a) Patinaje Skating (b) Esquí Ski

(c) Hockey Hockey (d) Fútbol Football

(e) No es posible descubrirlo con la información dada. It‘s not possible to find out with the given information.

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