1.4. Integral de línea de un campo escalar. La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

1.4.1. Definición de la integral de línea de un campo escalar f sobre una curva suave C como una suma de Riemann. Es posible realizar una analogía entre la integral definida para una intervalo [ a, b ] (o integral de Riemann), y la integral de línea, ya que, así como en la integral de Riemann se integra sobre un intervalo [a,b], en el caso de la integral de línea se integra sobre una curva C.

C f(t) Pi ti −1 ti* ti

a

t

Pi*

b

Pi −1

Figura 27. Integral de línea de un campo escalar.

Sea la curva suave C, en el plano xy, definida por las ecuaciones paramétricas

x = x ( t ) e y = y ( t ) con a ≤ t ≤ b , esto es equivalente a decir que la curva C esta

definida por la función vectorial g : ℜ → ℜ2 / g ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , en donde las primeras derivadas de x ( t ) e y ( t ) son continuas para a ≤ t ≤ b . Se toma ahora una partición del intervalo del parámetro [a,b], con n subintervalos [ti −1 , ti ] de igual longitud, de manera que xi* = x ( ti* ) e yi* = y ( ti* ) , donde ti* ∈ [ti −1 , ti ] quedando así dividida la curva C en n subarcos de longitudes ∆s1 , ∆s2 , ∆s3 ,..., ∆sn . Se elige ahora un

punto genérico Pi* ( xi* , yi* ) del i-ésimo arco que se corresponde con ti* ∈ [ti −1 , ti ] . Ahora bien, sea f una función cualquiera de dos variables en cuyo dominio esta incluida la curva C, obteniendo la imagen de la función f para el punto ( xi* , yi* ) , se multiplica esta por la longitud ∆si del subarco, realizando este procedimiento para todos los puntos sobre la curva se puede generar la siguiente suma n

f ( x1 , y1 ) ∆s1 + f ( x2 , y2 ) ∆s2 + f ( x3 , y3 ) ∆s3 + ... + f ( xn , yn ) ∆sn = ∑ f ( xi* , yi* ) ∆si i =1

Siendo ésta una suma de Riemann para la función f ( x, y ) ∆s . Tomando el límite de esta suma cuando n → ∞ se define la integral de línea de un campo escalar de la siguiente manera Definición. Sea la función f : ℜ 2 → ℜ un campo escalar continuo en una región D que contiene a la curva suave C, tal que C viene definida en forma paramétrica por g : ℜ → ℜ 2 / g ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , t ∈ [ a, b ] , entonces la integral de línea del campo

escalar f sobre la curva C es

∫

C

n

f ( x, y ) ds = Lim ∑ f ( xi* , yi* ) ∆si n →∞

i =1

Como se mencionó anteriormente, la longitud de una curva C, definida en el plano en forma paramétrica por la g : ℜ → ℜ2 / g ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , t ∈ [ a, b ] , se determina a partir de la integral definida b

b

a

a

L = ∫ ds = ∫

2

2

 dx   dy    +   dt  dt   dt 

Y por tanto la evaluación de una integral de línea se puede realizar a través de la siguiente fórmula:

∫

C

2

2

b  dx   dy  f ( x, y ) ds = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) )   +   dt a  dt   dt 

Es importante señalar que la integral tendrá un valor diferente si se recorre la curva C tomando el parámetro t desde a hacia b, orientación definida como positiva, que si se recorre desde b hacia a, por propiedad de las integrales definidas, al invertir los límites de integración, esto es

∫ f ( x (t ) , y (t )) b

a

2

2

2

2

a  dx   dy   dx   dy    +   dt = − ∫b f ( x ( t ) , y ( t ) )   +   dt  dt   dt   dt   dt 

Definición. Si C es una curva en el espacio definida paramétricamente por g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , t ∈ [ a, b ] , y f : ℜ3 → ℜ es un campo escalar continuo en una región D que contiene a la curva C, entonces la integral de línea del

campo escalar f sobre la curva C está dada por

∫

C

2

2

2

b  dx   dy   dz  f ( x, y, z ) ds = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) )   +   +   dt a  dt   dt   dt 

A la integral de línea de la forma

∫ f ( x, y, z ) ds , también

C

línea de f con respecto a la longitud de arco de la curva C.

se le llama integral de

EJEMPLO 19. Evalúe la siguiente integral de línea

∫

C

f ds , si f ( x, y, z ) = x + y + z

donde la curva C está definida por g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( sent , cos t , t ) , t ∈ [ 0, 2π ] .

Solución. Para calcular esta integral utilizamos la definición de la integral de línea con respecto a la longitud de arco de tal manera que la integral, en forma general se puede escribir en función del parámetro t de la siguiente manera

∫ f ( x (t ) , y (t ) , z (t )) b

a

2

2

2

 dx   dy   dz    +   +   dt  dt   dt   dt 

Así pues,

∫

C

f ds = ∫ ( x + y + z ) ds C

=∫

2π

=∫

2π

0

0

( sent + cos t + t ) ( cos t ) + ( − sent ) + (1) 2

( sent + cos t + t )

2

2

dt

2 dt 2π

 t2  =  − cos t + sent +  20  = 2π 2

EJEMPLO 20. Evalúe la siguiente integral de línea

∫

C

f ds , si f ( x, y, z ) = x + y + z

donde la curva C está dada paramétricamente por g : [1,3] → ℜ3 / g ( t ) = ( t ,3t , 2t ) .

Solución. Al igual que en el caso anterior, utilizamos la definición de la integral de línea con respecto a la longitud de arco. Así pues,

∫

C

f ds = ∫ ( x + y + z ) ds C

3

= ∫ ( t + 3t + 2t ) 1

(1) + ( 3) + ( 2 ) 2

2

2

dt

3

= ∫ ( 6t ) 14 dt 1

3

= 3 14t 2  1 = 24 14

EJEMPLO 21. Demuestre que la integral de f ( x, y ) a lo largo de una curva

definida en coordenadas polares por r = r (θ ) , con θ1 ≤ θ ≤ θ 2 , es igual a θ2

∫θ

1

2

 dr  f ( r cos θ , r s enθ ) r 2 +   dθ .  dθ 

Solución. Como la trayectoria r, está dada en coordenadas polares se puede sustituir

esta

parametrización

en

la

( x, y ) = ( r (θ ) cos (θ ) , r (θ ) s en (θ ) ) ,θ1 ≤ θ ≤ θ 2 , 2

función

f ( x, y )

como

para obtener el diferencial de

2

 dy   dy  longitud ds =   +  dθ , se calcula  dθ   dθ 

 dx  dθ = − r (θ ) sen (θ ) + r ' (θ ) cos (θ )   dy = r (θ ) cos (θ ) + r ' (θ ) sen (θ )  dθ Al sustituir estas expresiones en al formula del diferencial de longitud se obtiene ds =

( r (θ ) )

2

2

 dr  +  dθ , y con esto queda demostrado que la integral de línea  dθ 

para esta trayectoria dada en coordenadas polares, es igual a

∫θ f ( r (θ ) cos (θ ) , r (θ ) sen (θ ) ) ( r (θ ) ) θ2

2

1

2

 dr  +  dθ  dθ 

La integral de línea también puede evaluarse, no solo con respecto a la longitud de la curva, sino con respecto a las variables x e y. Así pues, sea f ( x, y ) un campo escalar, y sea C una curva dada paramétricamente por g : ℜ → ℜ2 / g ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , entonces la integral de línea de f a lo largo de la curva C con respecto a x,

∫ f ( x, y ) dx , y la integral de línea de f a lo largo de la curva C con respecto a y,

C

∫ f ( x, y ) dy ,

se plantearían en términos del parámetro t de la curva C,

C

respectivamente, de la siguiente manera d ∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) ) dt ( x ( t ) ) dt b

a

C

y d ∫ f ( x, y ) dy = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) ) dt ( y ( t ) ) dt b

a

C

De manera análoga, si f ( x, y, z ) es un campo escalar, y sea C una curva dada paramétricamente por g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , entonces la integral de línea de f a lo largo de la curva C con respecto a x,

∫ f ( x, y, z ) dx , la integral de línea

C

de f a lo largo de la curva C con respecto a y,

∫ f ( x, y, z ) dy , y la integral de línea de

C

f a lo largo de la curva C con respecto a z,

∫ f ( x, y, z ) dz

se plantearían en términos

C

del parámetro t de la curva C, respectivamente, de la siguiente manera d ∫ f ( x, y, z ) dx = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) dt ( x ( t ) ) dt b

C

a

∫

C

f ( x, y, z ) dy = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) b

a

d ( y ( t ) ) dt dt

d ∫ f ( x, y, z ) dy = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) dt ( z ( t ) ) dt b

a

C

EJEMPLO 22. Sea f ( x, y ) = x3 + y , y la curva C dada paramétricamente por h : [ 0,1] → ℜ 2 / h ( t ) = ( 3t , t 3 ) , calcule las integrales de línea

∫

C

f dx y

∫

C

f dy

Solución. Para calcular la primera integral utilizamos la definición de la integral de

línea con respecto a la variable x de tal manera que la integral, se puede escribir de la siguiente manera: d ∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) ) dt ( x ( t ) ) dt b

a

C

Así pues,

∫

C

f dx = ∫ ( x3 + y ) dx C

=∫

1

0

(( 3t ) + t ) 3dt 3

3

1

= ∫ 30t 3dt 0

1

15  =  t4   2 0 15 = 2

De manera similar la integral de línea de f con respecto a y, lo podemos escribir de la siguiente manera d ∫ f ( x, y ) dy = ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) ) dt ( y ( t ) )dt b

C

Así que,

a

f dy = ∫ ( x 3 + y ) dy

∫

C

C

=∫

1

0

((3t ) + t ) 3t dt 3

3

2

1

= ∫ 64t 5 dt 0

1

 32  =  t6   3 0 32 = 3

EJEMPLO 23. Evalúe la siguiente integral de línea

∫

C

f dx , si f ( x, y, z ) = xyz

sabiendo que la curva C viene dada paramétricamente por la función g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( et , e− t , e 2t ) , t ∈ [1,3]

Solución. Al igual que en el caso anterior, utilizamos la definición de la integral de línea con respecto a la variable x. Así pues,

∫

C

f dx = ∫ ( xyz ) dx C

= ∫ ( et e − t e 2t ) et dt 1

0

1

= ∫ e3t dt 0

1

1  =  e 3t  3  0 1 = ( e3 − 1) 3

EJEMPLO 24. Evalúe integral

∫

C

ydx + zdy + xdz , siendo C la curva dada

 π paramétricamente por g :  0,  → ℜ3 / g ( t ) = ( sen ( t ) , 2sen ( t ) , sen 2 ( t ) ) .  2

Solución. Para calcular el valor de esta integral podemos reescribir la integral de línea de la siguiente manera

∫

C

d d d x ( t ) ) dt + z ( t ) ( y ( t ) ) dt + x ( t ) ( z ( t ) ) dt ( dt dt dt b d d d  = ∫  y ( t ) ( x ( t ) ) + z ( t ) ( y ( t ) ) + x ( t ) ( z ( t ) )  dt a dt dt dt   b

ydx + zdy + xdz = ∫ y ( t ) a

De tal manera que,

∫

C

π

ydx + zdy + xdz = ∫ 2  2sen ( t ) ( cos ( t ) ) + sen 2 ( t ) ( 2 cos ( t ) ) + sen ( t ) ( 2 sen ( t ) cos ( t ) )  dt 0

π

= ∫ 2  2sen ( t ) ( cos ( t ) ) + 4sen 2 ( t ) cos ( t )  dt 0

π

4  2 =  sen 2 ( t ) + sen3 ( t )  3  0 7 = 3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.1. 1) Determine el valor de la siguiente integral de línea

la

curva

C

está

dada

(

∫

C

f ds , si f ( x, y ) = y 2 donde

paramétricamente

por

)

g : [ 0, 2π ] → ℜ2 / g ( t ) = a ( t − sen ( t ) ) , a (1 − cos ( t ) ) .

∫

2) Evalúe la siguiente integral de línea

C

f ds , si f ( x, y, z ) = z donde la curva C

está dada paramétricamente por g : [ 0, k ] → ℜ3 / g ( t ) = ( t cos ( t ) , tsen ( t ) , t ) . 3) Evalúe la siguiente integral de línea

∫

C

f ds , si f ( x, y ) = 3 y 2 donde la curva C es

el la porción de la curva y = x 2 que va desde el punto ( 2, 4 ) hasta el punto ( 0, 0 ) .

1.4.2. Aplicaciones de la integral de línea de un campo escalar f. A continuación se presentaran dos aplicaciones relacionadas con la integral de línea de un campo escalar, como lo son el cálculo del área de una cerca o una valla de altura variable y la masa de un alambre de densidad lineal variable.

1.4.2.1. Área de una cerca de altura variable. b

Si se recuerda la interpretación geométrica de la integral definida

∫ f ( x ) dx , como el a

límite de la suma de los rectángulos de base ∆x y altura f ( x ) para un intervalo de x ∈ [ a, b ] , análogamente se puede decir que la integral de línea

∫ f ( x, y ) ds

se

C

corresponde al límite de la suma de los rectángulos de base ∆s y altura z = f ( x, y ) para una curva C cuyo recorrido esté sobre el plano xy. Esta interpretación comparativa se puede observar en la Figura 28.

y = f ( x)

(a)

(b) b

Figura 28. (a) Interpretación geométrica de

∫ f ( x ) dx a

(b) Interpretación geométrica de

∫ f ( x, y ) ds

C

y

Por

supuesto,

que

si

f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] ,

b

entonces

∫ f ( x ) dx

representa

a

geométricamente el área bajo la curva y = f ( x ) en el intervalo de integración [ a, b ] , así mismo si f ( x, y ) ≥ 0, ∀ ( x, y ) ∈ C , entonces

∫ f ( x, y ) ds

representa el área de la

C

superficie (de una de las caras) de la región que es generada por los segmentos verticales desde los puntos pertenecientes a la curva C en plano xy hasta la gráfica de la función z = f ( x, y ) .

Se observará con un ejemplo como a través de la integral de línea es posible la determinación el valor del área de una pared, valla o cerca, cuya altura sea variable. EJEMPLO 25. Una agencia de publicidad ofrece a sus clientes una valla cuya altura

es variable y viene dada por la función f ( x, y ) = 1 +

y , si la base de la valla coincide 3

con la trayectoria g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( 3cos3 t ,3sen3t , 0 ) , 0 ≤ t ≤ π , tal como se ilustra en la Figura 29. Determine cuanto debe cobrar mensualmente la agencia de publicidad, si se sabe que la valla va a estar ubicada de tal manera que puede ser observada por ambos lados, y el alquiler mensual de la vaya publicitaria es de 40 Bs/m2.

Figura 29. Valla de altura variable.

Solución. Aprovechando la simetría de la curva calculemos la superficie de la valla a

lo largo de la longitud ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano, luego multiplicamos este por dos debido a que la valla se observa por ambos lados, y luego este valor resultante lo multiplicamos por dos para obtener la superficie total visible de la valla. Determinemos la superficie con la integral de línea definida con respecto a la longitud de arco:

∫

C

y  f ds = ∫ 1 +  ds C  3 π  3sen3t  = ∫ 2 1 +  0 3  

( −9 cos

2

tsent ) + ( 9sen 2t cos t ) dt 2

2

π

= 9∫ 2 ( sent + sen 4t ) cos t dt 0

π

 sen t sen t  2 = + 5  0  2 2

5

 1 1  63 = 9 +  =  2 5  10

Multiplicamos el valor obtenido, lados de la valla,

63 2 m , por dos, obtendríamos el área de ambos 10

63 2 126 2 m , y luego por dos nuevamente para obtener m que es el 5 5

valor de la superficie visible total de la valla. Por lo que el costo de arrendamiento del espacio publicitario seria de 1.008 Bs.

EJEMPLO 26. Determine el área de una cerca cuya altura es variable y viene dada por la función g ( x, y ) = xy , si la base de la cerca viene dada por la trayectoria descrita por la circunferencia x 2 + y 2 = 9 , en el primer cuadrante.

Solución. El área de la cerca se determina mediante la integral de línea

∫ g ( x, y ) ds ,

C

donde

la

curva

C

se

 π f : ℜ → ℜ2 / f ( t ) = ( cos t , sent ) , t ∈ 0,   2

puede

parametrizar

como

Figura 30. Cerca de altura variable del Ejemplo 26.

Determinemos la superficie de ésta cerca con la integral de línea definida con respecto a la longitud de arco:

∫

C

f ds = ∫ xyds C

π

= ∫ 2 ( cos ( t ) sen ( t ) ) 0

( − sent ) + ( cos t ) 2

2

dt

π

= ∫ 2 sen ( t ) cos ( t ) dt 0

π

 sen t  2 =   2 0 1 = 2 2

1.4.2.2. Masa de un alambre. La interpretación física que se le pueda dar a la integral de línea

∫ f ( x, y ) ds

C

dependerá del significado físico que tenga la función f. Si la función ρ ( x, y ) representa la densidad lineal de un punto ( x, y ) de un alambre muy delgado en forma

de la curva C y si se divide la curva C en n subarcos de longitudes ∆s1 , ∆s2 , ∆s3 ,..., ∆sn , con ∆si ≈ Pi −1 Pi , entonces la masa del alambre que va desde Pi −1 hasta Pi se puede aproximar mediante la siguiente expresión ρ ( xi* , yi* ) ∆si ; por tanto la masa del alambre completo vendría dado por

n

∑ ρ ( x , y ) ∆s i =1

* i

* i

i

. Para tener una

aproximación más cercana al valor verdadero de la masa del alambre se puede incrementar el número de subarcos n en el que se dividió inicialmente la curva C. Al estudiar el límite de estas aproximaciones cuando n → ∞ , se obtiene el valor exacto de la masa del alambre: n

m = Lim ∑ ρ ( xi* , yi* ) ∆si = ∫ ρ ( x, y ) ds n →∞

i =1

C

Para elementos como espirales, muelles o alambres cuya densidad lineal pueda ser variable, la integral de línea permite el cálculo de la masa de estos elementos apoyados en la definición de la misma con respecto a la longitud de arco, como se observará en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 27. Hallar la masa de un alambre formado por la intersección de la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano x + y + z = 0 si la densidad en ( x, y, z ) está dada por ρ ( x, y, z ) = x 2 gramos por unidad de longitud del alambre.

Solución. El alambre vendría dado por la intersección de la superficie esférica y el plano, la cual genera la curva que se observa en la Figura 31, es conveniente aquí parametrizar la curva de la siguiente manera 2 2 2 2  4  g : [ 0, 2π ] → ℜ3 / g (θ ) =  sen (θ ) , − cos (θ ) − sen (θ ) , cos (θ ) − sen (θ )  2 6 2 6  6 

x2 + y 2 + z 2 = 4

z+ x+ y =0

Figura 31. Representación del alambre del Ejemplo 27.

La masa del alambre se calcula mediante la siguiente integral de línea

∫

C

f ds = ∫ ρ ( x, y, z ) ds = ∫ x 2 ds , en donde el diferencial de longitud de la curva C, C

C

definida en forma paramétrica viene dado por la expresión 2

2

2

2 2  4   2   2  dS =  cos (θ )  +  sen (θ ) − cos (θ )  +  − sen (θ ) − cos (θ )  dθ 6 2 6  6   2   

Y al sustituir x =

4 sen (θ ) y dS y simplificar en la integral de línea se obtiene 6

∫

C

f ds = ∫ ρ ( x, y, z ) ds C

= ∫ x 2 ds C

2π  16  = ∫  sen 2 (θ )  4dθ 0  3  2π 32 sen 2 (θ ) dθ =∫ 0 3 2π

16   16 =  − sen (θ ) cos (θ ) + θ  3 0  3 32 = π 3

La masa total del alambre es igual a

32 π unidades. 3

EJEMPLO 28. Determinar la masa de un alambre que tiene la forma de la hélice circular dada por la curva g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( − ksen ( t ) , k cos ( t ) , mt ) , t ∈ [ 0, 2π ] con k >0

y

m>0

si

la

densidad

en

el

punto

( x, y , z )

está

dada

por

ρ ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 gramos por unidad de longitud del alambre. Solución. Conocida la función densidad del alambre y la curva paramétrica cuya trayectoria describe la forma del alambre observada en la Figura 32 se plantea la integral de línea de línea correspondiente.

Figura 32. Representación del alambre del Ejemplo 28.

∫C f ds = ∫C ρ ( x, y, z ) ds = ∫ ( x2 + y 2 + z 2 ) ds C 2π  2 2 2 2 2 2 = ∫  ( −ksent ) + ( k cos t ) + ( mt )  ( −k cos t ) + ( −ksent ) + ( m ) dt 0   =∫

2π

0

(k

2

+ m2t 2

= k 2 + m2 ∫

2π

0

)

(k

k 2 + m2 dt 2

)

+ m2t 2 dt 2π

= k +m 2

2

 2 1 2 3 k t + m t  3  0

8   =  2π k 2 + π 3m2  k 2 + m2 3  

EJEMPLO 29. Calcular la masa de un alambre que tiene la forma de elipse dada por la curva h : [ 0, 2π ] → ℜ3 / h ( t ) = ( a cos ( t ) , asen ( t ) , a cos ( t ) ) con densidad en el punto

( x, y , z )

a > 0 si la

está dada por ρ ( x, y, z ) = 4 gramos por unidad de

longitud del alambre.

Solución. La densidad del alambre en este caso es constante, la integral de línea de la densidad con respecto a la longitud de arco de la curva C, cuyo recorrido describe la forma del alambre y que se muestra en la Figura 33, se plantea la integral de línea que permite calcular el valor de la masa total del alambre.

Figura 33. Representación del alambre del Ejemplo 29.

∫C f ds = ∫C ρ ( x, y, z ) ds = ∫ ( x2 + y 2 + z 2 ) ds C 2π  2 2 2 2 2 2 = ∫  ( −ksent ) + ( k cos t ) + ( mt )  ( −k cos t ) + ( −ksent ) + ( m ) dt 0   =∫

2π

0

(k

2

+ m2t 2

= k 2 + m2 ∫

2π

0

)

(k

k 2 + m2 dt 2

)

+ m2t 2 dt 2π

= k +m 2

2

 2 1 2 3 k t + m t  3  0

8   =  2π k 2 + π 3m2  k 2 + m2 3  

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.2 1) Calcular la masa de un alambre que tiene la forma del circulo x 2 + y 2 = a 2 , con a > 0 , si la densidad en el punto ( x, y ) está dada por ρ ( x, y ) = x + y gramos por

unidad de longitud del alambre.

2) Calcular la masa de una varilla cuya densidad lineal está dada por ρ ( x, y ) = x , y

tiene la forma de y = x 2 con 0 ≤ x ≤ 3 . 3) Calcular la masa de una varilla cuya densidad lineal está dada por ρ ( x, y ) = y , y

tiene la forma de x = 4 − y 2 con 0 ≤ y ≤ 2 . 4) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 , y cuya base coincide con el cuarto de circunferencia que va desde el punto ( 2, 0, 0 ) has ta el punto ( 0, 2, 0 ) .

5) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar z = f ( x, y ) = 4 − x , y cuya base coincide con la elipse x 2 + 4 x 2 = 4 .

6) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar z = f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 , y cuya base coincide con el cuarto de circunferencia que va desde el punto ( 2, 0, 0 ) has ta el punto ( −2, 0, 0 ) .