TEMA 5. VECTORES

5.1. Vectores en el plano. - Definición. - Componentes de un vector. - Módulo. - Vectores equivalentes. 5.2. Operaciones con vectores. - Suma y resta. - Multiplicación por un número real. - Combinación lineal de vectores. 5.3. Producto escalar de vectores. - Definición. - Propiedades. 5.4. Vectores paralelos y perpendiculares. - Obtención de vectores paralelos. - Obtención de vectores perpendiculares. - Vectores unitarios. - Vectores paralelos y perpendiculares de módulo “m”. 5.5. División de segmentos - Punto medio de un segmento de extremos A y B. - Simétrico de un punto respecto de otro. - División de segmentos en igual número de partes. - División de segmentos en dos partes que cumplen determinada condición. 5.6. Puntos alineados. 5.7. Distancia entre dos puntos. - Cálculo de perímetros de figuras poligonales.

5.1. Vectores en el plano. Dados dos puntos del plano y . Se define el vector de origen A y extremo B como el segmento orientado caracterizado por su módulo (su longitud), dirección (la de la recta que lo contiene) y su sentido (el que va de A a B).

Sus coordenadas son:

Para hallar su módulo:

Dos vectores son equivalentes cuando tienen las mismas componentes.

Cuando se diga vector de coordenadas se entenderá que se habla del vector de origen en el punto O(0,0) y extremo en el punto P(a,b). Su módulo será

1. Halla las coordenadas de los siguientes vectores:

2. Dados los puntos A(3,6), B(-3,0), C(0,-5) y D(-2,6), Representa gráficamente los vectores

,

,

y

y halla sus coordenadas.

3. Halla las coordenadas del vector de origen A(2,4) y extremo B(4,3). 4. Halla las coordenadas del vector de origen A(-2,4) y extremo B(6,-2). 5. Dados los puntos A(5,7) y B(3,1), halla las coordenadas de y de . 6. Dados los puntos o(0,0), A(-1,3), B(3,-2) y C(-1,3), halla las coordenadas de los vectores ,

,

,

,

y

.

7. Halla B sabiendo que A(5,7) y 8. Halla P sabiendo que Q(8,-3) y . 9. Halla el módulo de los vectores de los ejercicios números 1 y 2. 10. ¿Son equivalentes los vectores siguientes?

11. ¿Son equivalentes los vectores 12. Dado el vector

y

donde A(2,5), B(4,3), P(8,-1) y Q(10,-3)?

donde A(2,5) y B(4,3). Halla las coordenadas del punto D para que

los vectores y sean equivalentes, donde C(5,-3). 13. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son los puntos A(1,1), B(6,6) y C(3,9). Halla las coordenadas del cuarto vértice. 14. Si los puntos A(1,1), B(1,3) y C(7,3) son los vértices de un paralelogramo ABCD. Halla las coordenadas del punto D. 15. Representa los vectores y y , y halla sus módulos.

16. Dados los puntos A(-1,3), B(2,0) y C(-2,1). Halla las coordenadas de otro punto D para que los vectores

y

sean equivalentes.

5.2. Operaciones con vectores. Suma y resta de vectores. Gráficamente se hace usando la regla del paralelogramo:

En coordenadas: Producto de un vector por un número real. En coordenadas: Gráficamente es un vector con la misma dirección que , el mismo sentido si k>0 y el opuesto si k