Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM 9 de febrero de 2011

´Indice 27.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . 27.2. Vector de coordenadas . . . . . . . 27.3. Vector de Coordenadas y Rm . . . 27.4. Matriz de transici´on: Introducci´on

27.1.

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1 1 4 5

Introducci´ on

En este tema se presenta el concepto de vector de coordenadas. Este concepto surge de la necesidad de introducir nuevos sistemas coordenados o sistemas coordenados que mejor se adapten a una situaci´on.

27.2.

Vector de coordenadas

Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita con base B = {v1 , . . . , vn }. Seg´ un un teorema anterior, para cada v ∈ V existen escalares u ´nicos c1 ,. . . ,cn tales que: v = c1 v1 + · · · + cn vn Definici´ on 27.1 El vector en Rn cuyas componentes son los coeficientes de v, expresado como [v]B , se llama vector de coordenadas o vector coordenado de v con respecto a B:   c1   [v]B =  ...  cn

Nota Observe que [v]B se modifica cuando cambia la base B. Tambi´en [v]B depende del orden de los elementos de a a una base que B. Mantendremos fijo este orden usando siempre una base ordenada: este concepto se referir´ a pesar de ser conjunto se considerar´a en un orden determinado. Recuerde que en la definici´on matem´atica de conjunto, el orden de los elementos no afecta el conjunto, sin embargo, en la definici´on de base ordenada el orden es importante. Teniendo disponible una gr´afica a veces es posible determinar con relativa facilidad los vectores de coordendas.

4

2

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2

-4

Figura 1: Nuevo Sistema Coordenado Ejemplo 27.1 Si B= Se tiene



3 3



= B



 2 1

2 1

   −1 , 1

     −3 −1 , = 0 1 B

Para ello vea la figura 1. Ejemplo 27.2 Determine el polinomio p(x) sabiendo que su vector de coordenadas respecto a la base B = {v1 = 1 − 7 x, v2 = −5 − 4 x} es [p(x)]B =



−6 2



Soluci´ on Recuerde que el vector de coordenadas se forma con los coeficientes de la combinaci´ on lineal de los elementos de la base para dar el vector: por tanto p(x) = −6 v1 + 2 v2 , es decir p(x) = −6 (1 − 7 x) + 2 (−5 − 4 x) , por tanto p(x) = −6 + 42 x − 10 − 8 x = −16 + 34 x  Ejemplo 27.3 Determine la matriz m sabiendo que su vector de coordenadas respecto a la base         −3 5 7 0 1 −1 −7 −3 B= , , , 1 −7 −5 −6 −1 −4 −3 −2 2

es [m]B

 −1  −2   =  −4  3 

Soluci´ on Directamente de la definici´on de vector de coordenadas:      m = −1 −31 −75 − 2 −57 −60 + 4 desarrollando los productos  m=

3 −1

−5 7



+



−14 10

0 12



+



1 −1



+3





−1 −4

4 −4 −4 −16

+



−21 −9

por tanto m=



−28 −18 −4 −3





Ejemplo 27.4 En P1 , determine el vector de coordenadas del polinomio p(x) = −2 − 5 x respecto a la base ordenada B = {v1 = 2 − 4 x, v2 = 4 + x} Soluci´ on Buscamos escalares c1 y c2 tales que: −2 − 5 x = p(x) = c1 (2 − 4 x) + c2 (4 + 1 x) Es decir −2 − 5 x = (2 c1 + 4c2 ) + (−4 c1 + 1 c2 )x Esto se convierte en el sistema

2 c1 + 4 c2 = −2 −4 c1 + 1 c2 = −5

Formando la matriz aumentada y reduci´endola     2 4 −2 1 0 1 → −4 1 −5 0 1 −1 Por tanto, c1 = 1 y c2 = −1 y [p(x)]B =



1 −1





Ejemplo 27.5 En M2×2 , determine el vector de coordenadas de la matriz   −4 −1 m= 5 4

3

−7 −3

−3 −2

−9 −6

 

respecto a la base ordenada B=



4 0

−4 −5

  −3 ,

0 −5

−1

     5 −4 −5 −2 , , −1

5

−2

1

Soluci´ on Buscamos c1 , c2 , c3 , y c4 tales que:           −4 −1 4 −4 −3 0 −5 −2 5 −4 = c1 + c2 + c3 + c4 5 4 0 −5 −1 −5 −1 −2 5 1 Es decir, tales que: 

−4 −1 5 4



=



4c1 − 3 c2 − 5 c3 + 5 c4 −4c1 + 0 c2 − 2 c3 − 4 c4 0c1 − 5 c2 − 1 c3 + 5 c4 −5c1 − 2 c2 − 2 c3 + 1 c4



Igualando cada entrada se convierte en el sistema: + − + −

4 c1 4 c1 0 c1 5 c1

− + − −

3 c2 0 c2 5 c2 2 c2

− − − −

5 c3 2 c3 1 c3 2 c3

+ − + +

5 c4 4 c4 5 c4 1 c4

= −4 = −1 = 5 = 4

Al formar la matriz aumentada y reducirla: 

4 −3  −4 0   0 −5 −5 −2





13 1 0 0 0 − 12

−5 5 −4   0 1 0 0 −2 −2 −1  →  5  −1 5  0 0 1 0  −2 1 4 0 0 0 1

1 6 5 4 17 12

      

Por tanto, 

[m]B

27.3.

13 − 12 1 6

   =  

5 4 17 12



      

Vector de Coordenadas y Rm

Los siguiente resultado permite trasladar los conceptos de dependencia lineal y espacios generados a cualquier base. Tambi´en justifica nuestro proceso de vectorizaci´on para operar los conceptos de espacios generados y dependencia lineal. Teorema Sea B una base ordenada de un espacio vectorial V de dimensi´ on finita. Sean u, u1 , u2 , . . . , um vectores en V . Entonces, u es una combinaci´ on lineal de u1 , ...., um en V , si y s´olo si [u]B es una combinaci´on lineal de [u1 ]B , . . . , [um ]B en Rm . Adem´as, para los escalares c1 ,. . . ,cm u = c 1 u1 + · · · + c m um si y s´olo si [u]B = c1 [u1 ]B + · · · + cm [um ]B 4

Figura 2: M´ ultiples Sistemas Coordenados Teorema Sea B una base ordenada de un espacio vectorial n dimensional V . Entonces, {u1 , . . . , um } es linealmente independiente en V si y s´olo si {[u1 ]B , . . . , [um ]B } es linealmente independiente en Rn .

27.4.

Matriz de transici´ on: Introducci´ on

Sean B = {v1 , . . . , vn } y B ′ = {v′ 1 , . . . , v′ n } dos bases ordenadas de un espacio vectorial de dimensi´ on finita. Sea P la matriz n × n cuyas columnas son [v1 ]B′ , . . . , [vn ]B′ : P = [[v1 ]B′ [v2 ]B′ · · · [vn ]B′ ] Entonces P es invertible y ´esta es la u ´nica matriz en la que para todo v ∈ V : [v]B′ = P [v]B

Definici´ on 27.2 La matriz P del resultado anterior se denomina matriz de transici´ on o matriz de cambio de base ′ de B a B . Teorema Si P es la matriz de transici´on de B a B ′ , entonces P−1 es la matriz de transici´on de B ′ a B. Ejemplo 27.6 En R2 , determine la matriz de transici´on de la base:     0 1 B= , 1 0

5

a la base: ′

B =



−6 −7

   0 , 5

Soluci´ on Lo que debemos hacer es determinar el vector de coordenas de cada uno de los elementos de la base vieja en funci´ on de la base nueva. Aunque la versi´ on oficial consiste en trabajar con los vectores uno por uno. Es posible trabajarlos un solo paquete combo: Se forma la matriz aumentada: [Basenueva |BaseV ieja ] Y se aplica a esta matriz aumentada el proceso de Gauss-Jordan. Al aplicar Gauss-Jordan quedar´an en el lugar adecuado los vectores de coordenadas de cada un de los vectores de la base vieja respecto a la base nueva: es decir, h i Basenueva |BaseVieja → [I|P] Aplicando esta idea al problema: 

−6 0 0 1 −7 5 1 0



→



1 0 0 −1/6 0 1 1/5 −7/30

Por tanto, P=



0 −1/6 1/5 −7/30

6