TRABAJO PRÁCTICO 2 Vectores y Funciones a valores vectoriales 2.1. Vectores 1.− Considerar un sistema (0; x; y) de coordenadas cartesianas ortogonales en el plano; los versores I = (1 ; 0), J = (0 ; 1) y los siguientes vectores con origen 0: A=2I + J B= − I + 3J C= 2I + 2J . a) Calcular analíticamente y gráficamente: " B ; " C ; A + B ; 2 (A + B) ; A + 3B ; A + C ; 2A + B ; B " C ; (A + B) + C; A + (B + C). b) Hallar: ; ; ; ; ; . 2.− Sea A=2 I + J, B= I " 3J. Hallar un vector C de manera que: a) A + C = B. b) 3A + C = B. c) = 5. 3.− Considerar un sistema (0; x; y; z) de coordenadas cartesianas ortogonales en el espacio; los versores I = (1 ; 0 ; 0), J = (0 ; 1 ; 0), K = (0 ; 0 ; 1) y los siguientes vectores con origen 0: A = 3I + 4J + 2K B = " 2I + J − 2K C = 4I " 7K. a) Calcular: 2A + J; B−J; 2A + B; B + 2C; (A + B) + C; A + (B + C) . b) Hallar: ; ; ; ; ; . 1

4.− Sea A = 2I − J + 3K, B = −3I + J "K. Hallar un vector C de manera que: a) A + C = B b) " 2A + C = B 5.− Para los siguientes pares de puntos en el plano: (i ) A = (2 ; 4) B = (1 ; 1). (ii) A = (" 5 ; 3) B = (2 ; " 1). (iii) A = (" 2 ; 1) B = (" 4 ; 3). (iv) A = (6 ; 5) B = (2 ; " 2). a) Hallar las componentes de los vectores . b) Las distancias entre A y B. c) Representar gráficamente A, B, y B " A. 6.− Para los siguientes pares de puntos en el espacio: (i) A = (2 ; " 4 ; 7) B = (" 1 ; " 3 ; 5). (ii) A = (1 ; 0 ; 5) B = (0 ; " 2 ; 0). a) Hallar las componentes de los vectores . b) Las distancias entre A y B. 7.− Dados los siguientes vectores en el espacio con origen en 0: A=2 I + 3 J + K B= " 3 I " J + 2 K C= 4 I " 3 K a) Hallar: (i ) A . A; ; A . B; A . C . (ii) A . (B + C); A . B + A . C . (iii) , , . (iv) CompAB; CompIA . b) Calcular los siguientes productos vectoriales: 2

; ; C x I; 3( ); 3 . c) Calcular los siguientes productos mixtos: ( ) . C; ( ) . A; () . B . 8.− Dados los vectores A y B de origen 0, hallar los valores de r para que resulten perpendiculares: a) A = I + 3 J B = r I + 7 J b) A = 3 I − 2 J + K B = r I + J + 2 K c) A = r I " 3 J + 2 K B = I + 2J − r K d) A = "2I + r J + 2 r K B = " I + 3 r J + 3 K 2.2. FUNCIONES A VALORES VECTORIALES 1.− Dadas las siguientes funciones vectoriales con t" R: a) Llevarlas a la forma paramétrica. b) Hallar analíticamente la ecuación de la trayectoria. Representar la trayectoria en el plano. c) Ubicar sobre la representación gráfica de la trayectoria F(t 0) y F(t 1) en cada uno de los casos. (i) F(t) = (" 2+3 t ) I + (1" 4 t ) J t 0 = 0 , t 1 = 1 . (ii) F(t) = (" 2+3 t2 ) I + (1" 4 t2 ) J t 0 = 0 , t 1 = 1 . (iii) F(t) = (" 2 t ) I + (3 t ) J t 0 = " 1 , t 1 = . (iv) F(t) = 3 I + 5 t J t 0 = " 2 , t 1 = 0 . (v) F(t) = t I + t2 J t 0 = ,t1=1. (vi) F(t) = t I + et J t 0 =0 , t 1 = 1 . (vii) F(t) = ( r cos t ) I + ( r sen t ) J t 0 = 0 , t 1 = . 2.− Representar, en un sistema de ejes cartesianos ortogonales, la trayectoria de las siguientes funciones vectoriales, con t" !, indicando analíticamente en cada caso: 3

• La relación entre la abscisa y la ordenada. • Los valores de (x ; y) para los que está definida. • F(t) = cos t I + ( 1 " cos 2 t ) J • F(t) = " t 2 I + ( 2 " t 4 ) J • F(t) = 2 t I + ( 2 3 t + 1 ) J • F(t) = (2 3 t + 1 ) I + 2 t J • F(t) = ( 3 " t 4 ) I + t 2 J • F(t) = sen t I + ( 1 + sen 2 t ) J • F(t) = " e t I + ( e2 t + 3 ) J • F(t) = (e2 t + 3 ) I " e t J 3.− Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas de R2: • Tiene la dirección de 3 I" 4 J y pasa por (" 2 ; 1). • Tiene la dirección de 2 I " J y pasa por (" 3 ; 5). • Pasa por (2 ; " 3) y es paralela a la recta x = " 3 + t ; y = 5 t. • Pasa por (1 ; " 1) y es paralela a la recta que pasa por (2 ; " 3) y (" 1 ; 1). • Pasa por (3 ; " 5) y es paralela a la recta que pasa por (1 ; " 1) y (2 ; 3). • Pasa por (3 ; 2) y ("1 ; 1). (vii) Pasa por (" 1 ; 3) y (" 1 ; 7). 4.− Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones a valores vectoriales: •

• •

. .

. •. 5.− Calcular: a) b)

c) d)

6.− Calcular y representar gráficamente la trayectoria de R (t), el vector R (1) y el vector , siendo

4

. 7.− El vector posición de un móvil puntual en el plano está dado por , donde el tiempo t se mide en segundos y las distancias en metros. Calcular: • La distancia al origen en el instante t = 2 seg. • La ecuación de la trayectoria. • Los vectores velocidad y aceleración. • Los módulos de los vectores velocidad y aceleración en t = 2 seg. • Observar que el módulo del vector aceleración es distinto de la derivada respecto de t del módulo del vector velocidad. 8.− La posición de un móvil puntual en el plano está dada por el vector donde el tiempo t se mide en segundos y las distancias en metros. • Calcular la distancia al origen. • Hallar el vector velocidad y su módulo. ¿Se puede decir que la velocidad es constante? • En base a lo calculado en a) y en b) determinar qué tipo de movimiento es. • Hallar el vector aceleración A(t) y verificar que es perpendicular al vector velocidad V(t) en todo instante. ¿Hacia dónde está orientado A(t)? • Observar que . • Calcular la distancia recorrida por el móvil y la longitud de la trayectoria en el intervalo de tiempo [ 0 ; 2 ]. 9.− a) El vector posición de un móvil en el plano está dado por

. Calcular el vector aceleración en el instante en que el vector velocidad tiene la dirección del versor J. b) El vector posición de un móvil en el plano está dado por . Calcular el vector velocidad en el instante en que el vector aceleración tiene la dirección del versor J. 10.− Calcular F(t) conociendo: a) y F(0) = 3 I + J " 2 K b) y F(0) = F'(0) c) , F'(0) = 6 I+J y F(0) = " 2 J+K

5

d)

, F'(1) = 4 I+K y F(0) = " 3 I 11.− a) Un móvil tiene por vector aceleración A(t) = 2 I + 6 t K. Sabiendo que en el instante inicial su velocidad está dada por V(0) = J − K, y su posición por R(0) = I − 2 K, determinar las funciones vectoriales V(t) y R(t). b) La velocidad de móvil puntual está dada por el vector V(t) = 2 t I + e t J. Calcular la distancia al origen para t = 1, sabiendo que el vector posición R(t) en el instante t = 0 vale R(0)= I + J. c) Un móvil tiene por velocidad V(t) = 2I + t J. Determinar el módulo del vector posición para t = 0, si se sabe que para t = 1 el vector posición es R(1) = J + K. d) Idem que en c) para V(t) = (2 t + 1) I + cos ( t) K con R(1) = 3 I + J. e) Dada la aceleración de un móvil por la función vectorial A(t) = 2 J + 4 e2 t K; tal que V(1) = 2 I + 2 J + 2e 2 K (velocidad instantánea del móvil en t = 1) y R(0) = I + J + K (vector posición del móvil en t = 0). Calcular la velocidad V(t) y la ecuación del movimiento del móvil R(t). f) En las mismas condiciones del punto e) sea A(t) = 2 I + 3 t2 J − 4t3 K tal que V (" 2) = 4J, R(1) = 0. Calcular V (t) y R (t). 12.− Calcular: a)

b) c)

d)

e)

GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA y FÍSICA 1 5 Se definen las componentes de un vector como las coordenadas del vector B " A. 6