VECTOR es todo segmento orientado. El segmento orientado [a, b], de la figura es un vector; a indica el origen y b el extremo del segmento orientado. A los vectores los denotamos con letras que indican su origen y su extremo, o también mediante una letra latina minúscula. Ejemplo;

• En la figura, podemos leer: Vector o también vector a. Vector o también vector b. ELEMENTO DE UN VECTOR en todo vector siempre podemos distinguir: • La Dirección, esta viene dada por la dirección de la recta que lo contiene. Ejemplo: • la dirección del vector b esta dada por la dirección de la recta R. En este caso la dirección es horizontal. • Los vectores a y b tienen igual dirección, ya que las rectas que lo contienen son paralelas. • Los vectores c y d tienen diferentes direcciones. • El Sentido, viene dado por la orientación de la flecha. Ejemplos: • • En la figura, los vectores a y b tienen los sentidos que indican sus flechas, estos sentidos son diferentes.

♦ En la figura, los vectores c y d tienen igual sentidos. • En esta figura los vectores m y n tienen sentidos opuestos. • Modulo, esta dado por la longitud del segmento orientado que define al vector. El modulo de un vector a lo denotaremos así: |a| • En la figura, la longitud del vector v es 4cm., y la longitud del vector u es 2cm., luego: |v|=4 y |u|=2 • El Punto de Aplicación, lo determina el punto donde comienza el vector. RELACION DE EQUIPOLENCIA EN EL CONJUNTO DE LOS VECTORES DEL PLANO Los 1

vectores son equipolentes cuando tienen igual dirección, igual sentido e igual modulo. • En la figura, los vectores x e y son equipolentes, ya que cumplen con la definición de equipolencia. • En la figura a y b son equipolentes, pero a y c no son equipolentes |a| " |c| • Los vectores a, b, c, d, son equipolentes ya que todos tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo modulo. PROPIEDADES QUE CUMPLEN LA RELACION DE EQUIPOLENCIA • Propiedad Reflexiva: es todo vector del plano que tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que si mismo. Luego: para todo vector del plano a se cumple que: a R a. • Propiedad Simétrica: siendo a y b vectores cualesquiera del plano, observa que: si a tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que b, entonces b tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que a. Es decir; a r b ! b R a. • Propiedad Transitiva: siendo a, b, c, vectores cualesquiera del plano, si a tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que b y a su vez b tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que c, entonces a y c tienen igual dirección, igual sentido e igual modulo. Es decir, a R b " b R c ! a R c. De estas tres propiedades se deduce que; la relación de equipolencia es una relación de equivalencia. VECTOR LIBRE está formado por un vector del plano y todos los vectores que sean paralelos a el y que tengan su mismo sentido y modulo. PROPIEDAD DE LA ADICION DE VECTORES • Asociativa: consideremos tres vectores cualesquiera a, b, c, de V2 , queremos efectuar la suma de ellos. Dicha suma la podemos determinar de dos manera; Una Manera Otra Manera Efectuamos a + b Efectuamos b + a Le sumamos c a a + b Le sumamos b + c a a Conclusión: (a + b) + c = a + (b + c) De esta manera se observa que los vectores obtenidos son equipolentes, es decir: (a + b) + c = a + (b + c) Luego, podemos concluir que la adición de vectores es asociativa. • Elemento Neutro: o vector nulo se debe a que su modulo es cero. Si el origen coincide con el extremo, la longitud del segmento orientado será igual a cero, el segmento se reduce a un punto y en realidad no puede hablarse con propiedad de un vector. En este caso la dirección y el sentido no están determinados. El vector libre nulo será entonces la clase formada por todos los vectores que tienen modulo cero. Los elementos del vector libre nulo corresponden a puntos del plano. Al vector libre nulo, lo representamos por 2

cero 0. ejemplo: • Los puntos a, b, c, d, son algunos elementos del vector libre nulo. Por todo lo dicho se deduce fácilmente que si a es un vector cualquiera de v2, entonces: a+0=0+a=a • Elemento Simétrico: tiene igual dirección, igual modulo, pero de sentidos contrarios. Para efectuar la adición de a y b, copiamos un vector b' equipolente con b que tenga su origen en el extremo del vector a. • El vector suma de a y b es el vector nulo puesto que el origen del vector coincide con el extremo de b' (o sea que el vector suma se reduce a un punto), Luego; a + b = 0 A los vectores a y b los llamaremos vectores opuestos. Diremos que a es el vector opuesto a b, y que b es el vector opuesto al vector a. Para indicar el opuesto del vector a escribimos: −a. Ejemplo: * El vector u es el opuesto del vector v, es decir: u = − v. Se cumple que: v + (− v) = 0 * El vector x es el opuesto del vector y , es decir: x = − y. Se cumple que: x + (− y) = 0 • Conmutatividad: sean a y b dos elementos de V2. Vamos a determinar los vectores: a + b = b + a 1) 2) Podemos verificar que los vectores obtenidos a + b y b + a son equipolentes, luego: a+b=b+a Como esto lo hemos hecho para dos vectores arbitrarios de V2, podemos generalizar diciendo que la adición de vectores en V2 es conmutativa. Luego, como (V2, +) es un grupo y la adición es conmutativa, podemos afirmar que, (V2, +) es un grupo conmutativo o grupo abeliano. SUSTRACCIÓN DE VECTORES dado los vectores m y n, llamaremos vector diferencia al vector que se obtiene sumándole a m el opuesto de s. Lo notaremos así: Aquí se observa como construimos el opuesto de s (o sea, −s) con origen en el extremo del vector m y luego efectuamos la suma de m y −s; es decir: M + (−s) = m − s Ejemplo: A−byb−a

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1) 2) 3) MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR por un numero real. Tiene la misma dirección y sentido, pero su modulo es dos veces mayor del mismo. Es decir, |b| = 2 |a| En este caso decimos que el vector b lo hemos obtenido multiplicando el vector a por el numero 2, es decir: b = 2a De igual manera podemos comprobar que los vectores c y d. Tienen la misma dirección, sentidos opuestos y el modulo de d es dos veces el modulo de c, es decir: |d| = 2 |c| En este cas decimos que el vector d lo hemos obtenido multiplicando el vector c por el numero −2, es decir: d = 2c PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL La multiplicación de un vector por numero real es distributiva con respecto a la adición de vectores en V2. Dados los vectores a y b de V2 Vamos a determinar los vectores 2(a + b) y 2a + 2b 1) 2) Podemos comprobar fácilmente que los vectores obtenidos: 2(a + b) y 2ª + 2b, son equipolentes; por lo tanto podemos escribir: 2(a + b) = 2a + 2b EL ESPACIO VECTORIAL V2 La adición de vectores libres y la multiplicación de un numero real por un vector verifica las siguientes propiedades: P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

(x + y) + z = x + (y + z) x+0=0+x=x x + (−x) = (−x)+ x = 0 x+y=y+x (x + y) = x + y (+)x= (x) = () x 1.x=x.1=x

" x, y, z " V2 " x " V2 " x " V2 " x, y " V2 " " R y " x, y " V2 " , " R y " x " V2 " , " R " x " V2 " x " V2

Decimos entonces que los conjuntos V2, con la adición y la multiplicación por un numero real, tiene una estructura de espacio vectorial real. Ejemplo: si es un numero real, determina el vector − 0 − 0 = (x − y) ya que x − x = 0

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= [x + (x)] ya que x − x = x + (−x) = x + (−x) por la propiedad P5 = x − x ya que (−x) = − x = 0 por la propiedad P3 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Si x, e y son vectores de V2 y , dos números reales, la expresión x + y es también un vector de V2. ejemplo: ◊ sean x e y dos vectores de V2; entonces: 2x + 3y, 5x + y, 0x + 0y, 4x + 6y ... son combinaciones lineales de los vectores x e y. De una forma general, si se tienen los vectores x, y, z, u, la expresión x y + z + u es una combinación lineal de los vectores x, y, z, u. La expresión x + y + z es una combinación lineal de los vectores x, y, z. La expresión x es una combinación lineal del vector x. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL a) Dos o mas vectores son linealmente dependiente si uno cualquiera de ellos es combinación lineal de los restantes. b) Si dos vectores no nulo tienen diferentes direcciones, entonces son linealmente independientes. Ejemplo a: Para determinar dos vectores linealmente dependientes, basta con tomar una pareja de vectores que tengan igual dirección. Observemos x, y, z, de la figura: ◊ los vectores x e y son lineal mente dependientes ◊ los vectores x y z son lineal mente dependientes ◊ los vectores y, z son lineal mente dependientes. Ejemplo b: Dado los vectores x e y de la figura, si |x| =2 y |y| = 4, vamos a determinar: ◊ |y| + (−2) |x| ◊ y − 2 x. ◊ Encontrar un numero real tal que y = x Solución: a) |y| + (−2) |x| = 4 + (−2) 2 = 4 − 4 = 0 b) 5

c) no es posible encontrar un numero real tal que verifique la igualdad y = x ya que x e y no tienen la misma dirección. Entonces dichos vectores son linealmente independientes. COORDENADAS DE UN VECTOR Para establecer una bisección entre el conjunto V2 de los vectores libres y planos real R2, a cada elemento x de V2 se le hace corresponder un único par (x1, x2) " R2, y recíprocamente a cada par (x1, x2) le corresponde un único elemento x de V2. Sea x un elemento arbitrario de V2, y tomemos un sistema de coordenadas en un plano: ◊ Podemos tomar como representante del vector libre x otro vector perteneciente a esa clase de equipolencia y que tenga su origen en 0; a ese vector lo llamaremos el representante canónico del vector x. ◊ Al vector x lo vamos hacer corresponder como imagen el par de números reales que constituyen las coordenadas del punto extremo de su representante canónico. En este caso de la figura, el vector x tiene como imagen el par (3, 4); es deci: Al par (3, 4) lo llamaremos coordenadas del vector x. La aplicación que todo elemento x de V2 le hace corresponder las coordenadas del punto extremo de su representante canónico, es biyectiva. En vista de que todo vector libre x tiene asociado un par de números reales (x, y) que son sus coordenadas respecto a un sistema dado podemos identificar el vector x con sus coordenadas y escribir: x = (x1, x2).

X Y a b c c d a b a

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a b a b c a c b c a b a b a a+b b+c b c (a + b) + c A+b c a + (b + c) a b+c b d

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c a b' . x y x y X (3, 4) (3, 4) Y − 2x − 2x Y Y X b a a b a+b b+a a b m s

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s −s m−s m b a a a b b a b c d a b a b a+b 2 (a + b) 2a + 2b 2b 2a b a x

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y x y z

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