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Ejemplos de cálculo de Cifras significativas Cifra significativa: es aquella cifra cuya unidad es mayor o igual que la incertidumbre asociada a la resolución o a una estimación que sea la incertidumbre absoluta compuesta (resolución, error aleatorio, error sistemático, etc.). Los resultados finales deben llevar todas las cifras significativas más 1 o 2 no significativas. Para los resultados intermedios basta manejar 2 o 3 cifras no significativas. En este caso es mejor ilustrar con ejemplos el uso de cifras significativas de una magnitud cuando se considera la incertidumbre. Para comprender mejor la nomenclatura y la cuenta formal de las cifras significativas, es necesario referirse al Anexo I. Ejemplos. Ejemplo 1. De acuerdo al Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de los Estados Unidos de América (NIST, por sus siglas en inglés en la dirección http://physics.nist.gov/cuu/index.html [Sábado/05/02/2000]), se recomienda el siguiente valor para el número de Avogadro (ℵA). ℵA =[6.02214199 ± 0.00000047](1023) partículas mol-1. Calcular el número de cifras significativas verdaderas en el valor central y dar el valor redondeado de la incertidumbre relativa en la forma que se considere más adecuada. Expresar el valor de ℵA utilizando esta incertidumbre relativa amplificada. El NIST recomienda este valor redondeado correctamente y que, por lo tanto, sólo tiene cifras significativas. El NIST también recomienda utilizar el primer dígito diferente de cero y el siguiente dígito para redondear la incertidumbre absoluta (apartado (3A) del Anexo I), como puede apreciarse en el valor mostrado en el planteamiento del problema. 1.a) Cuenta simple de las cifras significativas verdaderas en el valor central. La parte numérica del valor central redondeado ℵA (que se representará como ) puede escribirse en su forma desarrollada como = [6(100) + 2(10-2) + 2(10-3) + 1(10-4) + 4(10-5) + 1(10-6) + 9(10-7) + 9(10-8)](1023) Como todo el número está multiplicado por el valor de 1023, las cifras que aparecen dentro del paréntesis cuadrado de la expresión desarrollada anterior están colocadas en una posición relativa a 23. (Esto es, la posición relativa (0), donde se encuentra el dígito de 6, corresponde a la posición absoluta del número igual a (23).)

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Es cierto que 0.00000047 =4.7 (10-7), por lo que se usará esta forma para realizar más fácilmente la comparación. Así, utilizando el procedimiento descrito en el apartado (8.A.1) en forma iterativa (de derecha a izquierda), se tiene que i) para la posición relativa (-8) de , 5(10-9) < 4(10-7) + 7(10-8) = 4.7(10-7) ii) para la posición relativa (-7) de , 5(10-8) < 4.7(10-7) iii) para la posición relativa (-6) de , 5(10-7) > 4.7(10-7) Por lo tanto, el número de cifras significativas verdaderas (ncsv) abarcan las posiciones relativas que se encuentran en el conjunto {0, -1, -2, -3, -4, -5, -6} y las cifras significativas (sin adjetivo) abarcan posiciones relativas en el conjunto {-7, -8}. En conclusión, el número total de cifras significativas para el valor central recomendado por el NIST es igual a 9 (ntcs = 9), 7 de ellas verdaderas (ncsv = 7) y las 2 últimas con menos información confiable (ncs = 2). 1.b) Cuenta formal de las cifras significativas verdaderas en el valor central. La parte numérica del valor central redondeado puede escribirse formalmente como = [600-12-22-31-44-51-69-79-8](1023) en tanto que la incertidumbre absoluta redondeada se puede escribir como ∆rcℵA = [4-77-8](1023) cm3. El valor central es tal que c0c-1c-2c-3 c-4c-5 c-6 c-7 c-8 con c(cℵA,0) = 6, c(cℵA,-1) = 0, c(cℵA,-2) = 2, c(cℵA,-3) = 2, c(cℵA,-4) = 1 y c(cℵA,-5) = 4, c(cℵA,-6) = 1, c(cℵA,-7) = 9, y c(cℵA,-8) = 9. Aplicando ahora el apartado (A.8.1) para determinar las cifras significativas y reconociendo que j = 0 y k = -7, debe entonces encontrarse el valor de s. Aplicando el procedimiento iterativo para el valor redondeado se observa que i) para la posición relativa (-8) de < rcℵA>, 5(10-9) < 4.7(10-7) ii) para la posición relativa (-7) de < rcℵA>, 5(10-8) < 4.7(10-7) iii) para la posición relativa (-6) de < rcℵA>, 5(10-7) > 4.7(10-7) Por lo que se concluye que s = -6. Por lo tanto, el número de cifras significativas verdaderas en el valor central del número de Avogadro es igual a 7; por lo que las otras 2 cifras sólo son significativas; esto es ncsv = 0 – (-6) + 1 = –6 + 1 = 7, ncs = (-6) – (-7) + 1 = -6 + 7 + 1 = 2 y ntcs = ncsv + ncs= 7 + 2 = 9. 2

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1.c) Incertidumbre relativa e incertidumbre relativa amplificada. Ahora bien, el cálculo de la incertidumbre relativa en ℵA se obtiene dividiendo el valor de su incertidumbre absoluta redondeada entre su valor central redondeado, de manera que c r∆ℵA/r ℵA

= {[0.00000047](1023) partículas mol-1}/{[6.02214199](1023) partículas mol-1} = = 7.8045320216702495917071526903669(10-8) ≅ 7.80(10-8)

Una escala amplificada adecuada para este valor de incertidumbre relativa sería la de las partes por billón norteamericano. Por la definición dada en la sección 7 de este trabajo %9(r∆ℵA/rcℵA) = (109)ppbn[7.80(10-8)] = 78.0 ppbn Finalmente, en forma equivalente a la del NIST, el valor de ℵA puede escribirse como ℵA = 6.02214199(1023) partículas mol-1 ± 78.0 ppbn.

Ejemplo 2. El cálculo de un valor de densidad en una celda de la aplicación Excel de Microsoft muestra el valor 12.2759241. Asimismo, el cálculo de su incertidumbre absoluta asociada en la celda contigua muestra el valor 0.0314964. Seleccionar el(los) valor(es) expresado(s) correctamente para la medición, de entre las siguientes posibilidades. Explicar las razones de rechazo y aceptación. Calcular las cifras significativas en el valor central y expresar el valor considerando las incertidumbres relativa y porcentual para los incisos correctos. a) (12.2759241 ± 0.031) g ml-1 d) (12.276 ± 0.03) ml-1

b) (12.28 ± 0.03) g ml-1

c) (12.00 ± 0.03)

e) (12.2759241 ± 0.0314964) g ml-1 f) (12.276 ± 0.031) g ml-1

2.a) Razones de rechazo de las expresiones mostradas en los diferentes incisos. a) Aunque la incertidumbre absoluta está bien redondeada, considerando el primer dígito diferente de cero y su dígito siguiente, y las unidades son correctas para un valor de densidad, el valor central no está redondeado. c) El valor no expresa unidades y el valor central está mal redondeado, aunque la incertidumbre absoluta está bien redondeada considerando sólo el primer dígito diferente de cero. d) Las unidades no son correctas para una densidad y el valor central da un dígito más a la derecha que la incertidumbre (no hay congruencia en la expresión de los valores central y de incertidumbre absoluta), aunque este valor central está bien redondeado a la milésima y 3

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el valor de incertidumbre está bien redondeado considerando solamente el primer dígito diferente de cero. e) Aunque las unidades son correctas para un valor de densidad, los valores central y de incertidumbre no están redondeados, por lo que tienen cifras no significativas. 2.b) Razones de aceptación de las expresiones mostradas en los incisos (b) y (f). Para ambos valores el valor expresado es razonable para sólidos densos (como el plomo). b) El valor de la incertidumbre absoluta está bien redondeando tomando en cuenta sólo el primer dígito diferente de cero. El valor central se ha redondeado correctamente haciéndolo congruente con las cifras expresadas para la incertidumbre absoluta (ambos valores han sido redondeados a la centésima). Las unidades escritas son correctas para una densidad. f) El valor de la incertidumbre absoluta está bien redondeando tomando el primer dígito diferente de cero y su dígito siguiente. El valor central se ha redondeado correctamente haciéndolo congruente con las cifras expresadas para la incertidumbre absoluta (ambos valores han sido redondeados a la milésima). Las unidades escritas son correctas para una densidad. Ahora bien, para el cálculo del número de cifras significativas en el valor central del inciso (b), se observa que la parte numérica de la incertidumbre absoluta es igual a 3(10-2). Así, utilizando el procedimiento descrito en el apartado (8.A.1) en forma iterativa (de derecha a izquierda), se tiene que i) para la posición absoluta (-2) de , 5(10-3) < 3(10-2) ii) para la posición absoluta (-1) de , 5(10-2) > 3(10-2) De esta forma, el total de cifras significativas del valor central es de 4 (ntcs = 4), de las cuales 3 son significativas verdaderas (ncsv = 3) y 1 es significativa con menos información (ncs = 1). Por otro lado, para el cálculo del número de cifras significativas en el valor central del inciso (f), se observa que la parte numérica de la incertidumbre absoluta es igual a 3.1(10-2). Así, utilizando el procedimiento descrito en el apartado (8.A.1) en forma iterativa, se tiene que i) para la posición absoluta (-3) de , 5(10-4) < 3.1(10-2) i) para la posición absoluta (-2) de , 5(10-3) < 3.1(10-2) ii) para la posición absoluta (-1) de , 5(10-2) > 3.1(10-2) De esta forma, el total de cifras significativas del valor central es de 5 (ntcs = 5), de las cuales 3 son significativas verdaderas (ncsv = 3) y 2 son significativas con menos información (ncs = 2). 4

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Finalmente, en la tabla 1 se muestran los valores de incertidumbre relativa y porcentual para ambas representaciones, así como las expresiones para el valor de la densidad medida indirectamente. Tabla 1. Cálculos de las incertidumbres relativa y porcentual, y expresión del valor de la densidad en este ejemplo. Incertidumbre relativa Incertidumbre porcentual Inciso %(r∆ρ/rρc) = 100%(r∆ρ/rρc) r∆ρ/rρc (b) 0.03/12.28 = 0.00244 (0.00244)100% = 0.244% (f) 0.031/12.276 = 0.00253 (0.00253)100% = 0.253% Expresión del valor medido y redondeado para los dos incisos correctos Inciso Con la incertidumbre relativa con la incertidumbre porcentual (b) 12.28 g ml-1 ± 0.00244 12.28 g ml-1 ± 0.244% -1 (f) 12.276 g ml ± 0.00253 12.276 g ml-1 ± 0.253%

Ejemplo 3. El valor de la densidad del agua a 4°C es de 1.00000 g cm-3 de acuerdo al manual de Donald B. Summers (1983, “Manual de Química: tablas, constantes, fórmulas e información general.” Grupo Editorial Iberoamérica. México. p. 55). Como el libro no reporta la incertidumbre del valor de dicha magnitud, ¿cómo debe reportarse el valor de la densidad del agua a 4°C cuando se use esta información y qué conclusiones pueden obtenerse para las cifras significativas del valor central? Suponer que la parte numérica de la incertidumbre absoluta de dicha densidad es la mitad del valor del dígito unitario de la última posición reportada Como la última posición (absoluta) reportada en el valor de la densidad es la (-5), la mitad del dígito unitario en esa posición resulta (1/2)(10-5) = 5(10-6). Así, de acuerdo a la información suministrada en el planteamiento del problema, debe suponerse que r∆

ρagua = 5(10-6) g cm-3 = 0.000005 g cm-3

4oC

Así, el valor de esa densidad debe expresarse como rρagua

4oC

= (1.000000 ± 0.000005) g cm-3 = (1.000000 ± 5(10-6)) g cm-3.

Al seguir el procedimiento descrito en el apartado (8.A.1) en forma iterativa (de derecha a izquierda) para obtener el número de cifras significativas verdaderas, se tiene que i) para la posición (-6) de , 5(10-7) < 5(10-6) o ii) para la posición (-5) de , 5(10-6) = 5(10-6) o iii) para la posición (-4) de , 5(10-5) > 5(10-6) o

Por lo tanto, se concluye que las posiciones absolutas de la (0) a la (-4) contienen cifras significativas verdaderas; o sea, ncsv = 5. Las cifras en las posiciones (-5) y (-6) sólo son significativas, por lo que se considera que tienen información útil, pero menos relevante, por lo que ncs = 2.

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La primera conclusión que puede obtenerse es que, de las 6 cifras del valor reportado en la referencia señalada (y al tomar el convenio sugerido en el planteamiento del problema para asignar el valor de la incertidumbre absoluta), sólo 5 son cifras significativas verdaderas; es decir, se está formulando la hipótesis implícita de que el último dígito reportado tiene menor cantidad de información relevante que las 5 cifras anteriores. La segunda conclusión, tal vez más importante que la primera, es que resulta lógico tomar esta recomendación como general; esto es, proceder de esta manera para todos los valores reportados en literatura científica confiable pero en donde no se encuentre reportado el valor de la incertidumbre (absoluta o relativa) para el valor de una magnitud. Es necesario recordar que, en muchas ocasiones, los valores de magnitudes importantes reportados en los libros de texto han sido redondeados más allá de los criterios normalmente aceptables en el trabajo experimental. Esto se hace por razones didácticas, para que el estudiante se concentre en el aprendizaje de los conceptos de la disciplina (facilitando los cálculos) y no tanto en el laborioso (pero necesario) cálculo de la propagación de las incertidumbres. Por lo tanto, como tercera y última conclusión, se recomienda buscar este tipo de información en manuales confiables y fuentes de información primaria cuando se quiera minimizar su incertidumbre, aun al grado de considerar dichos valores como exactos, para el trabajo experimental. Ejemplo 4. Dos estudiantes de la asignatura Método Experimental I, que se imparte en la UAM-I, por encargo de su maestro, han diseñado rápidamente un sencillo experimento para medir indirectamente el volumen de un objeto cilíndrico, aplicando para ello la bien conocida ecuación Vcilindro = πR2h = (π/4)D2h.

(9.4.1)

donde R es el radio de la base del cilindro, D su diámetro y h su altura. Su maestro sólo les ha pedido que traten de obtener el valor para ese volumen con la menor incertidumbre posible. Ambos alumnos han concluido correctamente utilizar la expresión que se encuentra al final de las ecuaciones, ya que es más conveniente medir el diámetro del cilindro y su altura directamente. El alumno 1 ha decidido usar su regla de 30 cm, graduada al milímetro (pero ya deformada y con escala poco visible, por el mal uso que le ha dado), para realizar ambas mediciones y cree recordar que el valor de π que le enseñó su maestra de sexto de primaria es 3.14. El alumno 2 se ha percatado de que las dimensiones del cilindro le permiten utilizar un tornillo micrométrico de 6 cm de capacidad y 1 micrómetro de resolución. En su libro de Cálculo ha verificado en uno de los apéndices que el valor de π es 3.14159.

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De las anotaciones que se encuentran en sus respectivas bitácoras, se puede construir la tabla 2, para sus medidas directas. Expresar el valor del volumen del cilindro que puede obtenerse a partir de los datos de la tabla 2. En cada caso, determinar el número de cifras significativas en el valor central del volumen del cilindro y determinar la incertidumbre relativa. ¿Cuál medición es más confiable (de mejor calidad)? Explicar. Alumno (1) (2)

Tabla 2. Valores que los alumnos 1 y 2 utilizaron para su informe de trabajo. Instrumento D h Regla de 30 cm 2.4 cm 4.2 cm Micrómetro de 6cm con (23.973 ± 0.001) mm (42.071 ± 0.001) mm resolución de (1/1000)mm

π 3.14 3.14159

4.a) Cálculos y resultados para el alumno 1. Por las medidas del alumno 1, el valor central para el volumen del cilindro (de acuerdo a la ecuación (9.4.1)) es c

V1 = (3.14/4)(2.40 cm)2(4.20 cm) = 18.99072 cm3

Para calcular la incertidumbre absoluta a partir de las medidas del alumno 1, se usará la expresión (de cálculo simple) ∆V(A) = [(2∆D/cD) + (∆h/ch)](cV)

(9.4.2)

sin considerar incertidumbre en el valor redondeado rπ1. Así, sustituyendo los datos de la tabla 1 (y recordando que la resolución de la regla de 30 cm debería haberse anotado como 0.5 mm) se tiene que ∆V1(A) = [(2(0.05 cm)/2.40 cm) + (0.05 cm/4.20 cm)](18.99072 cm3) = 1.01736 cm3 ≅ ≅ 1.0 cm3 En este momento se analizará si el valor extremadamente redondeado de rπ1 puede contribuir a la propagación de la incertidumbre en el volumen. Así, considerando la incertidumbre en el valor de rπ1, la incertidumbre absoluta en el volumen para los datos del primer alumno debería ser ∆V(B) = [(2∆D/cD) + (∆h/ch) + (∆π/rπ)](cV)

(9.4.3)

Recalculando el valor de la incertidumbre absoluta del cilindro mediante la ecuación (9.4.3), se tiene que ∆V1(B) = [(2(0.05 cm)/2.40 cm) + (0.05 cm/4.20 cm) + (0.005/3.14)](18.99072 cm3) = = 1.0476 cm3 ≅ 1.0 cm3 7

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Es claro que, en este caso, aunque se considere el primer dígito diferente de cero y su dígito siguiente para redondear la incertidumbre (de acuerdo a los apartados (3.A.1) o (3.A.2) del convenio para el redondeo de la incertidumbre absoluta, según el caso), no se aprecia el efecto que el redondeo del valor de π tiene al propagarse sobre la incertidumbre absoluta del volumen del cilindro. Es por ello que r∆V1

= r∆V1(A) = r∆V1(B) = 1.0 cm3

Para redondear el valor central del volumen del cilindro, tomando los datos del alumno 1, se observa que el valor no redondeado es 18.99072 cm3. De acuerdo al redondeo realizado para la incertidumbre absoluta (considerando el primer dígito diferente de cero y su dígito siguiente) no podrán escribirse para el valor central cifras más allá de la décima. El valor central y la incertidumbre absoluta, en este caso, pueden escribirse formalmente como c

V1, = 18.99072 cm3 = 11809-19-20-37-42-5 cm3

y

r∆V1

= 1.0 cm3 = 100-1 cm3.

Así para redondear el valor central hay que usar el apartado (4.A.3), del convenio de redondeo para el valor central porque • •

La incertidumbre absoluta es tal que 1k0(k-1) = 100-1. El valor central es tal que c1c0c-1c-2c-3 c-4c-5 con c(cV1,1) = 1, c(cV1,0) = 8, c(cV1,-1) = 9, c(cV1,-2) = 9, c(cV1,-3) = 0, c(cV1,-4) = 7 y c(cV1,-5) = 2. Por lo tanto c(cV1,-2) = 9 ∈ {5, 6, 7, 8, 9}, c(cV1,-1) = 9 y c(cV1,h) = c(cV1,0) = 8 ∈ {0, 1, 2, ..., 8}con h = k = 0.

Entonces, la parte numérica del valor central redondeado debe escribirse como c1d00-1 con d(cV1,h) = d(cV1,0) = c(cV1,0) + 1 = 8 + 1 = 9; esto es, c1d00-1 = 11900-1 y, por lo tanto c r V1

= 11900-1 cm3 = 19.0 cm3.

Aplicando ahora el apartado (A.8.1) para determinar las cifras significativas y reconociendo que j = 1 y k = 0, debe entonces encontrarse el valor de s. Aplicando el procedimiento iterativo para el valor redondeado se observa que i) para la posición (-1) de < rcV1>, 5(10-2) < 1.0 ii) para la posición (0) de < rcV1>, 5(10-1) < 1.0 iii) para la posición (1) de < rcV1>, 5(100) > 1.0 Por lo que se concluye que s = 1 = j. Por lo tanto, el número de cifras significativas verdaderas en el valor central del volumen del cilindro, tomando los datos del alumno 1, es igual a 1; por lo que las otras 2 cifras sólo son significativas; esto es 8

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ncsv1 = j – s + 1 = 1 – 1 + 1 = 1, ncs1 = s – k + 1 = 1 – 0 + 1 = 2 y ntcs1 = ncsv1 + ncs1 = 3. Finalmente, la incertidumbre relativa redondeada del volumen del cilindro, tomando los datos del alumno 1 y considerando el primer dígito diferente de cero y su dígito siguiente, es c r∆V1/r V1

= 1.0 cm3/19.0 cm3 = 0.05263158 ≅ 0.053

que en forma porcentual queda %r(∆V1/rcV1) = 100%(0.053) = 5.3%. y en forma de partes por millar se expresa como %3(r∆V1/rcV1) = 1000%3(0.053) = 53 ppmil. 4.b) Cálculos y resultados para el alumno 2. Por las medidas del alumno 2, el valor central para el volumen del cilindro (de acuerdo a la ecuación (9.4.1)) es c

V2 = (3.14159/4)(2.3973 cm)2(4.2071 cm) = 18.98965700 cm3

Para calcular la incertidumbre absoluta a partir de las medidas del alumno 2, se usará la expresión (9.4.2) sin considerar la incertidumbre en el valor redondeado rπ2. Así, sustituyendo los datos de la tabla 1 se tiene que ∆V2(A) = [(2(0.0001 cm)/2.3973 cm) + (0.0001 cm/4.2071 cm)](18.98965700 cm3) = = 0.00203563 cm3 ≅ 0.0020 cm3 Antes de continuar, se analizará si el valor redondeado de rπ2 puede contribuir a la propagación de la incertidumbre en el volumen, utilizando para ello la ecuación (9.4.3). Así, sustituyendo los datos de la tabla 1 para el alumno 2, la incertidumbre absoluta en el volumen del cilindro en este caso es ∆V2(B) = [(2(0.0001 cm)/2.3973 cm) + (0.0001 cm/4.2071 cm) + + (0.000005/3.14159)](18.98965700 cm3) = = 0.00206585 cm3 ≅ 0.0021 cm3 Es interesante señalar que en este segundo caso, aunque se considera un valor mucho menos redondeado de π y considerando el convenio para redondear la incertidumbre absoluta (de acuerdo a los apartados (3.A.1) o (3.A.2), según el caso), sí se aprecia el efecto que el redondeo del valor de π tiene al propagarse sobre la incertidumbre absoluta del volumen del cilindro. Es por ello que en este caso se considerará que 9

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r∆V2

= r∆V2(B) = 0.0021 cm3

Así, para redondear el valor central del volumen del cilindro, tomando los datos del alumno 2, se observa que el valor no redondeado es 18.98965700 cm3. De acuerdo al redondeo realizado para la incertidumbre absoluta (considerando el primer dígito diferente de cero y su dígito siguiente) no podrán escribirse para el valor central cifras más allá de la diezmilésima. El valor central y la incertidumbre absoluta, en este caso, pueden escribirse en forma desarrollada como c

V2, = [1(101) + 8(100) + 9(10-1) + 8(10-2) + 9(10-3) + 6(10-4) + 5(10-5) + 7(10-6)] cm3 y r∆V2 = [2(10-3) + 1(10-4)] cm3.

Así en este caso hay que usar el apartado (4.A.2), del convenio de redondeo para el valor central, porque en la posición absoluta (–5) el dígito es igual a 5 y en la posición absoluta (-4) hay un dígito menor de 9. Por lo tanto c r V2

= 18.9897 cm3.

Aplicando ahora el apartado (A.8.1) para determinar las cifras significativas (y reconociendo que j = 1 y (k-1) = -4), debe entonces encontrarse el valor de s. Aplicando el procedimiento iterativo para el valor redondeado se observa que i) para la posición (-4) de < rcV2>, 5(10-5) < 2.1(10-3) ii) para la posición (-3) de < rcV2>, 5(10-4) < 2.1(10-3) iii) para la posición (-2) de < rcV2>, 5(10-3) > 2.1(10-3) Por lo que se concluye que el número de cifras significativas verdaderas comienza en la posición –2 y termina en la posición 1 (esto es, s = -2). Por lo tanto, el número de cifras significativas verdaderas en el valor central del volumen del cilindro, tomando los datos del alumno 2, es igual a 4; por lo que las otras 2 cifras sólo son significativas; esto es ncsv2 = j – s + 1 = 1 – (-2) + 1 = 4, ncs2 = s – k + 1 = -2 – (-3) + 1 = 2 y ntcs2 = ncsv2 + ncs2 = 6. Finalmente, la incertidumbre relativa redondeada del volumen del cilindro, tomando los datos del alumno 2 y considerando el primer dígito diferente de cero y sus dos dígitos siguientes, es c r∆V1/r V1

= 0.0021 cm3/18.9897 cm3 = 0.00011059 ≅ 0.000111 10

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que en forma de partes por millar queda %3(r∆V1/rcV1) = 1000%3(0.000111) = 0.111 ppmil y en forma de partes por millón se expresa como %6(r∆V1/rcV1) = 106%6(0.000111) = 111 ppm. En la tabla 3 se presentan los resultados de los cálculos anteriores, con el fin de facilitar la comparación. En primer lugar hay que señalar que las mediciones son compatibles porque el intervalo obtenido a partir de los datos del alumno 1 abarca completamente el intervalo obtenido a partir de los datos del alumno 2. Sin embargo, la incertidumbre relativa muestra claramente que el volumen obtenido a partir de los datos del alumno 2 son mucho más confiables o de mayor calidad, porque su incertidumbre relativa es mucho más pequeña (mejora casi quinientas veces la del alumno 1). Tabla 3. Valores del volumen del cilindro obtenido a partir de los datos de los alumnos 1 y 2. Alumno Valor central Incertidumbre Incertidumbre Incertidumbre relativa redondeado /cm3 absoluta /cm3 relativa amplificada /ppmil (1) 19.1 1.0 0.053 53 18.9897 0.0021 0.000111 0.111 (2)

Ejemplo 5. Dos resistencias o resistores eléctricos R1 y R2 pueden conectarse en serie o en paralelo a una pila, según se muestra en la figura 1.

a

b

Figura 1. Representaciones esquemáticas de circuitos eléctricos conectados a una pila (E). a) Circuito en paralelo. b) Circuito en serie. Para un circuito en serie, la resistencia equivalente es igual a sRe = R1 + R2, en tanto que para un circuito en paralelo, el recíproco de la resistencia equivalente en paralelo es igual a 1 1 1 . = + R1 R 2 p Re

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Si se tienen una resistencia R1 = 1300 Ω ± 5% y otra R2 = 19875 Ω ± 1.2%. a) ¿Cuántas cifras significativas verdaderas hay en al valor de las resistencias R1 y R2? b) Encontrar las expresiones de las incertidumbres absoluta, relativa y porcentual para las resistencias equivalentes sRe y pRe asociadas a cada circuito, como función de las resistencias componentes del circuito R1 y R2. c) Expresar los valores de las resistencias equivalentes redondeando correctamente las cifras, con sus unidades y sus incertidumbres absoluta, relativa y porcentual respectivas d) ¿Cuántas cifras significativas verdaderas hay en los valores de las resistencias sRe y pRe? 5.a) Respuestas. a) Como sólo se conocen los valores de las tolerancias (que se considerarán iguales a los valores de las incertidumbres porcentuales) para las resistencias 1 y 2, es necesario primero obtener los valores de sus incertidumbres absolutas. Entonces, para la resistencia 1 ∆R1 = (1300Ω)0.05 = 65Ω ≅ 65Ω

∆R2 = (19875Ω)0.012 = 238.15Ω ≅ 240Ω

y

Por lo tanto, los valores centrales de ambas resistencias se redondean como R1 = 1300Ω ≅ 1300Ω = rcR1 y

R2 = 19875Ω ≅ 19880Ω = rcR2

c

c

Contando las cifras significativas verdaderas en la resistencia 1 se tiene i) para la posición (0) de < rcR1>, 5(10-1) < 65 ii) para la posición (1) de < rcR1>, 5(100) < 65 iii) para la posición (2) de < rcR1>, 5(101) < 65 iv) para la posición (3) de < rcR1>, 5(102) > 65 Así, para el valor de R1 sólo hay 1 cifra significativa verdadera, en tanto que las 3 restantes sólo son significativas, de las 4 cifras significativas totales. Contando las cifras significativas verdaderas en la resistencia 2 se tiene i) para la posición (0) de < rcR2>, 5(10-1) < 240 ii) para la posición (1) de < rcR2>, 5(100) < 240 iii) para la posición (2) de < rcR2>, 5(101) < 240 iv) para la posición (3) de < rcR2>, 5(102) > 240 Por lo tanto, para el valor de R2 hay 2 cifras significativas verdaderas, en tanto que las 3 restantes sólo son significativas, de las 5 cifras significativas totales.

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b) Ya que la resistencia equivalente del circuito en serie es una suma de las resistencias 1 y 2, su expresión de incertidumbre absoluta es ∆sRe = ∆R1 + ∆R2

(9.5.1)

en tanto que para la resistencia equivalente en paralelo, identificando la incertidumbre absoluta con la diferencial total en donde las derivadas parciales se toman en valor absoluto y evaluadas en los valores centrales de las medidas, la expresión queda

⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎟ = ∆⎜ 1 ⎟ + ∆⎜ 1 ∆⎜ ⎜R ⎜R ⎟ ⎜ R ⎟ ⎝ 2 ⎝ 1⎠ ⎝ p e⎠

⎞ ∆R1 ∆R 2 ⎟⎟ = c 2 + c 2 R1 R2 ⎠

(9.5.2)

y como para cualquier recíproco se demuestra que

⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ∆R ∆⎜ ⎟ = c 2 ⇒ ∆R = c R 2 ∆⎜ ⎟ R ⎝R⎠ ⎝R⎠

(9.5.3)

la expresión de la incertidumbre absoluta de la resistencia equivalente en paralelo es ⎛ 1 ⎞ c 2 ⎛ ∆R1 ∆R 2 ⎞ ⎟= R ⎜ ⎟ + ∆ ( p Re )= pc R e2 ∆⎜ ⎜ R ⎟ p e ⎜ cR2 cR2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝ p e⎠

(9.5.4)

⎛ c R cR Re = ⎜⎜ c 1 c 2 ⎝ R1 + R 2

(9.5.5)

siendo c p

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Las expresiones de incertidumbre relativa y porcentual, para las resistencias equivalentes quedan entonces, para el circuito en serie ∆ s Re c s

Re

=

∆R1 + ∆R 2 c

y

R1 + R 2 c

%

∆ s Re c s

Re

⎛ ∆R + ∆R = (100% )⎜⎜ c 1 c 2 ⎝ R1 + R 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(9.5.6)

y , a partir de la ecuación (9.5.4), para el circuito en paralelo ∆ ( p Re ) c ⎛ ∆R1 ∆R 2 = p Re ⎜⎜ c 2 + c 2 c R2 p Re ⎝ R1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

y

%

∆( p Re ) c p

Re

⎛ ∆R ∆R = (100% ) pc Re ⎜⎜ c 12 + c 22 R2 ⎝ R1

(

)

⎞ ⎟ (9.5.7) ⎟ ⎠

c) Realizando los cálculos correspondientes a los valores centrales de las resistencias equivalente, tomando los valores no redondeados por estar realizando cálculos intermedios, se tiene para la resistencia equivalente del circuito en serie, c sRe

= cR1 + cR2 = 1300Ω + 19875Ω = 21175Ω 13

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y para la resistencia equivalente del circuito en paralelo, de acuerdo a la ecuación (9.5.5) c pRe

= [(1300Ω)19875Ω]/(1300Ω + 19875Ω) = 1220.188902Ω

En tanto que las incertidumbres absolutas quedan, para la resistencia equivalente del circuito en serie y de acuerdo a la ecuación (9.5.1) y los valores calculados en el inciso (a) ∆sRe = 65Ω + 240Ω = 305Ω = 30.5(10)Ω ≅ 31(10)Ω = 310Ω = r∆sRe y para la resistencia equivalente del circuito en paralelo, de acuerdo a la ecuación (9.5.4) y los valores calculados anteriormente, ∆pRe = [1220.188902Ω]2{(65Ω)/[(1330Ω)2] + (240Ω)/[(19875Ω)2]} = 55.61427381Ω ≅ ≅ 56Ω = r∆pRe Redondeando adecuadamente los valores de incertidumbre absoluta y central en cada caso, es posible escribir las expresiones sRe

= (2118 ± 31)10Ω =(21180 ± 310)Ω

y

pRe

= (1220 ± 56)Ω

Considerando los valores de incertidumbre absoluta y central redondeados, es posible obtener entonces las incertidumbres relativa y porcentual, de manera que c r∆(sRe)/(r sRe)

= (310Ω)/(21180Ω) = 0.01463645 ≅ 0.015 y

%[ r∆(sRe)/(rcsRe)] = 1.5%

= (56Ω)/(1220Ω) = 0.04590164 ≅ 0.046

%[ r∆(pRe)/(rcpRe)] = 4.6%

y c r∆(pRe)/(r pRe)

y

d) Tomando entonces los valores redondeados, es posible contar el número de cifras significativas verdaderas. Por lo tanto, para la resistencia equivalente central, del circuito en serie i) para la posición (0) de < rcsRe>, 5(10-1) < 310 ii) para la posición (1) de < rcsRe>, 5(100) < 310 iii) para la posición (2) de < rcsRe>, 5(101) < 310 iv) para la posición (3) de < rcsRe>, 5(102) > 310 Así, para el valor de csRe hay 2 cifras significativas verdaderas, en tanto que las 3 restantes sólo son significativas, de las 5 cifras significativas totales. Contando las cifras significativas verdaderas para la resistencia equivalente central del circuito en paralelo 14

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i) para la posición (0) de < rcpRe>, 5(10-1) < 56 ii) para la posición (1) de < rcpRe>, 5(100) < 56 iii) para la posición (2) de < rcpRe>, 5(101) < 56 iv) para la posición (3) de < rcpRe>, 5(102) > 56 De esta forma, para el valor de cpRe sólo hay 1 cifra significativa verdadera, en tanto que las 3 restantes sólo son significativas, de las 4 cifras significativas totales.

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