Método Experimental

CIFRAS SIGNIFICATIVAS LAS MEDIDAS Y SU CORRECTA EXPRESIÓN María de los Dolores Ayala Velázquez Departamento de Física, División de CBI INDICE La medida y su representación ................................................................................................2 Forma correcta de expresar la incertidumbre...........................................................................2 Comprobación de la comprensión y manejo de la incertidumbre .........................................3 Proceso para determinar el número correcto de dígitos en la medida.....................................3 Expresión correcta de las medidas con su incertidumbre ........................................................4 Comprobación de la comprensión y manejo de las medidas con incertidumbre..................4 Número de cifras significativas.................................................................................................4 FORMAS ALTERNATIVAS DE EXPRESAR LA INCERTIDUMBRE ..........................................................5 •

Como fracción decimal entre 0 y 1 ..............................................................................5

Aplicación de la notación científica al escribir las medidas ..................................................6 •

Redondeada a un dígito ...............................................................................................6

Calidad de la medición .............................................................................................................7 Reglas para determinar las Cifras Significativas ......................................................................8 Cifras Significativas Verdaderas...............................................................................................9 NÚMEROS MUY GRANDES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA ......................................................................9 Expresión correcta resultados en cálculos numéricos ...........................................................10 Ejercicios.............................................................................................................................10 Regla para multiplicar y dividir ............................................................................................11 Números exactos....................................................................................................................11 Expresión correcta de Datos Numéricos ................................................................................12 Expresión correcta de las Medidas con Incertidumbre...........................................................13 Ejercicios comprobación manejo conceptos.......................................................................14 Manejo correcto de las cifras significativas en los cálculos....................................................15 Comprobación de la comprensión y manejo de la incertidumbre .......................................15

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LA MEDIDA Y SU REPRESENTACIÓN Para escribir correctamente el resultado de cualquier medida conviene poner atención a tres aspectos importantes: 1. La forma correcta de expresar la incertidumbre 2. El significado de la incertidumbre en la medida 3. El número de dígitos relevantes de la cantidad medida

FORMA CORRECTA DE EXPRESAR LA INCERTIDUMBRE Como la incertidumbre representa el intervalo en el que sabemos se encuentra el valor que medimos, podemos afirmar que si alguien repite la medición, encontrará un valor compatible con el obtenido por nosotros acotado por los límites que marca la incertidumbre estimada. Por ejemplo, la medida 12.5 ± 0.5 cm, se puede representar en la recta numérica en la forma:

[− − − − − − − − − − − −12.5cm − − − − − − − − − −] 12.0cm 13.0cm que nos facilita observar cómo la medida está acotada por los valores 12 y 13 cm, que marcan los extremos del intervalo. Se recomienda representar el intervalo que define la incertidumbre con no más de dos dígitos distintos de cero y de preferencia como una magnitud acotada entre 0 y 1, para lo cual se recomienda emplear la notación científica. Si en el cálculo de la propagación de incertidumbre, obtenemos un valor de la incertidumbre Δx = 0.004291845 u, debemos redondearlo de manera que nos queden sólo 2 dígitos diferentes de cero: Δx = 0.0043 u. La u representa las unidades correspondientes, ya que la incertidumbre absoluta siempre se expresa con unidades.

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Comprobación de la comprensión y manejo de la incertidumbre En la primera columna de la tabla 1 observamos valores de mediciones indirectas de diferentes magnitudes con la correspondiente estimación de su incertidumbre. Escribe en la tercera columna, las incertidumbres absolutas en su forma correcta. Cantidad Valor medido X1 = 85424 u1

Incertidumbre Calculada

Forma correcta

Expresión correcta medida Xi ± ΔXi ui

ΔX1 = 43.842561 u1

X2 = 695.25 u2 ΔX2 = 0.943675 u2 X3 = 7.453 u3

ΔX3 = 0.0503425 u3

X4 = 34.69 u4

ΔX4 = 1.4593524 u4

X5 = 25.345 u5 ΔX5 = 0.00456348 u5 X6 = 1.2463 u6 ΔX5 = 0.0021974 u6 Tabla 1. Mediciones indirectas de diferentes magnitudes ¿Cómo te fue? Si tuviste alguna dificultad, vuelve a leer con atención la página anterior y busca información complementaria. Si ya sabes cómo escribir la incertidumbre correctamente, podemos continuar.

PROCESO PARA DETERMINAR EL NÚMERO CORRECTO DE DÍGITOS EN LA MEDIDA La incertidumbre marca un límite en el conocimiento del valor medido y por consiguiente, en el número máximo de dígitos con el que debemos expresarlo. Así que una vez escrita correctamente la incertidumbre, sabemos que no tiene sentido expresar la medición con un número de dígitos que excedan el valor de la incertidumbre, así que, por ejemplo, para el primer dato de la tabla 1, como el valor correcto de la incertidumbre es 44 u1, entonces, el valor correcto de la medida es X1 = 85424 ± 44 u1.

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EXPRESIÓN CORRECTA DE LAS MEDIDAS CON SU INCERTIDUMBRE Nos conviene representar toda cantidad medida con un número de dígitos tal que le podamos sumar y restar la incertidumbre: X ± ΔX ux. La medida de la longitud expresada en la forma d ± Δd = 23.863 ± 0.022 m satisface la recomendación de que el número de dígitos de la incertidumbre no sea mayor que 2 y que la magnitud medida se escriba hasta los dígitos a los que se les puede sumar y restar la incertidumbre. La cantidad así expresada, indica que para medir una longitud cercana a 24 m, se tuvo una incertidumbre de 2.2 cm, de manera que podemos escribir la longitud hasta las milésimas de metro que nos marca la incertidumbre. En general, esa es la forma correcta de expresar las cantidades medidas. Sin embargo, aunque expresamos la longitud con 5 dígitos, no todos son significativos ya que la incertidumbre afecta a algunos de estos dígitos. Comprobación de la comprensión y manejo de las medidas con incertidumbre Completa la columna seis de la tabla 1, escribiendo los valores correctos de las medidas Xi ± ΔXi ui , verifica que hayas seguido las reglas para su correcta escritura.

NÚMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS El número de cifras significativas es el número de dígitos que no cambia con la incertidumbre en la medida al sumarle o restarle la incertidumbre. Así que para determinar el número de cifras significativas de una cantidad medida, necesitamos sumarle y restarle su incertidumbre y contar el número de dígitos que permanecen sin cambio. Ejemplo. En la tabla 2 están el valor central, el máximo y el mínimo de la longitud d (m). Observamos que en los tres casos, la cantidad 23.8 no cambia; de modo que las cifras que ocupan la posición de las decenas, unidades y décimas son los dígitos significativos y el número de cifras significativas es 3, porque son tres los dígitos que no cambian.

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Medición valor central

valor máximo

valor mínimo

Cifras significativas

23.863 m

23.885 m

23.841 m

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Tabla 2. Valores central, máximo y mínimo de una medición en los que se observan los dígitos que no cambian, que determinan el número de cifras significativas.

Número de cifras significativas: Los dígitos que no cambian al sumar y restarle la incertidumbre a la medida, contados de izquierda a derecha El número de cifras significativas se obtiene contando los números de los que estamos seguros porque no cambian con la incertidumbre. Entonces, para reconocer el número de cifras significativas necesitamos identificar en qué posición decimal se ubica la incertidumbre y cómo afecta a los dígitos correspondientes de la medición.

FORMAS ALTERNATIVAS DE EXPRESAR LA INCERTIDUMBRE •

Como fracción decimal entre 0 y 1

Regresemos a la forma correcta de representar la incertidumbre. Mencionamos que conviene escribir la incertidumbre como un número entre 0 y 1, es decir, como una fracción decimal. En los ejemplos de la tabla 1 hay dos datos con incertidumbre mayor que la unidad y vamos a escribirlos usando notación científica, como una fracción decimal en la forma: X1 ± ΔX1 u1 = 85424 ± 44 u1 = (854.24 ± 0.44) x 10 2 u1 y X4 ± ΔX4 u4 = 34.7 ± 1.5 u4 = 34.7 ± (0.15) x 10 1 u4 No está de más recordar que el signo ± implica que para poder sumar o restar la incertidumbre a la cantidad medida, ambas deben tener las mismas unidades, por lo

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que no es necesario poner un paréntesis que las contenga antes de las unidades, ya que se trata de la incertidumbre absoluta. Sin embargo en estos ejemplos, el paréntesis es necesario y no se puede omitir.

Aplicación de la notación científica al escribir las medidas Aplica el mismo tratamiento a los datos de la tabla 3: Cantidad medida

Expresión correcta equivalente

No. cifras significativas

395481 ± 98 u1

(3954.81 ± 0.98) x 10 2 u1

3

54890 ± 25.4 u2

(548.90 ± 0.25) x 10 2 u2

2

758.4 ± 12.5 u3 364.8 ± 5.4 u4 946425 ± 389 u6 Tabla 3. Ejercicios para expresar la incertidumbre como una fracción decimal •

Redondeada a un dígito

También podemos redondear la incertidumbre y escribir: X1 ± ΔX1 = 395481 ± 98 u1 = 395500 ± 100 u1 = (39.55 ± 0.01) x 10 4 u1 X2 ± ΔX2 = 54890 ± 25 u2 = 54890 ± 30 u2 = (548.9 ± 0.3) x 10 2 u2

Completa la tabla siguiente con los valores redondeados correspondientes Cantidad medida

Valor redondeado

395481 ± 98 u1 (39.55 ± 0.01) x 10 4 u1 54890 ± 25 u2

(548.9 ± 0.3) x 10 2 u2

No. cifras significativas 3 2

758 ± 12 u3 364.8 ± 5.4 u4 9464 ± 38 u6 Tabla 4. Redondeo de las magnitudes medidas conservando sólo un dígito en la incertidumbre

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Ahora ya tenemos una idea más clara de la forma correcta de expresar las medidas y podemos continuar con la consideración de las cifras significativas. Podemos preguntarnos si el redondeo afecta el número de cifras significativas de las cantidades medidas y obtener la respuesta comparando la última columna de las tablas 3 y 4.

CALIDAD DE LA MEDICIÓN Las cifras significativas de una medición son el número de dígitos que no se ven afectados por la incertidumbre. La medición 10.3 ± 0.1 g tiene dos cifras significativas que forman el diez. El 3 de la fracción decimal es importante porque a ese dígito es al que se le agrega o resta la incertidumbre. Si la medición de la masa se reporta como 10.3107 ± 0.0001g, el número de cifras significativas de la magnitud medida es cinco. Comparando ambos resultados, observamos que, cuando se trata de medidas de la misma propiedad de un objeto, realizadas con instrumentos diferentes, el número de cifras significativas también refleja la calidad de la medición. Indicamos la precisión o repetibilidad de algunas mediciones de masa al escribir su valor central como: 10.3 ± 0.1 g o bien como 10.3107 ± 0.0001 g. Encontraremos este tipo de notación en los cuadernos de laboratorio y en los informes o reportes científicos y en revistas especializadas. Para realizar cálculos numéricos debemos realizar las operaciones aritméticas normales con las cantidades medidas y calcular por separado la propagación de las incertidumbres correspondiente. Nos interesa conocer qué ocurre con las cifras significativas de las mediciones indirectas que resultan al realizar operaciones aritméticas con las cantidades medidas.

Existe una convención que nos puede ayudar y que consiste en suponer que cuando un número se escribe sin poner explícitamente su incertidumbre, todos los dígitos que preceden al último, se conocen con exactitud y que hay una incertidumbre de alrededor de una unidad en el último dígito mostrado. Si aplicamos esta regla a los valores de la masa, podemos decir que el valor 10.3 está entre 10.2 y 10.4, mientras que el valor 10.3107

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Cuando designamos el número de cifras significativas en una cantidad medida, indicamos nuestra confianza en la medición. Mientras mayor sea el número de dígitos, menor será la incertidumbre (y mayor la precisión-repetibilidad) de la medida.

REGLAS PARA DETERMINAR LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS Hay algunas reglas que debemos usar para establecer cuántas cifras significativas tiene un número. Todos los dígitos diferentes de cero son significativos. Ejemplos: 4.006, 12.012, 10.010 Los ceros colocados entre dígitos significativos (llamados ceros internos) son significativos. Ejemplos:

4.006, 12.012, 10.07

Los ceros al final de un número y a la derecha del punto decimal son significativos. Ejemplo:

10.070

Los ceros que aparecen al final de un número y a la izquierda de un supuesto punto decimal, pueden o no ser significativos Ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero no

son significativos,

solamente localizan el punto decimal. Ejemplo: 0.00002 y .00002 dos números que representan la misma cantidad excepto que el primero tiene un cero a la izquierda del punto decimal con lo que mejora la apariencia del número escrito pero no es significativo y todos los ceros a la derecha del punto decimal sólo indican el orden de magnitud de la cantidad, que puede escribirse como 2 x 10-5, con sus respectivas unidades.

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS VERDADERAS Si para establecer el número de cifras significativas en 4.006 y 12.012 usamos las reglas 1 y 2, encontraremos cuatro dígitos significativos pero al incorporar el hecho de que la incertidumbre está en el último dígito que se escribe, nos quedamos con solo tres cifras significativas, que podemos llamar verdaderas. Para determinar el número de dígitos significativos en 10.070 usamos las reglas 1, 2 y 3 y obtenemos cinco cifras de las cuales cuatro son cifras significativas verdaderas. Según las reglas 1 y 5 en el número 0.00002 hay sólo una cifra significativa. Y de acuerdo a las reglas 1, 3 y 5 en el número 0.000020 hay dos cifras significativas. Para ilustrar la regla 4, consideremos el número 750 que presenta dos posibilidades: significa

750 ± 10,

con dos cifras significas y una significativa verdadera,

o significa

750 ± 1,

que

tendría

tres

cifras

significativas

y

dos

significativas verdaderas. Para resolver esta ambigüedad se acostumbra escribir 750 cuando el cero sólo da el orden de magnitud y el número tiene 2 cifras significativas. En cambio, cuando el cero es también un dígito significativo medido, se escribe 750. y así se indica que el número tiene las 3 cifras. El uso del punto decimal nos ayuda a significar que todos los dígitos a su izquierda son significativos

NÚMEROS MUY GRANDES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA El procedimiento anterior no es suficiente para un número como 20,000 en el que el número de cifras significativas puede estar en cualquier lugar entre 1 a 5. La mejor manera de resolver esta dificultad es usar la notación exponencial con la que la precisión de un número está contenida en el coeficiente y la potencia de 10 sólo localiza el punto decimal. Así podemos recuperar el uso del punto decimal y permitir 9

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que los ceros a la derecha del punto decimal representen a dígitos significativos. En la tabla No. cifras significativas Notación científica 4

Una

2 x 10

Dos

2.0 x 10

4

No. cifras significativas

Notación científica

Cuatro

2.000 x 10

Cinco

2.0000 x 10

4 4

Tres 2.00 x 10 4 Seis 2.000000 x 104 Tabla 5. Representación de magnitudes con diferente número de cifras significativas

EXPRESIÓN CORRECTA RESULTADOS EN CÁLCULOS NUMÉRICOS Hay formas de aumentar la precisión de un resultado repitiendo las medidas y con el manejo adecuado de los datos. Sin embargo, una vez que se han establecido los mejores valores de las cantidades medidas, la precisión no puede ganarse ni perderse durante las operaciones aritméticas. Podemos satisfacer bien este requerimiento, siguiendo algunas reglas simples: 1. El resultado de una multiplicación o una división no puede tener más cifras significativas que la cantidad menos precisa conocida en el cálculo. Ejemplo: Consideremos el producto de tres cantidades, dos con 4 y una con 3 dígitos significativos 14.79 x 12.11 x 5.05 = 904.48985 = 904 = 9.04 x 10 2 Así que el resultado de la multiplicación debe redondearse a 3 cifras significativas. Ejercicios Completar los siguientes ejemplos escribiendo correctamente los resultados: 25.15 x 329.14 x 12.9 = 774.25 x 4925.1 x 74 = 84270 x 36.24 / 15.3 =

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2. Al sumar o restar el resultado debe expresarse con el mismo número de decimales que el término que tiene en menor número de decimales. Ejemplos de sumas. 15.02 9,986.0 _____3.518 10,004.538

85,424. 6,391.1 48.54 ____9.324 91,872.964

5.241 0.4975 53.41 _872.1___ 931.2485

La expresión correcta de estos resultados es: 10,004.5

91,873

931.2

porque en el primer caso, la suma 10,004.5 tiene la misma incertidumbre ± 0.1 que el término con menor número de decimales, el 9,986.0. Nótese que la suma tiene más cifras significativas (6) que cualquiera de sus sumandos. En el segundo caso, 91,873 es compatible con el 85,424 sin decimales y le podemos asociar una incertidumbre de ± 1. En el tercero, 931.2 tiene sólo un decimal como el cuarto sumando 872.1 y le podemos asociar ± 0.1 de incertidumbre. El cálculo tampoco está limitado por el término menos preciso. Regla para multiplicar y dividir La regla para la multiplicación y la división considera que el resultado debe tener aproximadamente el mismo error porcentual que la cantidad conocida con menos precisión. Usualmente la regla de las cifras significativas cumple esta condición, pero hay veces que no es así.

NÚMEROS EXACTOS Hay situaciones en las que un número puede ser exacto: Por definición, por ejemplo:

3 pies = 1 yarda;

1 pulgada = 2.54 cm

Como resultado de contar un número pequeño de elementos (ejemplos: 6 caras de un cubo; dos átomos de hidrógeno en una molécula de agua)

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Se considera que los números exactos tienen un número ilimitado de cifras significativas.

EXPRESIÓN CORRECTA DE DATOS NUMÉRICOS Sabemos que para dar el resultado de una medición, es necesario incluir siempre la incertidumbre estimada en la medida. Por ejemplo, el ancho de una tabla debe escribirse como (a ± Δa) = 23.2 ± 0.1 cm. Recordamos que el ± 0.1 cm representa la incertidumbre estimada en la medición, de manera que es muy probable que el ancho verdadero se localice entre 23.1 y 23.3 cm. La incertidumbre relativa es, en este caso, (Δa / a ) = ( 0.1 cm) / 23.2 cm = 0.004 y la incertidumbre porcentual = (Δa / a ) 100 % = 0.4% Cuando no se especifica explícitamente la incertidumbre en el valor medido, en algunas

ocasiones

se

acepta

la

convención

de

que

la

incertidumbre

es

aproximadamente: 1. una o dos unidades en el último dígito especificado; 2. la mitad del último dígito representado. Por ejemplo, si escribiera el ancho de la tabla sólo como 23.2 cm, siguiendo 1) la expresión

23.2 ± 0.1 cm para el ancho de la tabla es la correcta. En cambio, si

usamos 2) tendríamos que escribir (a ± Δa) = 23.2 ± 0.05 cm y el valor se encontraría entre 23.15 y 23.25. Y en el primer caso estamos considerando una incertidumbre porcentual del 0.4%

mientras que en el segundo, se trata sólo del 0.2%. Aquí

recomendamos usar el primer caso.

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EXPRESIÓN CORRECTA DE LAS MEDIDAS CON INCERTIDUMBRE La forma de escribir el valor medido está siempre asociada a la incertidumbre estimada. Como las medidas dependen de la capacidad de resolución del instrumento de medición empleado, si escribo el ancho de la tabla como 23.20 cm debo aplicar el criterio 1), ya que la magnitud del ancho tiene dos decimales, su incertidumbre estimada necesariamente debe ser mayor o al menos igual que 0.01 cm. Entonces, el valor que buscamos está entre 23.19 y 23.21 cm, en lugar de estar entre 23.1 cm y 23.3 cm, donde se encontraba en el caso anterior de un cálculo sin conocer la incertidumbre.

Al número de dígitos de los que estamos seguros en una medida, se le llama el número de cifras significativas de la medida. En el ejemplo anterior para el ancho (a ± Δa) = 23.2 ± 0.1 cm, esta longitud está expresada con tres dígitos, pero como su incertidumbre está en las décimas, este último dígito ya no es significativo. En cambio, en el caso de la medición, cuando expresamos el ancho como 23.20 ± 0.01 cm tenemos 3 dígitos significativos, porque su incertidumbre se localiza en las centésimas. Aunque pensemos que dando muchos dígitos puede ser más creíble un resultado, en realidad, el dejar dígitos no significativos en las magnitudes medidas, indica el desconocimiento del efecto de la incertidumbre en la forma correcta de expresar cualquier valor medido. Ya sabemos que la incertidumbre determina el número de dígitos significativos de cualquier magnitud medida. Para saber con cuántos dígitos debemos escribir la incertidumbre, necesitamos saber cómo expresarla en los casos en que sea muy grande o muy pequeña en los que se recomienda usar la notación científica para expresar su magnitud Δx acotada entre 0 y 1, 0 ≤ Δx ≤ 1. Así la incertidumbre puede ser Δx ⋅105 o bien Δx ⋅10-8, o simplemente Δx, con las unidades correspondientes asociadas a la medida, cuya incertidumbre absoluta estamos escribiendo. Ahora recodemos con cuántos dígitos debemos escribir Δx.

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La forma correcta de expresar la incertidumbre es con uno o cuando más dos dígitos distintos de cero, siempre en concordancia con la medición. Veamos algunos ejemplos: 25.43 ± .02 m, 4768 ± 25 l,

12.4 ± .1 ml,

435.184 ± .024 J,

79465.3 ± 2.1 kg

(5.45 ± .03) ⋅1016 N

2.4658 ± .33 ⋅10-2

La incertidumbre experimental determina el número de dígitos significativos de las magnitudes medidas. Las cifras significativas verdaderas son aquellas que no son afectadas por la incertidumbre, a excepción de los ceros que se incluyen sólo con el fin de localizar el punto decimal. Esta definición puede ilustrarse con algunos ejemplos de la tabla: Valor medido

Número de cifras significativas

Observaciones

2.5 ± 0.4

1

Implica 20 % de incertidumbre

2.05 ± 0.04

2

2 % de incertidumbre

2.005 ± 0.004

3

0.2 % de incertidumbre

2.00 ± 0.05

1

2.5 % de incertidumbre

0.136± 0.004 0.135± 0.004 2.483 x 103 310 ± 1 (3.10 ± 0.01 )x 102 3.1 x 102

Ejercicios comprobación manejo conceptos Completar la tabla considerando el número de cifras significativas correctamente. Una medición y su error experimental deben tener sus últimos dígitos en la misma posición (relativa al punto decimal). Por ejemplo,

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54.1 ± 0.1,

121 ± 4,

8.764 ± 0.002

(7.63 ± 0.10) x

y

103.

MANEJO CORRECTO DE LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN LOS CÁLCULOS El número correcto de cifras significativas con el que debe expresarse el resultado de un cálculo se obtiene vía el análisis de incertidumbres. Sin embargo, el análisis de los errores toma tiempo, y con frecuencia en la práctica en el laboratorio se pospone. En tal situación debemos retener un número suficiente pero no excesivo de cifras para evitar que error de redondeo aumente la incertidumbre. Veamos unos ejemplos: Si escribimos el producto

0.91 x 1.23 = 1.1

introducimos un error, ya que los números 0.91 y 1.23 se conocen al 1%, mientras que el resultado 1.1 está definido al 10%, de modo que su exactitud se ha reducido por casi un factor de 10, por el redondeo. Usualmente un factor de 10 en exactitud es importante y caro, y no debe desperdiciarse por un análisis descuidado de los datos. El resultado correcto puede escribirse como: 0.91 x 1.23 = 1.12 0.91 x 1.23 = 1.119 (menos bueno, pero todavía aceptable) Pero conviene evitar escribir

0.91 x 1.23 = 1.1193,

porque los dígitos

adicionales no son significativos y contiene la implicación incorrecta de un resultado con absurda exactitud. Comprobación de la comprensión y manejo de la incertidumbre Realizar las siguientes operaciones: 2.6 km x 31.7 km,

5.3 N ÷ 748 m,

55.32 m x 3.82 cm

4536 N / 28 m2 y

(154.3 ± 0.2) N / (47.5 ± 0.8 ) s,

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Suma:

20.8 + 18.72 + 0.851 cm,

10.18 + 1.4693 + 1.062 s,

2345 mm + 5.43 m + 0.354 km + 24.56 cm Resta:

51.4 - 1.67 J,

7146 - 12.8 W

Redondea adecuadamente la respuesta en cada caso Ten cuidado en expresar los resultados siguiendo las recomendaciones antes descritas.

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