2.- Estudio Poblacional y Muestral Univariante

2.- Estudio Poblacional y Muestral Univariante Población: Colectivo de personas o elementos con una característica común, objeto de estudio. Imposibil

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2.- Estudio Poblacional y Muestral Univariante Población: Colectivo de personas o elementos con una característica común, objeto de estudio. Imposibilidad de estudio de esta característica en toda la población - Coste económico - Destrucción - Tamaño de la población

Muestra: Subconjunto de la población La muestra da un conocimiento parcial de la población y debe elegirse con cuidado de forma que represente adecuadamente la población en estudio. La Estadística Descriptiva tiene como principal objetivo resumir y presentar de forma sencilla los resultados obtenidos en la muestra. La presentación se hace mediante tablas numéricas y gráficos. - Tamaño muestral: nº de individuos u objetos bajo observación. - Censo: El tamaño muestral coincide con el poblacional

Variable: Es la característica a estudiar. - Variable cualitativa: Referente a atributos o categorías o Puras o Ordinales o Procedentes de v. Numéricas - Variable cuantitativa: Toma valores numéricos o Discretas o Continuas

1

Tablas estadísticas Tabla de distribución de frecuencias. - n tamaño muestral o nº de observaciones - Variables categóricas o Frecuencia absoluta: ni nº de observaciones en la categoría i Suma de frecuencias absolutas: n o Frecuencia relativa: ni /n Suma de frecuencias relativas: 1 Variable: Estudiaste estadística en Bachiller Número de observaciones: 59 Número de categorias: 2 Tabla de distribución de Frecuencias

---------------------------------------------------------------Frecuencia Frecuencia Frecuencia Clase Valor Frecuencia relativa acumulada relativa acum. ---------------------------------------------------------------1 no 56 0.9492 56 0.9492 2 si 3 0.0508 59 1.0000 ----------------------------------------------------------------

Tabla de frecuencias de sexo por cómo _ vienes

filas 1 2 3 4 5 Total -----------------------------------------------------------------h | 10 | 1 | 1 | 5 | 1 |18 | 16,95% | 1,69% | 1,69% | 8,47% | 1,69% |30,51% | 55,56% | 5,56% | 5,56% | 27,78% | 5,56% | | 27,03% | 100,00% | 25,00% | 33,33% | 50,00% | -----------------------------------------------------------------m | 27 | 0 | 3 | 10 | 1 |41 | 45,76% | 0,00% | 5,08% | 16,95% | 1,69% |69,49% | 65,85% | 0,00% | 7,32% | 24,39% | 2,44% | | 72,97% | 0,00% | 75,00% | 66,67% | 50,00% | -----------------------------------------------------------------Columnas 37 1 4 15 2 59 Total 62,71% 1,69% 6,78% 25,42% 3,39% 100,00%

2

- Variables cuantitativas discretas: RX = {x1, x2,, xn} ordenados de menor a mayor o Frecuencia absoluta: ni nº de veces que la variable toma el valor xi o Frecuencia absoluta acumulada: fi nº de veces que la variable toma un valor ≤ xi o Suma de frecuencias absolutas: n o Frecuencia relativa: ni /n o Frecuencia relativa acumulada: fi /n o Suma de frecuencias relativas: 1 Variable: número de calzado Número de observaciones: 59 Rango {35, 36,..., 48} Tabla de distribución de Frecuencias

----------------------------------------------------------------Frecuencia Frecuencia Frecuencia Clase Valor Frecuencia relativa acumulada relativa acum ----------------------------------------------------------------1 35 3 0.0508 3 0.0508 2 36 1 0.0169 4 0.0678 3 37 9 0.1525 13 0.2203 4 38 10 0.1695 23 0.3898 5 39 12 0.2034 35 0.5932 6 40 4 0.0678 39 0.6610 7 41 5 0.0847 44 0.7458 8 42 6 0.1017 50 0.8475 9 43 2 0.0339 52 0.8814 10 44 1 0.0169 53 0.8983 11 45 5 0.0847 58 0.9831 12 48 1 0.0169 59 1.0000 --------------------------------------------------------------------

3

- Variables cuantitativas continuas. Para hacer la tabla de distribución de frecuencias deben elegirse las clases de forma conveniente. o Definir el recorrido o rango de la variable. o Dividir el recorrido en clases o intervalos que no se solapen. o El punto central de cada intervalo se denomina marca de clase. o Se procede como en las variables discretas. Variable: Altura Rango:[156,191] Tabla de distribución de frecuencias

-------------------------------------------------------------------Límite Límite Marca Frec. Frec. Frec. Frec.Rel. Clase Inferior Superior clase abs. Relat. Abs.Acu Acumu -------------------------------------------------------------------< 155.0 0 0.0000 0 0.0000 1 155.0 160.0 157.5 7 0.1186 7 0.1186 2 160.0 165.0 162.5 15 0.2542 22 0.3729 3 165.0 170.0 167.5 14 0.2373 36 0.6102 4 170.0 175.0 172.5 8 0.1356 44 0.7458 5 175.0 180.0 177.5 9 0.1525 53 0.8983 6 180.0 185.0 182.5 4 0.0678 57 0.9661 7 185.0 190.0 187.5 1 0.0169 58 0.9831 8 190.0 195.0 192.5 1 0.0169 59 1.0000 ≥ 195.0 0 0.0000 59 1.0000 --------------------------------------------------------------------

4

Representaciones gráficas: - Variables categóricas o Diagrama de barras Permite visualizar la distribución de frecuencias de una variable cualitativa d ia g r a m a d e b a r r a s . E s ta d ís tic a e n b a c h ille r

no

si

0

10

20

30

40

50

60

F re c u e n c ia b l

Barchart for como_vienes by sexo

percentage

50

sexo h m

40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

como_vienes

Se dibuja sobre la clase correspondiente una barra o rectángulo de altura proporcional a la frecuencia de la clase. Las barras horizontales o verticales. Siempre: ƒ El mismo ancho ƒ Apoyadas sobre una línea común. ƒ Longitud proporcional a las frecuencias. 5

o Diagrama de sectores: diagrama de sectores 5.08%

Bach_Esta no si

94.92%

Un círculo en el que se representan sectores de áreas proporcionales a la frecuencia de cada una de las clases. - Variables cuantitativas discretas o Diagrama de barras

diagrama de barras para n.calzado 12

frecuencia

10 8 6 4 2 0 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 48

6

Barchart for n_calzado by sexo 12 h m

frecuencia

10 8 6 4 2 0 35

36 37 38

39 40 41

42 43 44 45 48

diagrama de barras según sexo

- Variables cuantitativas continuas. o Histograma: Histogram for altura 15

frecuencia

12 9 6 3 0 155

160

165

170

175

180

185

190

195

histograma

7

Histogram for altura

Histogram for altura

15

8

frecuencia

frecuencia

12 9 6 3 0

6 4 2 0

150

155

160

165

170

histograma

175

180

160

170

180

190

200

histograma

Los rectángulos se representan contiguos para dar idea de continuidad ƒ Si la amplitud de las clases es la misma la altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia. ƒ Si las clases no tienen la misma amplitud el área del rectángulo es proporcional a la frecuencia. ƒ h ≈ Frecuencia/long. de la clase. ƒ El área total bajo el histograma es 1 La forma varia con la elección de las clases. No tenemos ninguna información sí: • Una sola clase. El histograma es un rectángulo. • Cada clase tiene solo un dato Hay que elegir con cuidado el número de clases. o Polígono de frecuencias: Esencialmente equivalente al histograma. Se obtiene uniendo mediante poligonales los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos del histograma.

8

polígono de frecuencias

frecuencia

15 12 9 6 3 0 150

160

170

180

190

200

o Diagrama de tallo-hojas: Permite obtener simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Se separa el último dígito de la derecha de cada dato (hoja) del bloque de cifras restantes (tallo). Procedimiento a seguir: ƒ Redondear los datos a un número conveniente de cifras significativas (dos o tres) ƒ Colocarlas en una tabla con dos columnas separaradas por una línea. Todas cifras menos la última a la izquierda de la línea (tallo) y la última a la derecha (hoja) Cada tallo define una clase y se escribe sólo una vez. El nº de hojas representa la frecuencia de dicha clase.

9

Diagrama de tallo-hojas para número de calzado: Unidad = 0.1 1|2 representa Mujeres 3 35|000 4 36|0 13 37|000000000 (10) 38|0000000000 18 39|000000000000 6 40|000 3 41|000

1.2 Hombres 1 40|0 3 41|00 9 42|000000 9 43|00 7 44|0 6 45|00000 1 46| 1 47| 1 48|0

Diagrama de tallo-hojas para número de calzado: Unidad = 0.1 1|2 representa 1.2 3 35|000 4 36|0 13 37|000000000 23 38|0000000000 (12) 39|000000000000 24 40|0000 20 41|00000 15 42|000000 9 43|00 7 44|0 6 45|00000 1 46| 1 47| 1 48|0

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Diagrama de tallo-hojas para la variable altura: 2 15|68 17 16|000001222234444 29 16|555556888889 (13) 17|0000000222344 17 17|5566688 10 18|00001133 2 18| 2 19|01 1 2 8 13 (9) 19 18 15 9 5 2 2

Mujeres 15|6 15|8 16|000001 16|22223 16|444455555 16|6 16|888 17|000000 17|2223 17|445 17| 17|88

Hombres 3 16|889 4 17|0 4 17| 5 17|5 8 17|666 8 17| (6) 18|000011 4 18|33 2 18| 2 18| 2 18| 2 19|0 HI|191.0

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Medidas de localización. - Variables cualitativas: ƒ Frecuencia relativa de cada clase. ƒ Moda o clase modal: Clase con frecuencia mayor, puede no ser única - Variables numéricas: o Medidas de centralización: Dan una idea del valor central en torno al cual se reparten los datos ƒ Media muestral: Dada una muestra de tamaño n X1, X2,..., Xn X = 1/n∑Xi Si no conocemos el conjunto original de datos, sino su distribución de frecuencias X = 1/n∑niXi si la variable es discreta X = 1/n∑nici si la variable es continua La media muestral equilibra las desviaciones positivas y negativas de los datos respecto a su valor ∑(Xi- X ) = 0 Actúa como el centro geométrico o centro de gravedad. ƒ Media poblacional μ = E(X) = ∑ piXi si la variable es discreta μ = E(X) = ∫ x f(x) dx si la variable es continua ƒ Mediana muestral: Dada una muestra de tamaño n X1, X2,..., Xn Las ordenamos de menor a mayor X (1), X (2),..., X (n) La mediana separa las observaciones en dos grupos. La mitad o más de las observaciones son menores o iguales que la mediana y la mitad o más de las observaciones son mayores o iguales que la mediana. Si n es impar medX = X ((n+1)/2) Si n es par la mediana es cualquier valor comprendido entre X(n/2) y X((n/2)+1) 12

Datos agrupados: ƒ Intervalo mediana: Es la clase en la que se encuentra la mediana. ƒ Mediana poblacional: Es un valor m tal que P(X ≤ m) ≥ ½ P(X ≥ m) ≤ ½ ƒ Moda: Es el valor más frecuente en la muestra. Moda, mediana y media aportan información complementaria sobre los datos. La media utiliza todos los datos y es sensible a observaciones atípicas, es preferible para datos homogéneos. La mediana sólo tiene en cuenta el orden de los datos y no su magnitud. Cambia poco si se altera alguna observación. Conviene calcular las dos. Si son similares la distribución es simétrica (datos homogéneos). Si son muy diferentes la distribución es asimétrica (datos heterogéneos). o Otras medidas de localización: ƒ Media ponderada X = ∑wiXi/∑wi ƒ Media geométrica: X = (ΠXi)1/n ƒ Media armónica: X = (1/n∑Xi )-1 ƒ Percentiles: percentil p es aquel valor tal que el p% o más de las observaciones son menores o iguales que el y el (1-p)% o más de las observaciones son mayores o iguales que él. ƒ Cuartiles: Dividen a la población en cuatro partes ƒ Primer cuartil Q1: percentil 25 ƒ Segundo cuartil Q2: la mediana o percentil 50 ƒ Tercer cuartil Q3: el percentil 75. ƒ Rango intercuartílico: RI = Q3-Q1

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Summary Statistics for altura Total Count 59 Average 170.03 Median 170.0 Mode 170.0 Variance 63.65 Standard deviation 7.978 Minimum 156.0 Maximum 191.0 Range 35.0 Lower quartile 164.0 Upper quartile 176.0 Interquartile range 12.0 Skewness 0.5572 Kurtosis -0.161

Percentiles for altura Total 1.0% 156.0 5.0% 160.0 10.0% 160.0 25.0% 164.0 50.0% 170.0 75.0% 176.0 90.0% 181.0 95.0% 183.0 99.0% 191.0

Mujeres Hombres 41 18 166.46 178.16 165.0 180.0 170.0 180.0 30.40 44.85 5.514 6.697 156.0 168.0 178.0 191.0 22.0 23.0 162.0 175.0 170.0 181.0 8.0 6.0 0.2941 0.1294 -0.6802 -0.2358

Mujeres 156.0 160.0 160.0 162.0 65.0 170.0 174.0 175.0 178.0

Hombres 168.0 168.0 168.0 175.0 180.0 181.0 190.0 191.0 191.0

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Summary Statistics for n_calzado Total Count 59 Average 39.69 Median 39.0 Mode 39.0 Variance 8.112 Standard deviation 2.848 Minimum 35.0 Maximum 48.0 Range 13.0 Lower quartile 38.0 Upper quartile 42.0 Interquartile range 4.0 Skewness 0.7463 Kurtosis 0.2343 Percentiles for n_calzado Total 1.0% 35.0 5.0% 35.0 10.0% 37.0 25.0% 38.0 50.0% 39.0 75.0% 42.0 90.0% 45.0 95.0% 45.0 99.0% 48.0

Mujeres 35.0 35.0 37.0 37.0 38.0 39.0 40.0 41.0 41.0

Hombres Mujeres 18 41 43.166 38.17 42.5 38.0 42.0 39.0 4.0294 2.2451 2.0073 1.4983 40.0 35.0 48.0 41.0 8.0 6.0 42.0 37.0 45.0 39.0 3.0 2.0 0.6763 -0.212 0.3032 0.0681 Hombres 40.0 40.0 41.0 42.0 42.5 45.0 45.0 48.0 48.0

15

Representaciones gráficas - Diagrama de cajas Es una representación semigráfica donde se muestran características importantes de la población estudiada y se señalan posibles datos atípicos. Su construcción está basada en los cuartiles. o Se ordenan los datos de la muestra de menor a mayor y se obtiene máximo, mínimo, Q1, Q2 y Q3. o Se dibuja un rectángulo con extremos Q1 y Q3 y se señala la mediana Q2 mediante una línea recta. o Se calculan los límites superior e inferior admisibles. LS = Q3 +1.5 RI LI = Q1 – 1.5 RI Si LI < mínimo entonces LI = mínimo Si LS > máximo entonces LS = máximo o Se dibuja una línea de cada extremo del rectángulo hasta LI y LS o Se identifican todos los datos fuera del intervalo (LI, LS) mostrándolos como atípicos. o Los datos atípicos son de gran interés ya que pueden ser debidos a errores o pueden suministrar una información relevante sobre el comportamiento de la población. Box-and-Whisker Plot

h

m

150

160

170

180

190

200

altura

16

Box-and-Whisker Plot

150

160

170

180

190

200

47

50

altura

Box-and-Whisker Plot

35

38

41

44

n_calzado

Box-and-Whisker Plot

h

m

35

38

41

44

47

50

n_calzado

17

Medidas de Dispersión: n

- Varianza muestral:

S X2 =

∑(X i =1

i

− X )2

n n

- Desviación típica muestral:

∑(X

SX =

i =1

i

− X )2

n

- Varianza Poblacional: σ X2 = E{( X − μ ) 2} - Desviación típica poblacional: σ X = E{( X − μ )2} La varianza es la media de las desviaciones de las observaciones a la media elevadas al cuadrado y mide la concentración de los datos en torno a la media. n

Para datos agrupados

SX =

∑ (c − X ) n i =1

2

i

i

n

- Regla de Chebychev: El porcentaje de observaciones que distan de la media menos de k desviaciones típicas es mayor o igual que (1 – 1/k2).100 - Desigualdad de Chebychev: P(|X-μ|≤kσ)≥ 1- 1/k2 P(μ - kσ ≤ X ≤ μ - kσ) ≥ 1- 1/k2 - Meda: Mide la variación de las observaciones respecto de la mediana. Es la mediana de las desviaciones absolutas de los datos respecto de la mediana. Si las observaciones son X1, X2, ... , Xn Definimos Yi = |Xi – MedX| MedaX = MedY Los valores extremos influyen menos en la meda que en la varianza Medidas de forma: - Coeficiente de variación: CVX = SX/|X| Sirve para comparar la dispersión de variables que aparecen en unidades distintas 18

n

- Coeficiente de asimetría:

CAX =

∑(X i =1

i

− X )3

nS X3

Distribución simétrica: CAX = 0 Distribución asimétrica a la derecha: CAX > 0 Distribución asimétrica a la izquierda: CAX < 0 n

- Coeficiente de apuntamiento o curtosis:

CAPX =

∑(X i =1

i

− X )4

nS X4

Describe lo picuda o plana que es una distribución Para datos agrupados n

∑ (c

CAX =

i

i =1

n

− X )3 ni

nS

CAPX =

3 X

∑ (c i =1

i

− X ) 4 ni

nS X4

Las medidas poblacionales se definen CVX = σX/|μ| E ( X − μ )3

CAX =

CAPX =

σ X3

E ( X − μ )4

σ X4

Otras medidas: - Momento de orden k respecto al origen n

mk =

∑X i =1

k i

mk = E(Xk)

n

- Momento de orden k respecto a la media n

μk =

∑(X i =1

i

− X )k

n

μk = E(X-μ)k

19

Posición relativa de media y mediana según simetría de la distribución 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

Distribución simétrica: media, mediana y moda iguales

0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

10

20

30

40

x

Distribución asimétrica a la dcha: moda

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