2. Integración numérica Los métodos que estudiaremos se basan en la interpretación geométrica de que la integral de una función de una (o de dos o más) variables se asocia (a parte de un signo) al área (volumen o hipervolumen) que se encuentra “debajo” de la función y que se encuentra limitada (limitado) por rectas verticales (o planos o hiperplanos) definidos por los límites de integración y el eje de abscisas (o planos o hiperplanos). Extenderemos este concepto también en el caso de las integrales impropias. Planteamos el caso genérico de la integración de una función f(x) continua en el intervalo [a,b]: b

I = ∫ f (x )dx . a

2.1. El método de los trapecios El procedimiento requiere la partición del intervalo [a,b] en un número n arbitrario de subintervalos equiespaciados. Así pues, se consideran los n+1 puntos siguientes: x0=a, x1, x2, x3, ..., xn-1, xn=b. tales que x i − x i −1 = h

∀i = 1,2,3,..., n .

Llamaremos a la constante h paso de integración. El método considera que la curva a integrar se aproxima a la sucesión de segmentos que pasan por los puntos f(x0), f(x1), ..., f(xn). Así pues, la integral I se aproxima a la suma de las áreas que quedan debajo de cada segmento (xi-1,f(xi-1))–(xi,f(xi)) y que también están limitadas por las rectas y=xi-1, y=xi y el eje de abscisas. El área de cada uno de esos trapecios es f (x i −1 ) + f (x i ) Ii = h. 2 Entonces la integral completa será la suma de todas estas áreas: n

I = ∑ Ii = i =1

n −1 h n [f (x i −1 ) + f (x i )] = h f (x 0 ) + f (x n ) + 2∑ f (x i ) , ∑ 2 i =1 2 i =1 

es decir

2-1

 f (x ) + f (x n ) n − 1  I = h 0 + ∑ f (x i ) + ε . 2 i =1   − nh 3 El error cometido es ε = f ' ' (ξ ) , donde a