23.60 El tubo de un contador Geiger tiene un cilindro metálico largo y hueco de 2 cm de diámetro. A todo lo largo del eje del tubo hay un alambre de 0.127 mm de diámetro. Cuando el tubo está funcionando, se aplica un voltaje de 850 V entre los conductores. Halle la intensidad del campo eléctrico en a) la superficie externa de alambre; b) la superficie interna del cilindro.
b λ dr λ = ln 2πε 0 r 2πε 0 a a
b
b
∆V = ∫ Edl = ∫
a
a
2πε 0 ∆V λ= b ln a
b
E=
2πε 0 ∆V λ ∆V = = 2πε 0 r 2πε r ln b r ln b 0 a
a) a = (0.127 10-3/2) m = 0.0635 10-3m b = (0.02/2) m = 0.01 m r=a
E=
850V (0.0635 10 −3 m) ln
0.01 0.0635 10 −3
= 2.645 106
V m
a
b) a = (0.127 10-3/2) m = 0.0635 10-3m b = (0.02/2) m = 0.01 m r=b
E=
850V (0.01m) ln
0.01 0.0635 10 −3
= 1.68 10 4
V m
CAPACITANCIA Y CAPACITORES Dos conductores cualesquiera separados por un aislador (o un vacío) forman un CAPACITOR. Cada conductor inicialmente tiene carga neta 0 y se transfieren electrones de un conductor al otro (“se carga” el capacitor). Al final los dos conductores tienen carga igual y opuesta ±Q. +Q ∆V
-Q
Hay una carga Q “almacenada” en el capacitor, el conductor con carga +Q está al potencial más alto y el conductor con carga –Q está al potencial más bajo. Entre los dos conductores hay una diferencia de potencial ∆V.
En los diagramas de circuitos los capacitores se representan con este símbolo
El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es proporcional a Q. La diferencia de potencial ∆V también es proporcional a Q. Se define CAPACITANCIA C del capacitor:
C=
Q [C ] = 1 Farad = 1 F ∆V [V ]
Cuanto mayor es la capacitancia C, tanto más grande es la magnitud Q de la carga con una diferencia de potencial determinada ∆V, y, en consecuencia, es mayor la cantidad de energía almacenada (el potencial es energía potencial por unidad de carga). La capacitancia es una medida del alcance de un capacitor para almacenar energía Un Farad es una capacitancia muy grande, las unidades más convenientes son el µF (10-6 F), el nF (10-9 F) y el pF (10-12 F)
CAPACITOR DE PLACA PARALELAS EN UN VACÍO
A +Q ∆V -Q
Consideremos un capacitor con dos placas conductoras paralelas de área A separadas por una distancia d (espacio vacío).
d Las dos placas tienen densidad superficial de carga:
Q σ= A El campo eléctrico entre las placas es:
σ Q E= = ε0 ε0 A
El campo es uniforme, la diferencia de potencial ∆V entre las placas es:
∆V = Ed =
Qd ε0 A
La capacitancia entonces es:
C=
Q Qε 0 A A = = ε0 ∆V Qd d
EJEMPLO 24.2 Las placas de cierto capacitor de placas paralelas en un vacío están separadas 5 mm y tienen 2 m2 de área. Se aplica una diferencia de potencial de 10000 V (10 kV) entre las placas. Calcule a) la capacitancia; b) la carga de cada placa; c) la magnitud del campo eléctrico en el espacio entre las placas.
a)
b)
c)
2 2 A m C = ε 0 = (8.854 10 −12 F / m) = 3.54 10 −9 F = 3.54nF d 0.005m
Q = C ⋅ ∆V = (3.54 10 −9 F )(10 4 V ) = 3.54 10 −5 C
Q 3.54 10 −5 C σ 6 E= = = = 2 10 /C −12 2 ε 0 ε 0 A (8.85 10 F / m)(2m )
CAPACITOR ESFÉRICO
+Q
ra rb
Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas por un vacío. La coraza interior tiene una carga +Q y un radio exterior ra, y la coraza exterior una carga –Q y un radio rb.
-Q
Por la ley de Gauss el campo eléctrico entre las esferas es:
+Q E= 4πε 0 r 2 1
La diferencia de potencial ∆V entre las dos esferas es: rb
rb
r
dr 1 b Q Q Q rb − ra ∆V = ∫ E (r ) ⋅ dr = = − = − = 2 ∫ r 4 πε r 4πε 0 ra 4πε 0 rb 4πε 0 ra rb ra 0 ra ra Q
La capacitancia entonces es:
Q Q(4πε 0 )ra rb ra rb C= = = 4πε 0 ∆V Q(rb − ra ) rb − ra
CAPACITOR CILÍNDRICO
L -λ
Un conductor cilíndrico largo tiene una radio ra y una densidad de carga lineal λ. Está rodeado por una coraza conductora cilíndrica coaxial con radio rb y densidad lineal de carga –λ.
+λ ra
rb Por la ley de Gauss el campo eléctrico entre los conductores es:
E=
λ 2πε 0 r
La diferencia de potencial ∆V entre los conductores es: rb
rb
rb dr λ λ r ln ln r ∆V = ∫ E (r ) ⋅ dr = = [ ] = r ∫ 2 2πε 0 ra r πε 0 r r b
a
a
La capacitancia entonces es:
C 2πε 0 = L ln rb ra
a
Q λL λL(2πε 0 ) 2πε 0 L C= = = = r rb ∆V ∆V b ln λ ln ra ra
Capacitancia por unidad de longitud
CAPACITORES EN SERIE a +Q ++++ -Q -----
Vab
c ++++
+Q -Q -----
C1
Vac
C2
Vcb
b
En una conexión en serie la magnitud de carga de todas las placas es la misma
Vac =
Q C1
Vcb =
1 1 Vab = Vac + Vcb = Q + C1 C2
a +Q ++++ -Q -----
b
Q C2
Ceq
Vab 1 1 1 = + = Q C1 C2 Ceq
1 1 1 = + + ... Ceq C1 C2
CAPACITORES EN PARALELO
a Vab
++++Q1 C1 -----
++ Q2 C2 ---
b
En una conexión en paralelo la diferencia de potencial de todos lo capacitores individuales es la misma. Las cargas Q1 y Q2 no son necesariamente iguales.
Q1 = C1Vab a Ceq b
++++ Q=Q1+Q2 -----
Q2 = C2Vab
Q = Q1 + Q2 = (C1 + C2 )Vab Q = Ceq = C1 + C2 Vab
Ceq = C1 + C2 + ..
En el circuito en figura cada capacitor tiene C=4 µF y Vab=28 V. Calcule Ceq.
C1
C2
Serie C1 y C2
a C3 b
C4
d
1 1 1 C1 ⋅ C 2 4⋅4 = + ⇒ C12 = = = 2 µF C1 + C 2 4 + 4 C12 C1 C 2 Paralelo C12 y C3
C123 = C12 + C 3 = (2 + 4) µF = 6 µF
Serie C123 y C4:
1 1 1 6⋅4 = + ⇒ Ceq = = 2.4 µF Ceq C123 C 4 6+4
ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA EN CAPACITORES La energía potencial almacenada en un capacitor cargado es igual a la cantidad de trabajo que se necesitó para cargarlo. Cuando se descarga el capacitor, esta energía almacenada se recupera en forma de trabajo realizado por fuerzas eléctricas. Sean q y v la carga y la diferencia de potencial en una etapa intermedia de un proceso de carga de un capacitor con capacitancia C. Por la definición de capacitancia, v=q/C. En esta etapa, el trabajo dW que se requiere para transferir un elemento de carga adicional es:
dW = vdq =
qdq C
El trabajo W que se necesita para cargar el capacitor hasta un valor final Q es: W
Q
1 Q2 W = ∫ dW = ∫ qdq = C0 2C 0
W
Q
1 Q2 W = ∫ dW = ∫ qdq = C0 2C 0
Si se define como cero la energía potencial de un capacitor sin carga, W es igual a la energía potencial U del capacitor cargado. La carga final es Q=CV.
Q2 1 1 U= = CV 2 = QV 2C 2 2
Energía potencial almacenada en un capacitor
DIELÉCTRICOS Casi todos los capacitores tienen un material lo conductor, o “dieléctrico” entre sus placas conductoras (el aire se puede considerar como vacío). La capacitancia C de un capacitor es mayor cuando hay un material dieléctrico entre las placas que cuando hay un vacío. A +Q
+Q ∆V
∆V’
A d
d
-Q -Q
Q A C0 = = ε0 d ∆V K = constante dieléctrica
Q A = kC0 = kε 0 C= d ∆V ' ∆V ∆V ' = k
K Vacío
1
Aire
1.00059
Plexiglás
3.4
Vidrio
5-10
Agua
80.4
Q A = kC0 = kε 0 ∆V ' d ∆V ∆V ' = k
C=
La constante dieléctrica es un número puro, siempre mayor o igual a 1.
El producto kε0 se conoce PERMITIVIDAD del dieléctrico ε
A A C = kε 0 = ε d d
como
23.36 Dos láminas metálicas paralelas grandes con cargas opuestas de igual magnitud están separadas por una distancia de 38 mm. El campo eléctrico entre ellas es uniforme y su magnitud es de 480 N/C. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las láminas? b) ¿Cuál lámina está a un potencial más alto: la que tiene carga positiva o la que tiene carga negativa? c) ¿Cuál es la densidad de carga superficial σ de la lámina positiva? d) Si el área de las placas es de 10-3 m2, ¿cuál es la capacidad del capacitor? ++++++++++++++++ ∆V