20 – Dinámica + elementos finitos (caso lineal) Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales
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Ecuaciones de la elástodinámica Las ecuaciones diferenciales de equilibrio son:
Las ecuaciones dinámicas de Cauchy-Navier son:
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Interpolación de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones en el caso dinámico
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Energía cinética
Matriz de masa consistente
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Energía potencial elástica
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Trabajo realizado por las fuerzas externa ejercida externas Energía respectivamente por las fuerzas másicas, superficiales y puntuales actuando sobre el sólido
Vector de fuerzas nodales de equilibrio 6
Vector de fuerzas nodales equivalentes
Funcional lagrangiano
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Fuerzas conservativas
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Propiedades del variacional primero
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Principio de Hamilton
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Las condiciones iniciales y finales son conocidas (condición 3 del principio de Hamilton)
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Principio de D'Alembert
Este principio permite extender la segunda ley de Newton sobre equilibrio estático al caso dinámico por medio de la simple consideración que la fuerza de inercia (que para un cuerpo de masa constante es igual al producto de la masa por la aceleración) es una fuerza de sentido opuesto al sentido positivo de la aceleración. https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle 13
Deducción alternativa (e incorrecta, pero popular): modificación del principio de los trabajos virtuales Utilizando el principio de D'Alembert se puede incluir las fuerzas de inercia en el principio del trabajo virtual como términos adicionales a las fuerzas másicas:
donde: DEDUCCION INCORRECTA! Recuerde que la deducción correcta se hace usando el principio de Hamilton
y ρ es la masa por unidad de volumen (densidad).
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Por lo tanto, haciendo:
y reemplazando en el PTV obtenemos (aquí por cuestión de espacio solo consideramos las fuerzas de inercia y las otras fuerzas másicas b):
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Ecuación de movimiento de un sistema no amortiguado
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Matriz de masa consistente (consistent mass matrix) La matriz M que hemos encontrado es la llamada matriz de masa consistente:
donde ρ es la masa por unidad de volumen (densidad).
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Matriz de masa concentrada (lumped mass matrix) En los algoritmos de dinámica se requiere frecuentemente invertir la matriz M; por dicha razón, se emplea frecuentemente la matriz de masa concentrada. Este esquema crea una matriz diagonal empleando así menos recursos computacionales. Existen varias formas de generar esta matriz. Un esquema correcto debe preservar la masa total correcta para el elemento y preservar correctamente el centro de gravedad del mismo. Sería deseable también preservar el primer y segundo momento de inercia, pero esto raramente se logra. 19
Matriz de masa concentrada (lumped mass matrix) No existe un procedimiento único para calcular la matriz de masa concentrada. Existen en la literatura varios métodos para calcular dicha matriz, por ejemplo: ●
Método de Archer (Direct Mass Lumping)
●
Método HRZ
●
Otros métodos
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Método de Archer (1963, 1965) Fue el primer método para crear la matriz de masa concentrada. Este método solo asigna masas a los grados e libertad traslacionales Ejemplo: Matriz de masa concentrada (lumped) de una viga. Observe que la masa solo está dispuesta en el grado de libertad traslacional 21
DLMM= Direct Lumped Mass Matrix
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Método HRZ (Hinton-Rock-Zienkiewicks, 1976)
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Condensación de HRZ para un elemento de viga
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Otros métodos ●
●
Isaac Fried, David S. Malkus (1975). Finite element mass matrix lumping by numerical integration with no convergence rate loss, International Journal of Solids and Structures, Volume 11, Issue 4, Pages 461-466, http://dx.doi.org/10.1016/0020-7683(75)90081-5 Shen R. Wu (2006). Lumped mass matrix in explicit finite element method for transient dynamics of elasticity, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Volume 195, Issues 44–47, , Pages 59835994. http://dx.doi.org/10.1016/j.cma.2005.10.008 26
¿Cuál tipo de formulación utilizar? La matriz de masa consistente en general dará resultados más precisos (pero no mucho más). Algunos otros autores no afirman esto. El cálculo con la matriz de masa concentrada es más rápido ya que la inversa de una matriz diagonal también es diagonal. Si una malla es lo suficientemente refinada, los resultados serán aproximadamente los mismos independientemente si se usa matriz de masa consistente o concentrada. 27
La matriz de masa consistente hace una representación más precisa de las propiedades inerciales de la estructura y además produce frecuencias naturales mayores o iguales que las exactas; además utilizando un número suficiente de elementos se pueden obtener resultados muy precisos. La representación de masa concentrada no es tan precisa (algunos autores no afirman esto) y puede producir frecuencias naturales más altas o más bajas que las exactas. Sin embargo, para problemas grandes la representación de masa concentrada supone un ahorro considerable en el cálculo ya que da lugar a una matriz de masa diagonal. 28
En conclusión:
No hay una respuesta definitiva a que tipo de matriz utilizar. La matriz de masa consistente no es necesariamente la que brinda mejores resultados. 29
Particularizaciones de la matriz de masa consistente Caso tridimensional: Caso bidimensional (tensión/deformación plana): Caso axisimétrico: Caso barra unidimensional: 30
Formulación para barras sometidas a fuerzas axiales
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b
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Matriz de rigidez del elemento cercha
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Matriz de masa del elemento cercha
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Formulación para vigas
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Formulación para el elemento viga de dos nodos
Matriz de masa consistente
Matriz de masa concentrada (lumped) Observe que la masa solo está dispuesta en el grado de libertad translacional 38
Formulación para elementos de pórtico
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Matriz de rigidez de un elemento prismático sometido en sus extremos a carga axial, flexión y cortante
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Matriz masa consistente para elemento pórtico 2D Matriz de masa para el elemento viga
Matriz de masa para un elemento bajo movimiento axial Y superponiendo las contribuciones:
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Matriz de masa condensada para elemento pórtico 2D
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Matriz de transformación
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Elemento triangular de tres nodos
t
t
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Elemento rectangular de cuatro nodos
t
t 47
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Matriz de masa consistente para un elemento hexahédrico de 8 nodos
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Análisis modal de sistemas no amortiguados
Dicha ecuación se puede resolver ya sea con: ●
Análisis modal
●
Integración directa –
Método de Newmark
–
Método de Wilson
–
Método de las diferencias centrales
–
etc.
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Análisis modal Métodos numéricos para calcular valores y vectores propios: ●
Método de Jacobi
●
Método de Given
●
Método de Housholder
●
Método de la bisección (usando secuencias de Sturm)
●
Iteración inversa
●
Método QR
●
Método de Lanczos
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Análisis modal con MATLAB
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Análisis modal de sistemas amortiguados
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Ecuación de movimiento para vibración forzada para sistemas de múltiples grados de libertad