UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

L I M I T E S D

E

R

I

V

A

D

Y A

Bernardo Acevedo Frías Omar Evelio Ospina A

Manizales, Abril 1994

S

I.S.B.N. 958 - 9322 - 11 - 5 Autores: Ornar Evelio Os pina Arteaga Matemático, Ms. Se. Profesor Asociado Bernardo Acevedo Frías Matemático Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Manizaies Revisado p o r Profesor Luis Alvaro Sal azar Sal azar, Ms. Se. Profesor José Alonso Salazar Caicedo Lic. en Matemáticas Impreso p o r Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Sede Man ízales. Abril de 1994 Primera Edición

Contenido

página

Presentación Capítulo I Límites de Funciones

2

1.1 Conceptos intuitivos de límite y continuidad

3

1.2 Definiciones de límite y continuidad

10

1.3 Límites infinitos y límites al infinito

19

1.4 Propiedades y cálculo de algunos límites

32

1 4 1 Propiedades

32

1 4.2 Límites de funciones trascendentes

45

A) Continuidad de funciones trascendentes B)

Lira x

¿e

™

•

45 47

X

C) Definición de función exponencial y logarítmica

51

D) Continuidad de la función exponencial y logarítmica

54

Capítulo II Derivadas

68

2.1 Introducción al concepto de derivada

69

A) Velocidad Instantánea

69

B) Pendiente de la recta tangente a una curva en un punto

71

2.2 Definición de Derivada

81

2.3 Propiedades y cálculo de derivadas

94

2.4 Derivada de funciones en forma paramétrica

127

A) Parametrización de curvas

127

B) Derivadas

133

Contenido

página

2.5 Derivadas de orden superior

139

A) Aceleración de una partícula

139

B) Definiciones

140

2.6 Derivación Implícita

149

2.7 La diferencial de una función en un punto

157

2.8 Algunas características de las gráficas en una función

161

2.9 La derivada de una función en la construcción de sus gráficas

166

a) Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados

166

b) Puntos donde se pueden presentar máximos y mínimos

168

c) Propiedades

de

funciones

derivables en intervalos

cerrados

175

d) Criterio para determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente

174

e) Criterio para determinar los intervalos donde una función es cóncava o convexa

176

f) Criterio de la primera derivada para determinar máximos y mínimos relativos

179

g) Criterio de la segunda derivada para determinar máximos y mínimos relativos

182

2.10 Problemas de aplicación de la derivada

186

A) Rectas tangentes y rectas normales

186

B) Velocidad y aceleración

188

C) Razón de cambio

190

D) Aplicaciones de máximos u mínimos

194

E) Regla de L'Hopital

198

Bibliografía

208

Presentación A

manera de continuación del libro titulado "NUMEROS VECTORES

FUNCIONES " publicado por la Universidad Nacional de Colombia seccional Manizales, los autores pretendemos presentar los temas, relacionados con límites y derivadas de funciones con una presentación análoga, es decir, en la cual se tratan de introducir los temas de una manera intuitiva y constructiva, buscando con ello hacer que el estudiante se involucre en el aspecto conceptual, fundamental para su formación como futuro ingeniero. Estos conceptos son ilustrados con ejercicios completamente desarrollados que servirán de base, junto con la parte conceptual, para resolver los ejercicios propuestos los cuales pretendemos no sean repetitivos. Esperamos que este material sea de utilidad para los estudiantes de cálculo diferencial y fundamentalmente esperamos que a través de la lectura de este texto se cambie el concepto mecanicista de la matemática con que muchos estudiantes llegan a la universidad.

Agradecemos las sugerencias que nos hagan llegar, las cuales permitirán mejores ediciones.

Ornar Evelio Ospina A.

Bernardo Acevedo F.

CAPITULO I LIMITES DE FUNCIONES

La distribución continua de los números reales en una recta, hace que al tratar de acercar sobre esa recta una variable

a un número fijo, no se

pueda decir de una manera inmediata cual es el comportamiento de una función real definida en las proximidades de ese punto, pues es posible que allí la función tome un valor fijo o su gráfica esté interrumpida o se aleje a más infinito o a menos infinito.

El estudio de este aspecto conceptual fundamental en la formación de cualquier estudio de la matemática y esencial en las aplicaciones de la matemática a aspectos físicos en variables continuas es lo que se pretende en este capítulo.

2

1.1 CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITE Y CONTINUIDAD

Suponga que se tiene una función y = f(x) de reales en reales con dominio D. Sea a e R; saber cuál es el comportamiento de la función en a es muy sencillo, simplemente calcule f en a y observe que solamente pueden suceder dos cosas: o existe un número real f(a), o sea a e Df, o no existe f(a), lo cual indica que a ? D f .

Pero saber cuál es el comportamiento de

la función muy cerca de a sin referirnos a un punto específico y sin referirnos a "a",

es un problema bastante delicado pero de gran

importancia, ya que conociendo este comportamiento se tiene una amplia información sobre la gráfica de la función, información que no se puede tener si solamente se conoce la función en el punto.

Inicialmente se presentarán diversas situaciones en las cuales se mostrará a partir de las gráficas de unas funciones, que' sucede con las ima'genes de una variable x a medida que esta variable se acerca a un punto fijo a, sin llegar a ser a, pero acercándosele tanto como se quiera.

Ejemplo 1. Considere la función f(x) = x2 (figura 1) y tome a = 2.

3

Figura 1

Conocer el comportamiento de la función en x = 2, es simplemente calcular f(2), que en este caso es f(2) = 22 = 4 o sea 2 e Df. Pero para conocer el comportamiento de la función cuando la variable x se está acercando a 2, es preciso apreciar que : 1) En la figura 1 (a) a medida que x se acerca a 2 por su derecha, sus imágenes se van acercando a 4, lo que se suele expresar diciendo, que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 4 y se nota por: Lim

f[x)

=4

x - 2*

2) En forma análoga de la figura 1 (b) a medida que x se acerca a 2 por su izquierda, sus imágenes se van acercando a 4, en este caso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por su izquierda es 4 y se nota p o r : Lim

f(x) =

4

x-*2~

Observe que en este caso la gráfica de la función no presenta ningún agujero, ni interrupción en x = 2 (lo que significa que la función es continua

4

en x = 2) y también que la función tiende al mismo valor cuando x

se

acerca a 2 tanto por la derecha como por la izquierda. Estas situaciones no siempre se presentan en la gráfica de una función, como se ilustrará en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2 Sea

f [x)

í * + 3 si * , i 2 - x si x > 1

De la figura 2(a), se tiene que cuando x se acerca a 1 por la derecha f(x) se acerca a 1, lo cual se nota por,

= 1

pero cuando x se

acerca a 1 por la izquierda (fig 2(b)) f(x) se acerca a 4, que se nota como:

5

Lim

Esto

muestra

Lim f{x) x - a*

que

, y Lim x -

no

f{x)

=

4

necesariamente

los

límites

laterales

f ( x ) deben ser ¡guales; pues aquí a diferencia del

a'

ejemplo 1, la gráfica sí presenta una interrupción en el punto x = 1 (Lo que significa que la función es discontinua en x = 1). Esta característica de la gráfica está determinada por el comportamiento de la función cerca de x = 1, tanto a derecha como a izquierda y no por el comportamiento de la función en x = 1, pues si solamente tenemos en cuenta este aspecto, lo único que podríamos afirmar es que f (1) = 4 y por tanto x = 1 e Df. En los ejemplos anteriores el punto x = a, era un punto en el dominio de la función, hecho que no es necesario para conocer el comportamiento de la función cerca de a, como se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3

Observe que f(2) no existe, ya que al calcular f(2) habría que dividir por cero, lo cual no es posible en números reales, o sea 2 a.

Para ello: ¡yx - v/a| = {y/X ~

y/a) s[x

cuando x - > a.

Pues

(y/X + y/I) + Ja

x-a

x - a I v'x + v'ai

x - a y/x + v /a

-» 0 cuandox -> a y^Ja + V a V o

Observe este resultado gráficamente (Ejercicio).

Ejemplo 3 Lim

Demostrar que x

-

v'1 - * = v^

, es equivalente a demostrar que

-2

y/i - x - yfs - o

cuando x -» - 2 . Para ello.

12

- y/3")

|y/T^-x -

+ /3)

V'I - A + 3 1 - x -3 V'I - x

cuando x -> -2

Pues

+

-x - 2

y/1 - x + v3

\/3

-x - 2 -» 0 cuando x

-2

y

\Í3 + V31 * 0

Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). Ejemplo 4 Lim

4 x - 2 ^ X—- ^¿ =

Demostrar que ^

X2 - 4 X - 2

0

cuando

x- 2

es equivalente

a demostrar que

0.

Para ello:

x-2

-4

J (x-2) (x+2) - 4 = x + 2 - 4 |= x - 2 x-2

cuando x

Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). Ejemplo 5 En el ejemplo anterior se mostró que

Lim

4

=4

, pero observe que

aquíx = 2, no pertenece al dominio de la función, es decir no existe f(2), por tanto la función no puede ser continua en x = 2, ya que no satisface la primera condición de continuidad en este punto. Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). 13

Ejemplo 6 x2

—

Sea

En Lim

f (x)

forma f(x) = 4

x - 2

=

X

- 4 - 2

SI

X

8

si

x =2

similar

al

*

2

ejemplo

anterior

se

muestra

que

(Ejercicio), aquí x = 2 sí pertenece al dominio de la función

f(x), pues f(2) = 8, pero como f(2) es diferente al valor del Lim f{x)

e n tonces

no se satisface la tercera condición de continuidad, por

tanto f no es continua en x = 2. Ejemplo 7 En el ejemplo 1 se demostró que

Lim x- -

se puede demostrar que

Lim _ -

x

2

X

2*

_ A^

\x - 2\1

i

X

= -i

¿

=i

, en forma análoga

(Ejercicio). Puesto que los

dos límites laterales son diferentes entonces no existe

Lim x - 2

\x - 2 X — -Al

,

por tanto no satisface la segunda condición de continuidad; luego esta función no es continua en x = 2.

14

Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). Ejemplo 8 Observe que

Jf®

existe y es igual a 4, pues

I f ( x ) - 4 | = | x 2 - 4 | = | ( x +2)

cuando

x - 2 -> 0,

pues

( x - 2) | = |x + 2| Ix - 2 | - 0

x +2 ^

4y

x -2

0 cuando x-> 2.

Además f(2) = 2 2 = 4, existe, y su valor coincide con el valor del límite, por tanto f(x) = x2 es continua en x = 2. Definición Una función y = f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b) si y solo si f es continua en cada punto del intervalo Ejemplo La función f(x) = x2 es continua en cualquier intervalo abierto (c, d), pues en forma

análoga

al

Lim f (x) = f(a)

ejemplo

anterior

se

puede

demostrar

que

para cada a e (c,d).

Definición Una función f(x) se dice continua en un intervalo cerrado [a, b] si y solo si a) f e s continua en el intervalo abierto (a,b) y b)

Lim x -

a'

f(x)

= fia)

y

Lim

f(x) =

f(b)

x - b~

Ejemplo 1 La función f(x) = Vx" es continua en intervalo cerrado [1,5], como se puede 15

deducir de los ejercicios vistos anteriormente. Ejemplo 2 x f U)

si

0 < x ^ 5

= si

2

x — 0

Es evidente que f es continua en (0, 5) (Ejercicio), además Lim f(x) * - 5"

= f( 5)

(Ejercicio), pero

= 0 * /(O) = 2

Lim f(x) x - 0*

luego f no es continua en el intervalo cerrado [0,5], EJERCICIOS I) Trazar las gráficas de las funciones siguientes y apoyado en ellas hallar los límites indicados. 1

f { x ) = x

3

; xLim2 f ( x ) , Lim

"

x - 3*

f { x ) = v/1 + x ; Lim 1 f ( x )

*^

3.

,

í(x)

Si Si

X

f ( x )=

2

=

x s 5 x < 3

,3 _ *

|X

3

|

x ~ 0"

; Li/tf L ( x )

Lim

f{x)

x -

; Lim X

16

f(x)

x - 2"

Lim f ( x )

x— 3~

_ 3-

f(x)

; Lim

x-

; Lim í(x) x

f { x ) , Lim

- 3"

3

Lim f { x )

x- 5

f ( x ) ; Lim f {x)

x-4

5

f(x)

= ——i

e.

f5

1

f(x)

am>£u)

; Limn f{x) x -- 2

a i

:

í { x ) :

a i

t [ x )

Lim f ( x ) --X - 4

f(x)

II) Determinar si las funciones dadas en el numeral I son continuas o no. Dé un intervalo cerrado donde cada una de ellas sea continua. III) Defina continuidad de una función en los intervalos (a,b), (a,b], (-a>, +oc) y dé ejemplos. IV) Determinar si las funciones siguientes son continuas en el intervalo dado.

1.

f(x)

=

2.

f(x)

3

f(x)

~ 28

;

en

= y/1 - x

en

[ - 5 , 4 ) Mo

= x2

en

[2,10)

+ x

[-2,2] «fc

17

4

f { x ) = [ x - 1]

5.

f (x)

g

f ( x ) = x4

= y/x - 4

er¡

(Parte

en

entera)

[4,

en

[ - 5 , 6 ) s,

5,

(-oo,+oo) cj;

V) Hallar el valor de m y n tal que la función dada sea continua /72X ¿

x

2.

/(x)

=

SÍ

si

mx n -2x + 9

3.

4

.f(x)

/(x)

=

=

> 4

X

x 3

/rcx + 1

si

x £ 3

2 - mx

si

x > 3

-1

si

X

mx + n 1

0

si

0 < x

si

X 2!

+00) o se aleja hacia abajo (/¡fxJ-> -00) y también se estudiará en forma intuitiva el comportamiento de la función f(x) cuando en lugar de acercarse x a un número real a, se aleja sobre el eje x hacia la derecha (x-> +00) o se aleja sobre el mismo eje hacia la izquierda (x^- -00). Ejemplo 1 Sea f ( X ) =

si x - 1 2 - x si

X

<

1

x ¿ 1

19

En la figura 5 se observa su gráfica y en ella se puede apreciar que a medida que x se acerca a 1 por la izquierda (x-> 1"), sus imágenes se van alejando cada vez ma's hacia abajo sin ninguna cota, lo que se representa con la expresión : Lim

f( x)

-

x - 1"

En forma análoga de la gráfica de la función

2 -

x

si

x ¿ 1

( figura 6) se puede visualizar el sentido de la expresión

Lim X -

f(x)

=

+

1"

y

20

Ilustre el significado de Limf(x)= x

'

+»,

a

Lint f(x)

= -oo,

x ~ a*

Lim f(x)=

+«,

x - a

Lim

f{x)

=

X - a

con las gráficas de

a)

c)

fix)

= 1

íW

b)

- ¿

fW

d)

= -1

- --L

Ejemplo 2 De la gráfica de

f(x) =1

(figura 7) se puede apreciar que a

medida que x se hace más grande su imagen estará cada vez más próxima a cero, confundiéndose con cero cuando x tiende a más infinito, esta situación se describe afirmando que el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es cero y se nota p o r : Lim X -

f{x)

=0

+ x < 1/M => 1/x > M es decir, f(x) > M. 2.

Lím f ( x ) =

, equivale a decir, que para cualquier número

M > 0, dado, existe 8 > 0 tal que si a - 8 < x < a entonces f(x) < -M. Ejemplo

24

f(x) = — —

Sea

(figura 10)

x + 3

Demostrar que

Lim —í— =

equivale a verificar que dado

x - -3"

M>0,

existe

8 > 0, tal que si -3 - 5 < x < -3 entonces 1/(x+3) < -M.

Para hallar este 5 (que depende de M), observe que si 1/(x+3) < -M => M + 1/(x+3) < 0 => (Mx + 3M + 1)/(x+3) < 0 => Mx + 3M + 1 > 0 (Pues como

x < -3

Mx

- 1

>

entonces

- 3M

=>

Así, si -3 - 5 = -3 - 1/M

x + 3 < 0)

=>

x > (-1 - 3M)/M = -1/M - 3 = -3 - 1/M (5 = 1/M) = (-3M - 1) / M < x < -3 => 1/(x+3)

(Ejercicio).

25

< -M

3. En forma análoga defina e ilustre con ejemplos similares los conceptos siguientes: Lim

f{x)

=

^

Lim

f{x)

=

x - a

4. En todos los cuatro casos anteriores, la función f(x) en las cercanías de a se aleja hacia arriba o hacia abajo pegándose a la recta x = a. En cualquier situación de éstas, se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de f(x). Definiciones 2 1

f[x)

= a

Equivale a decir, que dado e > 0 existe un N > 0

tal que si x > N entonces

f(x) - a

< e, es decir, si x > N entonces la

distancia entre f(x) y a es menor que el número e > 0 dado. Ejemplo Demostrar que

Lim - L = o

equivale a verificar que para un

X2

x ~ +°>

1/x2 - 0

e > 0 dado, existe un N > 0 tal que si x > N entonces

< c.

Para hallar este N (que depende de c) observe que: 1/x2 - 0

< e 1/x2 < 8 1/e < x2 1/8 <

X > 1/Vs~= N ( Pues

x

=x

1/x2 - 0

Análogamente defina e ilustre el concepto de: Lim

2

1/Ve"<

por qué ? ).

Así si x > N => x > 1/Vs => 1/x2 < s => 2.

x

f(x)

x - -OO

26

= a

0 cuando

Lim f ( x ) = B

entonces

f(x) - B

0 cuando

Lim x-a

Como

=A y

f{x)

x - a

0.

x - a -> 0 .

x-a

Ahora: f(x) - A

A - B

=

A - f(x) + f(x) - B

+ f(x) - B - > 0 + 0 = 0 cuando 32

< x-a

A - f(x) 0.

+

f(x) - B

=

Asi", O < | A - B | -> O, pero

como A y B son números fijos entonces

A - B = 0 y así A = B.

2.

La función constante f(x) = k es continua.

En efecto : Lim f{x) = f (a)

,ya que \f(x)-f(a)\

= i k - k | = 0, lo que implica que

x-a

f(x) - f(a) i -> 0 cuando 3.

x - a i - » 0.

La función idéntica es continua.

Demostración (Ejercicio). Según esto

Lim x = a x-a

4. Si Lim f(x) = A y Lim g(x) = B con A y B números reales i) Lim (f(x) ± g(x)) = Lim f(x) ± Lim g(x) = A ± B ii) Lim (f(x) . g(x)) = Lim f(x) . Lim g(x) = A . B iii) Lim (f(x)lg(x)) = Lim f(x)¡Lim g(x) = A/B, si B * 0. Aqui la expresión Lim, donde aparezca en esta propiedad, representa una sola de las siguientes situaciones: Lim X - a'

;

Lim X- a

,

Lim , x - a

Lim * -

+

, "

Lim x - - »

Demostración Se demostrará i) a manera de ilustración, las otras se hacen en forma análoga. De las hipótesis se tiene que: Lim f{x)

=A

, es decir, ! f(x) - A • -> 0 cuando ! x - a ! —> 0

x-a

33

y

Lim

- B

g{x)

, es decir

| g(x) - B ' -> O cuando ! x - a j -> 0, se verá que

x - a

j f(x) + g(x) - (A + B) ¡ -> 0 cuando En efecto: ! f(x) + g(x) - (A + B) 1 (f(x) - A) + (g(x) - B) i

<

x - a -> 0.

=

I f(x) - A

+

g(x) - B \

0 + 0 = 0 cuando

x - a I —> 0. 5.

Si f(x) y g(x) son continuas en un punto a entonces f(x) ±

g(xf(x)

. g(x)\ son continuas en a y si g(a) * 0 entonces f(x)/g(x) es continua en a. Demostración Se desprende inmediatamente de la propiedad anterior (Ejercicio). Ejemplos a) Como f(x) = k es continua en a y g(x) = x es continua en a, entonces H(x) = f(x).g(x) = kx es continua en a. b) Como f(x) = x es continua en a, entonces g(x) = x2 es continua en a, y en forma análoga x3, x4,

x100,

son continuas en a para

cualquier

a e R. c) En general f(x) = a0 + a ^ +

+ a ^ " . n c N es continua en a para todo

a en R (Ejercicio), por tanto : Lim

+ 2x2

(1 +

+ x3)

= 1 + 2 * 5 + 2 * 5 2 + 1 2 5 = 1 1 + 50 + 1 2 5 = 186

X-*5

d) Si P(x) y Q(x) son polinomios: Lim x-a

, . x-2

Lim

g(x)

=

g{a)

si q(a) ^ 0, por tanto

x2 - x - 4 2 2 - 2 +4 6 = = -— 2 2 x + 9 2 + 9 13

34

líw jx = ja x-a

e) Anteriormente se vio que

si a > 0 , esto indica que

la función Vx"es continua en todo a > 0. También se puede demostrar que en general todo a > 0

es continua en a, para

si n es par y para todo a si n es impar.

6. Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a) entonces g(f(x)) es continua en a es decir,

líw

x-a

g(f(x))

- g [líw

f(x))

' x-a

'

=

g(f(a))

Ejemplos

b)

Lím

x-2

y/x 2 + 2x

/

Lím

x2 + 3x + 5

Líw

x-3

Líw

+3

x

¡3x2

¿

(x2 +

+ 3)

t, II

a)

Líw

x

+ 3x + 5

4

+3

231

4

6

x-3

= [líw

+ 4

X—2

(3x2 + v/x^J4

= (12

+/F)

7. Con el mismo significado dado a Lim f(x) en la propiedad 4: Si Lim f(x) = L y Lim g(x) = L y f(x) < h(x) < g(x) (Para todo x cerca de a, o en más o menos infinito según sea el caso) entonces Lim h(x) = L. Este resultado conocido con el nombre de Teorema del emparedado se puede visualizar con la ilustración siguiente para

35

líw

(figura 12).

Figura 12

Ejemplo 1 Sen*

L i m

s¡x* + 1

=

0

En efecto: puesto

-1 ¿ X

entonces

que

- 1 ¿ Sen3

^x 2

¿

X

sjx2

jl

y

+ l ¿ 1

entonces

como-1/x y 1/x tienden a 0 cuando x-^+co

X

Sen3

+ 1

también tiende a 0 cuando x

X

36

+oc

Ejemplo 2 x2 Sen—

Lim x - 0

-i

= 0 X

En efecto 0 < | j^sen 1/x - 0 | = x21 sen 1/x | < x2 y como g(x)~ 0 y h(x) = x2 tienden a 0 cuando x-»0, entonces x2sen 1/x también tiende a 0 cuando x -> 0. Ejemplo 3 Lim | f(x) | = o

Si

Lim f(x) = o

entonces

x-a

x-a

En efecto: Lim \f(x) | = o

se sabe que - /¡fxj! < f(x) < l f(x) i y como

y

x-a

Lim -\f (x) | = o

, se concluye por e! teorema del emparedado que

x - a

Lim

x-a

f(x)

=0

Si se requiere calcular un límite de la forma

f (x)

Lim — - a y

X

C

\X)

o

n

f(x) y

g(x) continuas, pero tal que g(a) = 0, entonces no es posible calcular el límite simplemente reemplazando la x por la a . En estos casos se pueden presentar dos situaciones que requieren tratamientosdiferentes: la primera, que se tratará inmediatamente, es cuando f(a) también es igual a 0, y la segunda, que se tratará posteriormente es cuando f(a) es diferente de 0.

37

En la primera situación se procede inicialmente a realizar operaciones algebraicas correctamente, hasta conseguir que el reemplazo de x por a en el denominador no lo anule. Estas operaciones se realizan siempre teniendo en cuenta que x * a.

Ejemplo 1 Hallar

Lim

2 5 c

"

x- 5

X -

5

Si se reemplaza x por 5, el numerador y denominador se anulan, mas sin embargo: x2

_5

Lim x

-

(x - 5) (x + 5)

- 25 =_

x

5

x2 X

~

25

-

5

c

.

, pues x * 5 , luego

x + 5 = 10

= Lim x -

_ x„ + . 5 c

"

5

Ejemplo 2 Hallar

Lim

+ h 2

\

h- o

{x + h)

aquí

rpues

{x

2

y,

h * 0, luego

n

- x2

~

x2

Lim a-o

+ h2

+ 2xh

(x

ñ

+ h) 2

.

n

Ejemplo 3 38

"

- x2

=

2xh

+ h2

h

=

_

= Lim 2x + h = 2x A - .o

+

.

Hallar

+

Lim ^ h~O

sfnnti

- sf2

* ~ ^ h

( j y - m - / 3 ) (yr^rñ + yp h (\/3 + h + y j )

=

h

3 + h - 3

h (JJ~Tñ

pues h Lim

h

+ /3

)

1

h ( v/3~n

+ ^3 )

+ ^3

entonces ST^l

h

- v^

= Lim

i

a - o 73 + h + J3

-

Ejemplo 4

Hallar

Lim

^

x - 21

27

13

1

- 3 X - 27

(x

3

- 3)

( x - 27) (X - 27) (X - 27) (x

13

1 + 3x

3

(x (x

+ 9)

13

3

1

1

3

+ 3x

+ 9)

1

3

+ 3x

x

3

=

+9)

1 + 3x

pues x * 27, luego

39

1

3

+ 9

2^/3

Lim

V * - 3

,

x - 27 X - 27

L

i

m

1

2

x-21

3

x

1

=

1

+ 3x3

.

9 + 9 + 9

_ L

27

+9

Ejemplo 5 Lim x\4 "

Hallar

x-i

x

x

r • Lim

x-i

_

4x + 3

+ 2

- 4x + 3

3x + 2 _ 4

3x

l)2

x (x - l )

2

x3 - 3x + 2 r = Lim x4 - 4x + 3 x-i

(x

x

( x + 2) 2

+ 2 x + 3)

x + 2 + 2x + 3

pues x * 1, luego

+ 2 _ 3 _ 1 = — = — x2 + 2x + 3 6 2

En el caso en que al calcular

L

j£> Y[x)

se

tenga que g(a) = 0,

pero f(a) * 0, con f(a) real, la función f(x)lg(x) tiende a +co o a -oo cuando x tiende a a, según que f(a) sea positivo o negativo y que g(x) tienda a 0 por valores positivos o negativos de la forma siguiente: si f(a) > 0 y g(x) -> 0 por valores positivos, entonces

f(x)/g(x) - » +oo

si f(a) > 0 y g(x) - » 0 por valores negativos, entonces f(x)/g(x) -> -oo si f(a) < 0 y g(x) - » 0 por valores positivos, entonces

f(x)/g(x) -> -oo

si f(a) < 0 y g(x)

f(x)/g(x) ->• +oo

0 por valores negativos, entonces

Resultados análogos se tienen si se calculan límites laterales.

Ejemplo 1 40

Lim

Hallar

X-2

5x + 3 4 - x2

5x + 3-> 13 > O cuando x-> 2. Ahora observe que 4 - x 2 -» 0 por valores positivos si x2 < 4 o sea si x < 2, es decir, 4 - x 2 -> 0 cuando x -» 2", análogamente 4 - x2

por

valores positivos

0 por valores negativos cuando x 2 > 4

o sea cuando x > 2, lo que indica que 4 - x2 -» 0 por

valores

negativos

cuando x -» 2+ y por tanto : 5x + 3 4 - X2

Lim X-2'

5x + 3 4 - x2

Lim

y

x-2'

Ejemplo 2 x

Lim

Hallar

x - 3*

- 8

r • Lim

y

- 3

x

x -

Como x - 8 -> -5 < 0 cuando x

x - 8

3-

*

"

3

3 y x - 3-> 0 por valores positivos si x

y x - 3 ->• 0 por valores negativos si x r • Lim

x - 8 +

x~* 3

X

~

y

3

Lim x -

3"

x - 3

3+

3" entonces

=

Ejemplo 3 Hallar

Lim X-

1

x3

+ 3x - 8

U - D2

Como x3 + 3x - 8 -> -4 < 0 cuando x -> 1 y (x - 1 ) 2 -> 0 por valores positivos cuando

x

1

bien

sea

por

la

41

derecha

o

por

la

izquierda,

x3

entonces

Lim — X- 1

+ 3x —8

—— = -« 2

(x - 1)

Los resultados anteriores se utilizan también en el cálculo de límites cuando x

+oo o x

-oo en funciones de la forma f(x)Jg(x) después de realizar

algunos cambios en esta función

Ejemplo 1 x4 -

T • Lim

Hallar

+ x2 v2 X"

+3

+

X

Dividiendo entre x4 numerador y denominador, la expresión se convierte en: i Lim X-

J_

+

+ J

l

^

=

pues

+">

x2

Lim

x3

1 + JL + JL = i > o X2

y

X4

_L + _L _ o X2

positivos, cuando x -> +co.

Ejemplo 2

42

X3

por

valores

_5

Hallar

_3

x 2 + x

Lim X - + 0 0

2

2x

\

+ x

+ 1 JT

2

+2

Si se divide numerador y denominador entre x5/2 se tiene :

i

+

1

+

X -

X

r LIM

2

+ X _

2x

2

+ x

2

+ 1

2

1

.

2

X

= TLIM

1

——- = —

O

.

1

+2

.

2

I v

2

~ 1 2

„ 2

Ejemplo 3 1

3

Hallar

Lim

+

* ^

+ 3 2

7x3

+ x

2

+ x

si se divide numerador y denominador por x3 se tiene :

+

+

Lím X-

+ 3

X

+ O cuando x-> a.

Nota. Esta desigualdad se tiene, ya que para todo x real :

sen x I <

x

En efecto : considerando inicialmente el caso 0 < x < n/2 y comparando el área del sector circular determinado por el ángulo x y el área del triángulo con base 1 y altura sen x, como se aprecia en la figura 13, se tiene que : y Figura 13

x2+y2= 1

sen x x

área triángulo OPQ < área sector circular OPQ, es decir, 1. (Sen x) 12 < x 12 , entonces Sen x < x. Considerando i Sen x

<

que la función Sen x es impar, se puede verificar

que

x ¡ para -n/2 < x < 0, y considerando el comportamiento del

Senx en otro intervalo se puede mostrar que en general

Sen x

< jx

Vx

(Ejercicio). Ejemplo 1 f(x) = Cos x es continua para todo a e R; para ello representemos Cos x como :

Cos x = Sen (ti/2 - x), y así como Sen x y n/2 - x son continuas, entonces Cos x es continua. En resumen: 46

Lim Cos x = Lim Sen (-* x-s

Ejemplo 2

- xj =Sen {Lim

\ 2

- x )) =Sen ^

- a) = Cos a

L

La función

Tan x =

s

n

x

Cos

x

f

es continua en R - {(2n + 1)tc/2 \ n e z}

Por qué? (Ejercicio). ¿Dónde son continuas ias funciones Cot x, Sec x y Csc x ? (Ejercicio)

Ejemplo 3 Lim

I s e n Ux2

X-3

l

Sen

Lim x - 0

S e n

x

l x'

* 11 + Sec

+ 3x \ + Tan ¡Lim

3

/

Sen

B)

+ Tan

\ yjx + 6 1

¡Lim \jx2 \x

+ 3x)

\x

(v/18)

+ Tan

3

x ¿

+ 1

^x

+ 6

(M)

(— ) 1 = \ x

1 + sec '

I 1

(Lim \x

-

— i= y

X

}

+ Sec

=

X

El cálculo de este límite requiere una ilustración geométrica basada en las definiciones de ángulos en radianes y de

funciones trigonométricas por

medio de! círculo unitario. Se considerará solamente el caso 0 < x < tc/2 De la figura 14 se puede concluir que. 47

Figura 14

Area

del

triángulo

área del triángulo OPQ Cos x gen x

¿

Cos

X

<

x

v Sen

x

<

área sector

circular

OPR

<

=> ¿

Tan x

2

2

<

ORS

=>

5e/7

Tan

x=>

2

1 Cos

y puesto que las tres expresiones son

x

mayores que cero se tiene, tomando sus recíprocos, que > Senjc Cos

>

Cos

x

X

Por la continuidad de la función Cos x, se tiene que cuando x-> o+ Cos x - > 1 y 1/Cos x -> 1 ; por tanto aplicando el teorema del emparedado se concluye que : S e n x L i w

= i

48

Usando el hecho de que la función Sen x es impar se considera el caso -71/2 < x < 0 ( 0 < - x < 7c/2) obteniendo como resultado S e n x

=1

Lim x

-

0"

Ejemplo 1 T S e n Lim

x -0

x

ax = a

En efecto: haciendo p = a x , cuando x-> 0, a x-> 0, es decir, p-> 0 y asi; inicialmente se tiene que: Sen

L i m

x-o

ax

= L i m

ax

Senji

n-o

=

2

|i

y utilizando este resultado entonces: j • Lim

Se.n

x o

2)

a x

x- o

x

Lim

^ ~ Cos x

x - 0

X

Lim x — 0

_ r . = Lim

Cos X

x

„ Ser? a x a a x

„ = a

, . Li/r? -

x o

Sen

a x

„ = a

.

. 1

X

(1

=

a

a x

= Q

= Lim x - 0

{1

~

Cos

X

x )

(1+

( 1 + COS x )

49

Cos2

= L¿/» X- 0

X

+ Cos

x)

Sen2

, • Lim x

-o x

Lim

x

Sen —-—^ x. Sen T • = Liw x - o x 1 + Cos

r

1 + Cos x)

S e n

x

o

* Liw

Sen

x.Lirn

O

X

-

O

1

+

x x)

Cos

X

1*0*— = O

2

3)

Liw

1

*

- 2 C o g x n - 3x

= - —

Haciendo el cambio de variable (j = x - n/3 (x = [j + n/2>) se puede apreciar que cuando x-> 7i/3, entonces p-» 0 y asi:

1 - 2 1

Lim -I

-

2Cog

71

~

*

1 - 2

3 X

71 - 3

[Cos

—

— Cos

Sen [i

i*

2 *

Lim ü

-1

Liw

3 (i-o

1

Li

2

~o ~

+

2 - ^ -

2

Sen

~3\i

Cos

H

+ Jl)

— Cos |i - Sen —

Liw

1 -

COS (— + \i) 2

= Liw

»

- ^

Liw

3 n- o

^

50

Sen

»

+H

= 0 - Ü

3

=

=

--L

C)

Definición de Función Exponencial y Logarítmica

Para a > 0, definiendo a° = 1, a n = a.a

a (n-veces), a"n = 1/an, a1/n = "Va

queda definida para cada a > 0 una función f(x) = ax, para todo x racional. A partir de estas definiciones se demuestran propiedades para esta función de

variable

racional

tales

como: ap > 0, Va, ap+q = ap aq, a w = (ap)q,

ax es creciente para a > 1 y decreciente para 0 < a < 1, y puesto que es inyectiva existe la inversa para cada "a", ésta se conoce como logaritmo en base "a":

loga x = y < - > x = a y y esta función, como inversa de la

exponencial, posee propiedades como :

loga1 = 0 ;

logaa = 1; loga(uv) = loga u + loga v, loga(u/v) = loga u - loga v; loga up = P loga u ; loga x es creciente para a¡-> 1 y decreciente para 0 < a < 1, loga x

es inyectiva para todo a > 0 a * 1, además :

Loga

x = L°9b Logb

X

a

y

a* = bx

L 9b a

°

El problema es que hasta aquí ni las funciones exponenciales, ni las logarítmicas están definidas en tramos continuos de la recta real, razón por la cual inicialmente se ampliará la definición para cada a > 0 de f(x) = ax, a todo x real, para lo cual solo falta definir, ax para x irracional. Para ello recuerde que

un número cuya representación decimal es finita, es un

número raciona!, pues automáticamente esta representación es periódica, ya que se supone que a su derecha van infinitos ceros. Sea x un número irracional con representación decimal (no periódica) x = a.a^^

donde los a¡ son dígitos.

Observe que para cada k. para el cual ak * 9 se tiene que : 51

P k = a.a^a2

ak < x < aa,a 2

(ak+1) = q k y los Pk y qk son racionales.

Además entre más grande sea k, P k y qk difieren menos de x. Así se han construido

dos sucesiones de números racionales

(Pk)keN,

(q k ) k e N tales que:

Lim

Pk = x

y

k - o»

Lim

qk = x

k - °°

Es decir, todo número irracional se puede representar como límite de una sucesión de números racionales (por exceso y por defecto). Ahora como para cualquier a > 0, y cualquier q e Q, aq está definido, entonces si x es un número irracional, con define

a x = Lim

a

x = nLim qn - o»

entonces se

D

n~ 0, la función f(x) = a*, con x e R, y las propiedades consideradas para el caso x € Q se cumplen también para x g R, y puesto que es inyectiva con dominio R y recorrido R+, entonces tiene inversa con dominio R+ y recorrido R, y así para cada a > 0 queda definida la función logaritmo para todo x e R+, función que satisface también las propiedades enunciadas para el caso restringido,

Especial interés presenta en matemáticas

el estudio de las funciones

exponencial y logarítmica en base "e", donde e es un número definido como el límite de la sucesión 52

e = Lim n

¡1 + —) -» \ ni

Se puede demostrar que para cualquier valor de n la expresión (1 + 1/n)n es mayor que 2 y menor que 3 y que la sucesión es creciente, pero crece en forma lenta,así por ejemplo para n = 1000, (1 + 1/n)n es igual a 2.7169, para n = 10.000 es igual a 2.71826, para n = 1.000.000 es 2.71828, para n = 10.000.000 es 2.718281. También se puede demostrar que el número límite de esta sucesión es irracional y es

aproximadamente igual a:

e=2.718281..

El logaritmo en base e, o sea la inversa de la función f(x) = e* se llama logaritmo natural y se nota por Ln, (In x = loge x ). Con esta definición de e, la función exponencial en base e : ex se puede representar como:

ex

= /Lim ¡1 + — i" f = Lim ¡1 + Vn - «o \ n I I n- oo \

P = Lim í 1 + 4 n j k-« \

,este último paso haciendo k = nx, pues si n -> +oc

f k !

k -> +oo (para x > 0) y

1/n = x/k

Observación

En forma más genera! se puede definir el número e como

53

e = Lim

x - a

?{x)

( 1 + g{x))

Si

Lim

x - a

g{x)

=O

cr e = .Lim

(1 +

——r g{x)

x - a

D)

Si

Lim

g{x)

=

Continuidad de la función exponencial y logarítmica

1. Inicialmente se demostrará que la función f(x) = ex es continua en "0", es Lim ex = e° = i

decir,

ex - 1

lo que significa que

-» 0 cuando x

0.

x - 0

Se trata ráso la mente, el límite por la derecha, o sea se considerará x > 0, lo cual implica que, por ser creciente la función, ex > e° = 1, y asi ex - 1

= ex - 1.

Para ello se requiere primero demostrar la desigualdad e x >1+x Vx > 0 /

e* = Lim { i + \ Limil+n » \

(*) n

+ 1

2

n(n-l)

nj

=

+

n

U I

Lim n-

\

l l + n - Z ) = l + x n¡

y (1 + x) < ex para x > 0. Para demostrar que e x -1

0 cuando x

0 se mostrará que e x -1 > 0, puede

ser tan pequeño como se quiera, acercando suficientemente x a cero. Para ello sea e>0 tan pequeño como se quiera. Tomemos x = In (1 + e). Observe que, puesto que 1 + 8 < eE => x = In (1 + e) < In (e£) = s (por ser ex creciente) y

así cuando s

0 , x -> 0 (pues 0 < x < s) y además. 54

se puede hacer tan pequeño como se quiera, para valores de x tales que x -> 0. ex = eb

2. f(x) es continua en todo b e R., es decir

ex-eb

- > 0 s i x - > b , yaque e x - e b

=

e b (e x - b -1)

0

= eb e x b - 1

sea

->0,

si x -> b,pues haciendo u = x-b, si x -> b, u -> 0 y así: eb(ex"b- 1)

eb

=

(eu- 1)

-> 0 (si u - > 0)

3. f(x) = ax es continua para todo a > 0. En efecto: f(x) = ax = ex ln 3 y puesto que x In a es continua (constante por x) y la exponencial en base e es continua, entonces ax = ex l n a ,que es la compuesta de estas dos, también es continua. 4. f(x) = logax es continua para todo x e R, es decir, Lim Loga

x = Loga

x-b

Log„ 4 I - 0 b'

b

o

| l o g a x - Loga

jb|-0

O

SÍ X - » b.

Para ver esto, sea y = Log a x/b => ay = x/b y Si x -> b => x/b y ^ O ^ Log

a

(x/b)

0.

Ejemplos 55

1 => ay ->1 =>

e5x

Lim

+4 = e 5 * 2

+ 4

= e14

x-2

2 .

e3x

Lim

+3

= e3

x-0

3.

Lim

+ 5)

Log^{2x

= Log 3 (9)

X—2

4.

Lim

Ln{x

+10)

= Ln 10

x-0

5.

Lim

E.

Ln

Lim x-0

Lim x-0

[x2

Ll7

+ 5 x + 1)

(1

+

= Ln( 1 + 5

= a

y

+ 1)

Lim

A

x-0

= Ln7

^ L l A

= i

X

-

Ln

= Lim -A

Ln

(1+ ax)

x

= Ln

x-0

(Lim

(1+ ax)

x

4

)

= Ln(ea)

= a

x-» O

(Por la continuidad del logartimo) Ahora haciendo el cambio de variable p = ex- 1 (x = ln ( p+1)) se puede apreciar que cuando x -> 0 entonces p -> e°-1 = 0 , (por la continuidad de la función exponencial), luego 56

eX

Lim

1

x-o

= Lim

X

, ^

n-o X r z

(n

+ 1)

= Lim ^o

Ln

'

=

,1

= -

(1

+

j¿)

= 1 1

Ejemplos 1.

Lim

—

-

x-0

= Ln a

X

Puesto que

x

'

1

=

x

'

x Ln a

Ln a

entonces x ^

-

Lim -

x

x-o

1 i

= Lim

(

x-o

a

L n

11

-

x Ln a

—

Ln a = 1. Ln a = Ln a

(haciendo p = x ln a) Lim-^ 0 ^ 3

2.

x-o

(1 +

x

^

~

*

Li? a

Haciendo el cambio de base se tiene que Log(

Lim

L g

°*

i + ¿x) =

{ 1 + h x )

o

nlim . x-e

y3 entonces

Ln a

- Lim

x-o

x-0

ó

( 1 + bx)

Ln

x Ln a

=

Ln a

ln x - 1 = x-e

Haciendo p = x - e; cuando x -> e, m 57

0 y así:

x-o

x

Ln a

.

Ln x - 1 , • ± = Lim X - e x-e

Lim x-