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BOLETÍN DE PROBLEMAS

MÁQUINA SÍNCRONA 2009/2010

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MÁQUINA SÍNCRONA Problemas propuestos 1. De un motor síncrono trifásico de 50 CV, 380 V, 10 polos, 50 Hz, conectado en estrella, se conocen los siguientes datos: Impedancia síncrona:

0,4 + j 5 Ω por fase

Pérdidas rotatorias (que se suponen constantes) :

2,5 kW

Resistencia del inductor:

40 Ω

Se fija la intensidad de excitación en 5 A, de forma que cuando el motor suministra su potencia nominal el factor de potencia del motor es de 0,8 en adelanto. Calcular, en estas condiciones, el rendimiento del motor.

2. Un motor síncrono trifásico, de 380 V, 50 Hz, 30 kVA, factor de potencia 0,8 en adelanto y conectado en estrella, tiene una impedancia síncrona por fase de 1 + 2j Ω. Sus pérdidas totales mecánicas y magnéticas, supuestas constantes, ascienden respectivamente a 0,6 y 0,4 kW. Inicialmente, su eje está alimentando una carga de 15 CV y el factor de potencia es de 0,8 en adelanto. Partiendo de esta situación inicial, se desea conocer en qué proporción hay que variar el flujo para que la potencia en el eje aumente un 20 por 100 y la intensidad de línea se mantenga en el valor de la carga anterior.

3. Un motor síncrono trifásico de 4 polos, tiene una resistencia de inducido despreciable y una reactancia síncrona de 3 Ω/fase. Está conectado a una red de 2000 V, 50 Hz. La excitación es constante y produce una f.e.m. de 1150 V/fase. Calcular la potencia activa absorbida de la línea, el factor de potencia y el par desarrollado en el eje si la corriente del inducido es de 200 A.

4. Un motor síncrono trifásico conectado en estrella, con 4 polos, 50 Hz, 380 V, tiene una impedancia síncrona por fase de 0,04 + 0,4 j Ω. La intensidad de excitación se fija para que la tensión inducida sea de 450 V, siendo la potencia de entrada al motor, en estas condiciones, de 140 kW. Calcular: a) La intensidad de entrada. b) El par interno. 5. En la central eléctrica de un aeropuerto existen dos grupos electrógenos de 6√3 kV en paralelo que alimentan una carga trifásica equilibrada de 4000 kW con factor de potencia en retardo de 0,9. Los generadores síncronos de ambos grupos están conectados en estrella y tienen impedancias síncronas, por fase, de Z1 = 0,6 + j 10 Ω para uno y Z2 = 0,4 + j 11 Ω para el 1

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otro. En determinadas circunstancias la potencia que suministran ambos generadores es la misma y el número 1 tiene una corriente por el inducido de 130 A en retardo. Calcular las tensiones inducidas de ambos generadores y la corriente por el inducido del generador número 2 y su factor de potencia.

6. Un motor síncrono trifásico hexapolar, conectado en estrella, tiene una resistencia de campo de 30 Ω y se supone despreciable la resistencia eléctrica efectiva del devanado del estator. Las conclusiones obtenidas al ensayar la máquina como generador impulsado a 1000 r.p.m. son las siguientes: en vacío, la tensión inducida compuesta en función de la intensidad de excitación viene dada por E = 40 Ie. En cortocircuito, la intensidad por el inducido en función de la intensidad de excitación viene dada por Icc = 66 Ie. En unas condiciones determinadas, el motor suministra una potencia en el eje de 57 CV a una carga mecánica, estando conectado a una red trifásica de 220 V, 50 Hz, de la cual absorbe 48 kVA, con factor de potencia 0,9 en adelanto. En dichas condiciones, calcular: a) La reactancia síncrona. b) La intensidad de excitación. c) Las pérdidas rotatorias. d) El par interno. e) El rendimiento del motor.

7. Un alternador trifásico tiene una resistencia de inducido despreciable y una reactancia síncrona de 30 Ω/fase. Está acoplado a una red de potencia infinita de 11 kV y desarrolla 4000 kVA con f.d.p. unidad. Si se aumenta la f.e.m. un 20% permaneciendo constante la entrada de potencia a la máquina motriz. Determinar el nuevo f.d.p. con que trabajará la máquina y la potencia aparente que suministra. Justifíquese cómo se conectaría el alternador, ¿en estrella o en triángulo?.

8. Una máquina síncrona, octopolar, conectada en estrella, tiene una reactancia síncrona por fase de 6 Ω. Funcionando como motor se conecta a una red trifásica de tensión desconocida a 50 Hz, absorbiendo una corriente de 105 A con un factor de potencia en retardo de 0,8 y suministrando una potencia de 865 kW. La máquina se conecta como alternador con el mismo valor de la corriente de excitación que anteriormente como motor, y proporciona una tensión de 6000 V a una carga trifásica equilibrada con factor de potencia 0,6. Calcular: a) La tensión de la red de alimentación al motor. b) La potencia de la carga conectada al generador.

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9. Las siguientes pruebas se refieren a un alternador trifásico conectado en estrella de 400 V: Vacío:

tensión 400 V y excitación de 6 A

Cortocircuito:

lcc = 400 A, lex = 4,5 A lcc = 800 A, lex = 9,5 A

La característica de cortocircuito se supone lineal. La resistencia entre dos terminales cualesquiera es de 0,3 Ω. Utilizando el método de la "impedancia síncrona saturada", calcular el porcentaje de regulación para un f.d.p. de 0,8 en retardo, siendo la corriente de plena carga de 50 A.

10. Un motor síncrono trifásico conectado en estrella, de 50 CV, 380 V, 10 polos, 50 Hz, tiene una reactancia síncrona por fase de 1 Ω. Suponiendo despreciables las pérdidas, se pide calcular: a) El par interno con la carga nominal y el factor de potencia unidad. b) Manteniendo constante la intensidad de excitación en el valor fijado en el apartado a), la intensidad y el factor de potencia para que el par interno sea máximo, así como el valor de este par.

11. La instalación eléctrica de un hangar, que se considera equilibrada, consume 15 kW con un factor de potencia de 0,8 en retardo. La tensión de alimentación es trifásica a 220 V, 50 Hz. Para corregir el factor de potencia a 0,96 en retardo, se ha decidido utilizar un motor síncrono trifásico hexapolar a 220 V de 6,5 CV, cuyo estator está conectado en triángulo. La curva de magnetización de esta máquina da los siguientes valores:

Ie (a)

0,5

1

1,25

1,5

2

3

4

Ei (V)

83

166

208

220

250

290 320

siendo la resistencia del circuito de excitación 50 Ω. El motor en vacío a 220 V, 50 Hz, con una intensidad de excitación de 1,25 A consume 2,2 A. Un ensayo en cortocircuito da una corriente por el inducido de 25,4 A, con una intensidad de excitación de 1,5 A. Calcular la intensidad de excitación del motor para alcanzar el factor de potencia deseado trabajando a plena carga, así como la potencia absorbida en la excitación del motor. Se supondrá despreciable la resistencia del devanado del estator. 12. Dos alternadores idénticos de 5000 kVA, 6,6 kV, conectados en estrella funcionan en paralelo con las mismas excitaciones y se reparten por igual una potencia activa de 8 MW a 6,6 kV con f.d.p. 0,8 inductivo. Las resistencias de los inducidos son despreciables y las reactancias síncronas por fase valen 17,4 Ω. Se pide:

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a) Calcular las f.e.m.s de línea de cada generador. b) Si la f.e.m. de uno de los generadores se reduce un 15% determinar la f.e.m. que tendrá que generarse en el otro para evitar un cambio en la tensión en barras y un suministro adicional de vapor a “cada uno“. c) Calcular en las condiciones del apartado anterior las corrientes suministradas por cada generador y sus f.d.p.

13. Una industria absorbe una potencia activa de 2000 kW con f.d.p. 0,6 inductivo de una red de 6000 V. Se coloca un motor síncrono conectado en estrella que va a desarrollar una potencia activa de 400 kW con rendimiento 0,8 para elevar el f.d.p. de la instalación a la unidad. Se pide: a) Determinar la potencia aparente del motor síncrono y el f.d.p. con el que trabaja. b) Si el motor tiene una resistencia de inducido despreciable y una reactancia síncrona de 2 Ω/fase, estando la curva de vacío determinada por la ecuación:

Eo =

9000 I e 30 + I e

donde Eo se expresa en voltios de línea, e Ie en amperios de excitación. Calcular la f.e.m. Eo del motor y la excitación necesaria en el inductor.

14. Un motor síncrono trifásico a 220 V, 50 Hz, con seis polos y conectado en estrella, tiene una impedancia síncrona por fase de 0,25 + 2j Ω. La intensidad de excitación de este motor se ajusta para que la tensión inducida alcance un valor de 1,5 veces su tensión nominal y el factor de potencia en adelanto sea de 0,8. Calcular: a) La potencia interna. b) El par de salida sabiendo que las pérdidas rotatorias, supuestas constantes, ascienden a 300 W. c) Rendimiento del motor en las condiciones del apartado anterior.

15. Un motor síncrono trifásico de 400 V., 6 polos, 50 Hz., conectado en estrella, tiene una impedancia síncrona de 0,5 + j 4 Ω./fase. Absorbe una corriente de 15 A. con f.d.p. unidad cuando funciona con una cierta excitación. Si se aumenta el par de carga hasta que la corriente de línea sea de 60 A., permaneciendo constante la excitación, hallar el par total desarrollado y el nuevo f.d.p.

16. Dos alternadores idénticos conectados en estrella, están acoplados en paralelo alimentando una carga aislada. Ambas máquinas, tienen sus resistencias de inducido despreciables y sus reactancias síncronas son de 10 Ω/fase. Las f.e.m.s. generadas por cada alternador son E1 =

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6700 V/fase y E2 = 6500 V/fase estando la f.e.m. E2 adelantándose 10º eléctricos respecto a E1. Si la carga absorbe una corriente total de 500 A que está desfasada 37º en retraso respecto a la f.e.m. E1, calcular: a) La tensión en la barra común a ambas máquinas en voltios por fase. b) Las corrientes suministradas por cada alternador con sus f.d.p. c) El f.d.p. de la carga.

17. Un motor síncrono trifásico de 6600 V conectado en estrella, trabaja con tensión constante y excitación constante. Su impedancia síncrona es 2 + j 20 Ω/fase. Cuando la entrada es de 1000 kW, el f.d.p. es de 0,8 capacitivo. Hallar el f.d.p. cuando se aumenta la entrada hasta 1500 kW.

18. Dos alternadores idénticos de 15 MVA, 6,6 kV, 50 Hz. conectados en estrella, están acoplados en paralelo, suministrando en conjunto a una red aislada una potencia de 20 MW con f.d.p. 0,8 inductivo. Ambos generadores tienen resistencias de inducido despreciables y reactancias síncronas de un valor de 2,83 Ω/fase. Sabiendo que la potencia activa se reparte pro igual entre ambos generadores y que el primero tiene una f.e.m. de 11484 V de línea, calcular: a) Las corrientes suministradas por cada generador con sus f.d.p respectivos. b) La f.e.m. generada por el segundo alternador.

19. Un generador síncrono de 20 kVA, 380 V, 50 Hz, conectado en estrella, tiene una impedancia síncrona por fase de 0,4 + 1,4 j Ω y una resistencia del inductor de 4 Ω. Cuando el generador suministra su potencia nominal con un factor de potencia de 0,8 en retardo, la intensidad de excitación es de 5 A y las pérdidas rotatorias, supuestas constantes, son 0,5 kW. En dichas condiciones de carga, calcular: a) La potencia de entrada al generador. b) El rendimiento del generador.

20. Un generador síncrono trifásico conectado en estrella de 6600 V, 50 Hz, tiene una resistencia del inducido despreciable y una reactancia síncrona constante. La curva de vacío está definida por la ecuación.

Eo =

12210 I e 85 + I e

donde Eo expresa la f.e.m. de línea e Ie la corriente de excitación. Se conecta la máquina a una red de potencia infinita; una vez efectuado el acoplamiento y sin cambiar la corriente de excitación, se abre el distribuidor de agua a la turbina hasta que el alternador suministra a la red

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una potencia activa de 10 MW. En esta situación se aumenta la corriente de excitación un 50% respecto al valor de conexión sin modificar la potencia de entrada a la máquina motriz comprobándose entonces que se obtiene un f.d.p. 0,8 inductivo. Calcular: a) La reactancia síncrona del alternador. b) El f.d.p. con el que trabaja la máquina antes de cambiar la excitación y entregando la potencia de 10 MW.

21. Un alternador trifásico conectado en estrella tiene una resistencia de inducido despreciable y una reactancia síncrona de 10 Ω./fase. Está acoplado a una red de potencia infinita de 11 kV y se sabe que desarrolla una potencia con f.d.p. 0,673 inductivo, siendo el ángulo de potencia δ = 10º. Calcular: a) La f.e.m. de línea producida por el generador. b) La potencia activa que suministra el alternador a la red. c) Regulación de tensión del alternador.

22. Un alternador trifásico conectado en estrella tiene una resistencia del inducido despreciable y una reactancia síncrona de 8 Ω/fase. La curva de vacío está definida por la ecuación:

Eo =

20240 I e 42 + I e

donde Eo expresa la f.e.m. de línea e Ie la corriente de excitación. Se conecta el generador a una red de potencia infinita de 11 kV suministrando en un momento dado una potencia activa de 3810 kW con f.d.p. unidad. En esta situación se aumenta la “corriente de excitación“ un 50% sin modificar la apertura de distribuidor de turbina. Calcular: a) La intensidad del inducido y su f.d.p. en estas condiciones. b) La potencia activa máxima que podrá ceder la máquina a la red antes de perder el sincronismo con el nuevo valor de la excitación. c) La intensidad y el f.d.p. en el caso anterior.

23. Un generador síncrono trifásico conectado en estrella de 6600 V, tiene una impedancia síncrona de 0,4 + j 6 Ω/fase. Calcular la regulación de la máquina cuando suministra una potencia de 1000 kW a la tensión nominal con f.d.p.: a) 0,866 inductivo, b) unidad, c) 0,866 capacitivo.

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24. Un alternador trifásico, conectado en estrella, tiene una impedancia síncrona de j10 Ω y está conectado a una red de potencia infinita de 11000 V suministrando una corriente de 220 A con f.d.p. unidad. Sin cambiar la entrada de potencia a la máquina motriz, se eleva la f.e.m. un 25%. Calcular: a)La intensidad del inducido y su f.d.p. en estas condiciones. b) La potencia activa máxima que podrá ceder la máquina a la red antes de perder el sincronismo, con el nuevo valor de la excitación. c) La intensidad y su f.d.p. en las condiciones del apartado anterior.

25. Un alternador trifásico conectado en estrella de 1000 kVA, 4600 V, tiene una impedancia síncrona de 2 + j 20 Ω/fase. Determinar la regulación a plena carga con factores de potencia: a) unidad, b) 0,75 inductivo.

26. Un alternador trifásico de 5000 kVA, 6600 V, conectado en estrella, tiene una curva de vacío definida por la ecuación:

Eo =

7400 I e 85 + I e

donde Eo se expresa en voltios por fase e Ie representa la corriente de excitación. La resistencia y reactancia de disposición del inducido por fase son 0,2 Ω y 1 Ω, respectivamente. Se obtiene la corriente de plena carga en cortocircuito con una excitación de 20 A. Calcular: a) El margen de excitación necesario para dar una tensión nominal constante desde vacío a la plena carga con f.d.p. 0,6 inductivo. b) Si las pérdidas en el hierro, por fricción y rozamiento con el aire ascienden a un total de 100 kW y las bobinas de campo están alimentadas con una excitatriz a 200 V, calcular el rendimiento a plena carga con f.d.p. 0,6. 27. La resistencia efectiva de un alternador monofásico de 2200 voltios, 50 c/s, y 440 KVA es de 0,5 Ω. Una determinada corriente de excitación produce una corriente en el inducido de 200 A en cortocircuito, y una f.e.m. en circuito abierto de 1160 voltios. Hallar la impedancia y la reactancia síncrona saturada.

28. Un alternador trifásico de 1500 kVA, 6600 V, conectado en estrella, tiene una curva de vacío definida por la ecuación:

Eo =

12210 Fe 4250 + Fe

donde Eo se expresa en tensión de línea y Fe representa la f.m.m. de excitación en AV/polo. La resistencia y reactancia de dispersión del inducido, por fase, son 0,6 Ω y 2,3 Ω, respectivamente. 7

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Se obtiene la corriente de plena carga en cortocircuito con una excitación de 2500 A-V/polo (este es un modo de dar la reacción del inducido a plena carga). Cuando la máquina está girando a plena carga con f.d.p. 0,8 inductivo, determinar: a) La f.e.m. resultante, Er, de línea. b) La corriente de excitación necesaria en el inductor si se sabe además que la máquina tiene polos salientes devanados con 190 espiras cada uno. c) Si en la situación de los apartados anteriores se desconecta repentinamente la carga, ¿cuál será el valor de la tensión de línea que aparecerá en bornes de la máquina?. d) ¿Cuánto vale la regulación de tensión de la máquina?.

29. Un alternador trifásico conectado en triángulo de 2300 V y 2500 KVA, tiene una resistencia de 0,1 Ω/fase y una reactancia síncrona de 1,5 Ω/fase. El alternador se regula para dar su tensión nominal en vacío. Calcular: a) La tensión en bornes necesaria para que circule la corriente nominal para cos ψ = 0,6 en atraso, siendo ψ el ángulo entre IL y UL. b) La regulación del alternador en estas condiciones.

30. Una planta industrial consume una potencia media de 400 kW, a 380 V, con un f.d.p. de 0,7. Con ocasión del montaje de un nuevo motor de 150 CV para el accionamiento de un compresor de aire se desea mejorar el factor de potencia a base de utilizar para el accionamiento del compresor un motor síncrono. Hallar: a) La potencia aparente absorbida por el motor síncrono, funcionando en vacío, para elevar el factor de potencia del sistema eléctrico de la planta a 0,95. Las pérdidas del motor síncrono en vacío son de 5 kW. b) La potencia aparente del mismo motor cuando acciona a plena carga el compresor, para que el coseno total sea de 0,9. El rendimiento del motor en estas condiciones vale 0,9 c) Las corrientes de la red después del incremento del factor de potencia a 0,95 y 0,9 respectivamente. 31. Una industria absorbe una potencia activa de 2000 kW con fdp 0,6 inductivo de una red de 6000 V. Se coloca un motor síncrono conectado en estrella para cambiar el factor de potencia de la instalación. Del motor síncrono se conoce: • Resistencia del inducido despreciable. • Reactancia síncrona: 2 ohmios/fase. • Tensión nominal: 6000 V. • Curva de vacío: E0L = 9000 Ie/(30 + Ie), donde E0L es la fem inducida en vacío (valor de línea) expresada en V e Ie es la corriente de excitación expresada en A. • Pérdidas mecánicas: 50 kW.

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Cuando el motor trabaja en vacío compensando toda la reactiva que consume la planta industrial, calcular: 1. Potencia (activa y reactiva) consumida por el motor. 2. Corriente consumida por el motor. 3. Tensión inducida en vacío. 4. Corriente de excitación. 5. Dibujar y explicar el diagrama fasorial del motor. Si el motor desarrolla una potencia útil de 500 kW y compensa la mitad de la potencia reactiva consumida por la planta industrial, calcular: 6. Potencia (activa y reactiva) consumida por el motor. 7. Corriente consumida por el motor. 8. FEM inducida en vacío. 9. Dibujar y explicar el diagrama fasorial del motor. Si el motor desarrolla una potencia útil de 500 kW y la corriente de excitación se fija en 40 A, calcular: 10. FEM inducida en vacío (módulo y angulo de par). 11. Corriente consumida por el motor. 12. Potencia global (activa y reactiva) consumida por el motor y la planta industrial. 13. Factor de potencia total del conjuto motor y planta industrial. Dibujar y explicar el diagrama fasorial del motor. 32. Un motor síncrono trifásico tiene las siguientes especificaciones: • Tensión nominal: 220 V. • Frecuencia nominal: 50 Hz. • Número de polos: 6. • Conexión en estrella. • Reactancia síncrona: 2,2 ohmios/fase. • Resistencia del devanado del inducido despreciable. La intensidad de excitación se ajusta para que la tensión inducida en vacío alcance un valor de 1,3 veces la tensión nominal de alimentación. En estas condiciones, el factor de potencia del motor es 0,8 en adelanto. Se pide: 1) La corriente consumida por el motor. 2) La potencia interna y el par útil desarrollado, sabiendo que las pérdidas mecánicas son 300 W, y se consideran constantes. A continuación se incrementa la corriente de excitación del motor hasta que la tensión inducida en vacío alcanza un valor de 1,5 veces la tensión nominal de alimentación. El motor sigue desarrollando el mismo par útil que el calculado en el apartado (2). Se pide: 3) La nueva corriente consumida por el motor y el factor de potencia del mismo. 4) Razónese: a. Si el motor cede o consume potencia reactiva de la red en los dos casos de funcionamiento. b. ¿En que situación el motor cede o consume más potencia reactiva de la red? c. Compruébese numéricamente las dos preguntas anteriores (Esta pregunta sólo se valorará si se han contestado correctamente a las preguntas 4.a y 4.b).

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32. Un motor síncrono conectado en estrella se alimenta mediante un alternador, cuya reactancia síncrona es de 2 ohmios. La reactancia síncrona del motor es de 1,5 ohmios, siendo la resistencia del inducido despreciable en ambas máquinas. La tensión de alimentación de motor debe ser de 400 V y está accionando una carga que ejerce un par resistente de 285 Nm. Se desprecian las pérdidas mecánicas de ambas máquinas. Se pide: a) Velocidad de giro del motor si esta máquina tiene 3 pares de polos. b) Potencia útil desarrollada por el motor. c) La excitación del motor se fija de tal manera que la tensión inducida en vacío es de 250 V (valor de fase). Calcúlese el ángulo de carga del motor. d) En las condiciones de funcionamiento anteriores, calcúlese la corriente que consume el motor. e) Si la curva de excitación del alternador es E0(Línea ) = 150 ⋅ I excitación , determine la corriente de excitación del alternador. f) Debido a unas modificaciones en la máquina accionada, el par resistente que ejerce se reduce a 200 Nm. Determínese como debe ajustarse la corriente de excitación del alternador, para que el motor siga funcionando correctamente (a 400 V de alimentación). 33. Mediante un alternador trifásico se suministra energía a un motor asíncrono trifásico. Los datos de ambas máquinas son los siguientes: Moto Asíncrono: Conexión en estrella, 6 polos, 50Hz, Tensión Nominal 400 V Datos nominales: Corriente nominal 10 A; Velocidad Nominal 950 rpm; Potencia nominal 5 kW; fdp nominal 0,85 Alternador: Conexión en estrella, Tensión Nominal 400 V Reactancia Síncrona 2 ohmios y resistencia del inducido despreciable Se pide: 1. Circuito monofásico equivalente del motor asíncrono. 2. Suponiendo que la tensión de alimentación del motor se mantiene constante e igual a la nominal y que las pérdidas mecánicas son despreciables, a que velocidad girará el motor si el par resistente es de 40 Nm. 3. En las condiciones de funcionamiento anteriores, determinar el ángulo de carga del alternador y la tensión inducida en vacío. 34. En una central de generación eléctrica, el alternador está unido a la red de 132 kV a través de un centro de transformación que dispone de dos transformadores de potencia conectados en paralelo. Las máquinas tienen las siguientes características: Alternador: Rotor Liso, Máquina no saturada, Resistencia del inducido despreciable Conexión en estrella, Frecuencia 50 Hz, Reactancia Síncrona 38 ohmios Tensión nominal 20kV; Potencia nominal 25 MVA Transformadores de distribución (A y B): Conexión Dy5, Potencia Nominal 15 MVA Tensiones Nominales 20/132 kV cos (ϕ cc ) = 0,5

ε cc ,Transformador A = 12% ; ε cc ,Transformador B = 13% Se pide:

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a) Si el generador está entregando el 90% de su potencia nominal y la intensidad llega a la red con un factor de potencia inductivo de 0,98, ¿qué tensión de salida tendrá el generador?. b) ¿Cuál es el índice de carga de cada transformador? (En las condiciones del apartado anterior). c) ¿Cuál es la tensión inducida en vacío del alternador? (En las condiciones del apartado a).

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n motor síncrono trifásico tiene las siguientes características: Tensión nominal 220 V, Frecuencia 50 Hz, Impedancia síncrona por fase 0,25 + 2j Ω, 6 Polos, Conexión en Estrella. La intensidad de excitación de este motor se ha ajustado para que la fuerza electromotriz inducida en vacío sea 1,5 veces su tensión nominal y el factor de potencia en adelanto 0,8. En esta situación de carga del motor, se pide: A. Potencia y par interno desarrollados por el motor. B. Potencia y par de salida, sabiendo que las pérdidas mecánicas por rozamiento son 300 W. Se puede suponer que estas pérdidas son constantes. C. Potencia consumida y rendimiento del motor.

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Solución

Apartado A

Antes de comenzar a solucionar el problema es necesario realizar las siguientes suposiciones: •

El motor está conectado a una red de potencia infinita, es decir, la tensión y frecuencia en bornes del motor va a ser constante.

•

El motor está alimentado a su tensión nominal.

El circuito equivalente por fase del motor, teniendo en cuenta las suposiciones anteriores es el siguiente:

La potencia interna desarrollada por el motor viene determinada por la siguiente expresión:

(

Pi = 3 ⋅ Eo , f ⋅ I m , f ⋅ cos ϕ Eo , f , I m , f

)

Eo,f es el valor de fase de la fuerza electromotriz inducida en vacío. Im,f es el valor de fase de la corriente consumida por el motor. ϕEo,f, Im, f es el ángulo que forman los dos fasores anteriores. En el circuito equivalente del motor es conocida la tensión de alimentación, que además tomamos como origen de fases, y el módulo de la fuerza electromotriz inducida en vacío.

220 ∠0º V 3 220 = 1,5 ⋅ = 190,53 V 3

Uf = E 0, f

Como el módulo de la fuerza electromotriz inducida en vacío es mayor que la tensión en bornes del motor, éste estará sobreexcitado. Es conocido el factor de potencia del motor, que es el desfase entre la corriente que está consumiendo y la tensión de alimentación. Con estos datos se puede dibujar el siguiente diagrama fasorial:

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En el diagrama, las dos únicas incógnitas son el módulo de la corriente del inducido, Im,f, y el ángulo de carga δ. Se pueden calcular a partir de la caída de tensión del alternador.

U f = E o, f + Z s ⋅ I M Si se separan la parte real e imaginaria se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

220 ∠0º = 190,53∠ − δ + ( 0.25 + j ⋅ 2 ) ⋅ I m , f ∠ + 36,87º 3 220 = 190,53 ⋅ cos (δ ) − I m, f 3 0 = −190,53 ⋅ sen (δ ) + 1, 75 ⋅ I m , f La resolución de este sistema de ecuaciones ofrece dos pares de posibles soluciones. El ángulo de par nos va a servir para determinar que solución es la correcta:

δ = −84,38º δ = +24,89º Teniendo en cuenta el criterio de signos escogido el ángulo de par correcto es el segundo. En estas condiciones la corriente que está consumiendo el motor es:

I m, f = 45,82 A Para calcular la potencia interna desarrollada por el motor es necesario, como se ha visto antes, conocer al ángulo que forman los fasores de la fuerza electromotriz inducida en vacío y la corriente consumida por el motor: Eo , f ⋅ I m , f = ϕ + δ = 24,89º +36,87º = 61, 76º

La potencia interna desarrollada por el motor, con los datos obtenidos, es la siguiente:

14

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

(

Pi = 3 ⋅ Eo , f ⋅ I m, f ⋅ cos ϕ Eo , f , Im , f

E L É C T R I C A

)

= 3 ⋅190,53 ⋅ 45,82 ⋅ cos ( 61, 76º ) = 12392,35 W El par interno del motor se puede calcular fácilmente si previamente conocemos su velocidad de giro. Al tratarse de una máquina síncrona, la velocidad de giro es la de sincronismo, impuesta por la frecuencia de la red de alimentación y el número de pares de polos de la máquina.

60 ⋅ f 60 ⋅ 50 = = 1000 r. p.m. p 3 2 ⋅ π ⋅ ns Ωs = = 104, 72 rad s 60

ns =

Por lo tanto, el par interno será:

Mi =

Pi = 118,34 N ⋅ m Ωs

Apartado B

En este segundo apartado se pide calcular la potencia y el par útil que realmente está proporcionando el motor. Parte de la potencia interna desarrollada por el motor se emplea en vencer las pérdidas mecánicas por rozamiento.

Pu = Pi − Pmec = 12392,35 − 300 = 12092,35 W El par útil se obtiene a partir de la potencia útil calculada anteriormente:

Mu =

Pu = 115, 47 N ⋅ m Ωs

Apartado C

El rendimiento es la relación entre la potencia útil del motor y la potencia que está consumiendo. Ésta es fácil de calcular puesto que ya se conoce la corriente que consume el motor y la tensión de alimentación del mismo: Pab = 3 ⋅ U f ⋅ I m, f ⋅ cos (ϕ ) = 3 ⋅

220 ⋅ 45,82 ⋅ 0,8 = 13966, 72 W 3

No hay que olvidar que el estator del motor está conectado en estrella. Entonces, el rendimiento queda:

η=

Pu ⋅100 = 88, 73% Pab

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

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E L É C T R I C A

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

P R O B L E M A 2

U

n motor síncrono de 745 kW, 4 polos, 50 Hz, y 4200 V, conectado en estrella, tiene una resistencia efectiva del inducido de 0,16 Ω/fase y una reactancia de sincronismo de 1 Ω/fase. Su curva de vacío responde a la ecuación:

Eo =

3500 I e 50 + I e

en donde E0 está dado en voltios por fase y siendo Ie la corriente de excitación. Calcular: a) La fem. inducida en vacío funcionando a plena carga con f.d.p. unidad y rendimiento del 90%. b) La fem. inducida en vacío funcionando al 10% de sobrecarga con un f.d.p. de 0,95 adelantado y rendimiento del 90%. c) La corriente de excitación en ambos casos.

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Solución

Notación empleada R XS ZS Pu Pab E0 E0 Línea UF IM η

Resistencia del inducido. Reactancia síncrona. Impedancia síncrona. Potencia útil del motor. Potencia activa eléctrica consumida por el motor. F.e.m. inducida en vacío. Valor de fase. F.e.m. inducida en vacío. Valor de línea. Tensión en bornes del motor. Valor de fase. Intensidad de corriente consumida por el motor. Rendimiento del motor.

Nota

En este problema la máquina síncrona funciona como motor, y por lo tanto el dato de la potencia nominal corresponde a la potencia útil del motor.

Pu = 735 kW

Apartado A

En el primer apartado del problema se pide calcular la f.e.m. inducida en vacío, funcionando el motor a plena carga, con factor de potencia unidad y rendimiento del 90%. El motor estará alimentado por una red de potencia infinita, que mantiene constante la tensión y la frecuencia en bornes de la máquina, y que proporcionará toda la potencia que demande el motor. La siguiente figura corresponde al circuito equivalente por fase del motor síncrono. Se ha dibujado el sentido que tendría la corriente I en el caso de que la máquina funcionase como generador o como motor. También se indica el sentido del flujo de la potencia activa consumida por el motor, y la entregada por éste a la carga, que es la potencia útil. La potencia útil del motor será menor que la potencia consumida debido a la pérdidas de potencia que se producen en la propia máquina.

El funcionamiento como motor se caracteriza por que la f.e.m. inducida en vacío E0 forma un ángulo δ negativo con la tensión en bornes de la máquina, cuando se considera ésta tensión como origen de fases. El diagrama fasorial por fase de la máquina funcionando como motor es el siguiente:

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Se ha tomado como origen de fases la tensión en bornes de la máquina UF. La ecuación fasorial del motor por fase es la siguiente: U F = E 0 + ZS ⋅ I M

ZS es la impedancia síncrona de la máquina, y UF es la tensión en bornes de la máquina en valor de fase.

4.200

UF =

3

∠0º (V )

Z S = R + j ⋅ X S = 0,16 + j ⋅ 1 (Ω Fase ) Para poder calcular E0 nos falta conocer la intensidad que esta absorbiendo el motor. Podemos calcular la potencia que está consumiendo el motor por que conocemos el rendimiento. La potencia que el motor está entregando a la carga es la potencia nominal del motor porque está trabajando a plena carga.

η=

Pu Pab

Pab = Pab =

Pu

η

745 kW 0,9 Pab = 827,78 kW

Una vez encontrado la potencia activa que está consumiendo el motor, gracias a que se conoce el factor de potencia a plena carga, se puede calcular el valor de la corriente IM. Pab = 3 ⋅ U F ⋅ I M ⋅ cos ϕ IM = IM =

Pab 3 ⋅ U F ⋅ cos ϕ

827,78 ⋅ 10 3 (W ) = 113,79 A 4.200 (V ) ⋅ 1 3⋅ 3

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Teniendo en cuenta que el factor de potencia es 1, la expresión fasorial de la corriente consumida por el motor, en la forma módulo-argumento o forma polar, es la siguiente:

I M = 113,79∠0º A Ya se conoce el valor de todas las variables necesarias para calcular la f.e.m. inducida en vacío. E0 = U F − Z S ⋅ I M E0 =

4.200 3

∠0º −(0,16 + j ⋅ 1) ⋅ 113,79∠0º

E 0 = 2.409,35∠ − 2,71º V E 0 Línea = 2.409,35 ⋅ 3 = 4.173,12 V

Apartado B

En este segundo apartado también hay que calcular la f.e.m. inducida en vacío. Pero ahora el motor está trabajando con un 10% de sobrecarga, con un f.d.p. de 0,9 en adelanto y un rendimiento del 90%. Si la máquina está funcionando con un 10% de sobrecarga la potencia útil, la que el motor entrega a la carga, es 1,1 veces la potencia nominal.

Pu = 1,1 ⋅ 745 = 819,5 kW En este caso la potencia que consume el motor también se obtiene a partir del rendimiento, y es la siguiente:

η=

Pu Pab

Pab = Pab =

Pu

η

819,5 = 910,56 kW 0,9

La corriente consumida por el motor se calcula como en el apartado A, pero en este caso el factor de potencia vale 0,95. Pab = 3 ⋅ U F ⋅ I M ⋅ cos ϕ IM = IM =

Pab 3 ⋅ U F ⋅ cos ϕ

910,56 ⋅ 10 3 (W ) = 131,76 A 4.200 (V ) ⋅ 0,95 3⋅ 3

La expresión fasorial de la corriente consumida por el motor, en la forma módulo-argumento, es la siguiente:

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

I M = 131,76∠18,19º A El argumento de IM es el arco coseno de 0,95, y lleva el signo positivo porque el f.d.p. es en adelanto. La f.e.m. inducida en vacío vale entonces: E0 = U F − Z S ⋅ I M E0 =

4.200 3

∠0º −(0,15 + j ⋅ 1,1) ⋅ 131,76∠18,19º

E 0 = 2.449,52∠ − 3,08º (V ) E 0 Línea = 2.449,52 ⋅ 3 = 4.242,69 (V ) Apartado C

Utilizaremos la curva de vacío del motor para calcular la corriente de excitación en los apartados A y B. Recordar que la f.e.m. inducida en vacío en la curva de vacío está expresada en voltios por fase. Apartado A.

E0 =

3.500 I e 50 + I e

2.409,35 =

3.500 I e 50 + I e

I e = 110,45 A Apartado B.

E0 =

3.500 I e 50 + I e

2.449,52 =

3.500 I e 50 + I e

I e = 116,59 A

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

P R O B L E M A 3

U

n alternador trifásico está conectado en estrella a una red de potencia infinita de 6.600 V. Se ha ajustado la excitación para que la f.e.m. inducida en vacío sea 6.000 V. Se desprecia la resistencia del inducido. La reactancia síncrona se considera constante y tiene un valor de 6 Ω.

a) Determinar la potencia activa máxima que en estas condiciones puede suministrar el alternador sin perder la estabilidad. b) Cuando el alternador está suministrando la potencia activa máxima, ¿cuánto vale el ángulo de potencia? c) Dibujar el diagrama fasorial del alternador para esta situación. d) Hallar, en esta misma situación, la corriente que circula por el inducido y su factor de potencia.

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Solución

Apartado A

En las condiciones descritas en el enunciado del problema se puede utilizar la siguiente fórmula para encontrar la potencia activa que entrega el alternador a la red: P = 3⋅

E0 ⋅ U ⋅ senδ XS

Las tensiones están expresadas en valores de fase. U, tensión en bornes del alternador, viene impuesta por la red de potencia infinita, y por tanto se considera constante. Si no se modifica la excitación del alternador, la f.e.m. inducida en vacío E0 se mantiene constante, que es lo que ocurre en este problema. Si no se indica lo contrario, también se considera invariable la reactancia síncrona XS. Con estas condiciones, si aumenta la potencia que tiene que suministrar el alternador a la red, varia el ángulo de potencia δ. Se puede representar la potencia activa del alternador en función de este ángulo.

Observando la gráfica se entiende fácilmente porque la potencia activa máxima que puede entregar el alternador a la red viene dada por la siguiente expresión:

Pmax

6.000 6.600 ⋅ E0 ⋅ U 3 3 = 3⋅ = 3⋅ XS 6 Pmax = 6.600 kW

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Apartado B

Cuando el alternador está entregando la potencia máxima a la red el ángulo de potencia δ es de 90º.

Apartado C

Teniendo en cuenta que la f.e.m. inducida en vacío E0 y la tensión en bornes forman un ángulo de 90º, el diagrama fasorial por fase del alternador cuando entrega la máxima potencia es el siguiente, si se toma como origen de fases U:

Apartado D

Los fasores de las tensiones de fase del diagrama son los siguientes:

U=

6.600

∠0º V 3 6.000 E0 = ∠90º V 3 La corriente que circula por el inducido del alternador I se obtiene a partir de la siguiente ecuación:

E0 = U + j ⋅ XS ⋅ I 6.000 E0 − U I= = j ⋅ XS

3

∠90º −

6.600 3

∠0º

j⋅ 6

I = 858,29∠47,73º A

cos ϕ = cos(47,73º ) = 0,67 (Capacitivo )

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

P R O B L E M A 4

U

n generador síncrono de 1.500 kVA de potencia, tensión nominal 6,6 kV, conectado en estrella, tiene unos valores de Xd = 26,14 Ω/fase y Xq = 17,42 Ω/fase. El generador funciona a plena carga y factor de potencia de 0,8 inductivo. Calcular la f.e.m. inducida en vacío. Calcular, también, el ángulo de carga y los valores de intensidad según el eje directo y en cuadratura. Despreciar la resistencia y la saturación.

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Solución

Notación empleada V Vnl E0 E0L Epd Epq I Id Iq Sn In R Xσ Xd Xq θ Fe Fi Fd Fq

Tensión en bornes de la máquina. Valor de fase. Tensión nominal del generador. Valor de línea. F.e.m. inducida en vacío. Valor de fase. F.e. m. inducida en vacío. Valor de línea. F.e.m. inducida de reacción de inducido según el eje directo. F.e.m. inducida de reacción de inducido según el eje cuadratura. Corriente del inducido. Componente de la corriente de inducido I según el eje directo. Componente de la corriente de inducido I según el eje cuadratura. Potencia nominal del generador síncrono. Corriente nominal del generador síncrono. Resistencia del inducido. Reactancia de dispersión. Reactancia síncrona del eje directo. Reactancia síncrona del eje cuadratura. Angulo de carga. F.m.m. de excitación. F.m.m. de la reacción de inducido. Componente de la f.m.m. de la reacción de inducido según el eje directo. Componente de la f.m.m. de la reacción de inducido según el eje cuadratura.

En el enunciado de este problema se proporcionan los valores de dos reactancias síncronas: una de eje directo Xd y otra de eje de cuadratura Xq. De esta forma nos están indicando que esta máquina síncrona es de polos salientes. Mientras que el entrehierro en las máquinas síncronas de rotor cilíndrico es prácticamente de espesor constante, el de las máquinas de polos salientes es mucho mayor en el eje de cuadratura o transversal (región media entre dos polos consecutivos) que en el eje directo. Debido a la diferencia de reluctancia entre ambos circuitos magnéticos, el correspondiente al eje directo y el de cuadratura, la consideración de una sola reacción de inducido conduce a resultados poco precisos sobre la regulación de tensión en estas máquinas. En las máquinas de polos salientes se definen dos ejes. Uno se denomina eje directo o longitudinal y coincide con el eje de simetría de cada polo saliente. El otro eje tiene la dirección del eje de simetría de la región entre dos polos consecutivos de distinta polaridad, y se denomina eje cuadratura o transversal. La reacción de inducido Fi puede descomponerse en dos componentes según los dos ejes mencionados anteriormente: f.m.m. de reacción en eje directo o longitudinal Fd, y f.m.m. de reacción en eje cuadratura o transversal Fq, como se muestra en la figura 4.1. De esta forma se independizan totalmente los dos circuitos magnéticos obteniendo regulaciones de tensión que se acercan más a la realidad. En la figura 31.1 se muestra un alternador de polos salientes en el que solo se ha considerado una bobina en el estator aa’. La f.m.m. giratoria tiene la referencia del eje de esta bobina. La f.m.m. de reacción de inducido Fi se ha descompuesto en dos valores: Fd en el eje directo, y Fq en el eje cuadratura. Existen, por tanto, tres fuerzas magnetomotrices que interaccionan en la máquina: la f.m.m. de excitación Fe, y las dos componentes de la f.m.m. de la reacción de inducido Fd y Fq. Resulta muy cómodo considerar que cada una de las tres f.m.m.s anteriores crea su propio flujo, independiente del flujo creado por las demás f.m.m.s. Este flujo crea a su vez su propia f.e.m. inducida. Las dos componentes de la reacción de inducido según el eje directo y el eje cuadratura crean los flujos Φd y Φq respectivamente. Estos dos flujos producen a su vez las f.e.m.s. de reacción de inducido de eje directo Epd y cuadratura Epq. En la figura 31.2 se muestran estas ideas en un diagrama.

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Figura 4.1

Figura 4.2 Las f.e.m.s. de reacción de inducido de eje directo y eje cuadratura, de un modo análogo a lo que ocurría con la máquina síncrona de rotor cilíndrico, tendrán la siguiente expresión: E pd = − j X pd I d E pq = − j X pq I q

En las dos expresiones anteriores, Id e Iq son las componentes de la corriente del inducido en los ejes directo y cuadratura:

I = Id + Iq

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Debe tenerse en cuenta que la f.e.m. de vacío E0 producida por el inductor actúa en el eje cuadratura q, puesto que debe ir retrasada 90º respecto a la línea de los polos. Si R es la resistencia del inducido, Xσ la reactancia de dispersión y V la tensión en bornes de la máquina, se cumple una igualdad fasorial parecida a la que se obtenía en el análisis lineal de la máquina síncrona de rotor cilíndrico que ahora estará afectada por las dos componentes de f.e.m.:

E 0 = V + R I + j X σ I + j X pd Id + j X pq Iq En muchos casos, por simplicidad, se puede despreciar la resistencia del inducido R. En la expresión anterior se puede sustituir I por su descomposición según los ejes directo y cuadratura.

E 0 = V + j (X σ + X pd ) I d + + j (X σ + X pq ) I q Por analogía con el método de Behn-Esschenburg en la que se definía la reactancia síncrona, en este caso resultan dos reactancias síncronas: una de eje directo Xd y otra de eje cuadratura Xq. La última expresión, entonces se transforma en:

E0 = V + j Xd Id + j Xq Iq El diagrama fasorial correspondiente a esta expresión se encuentra representado en la gráfica 4.3 donde se ha tomado como referencia el eje q, que es donde debe estar alineado la f.e.m. de vacío E0. Después de esta introducción teórica pasamos a solucionar el problema planteado en el enunciado. Nos proporcionan los datos de un generador síncrono de polos salientes, y nos dicen que despreciemos la resistencia R del inducido y la saturación. Las incógnitas que debemos resolver son la f.e.m. inducida en vacío, y el ángulo que forma con la tensión en bornes de la máquina V, o lo que es lo mismo, el ángulo de carga. Así mismo debemos encontrar las componentes de la corriente del inducido según los ejes directo y cuadratura.

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Figura 4.3 Primero vamos a dibujar el diagrama fasorial de fase, correspondiente a la situación de plena carga, con un factor de potencia 0,8 inductivo. Este diagrama nos va a ayudar a resolver el problema.

Figura 4.4 En el diagrama fasorial anterior todas las magnitudes son de fase. La tensión en bornes de la máquina V se ha tomado como origen de fases, y el sentido positivo es el contrario al movimiento de las agujas de un reloj. La corriente de inducido I está retrasada respecto a V un ángulo δ, que corresponde al factor de potencia 0,8 inductivo de la situación de plena carga. La f.e.m. inducida en vacío E0 forma un ángulo θ con la tensión V. Éste se conoce como ángulo de carga. La dirección de E0 coincide, como es obvio, con la dirección del eje cuadratura q. El eje directo d es perpendicular al eje q. También se han representado las dos componentes de la corriente de inducido I según los ejes directo y cuadratura, y las caídas de tensión en las dos reactancias síncronas. El ángulo δ es conocido, puesto que corresponde al factor de potencia 0,8.

cos δ = 0,8 δ = arc cos(0,8) ) δ = 36,87º Observando el diagrama fasorial se pueden encontrar las siguientes expresiones para los módulos de las componentes de la corriente de inducido según los ejes directo y cuadratura: Id e Iq respectivamente.

I d = I ⋅ sen (δ + θ) I q = I ⋅ cos(δ + θ)

En el diagrama fasorial conocemos el ángulo δ, la tensión en bornes de la máquina V, y las reactancias síncronas Xd y Xq. A partir de los datos del enunciado podemos calcular el módulo de la corriente de inducido I. Como el diagrama corresponde a la situación de plena carga, sabemos que la corriente de inducido es la nominal. S n = 3 ⋅ VnL ⋅ I n In = In =

Sn 3 ⋅ VnL

1,5 ⋅ 10 6 (VA )

3 ⋅ 6.600 (V )

I n = 131,22 (A ) 29

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

La corriente de plena carga I es , por tanto, de 131,22 A. I = 131,22 (A )

Si se observa el diagrama fasorial, la proyección de V sobre el eje de cuadratura coincide con la la caída de tensión XqIq.

V ⋅ sen(θ) = X q ⋅ I q En la ecuación anterior se puede sustituir Iq por su expresión en función del módulo de la corriente del inducido I, y del coseno de los ángulos δ y θ.

V ⋅ sen(θ) = X q ⋅ I ⋅ cos(δ + θ) En esta ecuación la única incógnita es el ángulo de carga θ. V es la tensión en bornes de la máquina en valor de fase. El dato proporcionado en el enunciado del problema, como siempre, es un valor de línea. Entonces, empleando la última ecuación podemos encontrar el ángulo de carga:

6.600 3

(V ) ⋅ sen(θ) = 17,44(Ω

Fase) ⋅ 131,22(A ) ⋅ cos(36,87º +θ)

sen (θ ) = 0,6 ⋅ cos(36,87º +θ ) sen (θ) = 0,6 ⋅ (cos(36,87 º ) cos(θ) − sen (36,87º )sen (θ)) sen (θ) = 0,6 ⋅ (0,8 ⋅ cos(θ) − 0,6 ⋅ sen (θ))

(

)

sen (θ) ⋅ 1 + 0,6 2 = 0,6 ⋅ 0,8 ⋅ cos(θ) 0,6 ⋅ 0,8 tag(θ) = = 0,35 1 + 0,6 2 Resolviendo la última ecuación se encuentra que el valor del ángulo de carga es:

θ = 19,44º Una vez encontrado este dato ya podemos calcular las dos componentes de la corriente de inducido según los ejes directo y cuadratura.

I d = I ⋅ sen (δ + θ) = 131,22 ⋅ sen (36,87º +19,44º ) I d = 109,19 (A )

I q = I ⋅ cos(δ + θ) = 131,22 ⋅ cos(36,87 º +19,44º ) I q = 72,79 (A )

Para completar la resolución del problema, queda calcular la f.e.m. inducida en vacío E0. Al igual que se hizo anteriormente para encontrar el ángulo de carga, se va a utilizar el diagrama fasorial para obtener una relación que nos permita calcular el valor de E0. Se puede observar que el

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

módulo de E0, es igual a la suma de la caída de tensión XdId más la proyección de V sobre el eje cuadratura.

E 0 = V ⋅ cos θ + X d ⋅ I d Todos los valores son conocidos en la ecuación anterior salvo el módulo de E0. E0 =

6.600 3

(V ) ⋅ cos(19,44º ) + 26,14(Ω

Fase ) ⋅ 109,19(A )

E 0 = 6.447,29 (V ) Hay que recordar que el valor de E0 calculado es un valor de fase. El correspondiente valor de línea se obtendrá multiplicando el valor de fase por la raíz cuadrada de 3.

E 0 L = 11.165,88 (V )

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

P R O B L E M A 5

U

n alternador trifásico conectado en estrella tiene una resistencia de inducido despreciable y una reactancia síncrona de 30 Ω/fase. Está acoplado a una red de potencia infinita de 11 kV y desarrolla una potencia 4000 kVA con f.d.p. unidad. Si se aumenta la f.e.m. un 20% permaneciendo constante la entrada de potencia a la máquina motriz, determinar: 1) El nuevo f.d.p. con que trabajará la máquina. 2) La nueva potencia aparente suministrada.

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Solución

Apartado 1

El circuito eléctrico equivalente por fase de este máquina síncrona conectada a una red de potencia infinita es el siguiente:

La resistencia del inducido es despreciable. El estator está conectado en estrella y tomamos como origen de fases la tensión simple en bornes del alternador, fijada por la red: r 11000 uf = ∠0º V 3

Se proporcionan datos de una situación de funcionamiento inicial, caracterizada por una potencia entregada a la red: 4000 kVA con f.d.p. unidad. A continuación se sobreexcita el alternador un 20% y la potencia de entrada a la máquina motriz del alternador permanece inalterada. Como se puede deducir de los datos del enunciado, en esta máquina se pueden despreciar las pérdidas. Por lo tanto, la potencia mecánica cedida por la máquina motriz es entregada como potencia activa a la red. Entonces, el alternador está entregando en las dos situaciones de carga, inicial y final después de la sobreexcitación, la misma potencia activa. Vamos a resolver las variables que definen la primera situación de funcionamiento. Corriente simple suministrada a la red: S salida = 3 ⋅ u f ⋅ I G , f I G , f ,1 =

S salida 3⋅u f

4 ⋅106 VA 11 ⋅103 3⋅ 3 I G , f ,1 = 209,95 A

I G , f ,1 =

El factor de potencia del alternador es 1, por lo tanto, la corriente de salida estará en fase con la tensión en bornes de la máquina:

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

r I G , f ,1 = 209,95∠0º A La primera fuerza electromotriz inducida en vacío es la siguiente: r r r e0 f ,1 = u f + jX s I G , f ,1

11000 r e0 f ,1 = ∠0º + ( j 30 ) 209,95∠0º 3 r eof ,1 = 8944, 43∠44, 76º V / fase En el segundo caso, se incrementa la fem inducida en un 20%:

eof ,2 = eof ,1 ⋅1, 20 = 10733,31 V fase El ángulo de fase de la nueva fem inducida en vacío ha cambiado con respecto al inicial pero se puede determinar fácilmente sabiendo que la potencia activa entregada por el alternador a la red permanece inalterada.

Psalida = S salida ⋅ fdp1 = 4 ⋅106 ⋅1 = 4 ⋅106 W Psalida = 3

eof ,2 ⋅ u f XS

sen (δ 2 )

⎧⎪ Psalida ⋅ X S ⎩⎪ 3 ⋅ eof ,2 ⋅ u f

δ 2 = arc sen ⎨

⎫⎪ ⎬ ⎭⎪

δ 2 = 35,93º Una vez que se conoce módulo y ángulo de fase de la fem inducida en vacío, resulta sencillo determinar la nueva corriente suministrada por el alternador a la red: r r r eof ,2 − u f I G ,2, f = jX S

r I G ,2, f =

10733,3∠35,93º −

11000 ∠0º 3

j 30 r I G ,2, f = 223,97∠ − 20,38º A

El nuevo factor de potencia del alternador es el siguiente: r fdp = cos arg I G , f ,2 = cos ( 20,38º )

( (

))

fdp = 0,937 ( En retraso ) Apartado 2

La nueva potencia aparente entregada a la carga es la siguiente: S salida ,2 = 3 ⋅ u f ⋅ I G , f ,2 = 3 ⋅

34

11000 ⋅ 223,97 3

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

S salida ,2 ≈ 4, 27 MVA

35

E L É C T R I C A

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

P R O B L E M A 6

U

n alternador trifásico conectado en estrella tiene una resistencia de inducido despreciable y una reactancia síncrona de 25 Ω/fase. Está acoplado a una red de potencia infinita de 11 kV desarrollando una potencia 4000 kVA con f.d.p. unidad. Si se aumenta un 40% la potencia de entrada a la máquina motriz y la f.e.m. inducida permanece constante, determinar: 1) El nuevo f.d.p. con que trabajará la máquina y el nuevo ángulo de potencia. Indicar si la máquina trabaja subexcitada o sobreexcitada. 2) La nueva potencia aparente suministrada. 3) ¿Como habría que modificar la excitación de la máquina para que, manteniendo la potencia activa entregada por el alternador a la red en el apartado 2, el factor de potencia volviera a ser 1? 4) Tomando como punto de partida, la situación descrita en el apartado 3 (fdp = 1), ¿cuál sería el nuevo factor de potencia y la potencia entregada por el alternador a la red, si la f.e.m. inducida en vacío se incrementa un 20%, manteniendo constante la potencia entregada a la máquina motriz del alternador?

36

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Solución

Apartado 1

El circuito eléctrico equivalente por fase de este máquina síncrona conectada a una red de potencia infinita es el siguiente:

La resistencia del inducido es despreciable. El estator está conectado en estrella y tomamos como origen de fases la tensión simple en bornes del alternador, fijada por la red: r 11000 uf = ∠0º V 3

Se proporcionan datos de una situación de funcionamiento inicial (superíndice 0), caracterizada por una potencia entregada a la red: 4000 kVA con f.d.p. unidad. A continuación se incrementa en un 40% la potencia entregada a la máquina motriz del alternador. Como se puede deducir de los datos del enunciado, este alternador se puede considerar una máquina ideal. No tiene pérdidas por efecto Joule en los devanados y se pueden despreciar las pérdidas de origen mecánico, puesto que no se ofrecen datos para poder calcularlas. Por lo tanto, el incremento de potencia entregada a la máquina motriz, se traduce en un incremento del mismo porcentaje de la potencia activa que entrega el alternador a la red.

37

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

90

e0 uf

10000 120

60

ig0

8000

6000 150

30 4000

2000

180

0

330

210

300

240

270

Diagrama fasorial de la situación de funcionamiento inicial(0). En esta segunda situación de funcionamiento (superíndice 1), no ha variado el módulo de la f.e.m. inducida en vacío, puesto que no se manifiesta que se haya cambiado la excitación de la máquina. Por lo tanto, al aumentar la potencia entregada por el alternador a la red, se modificará el ángulo de potencia y la corriente suministrada. Los datos iniciales de funcionamiento del alternador son los siguientes:

SG0 = 4000 kVA cos (ϕ 0 ) = 1

PG0 = SG0 ⋅ cos (ϕ 0 ) = 4000 kW

SG0 = 3 ⋅ u f ⋅ iG0 , f iG0 , f =

SG0 = 209,95 A 3⋅u f

r iG0, f = 209,95∠0º A r r r e00f = u f + j ⋅ X S ⋅ iG0, f

r e00f = 8239, 02∠39,57º V

En la segunda situación de funcionamiento sabemos que la potencia activa entregada por el alternador a la red se incrementa un 40% con respecto a la situación inicial:

PG1 = PG0 ⋅1, 4 = 5600 kW

38

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

Como la excitación de la máquina no ha sido alterada, el módulo de la f.e.m. inducida en vacío se mantiene constante: e01 f = e00 f = 8239, 02 V

En esta nueva situación de funcionamiento, la potencia activa entregada por el alternador a la red se puede calcular de la siguiente forma: r iG1, f = iG1 , f ∠ϕ 1

PG1 = 3 ⋅ u f ⋅ iG1 , f ⋅ cos (ϕ 1 )

Esta última ecuación tiene dos incógnitas, iG1 , f , y ϕ 1 . Pero se puede obtener una expresión para la potencia activa entregada en función de la f.e.m. inducida en vacío, partiendo de la expresión anterior de la potencia activa y de la siguiente ecuación vectorial: r r r e01 f = e10 f ∠φ 1 = u f + j ⋅ X S ⋅ iG1, f

P = 3⋅ 1 G

e10 f ⋅ u f XS

⋅ sen (φ 1 )

En esta segunda expresión de la potencia activa, la única incógnita es el ángulo de potencia, o lo que es lo mismo, el ángulo de fase de la f.e.m. inducida en vacío con respecto al origen de fases que es la tensión de fase de la red. 8239, 02 ⋅ 5, 6 ⋅106 = 3 ⋅

11000 3 ⋅ sen φ 1 ( )

25 sen (φ ) = 0,89 1

φ 1 = 63,11º Con este nuevo dato, ya se conoce completamente la f.e.m. inducida en vacío y es fácil determinar la corriente suministrada por el alternador a la red:

r r r e01 f = u f + j ⋅ X S ⋅ iG1, f r r r1 e01 f − u f iG , f = j ⋅ XS

r iG1, f = 312,11∠19, 65º A Ya podemos responder a las tres preguntas del apartado 1 del problema: • Nuevo factor de potencia: fdp1 = cos (19, 65º ) = 0,94

• •

Nuevo ángulo de potencia: φ 1 = 63,11º El ángulo de adelanto de la corriente con respecto a la tensión de fase en bornes del alternador muestra que la máquina trabaja subexcitada.

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D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

90

uf e0

10000 120

60

ig0 e1

8000

ig1

6000 150

30 4000

2000

180

0

330

210

300

240

270

Diagrama fasorial de las situaciones de funcionamiento inicial(0) y segunda(1) Apartado 2

Una vez resuelto el apartado 1, resulta muy sencillo calcular la nueva potencia compleja suministrada por el alternador a la red: r r r SG1 = 3 ⋅ u f ⋅ ( iG1, f

)

*

= 3⋅

11000 * ∠0º ⋅ ( 312,11∠19, 65º ) 3

r SG1 = 5, 6 ⋅106 − j ⋅ 2 ⋅106 VA r SG1 = 5,95 ⋅106 ∠ − 19, 65º VA Apartado 3

A continuación, no se modifica la potencia de entrada a la máquina motriz del alternador con respecto a los apartados 1 y 2. Pero se quiere modificar la excitación de máquina para que el factor de potencia vuelva a ser la unidad. Las variables de esta nueva situación estarán representadas por el superíndice 2. En el apartado 1 se ha visto que la máquina está subexcitada, por lo que para que vuelva a tener fdp unidad, será necesario sobreexcitar la máquina. En esta nueva situación de funcionamiento, la corriente estará en fase con la tensión en bornes del alternador, y por lo tanto, la caída de tensión en la reactancia síncrona adelantará 90º con respecto al origen de fases. La potencia activa entregada por el alternador a la red no se modifica: PG2 = PG1 . A partir de esta igualdad se obtiene la siguiente condición para la variación de la f.e.m. inducida en vacío:

PG2 = PG1

40

D E P A R T A M E N T O

3⋅

e10 f ⋅ u f XS

D E

⋅ sen (φ

I N G E N I E R Í A

1

) = 3⋅

e02 f ⋅ u f XS

E L É C T R I C A

⋅ sen (φ 2 )

La tensión de fase en bornes del alternador y la reactancia síncrona se mantienen constantes. Por lo tanto, la última expresión se simplifica de la siguiente forma: e01 f ⋅ sen (φ 1 ) = e02 f ⋅ sen (φ 2 )

Desde un punto de vista geométrico sobre el diagrama fasorial, la anterior expresión significa que el fasor de la f.e.m. inducida en vacío evoluciona manteniendo constante su componente imaginaria. e02 f ⋅ sen (φ 2 ) = e01 f ⋅ sen (φ 1 ) = 8239, 02 ⋅ sen ( 63,11º ) = 7348, 09 V

Se puede comprobar sobre el diagrama fasorial, que esta tensión es precisamente la caída de tensión en la reactancia síncrona en la situación de funcionamiento del apartado 3, con r factor de potencia unidad. La tensión u f , la caída de tensión en la reactancia síncrona y r e02f forman un triángulo rectángulo donde el módulo de la f.e.m. inducida en vacío es la hipotenusa.

(

e02 f = u 2f + e10 f ⋅ sen (φ 1 )

)

2

= 9712, 25 V

Si admitimos que el alternador no está saturado, habría que haber incrementado la excitación de la máquina en la misma proporción que la f.e.m. inducida en vacío. ⎛ e02 f ⎞ Variación de la excitación = ⎜ 1 − 1⎟ ⋅100 = 17,88% ⎜e ⎟ ⎝ 0f ⎠

La excitación debería incrementarse en un 17,88% para que el alternador vuelva a funcionar con factor de potencia unidad. Se puede calcular fácilmente el nuevo ángulo de potencia: φ 2 = 49,16º

41

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

90 15000 60

120

e2 uf e0 ig0 e1

10000

ig1 30

150

5000

180

0

210

330

240

300

270

Diagramas fasoriales de las situaciones de funcionamiento 0, 1 y 2. Apartado 4

En este último apartado del problema se vuelve a modificar el funcionamiento del alternador (superíndice 3), modificando la f.e.m. inducida en vacío con respecto al apartado 3 y sin alterar la potencia activa que entrega el alternador a la red. La máquina se sobreexcita, aumentando un 20% la f.e.m. inducida en vacío: e03 f = 1, 2 ⋅ e02 f = 11654, 70 V

Al no modificarse la potencia de salida del alternador se sigue cumpliendo la siguiente expresión, que nos permite determinar el nuevo ángulo de potencia de la máquina:

e03 f ⋅ sen (φ 3 ) = e02 f ⋅ sen (φ 2 ) sen (φ

3

)=

e02 f ⋅ sen (φ 2 ) e03 f

φ 3 = 39, 09º El fasor que representa la f.e.m. inducida en vacío es el siguiente: r e03 f = 11654, 70∠39, 09º V

La nueva corriente de fase suministrada por el alternador se obtiene a partir de la resolución del circuito eléctrico equivalente del alternador:

42

D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

r r r e03f = u f + j ⋅ X S ⋅ iG3, f r r r3 e03f − u f iG , f = j ⋅ XS

r iG3, f = 313, 09∠ − 20,14º A El nuevo factor de potencia del alternador sobreexcitado es el siguiente: fdp 3 = cos ( −20,14º ) = 0,94

La potencia entregada por el alternador a la red es la siguiente: r r r SG3 = 3 ⋅ u f ⋅ ( iG3, f

)

*

= 3⋅

11000 * ∠0º ⋅ ( 346,16∠ − 31,88º ) 3

r SG3 = 5, 6 ⋅106 + j ⋅ 2,1⋅106 VA r SG3 = 5,97 ⋅106 ∠20,14º VA 90 15000 60

120

e3 uf e0 ig0 e1

10000

ig1 e2 30 ig3

150

5000

180

0

210

330

240

300

270

Diagramas fasoriales

43

Soluciones Problemas seleccionados

MÁQUINA SÍNCRONA 1. Ie = 3,29 A; Pexc = 534 W. 2. 6,45 %. 3. 667,5 kW; 0,963 inductivo; 4250 Nm. 4. a) Im = 228,53 A; b) Mi = 851,39 Nm. 5. 11822 V; 11426 V; 132 A, f.d.p. = 0,94 en atraso. 6. a) Xs = 0,35 Ω/fase; b) Iexc = 6,56 A; c) Pmec = 1248 W; d) Mi = 412,53 Nm; e) η = 94,29 %. 7. 0,95 inductivo; 7292 kVA. 8. a) Im = 228,53 A; b) Mi = 851,39 Nm. 9. 8,23 %. 10. a) Mi = 585,69 Nm; b) Mimax = 2371,65 Nm; IMimax = 315,27 A; cosϕ = 0,72. 11. Ie = 3,29 A; Pexc = 534 W. 12. a) E01 = 17936,56 V; E02 = 17936,56 V; b) E02 = 20868,03 V; c) I1 = 379,28 A; cosϕ1 = 0,92 (Inductivo); I2 = 515,47 A; cosϕ2 = 0,68 (Inductivo). 13. a) SMS = 500 – j 2666,67 kVA; b) E0 = 6890,91 V (Valor de línea); Ie = 98,02 A. 14. a) Pi = 12392,35 W; b) Mútil = 115,47 Nm; c) η = 88,73 %. 15. M = 310,11 N.m.; cos ϕ = 0,91 (inductivo). 16. a) u = 5245,41 V/fase; b) I1 = 218,79 A; cosϕ1 = 0,84 (Inductivo); I2 = 289,74 A; cosϕ2 = 0,98 (Inductivo); c) cosϕcarga = 0,95 (Inductivo). 17. 0,9356 capacitivo. 18. a) I1 = 1203,78 A; cosϕ1 = 0,73 (Inductivo); I2 = 1000,33 A; cosϕ2 = 0,87 (Inductivo); b) E02 = 9949,71 V. 19. a) Pentrada = 17,708 kW; b) η = 90,35 %. 20. a) Xs = 0,9357 Ω/fase; b) cosϕ = 0,9941 (Capacitivo). 21. a) E0 = 13854,5 V; b) P = 2646,36 kW; c) ε = 25,95 %. 22. a) I = 246,58 A; cosϕ = 0,81 (Inductivo); b) Pmax = 18275,05 kW; c) IPmax = 1245,09 A; cosϕPmax = 0,77 (Capacitivo).

23. a) 9,67 %; b) 1,85 %; c) - 5,94 %. 24. a) I2 = 281,57 A; cosϕ = 0,78 (Inductivo); b) Pmax = 16 MW; c) IPmax = 1053,17 A; cosϕPmax = 0,80 (Capacitivo). 25. a) 44,6 %; b) 81,5 %. 26. a) Ie0 = 90,23 A; Iepc = 182,45 A; b) ηpc = 92,27 %. 27. Xss = 5,778 Ω; Zss = 5,8 Ω. 28. a) Er = 7030,78 V; b) Ie = 40,06 A/polo; c) U = E0 = 7834,96 V; d) ε = 18,71 %. 29. a)U = 2001,35 V; b) ε = 14,92 %. 30. a) Smotor = 275,01∠-88,96º kVA; b) Smotor = 197,62∠-51,63º kVA; c) Ia = 647,72 A; Ib = 882,34 A.

Bibliografía recomendada [1] Guillermo Ortega, Milagros Gómez y Alfonso Bachiller. Problemas resueltos de Máquinas Eléctricas. Thomson. [2] Javier Sanz Feito. Máquinas Eléctricas. Prentice Hall, 2002. [3] Jesús Fraile Mora. Máquinas Eléctricas. McGraw-Hill, 2003, Quinta Edición. [4] Bhag S. Guru y Hüseyin R. Hiziroglu. Máquinas eléctricas y transformadores. Oxford University Press, 2002, Tercera edición. [5] Oriol Boix, Luis Sainz, Felipe Córcoles, Francisco J. Suelves y Juan José Mesas. Ejercicios resueltos de Tecnología Eléctrica. CEYSA. [6] Oriol Boix, Luis Sainz, Felipe Córcoles, Francisco J. Suelves y Juan José Mesas. Tecnología Eléctrica. CEYSA. [7] Sthepen J. Chapman. Electric machinery fundamentals. McGraw-Hill, 2004, Fourth Edition. [8] A. E. Fitzgerlad, Charles Kingsley Jr., y Stephen D. Umans. Máquinas eléctricas. McGraw-Hill, 2004, Sexta Edición. [9] Jim Cathey. Electric machines: Analysis and design applying Matlab. McGraw-Hill, 2000. [10] Vlado Ostovic. Computer-aided analysis of electric machines: A Mathematica approach. Prentice Hall, 1994. [11] William H. Yeadon y Alan Yeadon. Handbook of Small Electric Motors. McGraw-Hill, 2001. [12] Mario Ortiz, Sergio Valero y Carolina Senabre. Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas. ECU, 2009.