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Prof. Anneliesse SánchezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico en AreciboEn este módulo se estudiarán las expresiones racionales. Estudiaremos cómo: simplificar evaluar sumar restar multiplicar dividir expresiones racionales.Además, estudiaremos cómo simplificar expresiones racionales complejas.

Sitio: Cursos en Línea de la UPRA Curso: Mate0006-10-II Desarrollo de Destrezas Básicas en Matemáticas Libro: Expresiones Racionales Imprimido por: Caroline Rodriguez Fecha: Tuesday, 25 de October de 2011, 06:36

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1 Introducción 2 Dominio 3 Simplificación 3.1 Lo que NO se puede hacer 4 Suma de expresiones racionales 4.1 Fracciones con el mismo denominador 4.2 Fracciones con distinto denominador 5 Resta de expresiones racionales 6 Multiplicación de expresiones racionales 7 División de expresiones racionales 8 Fracciones Complejas 8.1 ¿Cómo se simplifica una fracción compleja?

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Definición Una expresión racional es una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios. Recuerde que los números enteros son polinomios. En ese sentido, las fracciones tal y como las conocemos, como o , son expresiones racionales. Por lo tanto, cuando sumamos o restamos fracciones "normales" ya estábamos sumando y restando expresiones racionales. De lo que se trata ahora es de trabajar con expresiones racionales cuyos numeradores y denominadores no son sólo constantes. Ejemplos Algunos ejemplos de expresiones racionales son:

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Como una expresión racional es una fracción, esto implica que hay una división. Sabemos que no podemos dividir entre cero. Por lo tanto, como el denominador contiene variables, tenemos que asegurarnos que esas variables no tengan un valor tal que el denominador sea cero. El dominio de una expresión racional, se refiere al conjunto de valores que puede asumir la(s) variable(s) sin que el denominador sea cero. ¿Cómo hallamos el dominio? El dominio de una expresión racional serán todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. Ejemplo: El dominio de

es: (

,8)U(8,

)

Otra forma sería indicar el valor para el cual NO está definida, es decir, el valor que NO está en el dominio. En este caso sería el 8, pues si x = 8 entonces el denominador será 0. Ejemplo 2: El dominio de

son todos los reales excepto -7/3.

La forma de hallar qué valor NO pertenece al dominio es igualando el denominador a cero y resolviendo la ecuación que se forma. Las soluciones de la ecuación serán los valores que NO pertenecen al dominio. Es decir, que el dominio serán todos los números reales excepto esos. Si el denominador tiene una expresión lineal, habrá un valor que no pertenece al dominio. Si el denominador tiene una expresión cuadrática, habrá dos valores que no pertenecen al dominio.

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Las fracciones se simplifican reduciéndolas a su expresión mínima. Esto se consigue "eliminando" factores que haya en común entre el numerador y denominador. Para eso tenemos que factorizar tanto el numerador como el denominador y "cancelar" los factores que halla en común. Ejemplo:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

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Algunos estudiantes piensan que simplificar es "cancelar" números (o variables) que estén iguales en el numerador y en el denominador. Si son parte de un término que está sumado o restado, NO se puede hacer. Ejemplo: Si tiene

hay gente que "cancela" la x con la x y le da como resultado .

Este sería equivalente a decir muchas cosas. Recuerde que x es un número real. Veamos: En ese caso usted estaría diciendo que = pero ≠ O que = pero ≠ O que = pero ≠ Así podríamos seguir enumerando ejemplos, sustituyendo la x por cualquier valor y notando que no es lo mismo que si la "cancelamos". El problema está en que la x está sumada. No es un factor. Cuando me refiero a cancelar lo escribo entre comillas porque realmente no es parte del vocabulario matemático. En realidad esa cancelación responde a una división. Como =1 =1 =1 =1 etc. cada vez que tenemos dos factores iguales, pero uno en el numerador y otro en el denominador, los dividimos y por eso "se cancelan", porque dan 1 y el 1 como factor no hay que escribirlo. En el ejercicio

no hay nada que hacer porque no hay factores en común entre el numerador y el

denominador. Si creemos que los hay, entonces debemos factorizar. Luego de factorizar, los factores en común se dividen o se "cancelan".

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Al sumar dos fracciones, estas tienen que tener el mismo denominador. Es como sumar cosas del mismo tipo. Podemos sumar medios con medios y quintos con quintos. Pero si vamos a sumar medios con quintos tenemos que convertirlos en lo mismo. Si no podemos convertir los medios a quintos ni los quintos a medios, ambos habrá que convertirlos en otra cosa. Esa otra cosa es décimos. Podemos convertir los medios a decimos y los quintos a décimos. Una vez que tengamos las fracciones con el mismo denominador, el resultado al sumarlas será una fracción con el mismo denominador y la suma de los numeradores en el numerador. Ejemplo:

Es como sumar 3 dimes y 2 pesetas. No podemos decir que eso es 5 "dimetas". Por la misma razón. No podemos sumar cosas de distinto tipo. En ese caso, cambiamos los dimes a chavitos y las pesetas también. Entonces tenemos: 3 dimes + 2 pesetas 3(10) centavos + 2(25) centavos 30 centavos + 50 centavos Ahora se pueden sumar... 80 centavos

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Cuando tenemos fracciones con el mismo denominador, las podemos sumar, simplemente sumando los numeradores. El denominador se queda igual. No sumamos los denominadores porque estos representan el tipo de cosa que estamos sumando. Sumar un séptimo más 3 séptimos es como sumar una manzana más 3 manzanas. No tenemos 4 manzanas cuadradas ni cuatro manzanas guaretas. Tenemos 4 manzanas. Pues en el caso de los séptimos tenemos 4 séptimos. A continuación vemos varios ejemplos. Recuerde que al sumar, se combinan los términos semejantes. Si no son semejantes, no se combinan. Ejemplo 1: =

Ejemplo 2: =

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Cuando las fracciones tienen distinto denominador, tenemos que cambiarlas a fracciones equivalentes con el mismo denominador para poder sumarlas. Aunque esto parece una tarea difícil, en realidad es más fácil de lo que parece. Piense en un chocolate que usted pica por la mitad porque se propone comerse la mitad. A usted le corresponde del chocolate. Pero si en lugar de picarlo en dos, lo pica en 4 partes iguales, pues la mitad corresponde a 2 partes de esas 4, es decir que a usted le corresponde . Si estuviera picado en 6 partes, la mitad son 3 partes y si estuviera picado en 8, la mitad son 4 partes. Por eso es que decimos que las fracciones siguientes son todas equivalentes:

En general decimos que si usted multiplica el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, obtiene una fracción equivalente. Esto también es cierto si divide por el mismo número.

Ejemplo:

=

=

=

=

=

=

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La resta es muy similar a la suma, solo que en lugar de sumar, se resta. Sólo se restan fracciones con igual denominador. Si no tienen el mismo denominador, el primer paso será convertirlas a fracciones equivalentes con el mismo denominador, para luego restarlas. Ejemplo 1: =

= =

Ejemplo 2:

Ahora sí los podemos restar...

Ejemplo 3:

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Ejemplo 4:

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Al multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.

En caso de ser necesario, hay que simplificar la fracción. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

En este ejemplo se "cancela" una x del numerador con una x del denominador, y un 2 del numerador con un dos del denominador. Ejemplo 3:

Primeramente factorizamos cada numerador y cada denominador de cada fracción.

Ahora "cancelamos" factores en común entre numeradores y denominadores.

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La división se expresa como la multiplicación del recíproco. El recíproco de una fracción, es la fracción con el numerador y denominador invertido. El recíproco de

es .

El recíproco de

es .

El recíproco de

es

.

Ejemplo:

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Las fracciones complejas son fracciones que tienen fracciones en el numerador o en el denominador. Algunos ejemplos son:

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Voy a presentar dos métodos para simplificarlas. Método 1: Recuerde que la / representa una división. Por esto, si usted tiene una fracción compleja como:

es lo mismo que decir que tiene: (

)÷(

)

Ahora sume o reste cada parte: (

)÷(

)

÷ y ahora cambia la división por la multiplicación del recíproco y tiene? x y finalmente le queda:

Método 2: Multiplique tanto el numerador como el denominador por el mcm de todos los denominadores de las fracciones. En este caso, se multiplica por x, y tiene:

Otro ejemplo: Esta vez voy a utilizar sólo el método 2, pues es mucho más corto.

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Simplifique: El mcm de los denominadores es ab, de modo que multiplicaremos por ab tanto el numerador como el denominador de la fracción.

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