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TRIGONOMETRÍA

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· Notación en un triángulo: En un triángulo cualquiera llamaremos ‘a’, ‘b’ y ‘c’ a sus lados y ‘A’, ‘B’ y ‘C’ a sus vértices de forma que ‘A’ sea el vértice formado por los lados ‘b’ y ‘c’; ‘B’ el vértice formado por los lados ‘a’ y ‘b’ y ‘C’ el vértice formado por los lados ‘a’ y ‘b’. Denotaremos por al ángulo que se forma en el vértice A, por β al del vértice B y por γ al de C. (Otra posible notación es llamar al ángulo del vértice A, Â, y lo mismo con los demás). α=

A+ B A − B yβ = 2 2

· Teoremas (para cualquier tipo de triángulo):

- Teorema de los senos: a b c = = senα senβ senγ Es decir: el cociente de un lado entre el seno del ángulo opuesto es igual al cociente de otro lado entre el seno del ángulo opuesto a este e igual al cociente del otro lado entre el seno de su ángulo opuesto.

C

Veamos la demostración: Aplicamos la estrategia de la altura Por definición de seno y dado que hemos divido el triángulo en dos triángulos rectángulos tenemos:

h  ⇒ h = b·senα   b  ⇒ bsenα = asenβ h senβ = ⇒ h = a·senβ   a a b = Luego: senα senβ senα =

Hacer la otra igualdad.

A

b

h

c

H

a

B

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-

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Teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ La demostración se hace con la estrategia de la altura y aplicando Pitágoras Lo que tenemos que hacer es dividir un triángulo cualquiera en dos triángulos rectángulos trazando una altura sobre una de sus bases, calcular las bases de los nuevos triángulos en función de datos conocidos y luego aplicar Pitágoras sobre los triángulos rectángulos.

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- FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS - Para saberse todas estas fórmulas sólo es necesario saber dos de ellas y a partir de estas se pueden obtener las demás de forma muy sencilla. Nos vamos a aprender las dos fórmulas del ángulo suma, que son: sen(α + β ) = senα cos β + cos α sen β cos(α + β ) = cos α cos β − senα sen β

Para memorizar estas fórmulas puede servir de ayuda acordarse de que la fórmula siempre va a empezar por la razón trigonométrica que queremos calcular, es decir, la fórmula del seno del ángulo suma empieza por seno y la del coseno pues por coseno. Ahora, como sabemos que la tangente es seno entre coseno, para saber la fórmula de la tangente del ángulo suma no tenemos que hacer nada más que dividir el seno del ángulo suma entre el coseno del ángulo suma: tan(α + β ) =

sen(α + β ) = cos(α + β )

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Usamos estas fórmulas para calcular las razones trigonométricas de un ángulo que podemos escribir como suma de otros dos de los que conocemos sus datos, por ejemplo, para calcular las razones del ángulo 75º tenemos en cuenta que 75º = 30º + 45º - Las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos son muy fáciles de obtener teniendo en cuenta que cos(− β ) = cos β y sen(− β ) = − senβ Luego: sen (α − β ) = senα cos(−β ) + cos α sen (−β ) = senα cos β − cos α sen β

cos(α − β ) = cos α cos( −β ) − senα sen( −β ) = cos α cos β + senα sen β

La tangente queda como ejercicio. Para recordar estas fórmulas y las del ángulo suma puede servir de ayuda recordar que las fórmulas son iguales salvo los signos y que en el caso del seno coinciden los signos en el sentido de que si estamos con el seno del ángulo suma entonces sumamos en la fórmula y que si estamos en el seno de la diferencia entonces restamos; pero que con el coseno los signos van cambiados, es decir, el coseno del ángulo suma tiene un signo menos en la fórmula y en la diferencia un signo más. Usamos las fórmulas de la diferencia de dos ángulos de igual manera que la del ángulo suma; pero escribiendo el ángulo en cuestión como la diferencia de dos conocidos. Por ejemplo: 60º-45º = 15º - Las razones trigonométricas del ángulo doble son fácilmente deducibles de las expresiones del ángulo suma, con lo cual no hay necesidad de aprendérselas de memoria; aunque sí son muy utilizadas para resolver problemas trigonométricos que requieren simplificar una expresión, como ya vimos en algunas ecuaciones. sen (2α ) = 2 senα cos α cos(2α ) = cos 2 α − sen 2α

Resaltamos una vez más que las expresiones de cada fórmula empiezan por la razón trigonométrica que estamos calculando, así, cuando tengamos el cos2α no nos olvidamos de que restamos cos2α menos sen2α. En cuanto a la tangente no es más que aplicar la definición y luego dividir numerador y denominador entre cos2α. Usamos estas expresiones para calcular por ejemplo las razones de 120º ya que 120º = 2·60º

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- Las razones del ángulo mitad son en mi opinión las más complicadas de recordar, tanto las fórmulas como sus demostraciones; pero para no olvidarlas vamos a acordarnos de que las demostraciones se obtienen a base de usar fórmulas que tienen tanto el cuadrado del seno como el del coseno y estas fórmulas de tenemos que escribir en función del ángulo mitad. α 2 α + sen 2 = 1 (esta igualdad se da Una de las fórmulas es la igualdad fundamental cos 2 2 siempre independientemente de cómo tengamos expresado el ángulo, lo único imprescindible es que el ángulo que acompaña al seno sea el mismo que el que acompaña al coseno); y la otra la obtenemos a partir de la del cos2α de la siguiente manera: El ángulo lo dividimos entre dos, por lo que para que se mantenga la igualdad del ángulo doble también dividimos entre dos todos los ángulos que aparecen en la fórmula, así obtenemos que: α α cos(α ) = cos 2 − sen 2 2 2 Ahora obtenemos el seno y el coseno fácilmente resolviendo el siguiente sistema (por reducción):  2 α 2 α  cos(α ) = cos 2 − sen 2   1 = cos 2 α + sen2 α  2 2 Las fórmulas del seno y el coseno del ángulo mitad son:

Tanto el cálculo de la tangente como el uso de estas fórmulas son similares a los casos anteriores.

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- Sumas y diferencias de senos y cosenos Estas fórmulas se recuerdas fácilmente si tenemos en cuenta que cuando sumamos o restamos senos en la fórmula tenemos el producto de seno y coseno y que cuando lo hacemos con los cosenos el producto es sólo de senos o sólo de cosenos. Las demostraciones no tienen más complicación que usar las fórmulas del seno del ángulo suma y el seno de la diferencia de ángulos para calcular la suma y diferencia de senos (está hecha en el libro) y lo mismo para el coseno:

 cos(α + β ) = cos α cos β − senα senβ   cos(α − β ) = cos α cos β + senα senβ Si sumamos las dos expresiones se nos van los senos y tenemos:

cos(α + β ) + cos(α − β ) = 2 cos α cos β Si llamamos A=α+β y B=α-β, resolviendo el sistema obtenemos que α =

A+ B A− B yβ = 2 2

con lo cual obtenemos la ecuación buscada para la suma de cosenos. Para la resta de cosenos es el mismo procedimiento pero restando las expresiones iniciales, con lo que se nos van los cosenos. Usamos estas fórmulas simplemente para calcular sumas y diferencias de senos y cosenos.

Todas estas fórmulas son necesarias para resolver ecuaciones trigonométricas las cuales se resuelven fácilmente por métodos conocidos de ecuaciones cuadradas y bicuadradas entre otros.

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ATENCIÓN Hay que tener cuidado con varias cosas cuando hablamos de trigonometría y ecuaciones trigonométricas: •

No operemos a lo loco, teniendo especial cuidado con no mezclar datos del ángulo con coeficientes que acompañen a la expresión, así: 3 cos α ≠ cos 3α

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Comprobamos siempre las soluciones obtenidas en una ecuación trigonométrica.

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Siempre haremos las operaciones necesarias para simplificar una expresión hasta que queda en función únicamente de senos, cosenos o tangentes, tanto para facilitar el cálculo como la resolución de ecuaciones.

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Ojo a la hora de resolver ecuaciones del tipo sen 2 x = 1 ya que para despejar x de esta expresión tendríamos que 2x=arctan1 (2x es el ángulo cuya tangente es 1), con lo que 2x = 90º => x = 45º.

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Cuidado a la hora de resolver ecuaciones bicuadradas ya que al deshacer el cambio de variable obtenemos dos soluciones por cada raíz cuadrada que hagamos: una positiva y otra negativa (ver ejercicios).

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Cuando tenemos una operación del estilo 2 tan

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No te olvides de que el común denominador se hace cuando hay sumas o restas de fracciones y no cuando están multiplicadas.

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Si divides o multiplicas el numerador de una fracción haz la misma operación en el denominador.

4x + 2x hay que fijarse que el 2 no 3 podemos operarlo con nada; pero que lo que está ‘dentro’ de la tangente sí y, por tanto: 4x + 2x 2 tan x 4 tan x 2 tan = 2 tan 2 x = 2 = . 2 3 1 − tan x 1 − tan 2 x