TEMA 2: EQULIBRIO DE NASH COURNOT PARA JUEGOS NO COOPERATIVOS. 1. Ejemplos de juegos finitos no cooperativos en forma estratética. 2. Ejemplos con juegos en forma extensiva 3. Estrategias mixtas: correspondencia de mejor respuestas y equilibrio de Nash: 4. Amenazas creibles y equilibrios perfectos 5. Juegos con información incompleta. Equilibrios bayesianos. Un ejemplo Kodak contra Polaroid

2.1 JUEGOS BIPERSONALES ALGUNOS EJEMPLOS DE JUEGOS FINITOS EN FORMA NORMAL Y EXTENSIVA

1

JUEGOS (BIPERSONALES) FINITOS NO COOPERATIVOS

JUEGOS EN NORMAL Ejemplos: Casando monedas, dilema de los presos, batalla de los sexos, entrada en un mercado de monopolio.

Faíña, Microeconomía

3

POLICIAS Y LADRONES

POLICIA J2 BV

MV

1

L A D R O N

J 1

-1

B V

-1

1 -1

M V

1

1

JUEGO EN FORMA NORMAL: G = (S1,S2,U1,U2) – Conjuntos de Estrategias Puras S1 = S2 = {BV, MV} – Funciones de pagos U1(BV,BV)=U1(MV,MV)=-1 U1(BV,MV)=U1(MV,BV)= 1 U2(BV,BV)=U2(MV,MV)= 1 U2(BV,MV)=U2(MV,BV)=-1 • NO EXISTE EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS PURAS

-1

Faíña, Microeconomía

4

2

CASANDO MONEDAS (Matching Pennies)

Estrategias de 2 Cara

E s t r a t e g i a s

Cruz

1

C a r a

-1

-1 1

-1 C R u z

1

1

JUEGO EN FORMA NORMAL: G = (S1,S2,U1,U2) – Conjuntos de Estrategias Puras S1 = S2 = {C, X} – Funciones de pagos U1(C,C)=U1(X,X)=-1 U1(C,X)=U1(X,C)= 1 U2(C,C)=U2(X,X)= 1 U2(C,X)=U2(X,C)=-1 • NO EXISTE EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS PURAS

-1

1 Faíña, Microeconomía

5

EL DILEMA DE LOS PRISIONEROS

Estrategia de J2 No Confiesa

E s t r a t e g i a J 1

N o c o n f i e s a C o n f i e s a

Confiesa

-1

0

Op -1

-9 -9

-6

JUEGO EN FORMA NORMAL: G = (S1,S2,U1,U2) – Conjuntos de Estrategias Puras S1 = S2 = {C, NC} – Funciones de pagos U1(C,C)=U2(C,C)=-6 U1(NC,NC)=U2(NC,NC)= -1 U1(NC,C)=U2(C,NC)= -9 U1(C,NC)=U2(NC,C)= 0 • EXISTE UN UNICO EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS PURAS • EL EQUILIBRIO DIFIERE DEL OPTIMO

Eq 0

-6

Faíña, Microeconomía

6

3

BATALLA DE LOS SEXOS

Estrategia de J2 CINE

E s t r a t e g i a J 1

C I N E

1

0

E 2

0

F U T B O L

FUTBOL

0

2

JUEGO EN FORMA NORMAL: G = (S1,S2,U1,U2) – Conjuntos de Estrategias Puras S1 = S2 = {C, F} – Funciones de pagos U1(C,C)=U2(F,F)= 2 U1(C,F)=U2(C,F)= 0 U1(F,C)=U2(F,C)= 0 U1(F,F)=U2(C,C)= 1 • EXISTEN DOS EQUILIBRIOS DE NASH EN ESTRATEGIAS PURAS

E 0

1

Faíña, Microeconomía

7

ENTRADA EN UN MERCADO DE MONOPOLIO

Estrategia de J2 LUCHA

E s t r a t e g i a J 1

E N T R A N O E N T R A

COMPARTE

0

1

E 0

1 2

2

E 0,5

JUEGO EN FORMA NORMAL: G = (S1,S2,U1,U2) – Conjuntos de Estrategias Puras S1 = {E, NE}; S2 = {L,C} – Funciones de pagos U1(E,L)=U2(E,L)= 0 U1(E,C)=U2(E,C)= 1 U1(NE,L)=U1(NE,C)= 0,5 U2(NE,L)=U2(NE,C)= 2 • EXISTEN DOS EQUILIBRIOS DE NASH EN ESTRATEGIAS PURAS. UNO ES DE BAJA CALIDAD.

0,5

Faíña, Microeconomía

8

4

JUEGOS (BIPERSONALES) FINITOS NO COOPERATIVOS

JUEGOS EN EXTENSIVA Ejemplos: Casando monedas, dilema de los presos, batalla de los sexos, entrada en un mercado de monopolio.

Faíña, Microeconomía

LADRONES Y POLICIAS BV BV

2

UN JUEGO EN FORMA EXTENSIVA: a. b. (-1, 1)

MV

c. d.

(1, -1)

1

e.

MV

22

BV

9

(1, -1)

f.

Un arbol con un número finito de nodos y arcos Una partición del conjunto de nodos que especifica que jugador juega en cada nodo (o el azar en su caso) Otra particiòn conjunto de nodos que especifica la información de que dispone cada jugador Una descripción de los posibles movimientos de cada jugada Una especificación de las probabilidades de las jugadas de azar Una función de pago para cada jugador definida en el conjunto de finales de partida

(-1, 1)

MV Jugadores 1, Ladrón, 2, Policia Estrategias: BV, Bien vestido, MV, Mal vestido

No hay equilibrios en Estrategias Puras

Faíña, Microeconomía

10

5

Un juego finito n-personal en forma extensiva formalmente es el sexteto (i):  = (K, P, Y, C, p, h) 1. 1. K es un árbol (N, M) formado por N nodos (no tiene que ver con el número de jugadores, n) (N = X  Z, nodos de decisión, X, más finales partida, Z) y M arcos. 2. 2. P es una partición de X, P={P0, P1,...,Pn}, que clasifica los nodos de azar, 0, y de los jugadores 1,...,n. (Jugador en cada nodo) 3. 3. Y es una n-tupla (Y1,...,Yn), donde cada Yi es una partición de Pi (i{1,...,n}) de modo que cada yYi representa el conjunto de información del jugador i, verificando: a) el jugador i tiene el mismo número de alternativas en cada x y b) cada camino del nodo Faíña, Microeconomía 11 distinguido a un nodo terminal, z Z, interseca a y a lo sumo una vez.

Un juego finito n-personal en forma extensiva formalmente es el sexteto (ii):  = (K, P, Y, C, p, h) 4.

5.

6.

C es una colección {Cy / yi=1...nYi}tal que cada Cy es una partición del conjunto de arcos que parten de algún xy. Cada cCy se llama elección del jugador i en el conjunto de información y (si y Yi) p es una colección {px / xP0} tal que cada px es una distribución de probabilidad mixta sobre el conjunto de arcos que parten de x (especificación probabilidad jugadas azar) h es una n-tupla (h1,...,hn) tal que cada hi es la función de pagos del jugador i (una función real con dominio en Z, el conjunto de finales) Faíña, Microeconomía 12

6

CASANDO MONEDAS: FORMA EXTENSIVA C

(-1, 1)

C 2

X (1, -1)

1

(1, -1)

X

2

C

No hay equilibrio s de Nash en estrategia s puras

(-1, 1)

X Faíña, Microeconomía

13

DILEMA DE LOS PRESOS: FORMA EXTENSIVA NC

(-1, -1)

NC 2

C (-9, 0)

1

(-6, -6)

C

22

C

NC Faíña, Microeconomía

Un único equilibrio de Nash

(0, -9) 14

7

LA BATALLA DE LOS SEXOS: FORMA EXTENSIVA Cine

(2, 1)

Cine Fútbol

2

(0, 0)

1

(0, 0)

Fútbol

Cine

22

Dos equilibrios de Nash con estrategia s puras

(1, 2)

Fútbol Faíña, Microeconomía

15

ENTRANDO EN UN MERCADO DE MONOPOLIO: FORMA EXTENSIVA Lucha Entra J2 J1

J1 0 J2 0

J1 1 Comparte J2 1

No Entra

Dos equilibrios de Nash: (E,C) y (NE,L)

J1 0,5 Pero sólo J2 2 uno razonable Faíña, Microeconomía ¿Por qué?

16

8

JUEGOS CON INFORMACION PERFECTA Y MEMORIA PERFECTA • JUEGOS CON INFORMACION PERFECTA: Son aquellos en los cuales las elecciones de los jugadores determinan una única rama del árbol del juego. – De forma más precisa: cada conjunto de información de cada jugador contiene un único nodo.

• JUEGOS CON MEMORIA PERFECTA: Son aquellos en los cuales todos los jugadores recuerdan sus jugadas o, dicho de otro modo, después de cualquiera de sus elecciones los jugadores saben que se encuentran en las ramas del juego parten de las mismas. – De manera más precisa, los conjuntos de información no incluyen nodos situados en los caminos procedentes de distintas elecciones anteriores del jugador: para cualquier par de nodos en el mismo conjunto de información los jugadores saben que uno de ellos es posterior a una de sus elecciones anteriores si y sólo si el otro también lo es. Faíña, Microeconomía 17

UN JUEGO CON MEMORIA PERFECTA E INFORMACION PERFECTA

a) J1 elige x {0,1}, b) J2, conociendo x, elige y {0,1} y c) J1 conociendo e e y elige z  {0,1} J1 paga 1 a J2 si x+y+z es par o cero, y J2 paga si la suma es impar 1 2

Y00

Z000 Z001

(-1, 1)

(J1, J2)

(1, -1) (1, -1)

Z010

X0 Y01 1

1 Z100

2

Y10

(-1, 1)

Z011

(-1, 1)

Z110

(-1, 1)

1

X1

(1, -1)

Z101

(1, -1) Y11

1

Z111 18

9

Un Juego con Memoria Perfecta e Información Imperfecta Z00 2

Y00

Z01

(-1, 1)

(J1, J2)

(1, -1) (1, -1)

1

Z00

X0 Y01

(-1, 1)

Z01

1 Z10 2

Y10

Z11 1

X1

Z10

(1, -1) (-1, 1) (-1, 1) (1, -1)

Y11

Z11

19

Un Juego sin MEMORIA PERFECTA Z0 2

Y00

Z1 Z0

X0 Y01 1 2

Y10

Z1

(J1, J2)

(1, -1) (1, -1) (-1, 1)

1 Z0

(1, -1)

Z1

(-1, 1)

Z0

X1

(-1, 1)

(-1, 1) (1, -1)

Y11

Z1 20

10

2.3. ESTRATEGIAS MIXTAS. CORRESPONDENCIAS DE MEJOR RESPUESTA Y EQUILIBRIO DE NASH 1. Correspondencias de mejor respuesta: Exposición gráfica en juegos bipersonales con dos estrategias. Discusión de los ejemplos anteriores. 2. Equilibrio de Nash en juegos finitos: Teorema de existencia de Nash Faíña, Microeconomía

21

ESTRATEGIAS MIXTAS: EJERCICIOS PARA ANALIZAR JUEGOS • Asociemos a cada estrategia una distribución de probabilidad (números mayores o iguales que cero, menores que uno y cuya suma es uno) • Sea r la probabilidad de que el J1 utilice su primera estrategia (BV; Cara; Confiesa, Cine o Entra) (1-r será la probabilidad de la otra) • Sea q la probabilidad de que el J2 utilice su primera estrategia en los mismos juegos • Calcular las mejores respuestas y los valores óptimos “r*(q)” y “q*(r)”. Cuales son los conjuntos de mejores respuestas y los equilibrios de Nash. ¿Existen EN en el juego de Policias y Ladrones y Casando Monedas? Faíña, Microeconomía

22

11

Estrategias mixtas • Estrategia mixta en un juego en forma normal: Dado G={S1, S2, ..., Sn; H1,H2, ..., Hn}, donde Si={si1, si2, ..., sik} es el conjunto de estrategias puras del jugador i, una estrategia mixta es una distribución de probabilidad, pi=(pi1, pi2,..., pik), sobre el conjunto de estrategias puras del jugador, debiendo cumplirse:

0  pij  1, j  1,..., k y además  j 1 pij  1 k

• Sentido de las estrategias mixtas (HARSANYI) reflejan la incertidumbre del jugador sobre las decisiones de los otros. Otras interpretaciones como estrategias de comportamiento. Faíña, Microeconomía

23

Mejores Respuestas • Mejor Respuesta: Dada una selección de estrategias de los restantes jugadores se definen como mejores respuestas del jugador i aquellas que hacen máximos los pagos esperados.

• Correspondencia de Mejor respuesta de cada jugador i es aquella que asigna a cualquier selección de estrategias de los restantes jugadores el conjunto de mejores respuestas del jugador i.

Faíña, Microeconomía

24

12

EJEMPLO 1 (i): MEJOR RESPUESTA POLICIAS Y LADRONES • Juego en Forma Normal: G=(S1,S2,U1,U2): – Conjuntos de Estrategias Puras: S1=S2={BV, MV} y Funciones de pagos: – U1(BV,BV)=U1(MV,MV)=-1 U1(BV,MV)=U1(MV,BV)= 1 U2(BV,BV)=U2(MV,MV)= 1 U2(BV,MV)=U2(MV,BV)=-1

• Estrategias mixtas: – J1, ladrón, juega BV con probabilidad r (menor o igual que 1) y MV con probabilidad (1-r) – J2, Policía, juega BV con probabilidad q (menor o igual que 1) y MV con probabilidad (1-q) • Pagos esperados, H, corresponden con la esperanza matemática de U, dadas las distribuciones de probabilidad de las estrategias mixtas. Faíña, Microeconomía

25

Correspondencia de mejor respuesta del ladrón •

•

Jugador 1, Ladrón: Si espera que el J2 investigue BV con probabilidad q, entonces los pagos esperados serán: H1(BV) = (-1).q + 1.(1-q) = 1- 2.q H1(MV)= 1.q + (-1). (1-q) = 2.q – 1 De manera que : H1(BV) > H1(MV)  q H2(MV)  r>1/2, luego: Correspondencia de mejor respuesta del Policia: si r  1/2, MV, q * (r)  0    BR 2 r   si r  1/2, BV, MV, q * (r)  0,1 si r  1/2, BV, q * (r)  1    Faíña, Microeconomía

27

Mejor Respuesta y Equilibrio de Nash: Ladrones y Policias q*(r) q=1

q = 1/2

r = 1/2

r

• BR1;, r*(q) = – si q > ½,{MV}, r* = 0 – si q = ½, {BV,MV}, r* [0,1] – si q < ½, {BV}, r* = 1 • BR2 ; q*(r) = – si r > ½, {BV}, q* = 1 – si r = ½, {BV,MV}, q* [0,1] r*(q) – si r < ½, {MV}, q* = 0 • EN = BR1 BR2 = =1 = {(r*,q*)} = {(½, ½)}

El ladrón, J1, juega BV con probabilidad r El policia, J2, juega BV con probabilidad Faíña, Microeconomía q

28

14

Mejores Respuestas en el Dilema de los Presos • Jugador 1: Si espera que el J2 confiese con probabilidad q, entonces los pagos esperados serán: H1(C) = (-6).q + 0.(1-q) = -6.q H1(NC)= (-9).q + (-1). (1-q) = -8.q – 1 De manera que : H1(C) > H1(NC) para cualquier q: • Correspondencia de Mejor Respuesta de 1: BR1={C} y r*(q) = 1 • Correspondencia de Mejor Respuesta de 2: BR2={C} y q*(r) = 1 Faíña, Microeconomía

29

Mejor Respuesta y Equilibrio de Nash: Dilema de los presos q=1

BR1(q) = {C}, r*(q) =1  q [0,1]

q*(r)

BR2(r) = {C} q*(r)=1  r[0,1] EN = BR1 BR2 = = {(r*,q*)} = {(1,1)} r*(q) q=0 r=0

r =1

El J1 confiesa con probabilidad r (1-r, no confiesa) El J2 confiesa con probabilidad q (1-q, no confiesa) Faíña, Microeconomía

30

15

Mejores Respuestas en la Batalla de los sexos: Jugador 1 (La chica) • Jugador 1, chica: Si espera que el J2 (chico) elija Cine con probabilidad q, entonces los pagos esperados serán: H1(C) = 2.q + 0.(1-q) = 2.q H1(F)= 0.q + 1. (1-q) = 1-q De manera que : H1(C) > H1(F)  q>1/3, luego: • Correspondencia de Mejor Respuesta de 1 (Chica): si q  1/3, F, r * (q)  0    BR1 q   si q  1/3, C, F, r * (q)  0,1 si q  1/3, C, r * (q)  1    Faíña, Microeconomía

31

Mejores Respuestas en la Batalla de los sexos: Jugador 2 (El Chico) • Jugador 2, chico: Si espera que el J1 (chica) elija Cine con probabilidad r, entonces los pagos esperados serán: H2(C) = 1.r + 0.(1-r) = r H2(F)= 0.r + 2. (1-r) = 2-2.r De manera que : H2(C) > H2(F)  r >2/3, luego: • Correspondencia de Mejor Respuesta de 1 (Chica): si r  2/3, F, q * (r)  0    BR 2 r   si r  2/3, C, F, q * (r)  0,1 si r  2/3, C, q * (r)  1    Faíña, Microeconomía

32

16

Mejores respuestas y equilibrios de NASH en la Batalla de los Sexos q*(r) q=1

q = 1/3

r*(q)

r = 2/3

r =1

• Existen tres equilibrios de Nash: los dos de estrategias puras y el nuevo de estrategias mixtas • EN = BR1 BR2 = {(r*,q*)} = {(1,1), (2/3,1/3),(0,0)}

Faíña, Microeconomía

33

Juego Simple de Monopolio: Mejores Respuestas del Entrante • Jugador 1, entrante: Si espera que el J2 (Monopolista) elija Luchar con probabilidad q, entonces los pagos esperados serán: H1(E) = 0.q + 1.(1-q) = 1-q y H1(NE)= 0,5 De manera que : H1(E) > H1(NE)  q 0, H2(C) > H2(L) Si r = 0, H2(C) = H2(L) • Correspondencia de Mejor Respuesta del Monopolista: si r  0, C, q * (r)  0  BR 2 r     si r  0, L, C, q * (r)  0,1 Faíña, Microeconomía

35

Mejores Respuestas y Equilibrios de Nash: Juego de Entrada Simple • Existen ahora inifinitos Equilibrios de NASH • EN = BR1 BR2 • {(r*,q*)} = {(1, 0), (0, q), q  1/2}

q=1

q = 1/2

r*(q) q=0 r=0

r =1

• El (1, 0) es razonable • Los del conjunto {(0, q), q  1/2} se basan en la amenaza increíble de que 2 lucha con probabilidad igual o mayor que 1/2

Faíña, Microeconomía

36

18

2.4. EQUILIBRIOS PERFECTOS

Inducción retrospectiva y amenazas creíbles. Refinamientos del equilibrio de Nash. Equilibrio perfecto en subjuegos

SELTEN Y LOS EQUILIBRIOS PERFECTOS Subjuego LUCHA ENTRA J1

J1 -1 J2 0

J2 COMPARTE

NO ENTRA Inducción Retrospectiva

J1 1 J2 1

J1 0 J2 3

• Dos equilibrios de Nash: (No entra-Lucha) (Entra-Comparte) • El primero no es razonable. Se basa en una Amenaza Increible • Perfección en subjuegos: Mirar hacia Delante Razonar hacia Atrás

19

LOS PODERES DE LOS MONOPOLISTAS • El juego simplificado de entrada que utilizamos para explicar el equilibrio perfecto en subjuegos no recoge las ventajas con que cuentan las empresas establecidas • Ventaja sustancial: juegan primero y pueden adaptar su capacidad y sus políticas de publicidad, I+D, etc. para achicar el mercado a los futuros entrantes • Un tema clásico de Economía Industrial que nos llevaría muy lejos. • Modelos en dos o más etapas que se resuelven por inducción retrospectiva.

KODAK CONTRA POLAROID: UN CASO DE ANALISIS DEL COMPETIDOR

Dr. Edwin H. Land Creador de la cámara Polaroid.

• El 20 de abril de 1976 la compañía Kodak anunció que desafiaría el monopolio detentado por Polaroid durante más de 28 años en el mercado de las fotografías de revelado instantáneo. • La alta dirección de Kodak correspondía a un hombre de larga tradición en la empresa, Walter A. Fallon, vinculado a la división que había llevado a cabo el programa masivo de investigación de cámaras instantáneas dirigido por el Dr. Albert Seig. • La dirección de Polaroid continuaba en las manos del Dr. Lang, asistido por colaboradores directos de la época del diseño de la primera cámara.

20

CTA. CONSOLIDADA PERDIDAS Y GANANCIAS KODAK POLAROID

millones $ Ventas netas

4.959

813

Menos:

2.927 ª 313 632

468 52 64 121

1.087

108

- Coste bienes vendidos - Gastos Publicidad - Investigación y Desarrollo - Gastos Administrativos

Beneficio Bruto de operaciones

• El mercado estaba muy concentrado • Las ventas al menor de productos fotográficos para aficionados en EEUU eran de 6,6 mil millones de $, las de Kodak se estimaban en 2,5 mil millones (37,8%), mientras que las de Polaroid apuntaban a los 0,5 mil millones de $ (un 7,5%). • La diferencia de tamaño era muy importante, el Beneficio Bruto de KODAK era 10 veces superior al de POLAROID

VALORANDO LA REACCION DE POLAROID • Desde el principio, las declaraciones Polaroid presentaban una fuerte carga emotiva, reivindicando la superioridad de sus productos y su disposición a luchar contra Kodak en todos los frentes del mercado de revelado instantáneo, desde el comercial, hasta el jurídico defiendo los derechos exclusivos que todavía conservaban sobre algunas piezas y mecanismos del sistema. • La situación es muy diferente a la de una guerra. A Kodak le interesa desembarcar en el mercado de Polaroid –incluso expulsarla del mercado- siempre y cuando ello le reporte una rentabilidad adecuada. Si el coste de una larga lucha comercial y jurídica es elevado, se reducirá la rentabilidad esperada y la empresa, incluso la más poderosa, deberá retirarse de este segmento del mercado y concentrarse en aquellos otros sobre los que fundamenta su rentabilidad. • Si Kodak debe renunciar a su programa de expansión en el segmento de revelado instantáneo, porque la reacción de Polaroid se lo pone muy caro, la lucha de Polaroid sería mucho más que una reacción pasional y numantina, tendría la alta rentabilidad esperada de recuperar el monopolio del segmento de revelado instantáneo.

21

2.5 JUEGOS DE INFORMACION INCOMPLETA Equilibrios bayesianos y creencias: introducción

UN JUEGO MAS COMPLEJO •Mirar adelante •Razonar para atrás

Alta Lucha

Entra

¿Probabilidad de Expulsión? Baja

Polaroid

K…. -1 P….. 2 K…. 0 P.... 0

Kodak Comparte

Inducción Retrospectiva

No Entra

K….. 1 P….. 1 K….. 0 P…. 3

• Problema: La probabilidad de expulsión esconde un juego estratégico con incentivos contrapuestos ¿Como estudiarlo? • La información está incompleta no conocemos la función de pagos de Polaroid.

22

HARSANYI Y LA INFORMACION INCOMPLETA Lucha Fuerte

Pola roid

Natura Inducción Proyectiva

Se Retira

….

Continua

Lucha

Débil

Kodak

Pola roid

Kodak

Se Retira

….

Continua

Comparte

Kodak se queda

• El azar lo convierte en un juego de información imperfecta • El tipo débil de Polaroid tiene incentivos para luchar

23